安徽省安庆石化第一中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

石化一中2024-2025学年八年级下期中随堂练习 一．选择题（(本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．要使根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 2．下列各式成立的是（　　） A．（）2 B．5 C．x D．6 3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．若一元二次方程2x2﹣6x＝9的二次项系数是2，则一次项系数、常数项分别为（　　） A．6，﹣9 B．﹣6，9 C．﹣6，﹣9 D．6，9 5．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根．则该三角形的周长是（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10 7．关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 8．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（　　） A．7米 B．8米 C．9米 D．12米 9．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝b，∠C＝45° C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a＝9，b＝40，c＝41 10．已知实数m，n满足3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0，且mn≠1，求的值（　　）． A． B． C．3 D． 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共 20 分） 11．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝　 　 ． 12．小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了　 　 个好友． 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，，P、Q分别是线段AB和上的两个动点，则BP+PQ的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 15．(本小题8分)计算：． 16．(本小题8分)解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10． 17．(本小题8分)已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求实数k的值并解这个方程； （2）若方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝﹣x1•x2，则k的值为 　 　 ． 18．(本小题8分)如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AB上一点，且CD＝12cm，BD＝8cm． （1）求证：△ADC是直角三角形； （2）求BC的长． 19．(本小题10分)阅读理解：若a＞0，b＞0，由，得a+b≥2，当且仅当a＝b时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知x＞0，求式子x的最小值． 解：令a＝x，b，则由a+b≥2，得x4， 当且仅当x时，即正数x＝2时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： （1）当x＞0时，当且仅当x＝　 　 时，式子x的最小值为 　 　 （直接写出答案）； （2）如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 20．(本小题10分)先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． （1）根据上面三个等式提供的信息，计算：； （2）按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； （3）请利用上述规律来计算：． 21．(本小题12分)对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0． （1）代数式x2﹣12的不变值是 　 　 ，A＝　 　 ； （2）说明：代数式2x2﹣x+1没有不变值； （3）已知代数式x2﹣nx+n，若A＝0，求n的值． 22．(本小题12分)直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某APP上对一款成本价为每件8元的小商品进行直播销售．如果按每件10元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件．将每件小商品的售价定为x（元），每天销售量y（件）． （1）求y（件）与x（元）之间的函数表达式； （2）若电商按每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于15元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为640元，求每件小商品的销售价应为多少元？ 23．(本小题14分)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）AB的长为 　 　 ，点D的坐标是 　 　 ； （2）求点C的坐标； （3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标； （4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（(本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．要使根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 【解答】解：根据题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故选：B． 2．下列各式成立的是（　　） A．（）2 B．5 C．x D．6 【解答】解：A.，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数为小数，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数不含有含有能开得尽方的因数，所以是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数20含有能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．若一元二次方程2x2﹣6x＝9的二次项系数是2，则一次项系数、常数项分别为（　　） A．6，﹣9 B．﹣6，9 C．﹣6，﹣9 D．6，9 【解答】解：由题知， 一元二次方程2x2﹣6x＝9的二次项系数是2， 所以将所给一元二次方程变形为：2x2﹣6x﹣9＝0， 所以二次项系数、一次项系数分别为：﹣6，﹣9 ． 故选：C． 5．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0， 整理得：x2﹣x， 配方得：x2﹣x，即（x）2． 故选：C． 6．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根．则该三角形的周长是（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝2，x2＝4， 当腰为2，底为4时，因为2+2＝4，不符合三角形三边的关系，舍去， 当腰为4，底为2时，三角形的周长为4+4+2＝10． 故选：B． 7．关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【解答】解：关于x的方程x2+mx﹣2＝0中， ∵a＝1，b＝m，c＝﹣2， ∴Δ＝m2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（　　） A．7米 B．8米 C．9米 D．12米 【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，顶端落在地面离木杆底端3米处， ∴折断的部分长为5（米）， ∴折断前高度为5+4＝9（米）． 故选：C． 9．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝b，∠C＝45° C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a＝9，b＝40，c＝41 【解答】解：A、由题意知，a2+b2＝c2＝25，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； B、由题意知，∠A＝∠B＝（180°﹣45°）÷2＝62.5°，则△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意； C、由题意知∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； D、由题意知，a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 10．已知实数m，n满足3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0，且mn≠1，求的值（　　）． A． B． C．3 D． 【解答】解：在方程2n2+7n﹣3＝0的两边同时除以﹣n2得3（）2﹣72＝0， 又∵实数m满足3m2﹣7m﹣2＝0，且mn≠1， ∴可将m，看作一元二次方程3x2﹣7x﹣2＝0的两个不等实数根， ∴m，， ∴． 故选：D． 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共 20 分） 10．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝　3　 ． 【解答】解：∵， 根据题意得：x﹣1＝2， 解得：x＝3． 故答案为：3． 11．小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了　5　 个好友． 【解答】解：设每轮每人向x人 发送短信， 依题意得：x+x（x+1）＝35， 解得：x1＝5，x2＝﹣7（不合题意，舍去） 故答案为：5． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是 　17　 ． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8， ∴AC2+BC2＝AB2， 即（AB﹣2）2+82＝AB2， 解得AB＝17． 故答案为：17． 13．如图，在△ABC中，，P、Q分别是线段AB和上的两个动点，则BP+PQ的最小值为 　9　 ． 【解答】解：作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′Q⊥AB于点Q， 则PB＝PB′，∠BDP＝∠BDC＝90°， ∴BP+PQ＝B′P+PQ＝B′Q取得最小值， ∵， ∴∠ABC＝∠C＝75°，∠CBD＝180°﹣∠BDC﹣∠C＝15°， ∴∠A＝180°﹣2∠C＝30°， ∴AP＝2PQ， 设AQ＝x，则， ∵， ∴， ∴， ∵∠APQ＝∠B′PC，∠AQP＝∠B′DP＝90°， ∴∠B′＝∠A＝30°， ∴∠PBB′＝∠B＝30°， ∴∠ABP＝∠ABC﹣∠B′BP﹣∠CBD＝30°，BB′＝2BQ， ∴∠ABP＝∠A＝30°， ∴AP＝BP， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴B′Q＝PQ+B′P＝9，即BP+PQ的最小值为9， 解法二：∵∠ADB＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BD， ∵BB＝2BD， ∴BB′＝AB， ∵∠ADB＝∠B′QB＝90°，∠ABD＝∠B′BQ， ∴△ABD≌△B′BQ（AAS）， ∴B′Q＝AD＝9． 故答案为：9． 三．解答题（本大题共9小题，共 90分） 15．计算：． 【解答】解：原式＝2 ＝232 ＝2． 16．解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10 【解答】解：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）， x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， （x﹣2）（2x﹣5）＝0， x﹣2＝0或2x﹣5＝0， x1＝2，； 17．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求实数k的值并解这个方程； （2）若方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝﹣x1•x2，则k的值为 　2　 ． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝0， 解得k， 此时方程为x2x0， （x）2＝0， 解得x1＝x2； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2+1， ∵x1+x2＝﹣x1•x2， ∴﹣（2k+1）＝﹣（k2+1）， 整理得k2﹣2k＝0， 解得k1＝0，k2＝2， ∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）≥0， 解得k， ∴k的值为2． 故答案为：2． 18．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AB上一点，且CD＝12cm，BD＝8cm． （1）求证：△ADC是直角三角形； （2）求BC的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝13ccm，BD＝8cm， ∴AD＝AB﹣BD＝5cm， ∴AC＝13cm，CD＝12cm， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， 即△ADC是直角三角形； （2）解：在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，BD＝8cm，CD＝12cm， 由勾股定理得：BC4（cm）， 即BC的长是4cm． 19．阅读理解：若a＞0，b＞0，由，得a+b≥2，当且仅当a＝b时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知x＞0，求式子x的最小值． 解：令a＝x，b，则由a+b≥2，得x4， 当且仅当x时，即正数x＝2时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： （1）当x＞0时，当且仅当x＝　3　 时，式子x的最小值为 　6　 （直接写出答案）； （2）如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【解答】解：（1）∵x26， ∴当且仅当x时，即正数x＝3时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：3，6； （2）设当与墙相邻的一边为x米，则另一边为， 则：2x220， 当x＞0时，当且仅当2x，即x＝5时，所用篱笆最短，为20米， 答：这个长方形的长为10米、宽为5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． 20．先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． （1）根据上面三个等式提供的信息，计算：； （2）按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； （3）请利用上述规律来计算：． 【解答】解：（1）由题意知，， ∴； （2）由题意知，， ∴用n（n为正整数）表示的等式为； （3）由题意知，， ∴． 21．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0． （1）代数式x2﹣12的不变值是 　﹣3和4　 ，A＝　7　 ； （2）说明：代数式2x2﹣x+1没有不变值； （3）已知代数式x2﹣nx+n，若A＝0，求n的值． 【解答】解：（1）依题意，得：x2﹣12＝x，即x2﹣x﹣12＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝4， ∴A＝4﹣（﹣3）＝7， 故答案为：﹣3和4，7； （2）依题意，得：2x2﹣x+1＝x即2x2﹣2x+1＝0， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×1＝﹣4＜0， ∴2x2﹣x+1＝x没有实数根， ∴代数式2x2﹣x+1没有不变值； （3）依题意，得：程x2﹣nx+n＝x即程x2﹣（n+1）x+n＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（n+1）]2﹣4×1×n＝0， 整理得：n2﹣2n+1＝0， 解得：n＝1． 22．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某APP上对一款成本价为每件8元的小商品进行直播销售．如果按每件10元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件．将每件小商品的售价定为x（元），每天销售量y（件）． （1）求y（件）与x（元）之间的函数表达式； （2）若电商按每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于15元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为640元，求每件小商品的销售价应为多少元？ 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝200﹣20（x﹣10）＝﹣20x+400， ∴y与x之间的函数表达式为 y＝﹣20x+400； （2）由题意可得：（400﹣20x）（x﹣8）＝640， 整理，得 x2﹣28x+192＝0， 解得：x1＝12，x2＝16． 又每件小商品的销售单价不低于成本价，且不高于15元的价格， 所以 x＝12， 答：将每件小商品的售价定为12元时，才能使每天的利润为640元． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）AB的长为 　5　 ，点D的坐标是 　（8，0）　 ； （2）求点C的坐标； （3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标； （4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵点A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB5， ∵若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处， ∴AD＝AB＝5， ∴OD＝OA+AD＝8， ∴D（8，0）， 故答案为：5，（8，0）； （2）设C（0，a）（a＜0）， 由题意得：BC＝CD， ∴4﹣a， 解得：a＝﹣6， ∴C（0，﹣6）； （3）设M（0，b）， ∵S△MABS△OCD， ∴|4﹣b|×36×8， 解得：b＝28或b＝﹣20， ∴M（0，28）或M（0，﹣20）； （4）存在，（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）． 当AB＝AP，∠BAP＝90°时，过P作PF⊥x轴于F， ∵∠AOB＝∠OFP＝∠BAP＝90°， ∴∠OBA+∠OAB＝∠OAB+∠PAF＝90°， ∴∠OBA＝∠PAF， ∵AB＝AP， ∴△ABO≌△PAF， ∴PF＝OA＝3，AF＝OB＝4， ∴OF＝OA+AF＝7， ∴P（7，3）， 当AB＝AP′，∠P′BA＝90°时，过P′作P′G⊥y轴于G， 同理得：△ABO≌△BP′G， ∴P′G＝OB＝4，BG＝OA＝3， ∴OG＝OB+BG＝7， ∴P′（4，7）， 当BP″＝AP″，∠BP″A＝90°时，点P″是AP′和BP的交点， 设AP′的解析式为：y＝kx+b， 则：， 解得：， ∴AP′的解析式为：y＝7x﹣21， 设BP的解析式为：y＝ax+4， 则：7a+4＝3， 解得：a， ∴BP的解析式为：yx+4， 解方程组得：， ∴P″（3.5，3.5）， ∴点P的坐标为：（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$