精品解析：江苏省淮安市开明中学八校联考2024-2025学年下学期九年级4月期中数学试卷

初三数学（二） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的倒数为（ ） A. B. C. 3 D. 2. 若，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面四幅图分别是“故宫博物馆”“广东博物馆”、“四川博物馆”、“温州博物馆”的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 目前我国能制造芯片的最小工艺水平已经达到7纳米．已知1纳米米，用科学记数法将7纳米表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于，两点，连结，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 为计数方便，某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示的实际千克数是_____． 10. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 __________________． 11. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是_____． 12. 用一个半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为________． 13. 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为__________cm． 图1 图2 14. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为___度． 15. 已知x，y满足，且，．若，则k的取值范围是_____． 16. 如图，在四边形中，，，，交于点M．若，且，则的长为______． 三、解答题（共11小题，102分） 17. （1）计算：； （2）解方程． 18. 已知，求代数式的值． 19. 已知反比例函数的图象经过点 （1）求的值 （2）完成下面的解答 解不等式组 解：解不等式①，得 ． 根据函数的图象，得不等式②得解集 ． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ． 20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）本次调查活动随机抽取了______人，请补全条形统计图。 （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数． （3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人． 21. 甲城市有2个景点A，B，乙城市有3个景点C，D，E，从中随机选取景点游览， （1）若选取1个景点，则恰好在甲城市的概率为 ； （2）若选取2个景点，求出恰好在同一个城市的概率．（用树状图或列表的方式分析） 22. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 23. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 24. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （1）________m，_______m（结果保留根号）； （2）求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 25. 如图，在中，以为直径的分别交，于点D，点E，的延长线与的切线交于点F，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过A、B两点． （1）该抛物线的对称轴为_______； （2）若，，且，则_______（填“”，“”，“”）； （3）当时，若，，且，连接，过点A作直线l平行于y轴，再过点B作，垂足为点G，试探究的值是否变化？如果不变，请求出它的值；如果变化，请说明理由； （4）在（3）的条件下，若线段交抛物线对称轴于点E，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．试说明：当时，抛物线与线段必有一个交点． 27. 【经典回顾】 梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法．图1是其中—种方法的示意图及部分辅助线． 在中，，分别以的三边为一边向外作正方形、正方形和正方形，延长和，交于点L，延长交于点M． 【尝试探究】小亮同学根据上述图形和辅助线，进行了如下探究： （1）如图1，已证明四边形是矩形，； （2）如图2，连接并延长交于点J，交于点K，可证四边形是平行四边形，请说明理由； （3）如图3，延长交于点Q，可证， 同理：____________________， ， ． 【尝试运用】 如图4，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，，则四边形的面积是__________． 【迁移运用】 如图5，四边形是以的边为一边的平行四边形，分别交于点N、M，请用尺规以为一边，在右侧作矩形，使得﹒（不写作法，保留作图痕迹） 【迁移拓展】 如图6，在中，，，在左侧构造等边，在右侧构造等边，连接，点P为中点，连接，则的最大值是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学（二） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的倒数为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查倒数的知识，理解并掌握倒数的定义是解题关键．两个数相乘得1，称这两个数互为倒数．据此即可获得答案． 【详解】解：因为， 所以的倒数为3． 故选：C． 2. 若，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A 选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D 选项． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下面四幅图分别是“故宫博物馆”“广东博物馆”、“四川博物馆”、“温州博物馆”的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； B中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求； C中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； D中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； 故选：D． 4. 目前我国能制造芯片的最小工艺水平已经达到7纳米．已知1纳米米，用科学记数法将7纳米表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查用科学记数法表示数． 根据科学记数法的定义：科学记数法，数学术语，是指把一个大于10（或者小于1）的整数记为的形式（其中）的记数法，即可得解． 【详解】解：由已知得，7纳米米米， 故选：B． 5. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图是， 故选：C． 6. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意以及实数a，b，c在数轴上对应点的位置逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵， ，，故A选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，故C选项正确，符合题意； ，，故D选项不正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，根据点的位置判断式子的符号，数形结合是解题的关键． 7. 如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于，两点，连结，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质和等腰三角形的性质，由平行线的性质求得，由等腰三角形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴ 由作图得， ∴ 故选：C． 8. 如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接， ∵原点为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， 又∵点E也在双曲线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 为计数方便，某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示的实际千克数是_____． 【答案】22 【解析】 【分析】此题考查了正负数的应用，首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题． 【详解】解：由题意，得“”表示的实际千克数是千克． 故答案为：22． 10. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系可得，判别式，求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根 则判别式，解得 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次程根的情况与判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次程根的情况与判别式的关系． 11. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一次函数的图象求一元一次不等式的解题，根据不等式即一次函数在轴下方求解即可． 【详解】解：不等式，即一次函数的图象在轴下方， 根据函数图像可知：当，不等式， 故答案为：． 12. 用一个半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．利用底面周长展开图的弧长可得． 【详解】解：设底面圆的半径为r， ， 解得． 故答案为：1． 13. 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为__________cm． 图1 图2 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ， ， ，， ， 解得：， 故答案为：3． 14. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为___度． 【答案】144 【解析】 【分析】连接OA、OC，根据切线的性质得到∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，根据正多边形的内角和公式求出正五边形的内角的度数，继而求出∠AOC的度数． 【详解】解：正五边形每个内角：180°－360°÷5＝108°， ∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切， ∴∠OAE＝∠OCD＝90°， ∴∠AOC＝(5－2)×180°－90°×2－108°×2＝144°． 【点睛】本题主要考查了五边形的内角和的计算，切线的性质，解决此题的关键是正确的计算． 15. 已知x，y满足，且，．若，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，先解关于的方程组：，得到，再根据，，得到关于的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：解关于的方程组：， 解得：， ，， ， 解得：， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，，交于点M．若，且，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，证明，根据相似三角形的性质结合，，得出，即可求出，，根据，证明，得出，结合已知条件得出，证明，即可得，根据相似三角形的性质得出，求出，，设，则，证明，得出，设，则，根据，得出，则，根据，得出，求出，即可求出，过点作，设，则，根据勾股定理列方程求出，即，解出，根据，求出，再根据，即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 又， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 设，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 过点作， 设，则， ∵， ∴， 解得：，即， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定，二次根式的混合运算等知识点，解题的关键是证明三角形相似，正确做出辅助线是解题的难点． 三、解答题（共11小题，102分） 17. （1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，实数的运算，化简二次根式，求特殊角三角函数值，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． （2）利用公式法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是分式混合运算要注意先去括号；分子，分母能因式分解的先因式分解． 先计算括号，再算乘法，把分式化简，再将变形为，代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， ． 19. 已知反比例函数的图象经过点 （1）求的值 （2）完成下面的解答 解不等式组 解：解不等式①，得 ． 根据函数的图象，得不等式②得解集 ． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ． 【答案】（1）2； （2）， ， 不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式①的解集；根据反比例函数的图像求出不等式②的解集，进而求出公共部分即可． 【详解】解：（1）因为点在反比例函数的图像上， 所以点的坐标满足， 即，解得； （2）， 解不等式①，得； ∵y=1时，x=2， ∴根据函数的图象，得不等式②得解集． 从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用反比例函数图象解不等式，以及不等式组的解法，求出反比例函数解析式是解答本题的关键． 20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）本次调查活动随机抽取了______人，请补全条形统计图。 （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数． （3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人． 【答案】（1）50；补全统计图如下所示： （2） （3）4500人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，再求出混动的人数，进而可补全条形统计图； （2）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （3）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ∴混动的人数为人， 【小问2详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有4500人． 21. 甲城市有2个景点A，B，乙城市有3个景点C，D，E，从中随机选取景点游览， （1）若选取1个景点，则恰好在甲城市的概率为 ； （2）若选取2个景点，求出恰好在同一个城市的概率．（用树状图或列表的方式分析） 【答案】（1） （2）恰好在同一个城市的概率为 【解析】 【分析】（1）所有可能的结果数为5，选取的1个景点恰好在甲城市的结果数为2，由概率公式即可求解； （2）先画出树状图或列表，则由概率计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：所有可能的结果数为5，选取的1个景点恰好在甲城市的结果数为2， ∴选取1个景点，则恰好在甲城市的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D E A AB AC AD AE B AB BC BD BE C AC BC CD CE D AD BD CD DE E AE BE CE DE 由表知，所有可能的结果数为20，选取的2个景点恰好在同一城市的结果数为8， ∴选取2个景点，则恰好在同一城市的概率为． 【点睛】本题考查了求概率，运用树状图或列表求概率是本题的关键与难点． 22. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）20 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 23. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元， 依题意得， 解得， ， 答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 24. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． （1）________m，_______m（结果保留根号）； （2）求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）物体上升的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）在中，，，分别代入数值进行计算，即可作答． （2）由（1）得，解求得，根据即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 在中， ， 答：物体上升的高度为． 25. 如图，在中，以为直径的分别交，于点D，点E，的延长线与的切线交于点F，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）10 【解析】 【分析】（1）连接，结合为的直径，得到，结合是的切线，得到，根据余角的性质，结合，证明即可证明． （2）连接，结合，设则，根据勾股定理，根据勾股定理，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， 设，则， ∵为的直径， ， ， ， ， 解得：（舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过A、B两点． （1）该抛物线的对称轴为_______； （2）若，，且，则_______（填“”，“”，“”）； （3）当时，若，，且，连接，过点A作直线l平行于y轴，再过点B作，垂足为点G，试探究的值是否变化？如果不变，请求出它的值；如果变化，请说明理由； （4）在（3）的条件下，若线段交抛物线对称轴于点E，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．试说明：当时，抛物线与线段必有一个交点． 【答案】（1）直线 （2） （3）值不变，为 （4） 解：根据（3）可得， ∴， 过点作对称轴交对称轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵直线经过点， ∴， 令，则， ∴， 根据旋转可得， 过点作抛物线对称轴交对称轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立， 则， 对于， 当时，， 当时，， ∴ ， 当时，且，， ， 即在两端异号， 即必与x轴有一个交点， ∴当时，抛物线与线段必有一个交点． 【解析】 【分析】（1）根据由抛物线一般式的对称轴公式，直接代入系数即可． （2）根据点对称性与纵坐标关系：若两点横坐标关于对称轴对称，则纵坐标相等求解即可； （3）当时，抛物线为，对称轴为，得出点，点，直线为，点，求出，，即可得出，与无关，故值不变，为． （4）根据（3）可得，，过点作对称轴交对称轴于点，得出，则，表示出点，根据旋转可得，过点作对称轴交对称轴于点，求出，证明，求出，联立，证明当时，在两端异号，即可得出当时，抛物线与线段必有一个交点． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线． 【小问2详解】 解：∵点，， ∴， ∴点，关于对称轴对称，因此， 故答案为：． 【小问3详解】 解：当时，抛物线为，对称轴为， 点，点， ∴直线为，点， ∴，， ∴，与无关，故值不变，为． 【小问4详解】 略 【点睛】该题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确理解题意． 27. 【经典回顾】 梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法．图1是其中—种方法的示意图及部分辅助线． 在中，，分别以的三边为一边向外作正方形、正方形和正方形，延长和，交于点L，延长交于点M． 【尝试探究】小亮同学根据上述图形和辅助线，进行了如下探究： （1）如图1，已证明四边形是矩形，； （2）如图2，连接并延长交于点J，交于点K，可证四边形是平行四边形，请说明理由； （3）如图3，延长交于点Q，可证， 同理：____________________， ， ． 【尝试运用】 如图4，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，，则四边形的面积是__________． 【迁移运用】 如图5，四边形是以的边为一边的平行四边形，分别交于点N、M，请用尺规以为一边，在右侧作矩形，使得﹒（不写作法，保留作图痕迹） 【迁移拓展】 如图6，在中，，，在左侧构造等边，在右侧构造等边，连接，点P为中点，连接，则的最大值是__________． 【答案】【尝试探究】 （2）理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，即：， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【尝试运用】15； 【迁移运用】如图，矩形即为所求； 【迁移拓展】 【解析】 【分析】【尝试探究】（2）根据正方形的性质，全等三角形的性质，推出，，即可得证； （3）根据正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，结合等量代换得到即可； 【尝试运用】延长交于点，延长交的延长线于点，仿照（2）推出四边形的面积，进行求解即可； 【迁移运用】连接，易得，过点作的垂线，过点作的垂线，以为圆心，到的距离为半径画弧，得到点，分别以点，点为圆心，，的长为半径画弧，两弧交点即为点，连接，即可； 【迁移拓展】以为边构造等边三角形，连接，作，取的中点，连接，，三线合一结合勾股定理求出的长，进而求出的长，斜边上的中线求出的长，证明，得到，同理，得到，推出四边形为平行四边形，进而得到为的中点，三角形的中位线得到，根据，求出最大值即可． 【详解】【尝试探究】（2）略 （3）如图3，延长交于点Q， ∵， ∵， ∴， ∴， 同理：， ， ． 【尝试运用】延长交于点，延长交的延长线于点，如图， ∵，，， ∴由勾股定理，得：， ∵正方形，正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，四边形为矩形， 同【尝试探究】（3）可得：四边形的面积； 故答案为：15； 【迁移运用】∵， ∴， 由作图可知，到的距离等于的长， ∴， ∴； 【迁移拓展】以为边构造等边三角形，连接，作，取的中点，连接，，则：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵为中点， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最大，为． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，尺规作图—复杂作图，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $