精品解析：浙江省嘉兴八校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

2024学年第二学期嘉兴市八校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知，且向量与向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 4. 的内角所对的边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，点为线段的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 6. 中，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 在中，，为边的中点，则为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，是平面内一点，则最小值是（ ） A. B. C. D. 0 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列命题错误的是（ ） A. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B. 四边形可以确定一个平面 C. 经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D. 经过两条平行直线，有且只有一个平面 10. 已知复数：满足，则（ ） A. B. 的实部为1 C. 的共轭复数为 D. 在复平面中对应的点位于第四象限 11. 在中，角的边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 周长的最大值为 D. 面积的最大值 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且与共线，则实数的值为_________． 13. 已知长方体的长宽高分别为，，，现将该长方体沿相邻三个面的对角线截掉一个棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体体积为_________． 14. 文壁巽塔位于桐乡市崇福镇中山公园，始建于明嘉靖年间，历经劫难不屈不折，现为桐乡市级重点保护文物．在湖对岸为测量塔的高度，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，米，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________米． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为实数． （1）求的值； （2）设复数满足是纯虚数，求实数的值． 16. 内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的面积为．求的周长． 17. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为. （1）求圆锥的底面积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的高. 18. 已知向量，， （1）若与夹角为，求； （2）若，求的坐标； （3）若与夹角为，求取最小值时的值． 19. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． （1）用和表示； （2）设，实数，求的值； （3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期嘉兴市八校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的相关概念判断即可. 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故选：B 2. 已知，且向量与向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义计算即可. 【详解】. 故选：D. 3. 如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，从而求出面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形， 则，，， 则原的面积为. 故选：A. 4. 的内角所对的边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】因为，则， 由余弦定理，又，所以. 故选：B 5. 在平行四边形中，点为线段的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断. 【详解】在平行四边形中，点为线段的中点， 记，，. 故选：B. 6. 中，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理即可解出，则得到或，从而得到. 【详解】根据正弦定理得，即，解得， 因为，则，结合，解得或， 当时，；当，， 综上所述，或. 故选：C. 7. 在中，，为边的中点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，将两边平方，结合数量积的运算律计算可得. 【详解】因为为边的中点，所以， 所以， 所以，即为. 故选：C 8. 已知，，是平面内一点，则最小值是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图，以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则有 ，，，设，则 ， 当，时，上式最小值为. 故选：A. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列命题错误的是（ ） A. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B. 四边形可以确定一个平面 C. 经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D. 经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面的基本性质及推论，对四个选项逐一判断，得出正确选项. 【详解】A选项正确，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，因为他们构成一个三角形， 而三角形唯一确定一个平面； B选项不正确，因为四边形包括空间四边形，此类四边形不能确定一个平面； C选项不正确，经过同一直线上的3个点的平面有无数个，因为直线可以位于无数个平面； D选项正确，经过两条平行直线，有且只有一个平面. 故选：BC. 10. 已知复数：满足，则（ ） A. B. 的实部为1 C. 的共轭复数为 D. 在复平面中对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念及几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 的实部为1，虚部为1，故B正确； ，故A正确； 的共轭复数为，故C不正确； 在复平面中对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：ABD. 11. 在中，角的边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 周长的最大值为 D. 面积的最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A，利用余弦定理判断B，由余弦定理结合基本不等式判断C，利用余弦定理结合三角形的面积公式和基本不等式判断D. 【详解】对A：由正弦定理，所以， 解得，故A正确； 对B：由余弦定理，所以，解得或， 又，所以，故B错误； 对C：由余弦定理，所以， 所以， 又，所以，所以. 所以，则（当且仅当时取“”）. 此时周长的最大值为，故C正确； 对D：由余弦定理，所以， 所以，则（当且仅当时取“”）， 此时，故D正确. 故选：ACD 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且与共线，则实数的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标性质列式求解即可． 【详解】因为，且与共线， 所以，解得 故答案为： 13. 已知长方体的长宽高分别为，，，现将该长方体沿相邻三个面的对角线截掉一个棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意该几何体的体积是由长方体的体积减去一个三棱锥的体积，根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】依题意该几何体的体积是由长方体的体积减去一个三棱锥的体积， 所以该几何体体积. 故答案为： 14. 文壁巽塔位于桐乡市崇福镇中山公园，始建于明嘉靖年间，历经劫难不屈不折，现为桐乡市级重点保护文物．在湖对岸为测量塔的高度，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，米，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________米． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形内角和为，求得，再根据正弦定理求得，进而在中，根据求得． 【详解】在中，，， 由正弦定理，得 所以 在中， 所以塔高AB为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为实数． （1）求的值； （2）设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由方程根的定义，将代入，再根据复数相等的意义列式求出的值； （2）根据复数的乘法计算，再根据纯虚数的概念列式求解即可. 【小问1详解】 由得 ， 所以，解得 【小问2详解】 由题可知，是纯实数， 所以，解得． 16. 内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的面积为．求的周长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用和差角正弦公式得，由三角形内角的性质即可求角的大小； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理可得，即可得周长. 【小问1详解】 在， 由已知，得，而，则， 又，所以． 【小问2详解】 由，得，即， 又，则，整理得， 因此，解得，所以的周长为． 17. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为. （1）求圆锥的底面积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据展开图扇形的弧长即为底面圆的周长求出底面圆的半径，即可求出圆锥的底面积； （2）设圆柱的高，，根据三角形相似得到，即可表示出圆柱的侧面积，根据二次函数的性质求出面积最大值，即可得解； 【小问1详解】 沿母线AB剪开，侧展图如图所示： 设，在半圆⊙A中，，弧长，这是圆锥的底面周长， 所以， 所以，故圆锥的底面积为； 【小问2详解】 设圆柱的高，， 在中，， ∽，所以，即，， 圆柱侧面积为：， 所以，当，时，圆柱的侧面积最大. 18. 已知向量，， （1）若与夹角为，求； （2）若，求的坐标； （3）若与夹角为，求取最小值时的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，，再根据及数量积的运算律计算可得； （2）设，则且，解得即可； （3）首先求出，再由数量积的运算律得到，结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以． 【小问2详解】 设，则， 由得，即，解得或， 所以或． 【小问3详解】 因为，， 所以 ， 所以当时，取得最小值． 19. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． （1）用和表示； （2）设，实数，求的值； （3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出、关于的表达式； （2）由、、三点共线并结合系数和为1的结论即可求解； （3）由向量数量积的运算律求出的表达式，利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因，所以，又因为的中点，所以， 所以． 【小问2详解】 因，所以， 又因，所以， 又因三点共线，所以，即． 【小问3详解】 设，由（1）（2）可知， 即． 因， ， 所以 ， 又因是边长为的等边三角形，所以， 所以化简得， 令，因，即， 当且仅当时，等号成立，所以． 因此， 又因为，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $