精品解析：江西省南昌市第二十八中学高新实验学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

南昌二十八中高新实验学校2024-2025学年第一学期12月月考试题卷八年级数学 一、单选题（本大题共6题，每小题3分，共计18分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 、为正整数，如果成立，那么（ ） A. 必为奇数 B. 必为奇数 C. 、必同为奇数 D. 、必同为偶数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方计算法则得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴必为奇数， 故选：B． 3. 下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据三角形的内角和定理可得的度数，由此即可判断A错误；根据三角形的三边关系即可判断B错误；根据三角形的内角和定理可得，，由此即可判断C正确；根据三角形的内角和定理可得，由此即可判断D错误． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴不可以判定是等腰三角形，则此项不符合题意； B、由题意，设，则， ∵， ∴不能构成三角形，则此项不符合题意； C、∵， ∴，， ∴可以判定是等腰三角形，则此项符合题意； D、∵，， ∴， ∴可以判定是直角三角形，不可以判定是等腰三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 4. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、乘法公式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、乘法公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，，所以，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 6. 如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理即可判断①正确；在上取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；假设，过点作于点，作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，由此即可判断③错误；过点作于点，作于点，连接，根据和可得，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵和的平分线，相交于， ∴，， ∴ ，则结论①正确； ∵， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使得，连接， ∵和的平分线，相交于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论②正确； 如图，过点作于点，作于点， ∵和的平分线，相交于，， ∴，，， 假设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即结论③错误； 如图，过点作于点，作于点，连接， ∵，，，， ∴， 由上已得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，则结论④正确； 综上，结论正确的是①②④， 故选：D． 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共计18分） 7. 已知一个多边形从一个顶点可以引出5条对角线，则这个多边形有__________条边． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查多边形的条数问题，根据多边形对角线的性质，从一个顶点引出的对角线数等于边数减3，进行求解即可. 【详解】解：设多边形有条边，则从一个顶点引出的对角线数为， 由题意，解得， 故答案为：8 8. 若且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算−化简求值，原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵且， ∴ 故答案为：． 9. 已知通过变形可以可成的形式，则______． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．根据题意可得，再计算完全平方公式即可得． 【详解】解：∵通过变形可以可成的形式， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或5． 10. 如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，解题的关键是证明． 过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：如下图，过A和B分别作于D，于E， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为，点A的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 故答案为： 11. 如图，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点N，在直线上存在一点P，使P、B、C三点构成的的周长最小，则的周长最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，如图，连接，因为的周长，，推出的值最小时，的周长最小，由题意，推出，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵的周长，， ∴的值最小时，的周长最小， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 12. 如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形和折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再分情况讨论：（1）当点在射线的下方时，①，②和③；（2）当点在射线的上方时，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，． （1）当点在射线的下方时， ①如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； ③如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； （2）如图，当点在射线的上方时， ∴， ∴此时要使是等腰三角形，只能是， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5题，每小题6分，共计30分） 13. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式、积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据多项式除以单项式法则计算即可得； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式法则计算即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 【答案】 证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． ∴， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先说明，再根据证明可得，最后根据等角对等边即可证明结论． 【详解】略 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式及化简求值等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘法公式、单项式乘以多项式，再计算单项式乘以多项式、括号内的加减法，然后计算多项式除以单项式，最后计算加减法，将，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将，代入得：原式． 16. 如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． （1）在图甲中，画出的边上的中线； （2）在图乙中， 找一点 P，连接线段 ，使得 平分． 【答案】（1） 如图， （2） 如图， 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质， （1）在图中取格点并连接对应的线段，即可得到三角形的全等，结合其性质即可知，连接即可； （2）根据网格可知，在上取格点长为5，即可得到等腰三角形，利用网格即可找到等腰三角形底边的中点，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，△ABC是等边三角形，AN=BM，BN，MC相交于O，CH⊥BN于点H，求证：2OH=OC． 【答案】 ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°， 在△BAN和△CBM中， ， ∴△BAN≌△CBM（SAS）， ∴∠ABN=∠BCM， ∵∠ABN+∠OBC=60°， ∴∠BCM+∠OBC=60°， ∵∠NOC为△OBC的外角， ∴∠NOC=∠BCM+∠OBC=60°， 在Rt△OHC，∠HCO=30°， 则2OH=OC． 【解析】 【分析】已知△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=BC=AC，且三内角为60°，再由AN=BM，利用SAS得到△BAN≌△CBM，利用全等三角形的对应角相等及三角形外角的性质得到∠NOC=60°，在Rt△OHC中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得2OH=OC． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、以及含30度直角三角形的性质，证明△BAN≌△CBM并求∠NOC=60°是解本题的关键． 四、解答题（本大题共3题，每小题8分，共计24分） 18. 9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图2所示． （1）用含a、b的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）； （2）若，，求板总面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据板模型的总面积为上面的三角形的面积中间梯形的面积下面梯形的面积，列式计算即可得解； （2）先利用完全平方公式得出，再代入（1）中所求的式子即可得解． 【小问1详解】 解：由图可得： 板模型的总面积为： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴板模型的总面积为． 19. 把两个含有角的直角三角板如图放置，点在上，连结、，且的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求，的长． 【答案】（1） 证明：∵和都是等腰直角三角形， ，，， 在和中， ∴ ， 又， ， ， 即． （2）， 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识． （1）和都是等腰直角三角形，则，，，即可证明，则，利用角之间的关系证明即可； （2）根据线段的和差和等量代换列出方程组，即可进行解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ． ，， ， 由、得：，． 20. 观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　； （2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示，，且为整数），并加以证明． 【答案】（1） （2） 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 猜想：第个等式：， 证明：等式左边， 等式右边， 等式左边等式右边， 成立． 【解析】 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式，再进行总结，并对等式左边的式子和右边的式子进行整理即可证明． 【小问1详解】 解：由题意得： 第5个等式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，根据题中所给的式子得出第个等式：是解题的关键． 五、解答题（本大题共2题，每小题9分，共计18分） 21. 如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． （1）若设的长为x，则_________，____________． （2）当时，求的长； （3）点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由如下： 如图，过点作的平行线交于， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质并结合题意即可得出答案； （2）求出是直角三角形，再由含角的直角三角形的性质得出，建立方程计算即可得出答案； （3）过点作的平行线交于，证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得解． 【小问1详解】 解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， 设的长为x，则，， ∴； 【小问2详解】 解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22. 定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． （1）如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； （2）已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】（1） 是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）①或；②的值为 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 六、解答题（本大题共1题，共计12分） 23. 在平面直角坐标系中，点，均在轴上，且点与点关于轴对称，点在轴正半轴上，点在第一象限内，点在射线上，连接，与相于点，． （1）如图1，若，求和的大小； （2）如图2，连接，过点作于点． ①求证：平分； ②若，，请直接用含有的式子表示． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质得垂直平分，得到，根据等边对等角得，继而得到，根据三线合一性质得，再根据三角形内角和定理得； （2）①证明得，推出点在的平分线上，即可得证； ②证明得，得到，，再根据，可得结论． 【小问1详解】 解：∵点与点关于轴对称，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ①证明：过点作于点， 又∵， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； ②解：由①知：， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二十八中高新实验学校2024-2025学年第一学期12月月考试题卷八年级数学 一、单选题（本大题共6题，每小题3分，共计18分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 、为正整数，如果成立，那么（ ） A. 必为奇数 B. 必为奇数 C. 、必同为奇数 D. 、必同为偶数 3. 下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 4. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共计18分） 7. 已知一个多边形从一个顶点可以引出5条对角线，则这个多边形有__________条边． 8. 若且，则_________． 9. 已知通过变形可以可成的形式，则______． 10. 如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是______． 11. 如图，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点N，在直线上存在一点P，使P、B、C三点构成的的周长最小，则的周长最小值为___________． 12. 如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为______． 三、解答题（本大题共5题，每小题6分，共计30分） 13. 计算 （1）； （2）． 14. 如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． （1）在图甲中，画出的边上的中线； （2）在图乙中， 找一点 P，连接线段 ，使得 平分． 17. 如图，△ABC是等边三角形，AN=BM，BN，MC相交于O，CH⊥BN于点H，求证：2OH=OC． 四、解答题（本大题共3题，每小题8分，共计24分） 18. 9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图2所示． （1）用含a、b的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）； （2）若，，求板总面积． 19. 把两个含有角的直角三角板如图放置，点在上，连结、，且的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求，的长． 20. 观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　； （2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示，，且为整数），并加以证明． 五、解答题（本大题共2题，每小题9分，共计18分） 21. 如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． （1）若设的长为x，则_________，____________． （2）当时，求的长； （3）点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 22. 定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． （1）如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； （2）已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 六、解答题（本大题共1题，共计12分） 23. 在平面直角坐标系中，点，均在轴上，且点与点关于轴对称，点在轴正半轴上，点在第一象限内，点在射线上，连接，与相于点，． （1）如图1，若，求和的大小； （2）如图2，连接，过点作于点． ①求证：平分； ②若，，请直接用含有的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $