精品解析：陕西省榆林市米脂县杨家沟九年一贯制学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 九年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 掷一次骰子，向上的一面是6点 B. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 购买一张彩票，中奖 D. 如果a、b都是实数，那么 3. 外观相同的5件产品中有2件为不合格产品．现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是( ) A. B. C. D. 1 5. 已知和关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 4 6. 如果将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A、B、C、D是上的四个点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 10. 已知二次函数的图像如图所示，在下列四个结论中：①②③④，错误的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 绿化公司对某种花苗移植的成活率进行调查，结果如表所示： 根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为______．（精确到） 移植总数 成活数 成活的频率 12. 已知关于x的方程的两根分别是,，且满足，则k的值是____． 13. 如图，是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好落在上，，则的度数是______． 14. 小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色制帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为，母线长为，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面为___________ （结果保留）． 15. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC的长是____________． 16. 如图是抛物线的部分图象，若，则x的取值范围是________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根． 19. 一个不透明的盒子里装有3个白色纽扣和若干个黑色纽扣，每个纽扣除颜色外其他完全相同，每次把盒子里的纽扣摇匀后随机摸出一个，记下颜色后再放回盒子里，通过大量重复试验后，发现摸到白色纽扣的频率稳定于0.2，估计盒子里黑色纽扣的个数． 20. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，墙对面有一个宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．若要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽各为多少？ 21. 如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“1，2，3，4，5，6，7，8”这8个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：甲、乙两个人参与游戏，甲转动转盘，乙猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则乙获胜；若结果不相符，则甲获胜．（若指针恰好指在分割线上，那么重转一次） （1）如果乙猜是“数4”，则乙获胜的概率为______； （2）如果乙猜是“3的倍数”，则甲获胜的概率是______； （3）如果乙猜是“偶数”，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 22. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位时，宽16米，此时水面距拱顶4米． （1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式； （2）若水位上升3米，就达到警戒线，则拱桥内水面的宽是多少米？ 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，是的直径，点，在上，且平分．若，求的度数． 24. 天水麻辣烫持续火爆，越来越多的游客到天水旅游打卡，在带动餐饮市场的同时，还带火了天水的文旅产业．小明一家准备春节假期去天水游玩，要从A伏羲庙、B玉泉观、C武山水帘洞、D甘谷大象山四个景点中选择游玩． （1）若只去一个景点，选择D甘谷大象山的概率是______； （2）若这四个景点中任选两个，用画树状图或列表的方法求出同时选到A伏羲庙和B玉泉观的概率是多少？ 25. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 26. 如图，二次函数的图象经过点和． （1）求该二次函数的解析式； （2）若二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接，求的面积． 27. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接， 证明：． （1）思路梳理 ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ∵，∴，点F、D、G共线， 证明得． 请按此思路证明原题中． （2）类比引申 如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足怎样的关系时，仍有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 九年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、B、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：C． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 掷一次骰子，向上的一面是6点 B. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 购买一张彩票，中奖 D. 如果a、b都是实数，那么 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件和随机事件的定义逐项排查即可. 【详解】解：由于掷一次骰子，向上的一面是6点是随机事件，故A选项不符合题意； 由于经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故B选项不符合题意； 由于购买一张彩票，中奖是随机事件，故C选项不符合题意； 如果a、b都是实数，那么是必然事件，故选D项符合题意. 故选D. 【点睛】本题主要考查随机事件和必然事件，熟练掌握随机事件和必然事件的概念是解答本题的关键. 3. 外观相同的5件产品中有2件为不合格产品．现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了概率公式求概率，根据外观相同的5件产品中有2件为不合格产品利用概率公式即可得到答案． 【详解】解：∵外观相同的5件产品中有2件为不合格产品． ∴从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为， 故选：C． 4. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是( ) A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法，根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积， ∴小球停在阴影部分的概率是， 故选：B． 5. 已知和关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵和关于原点对称， ∴， ∴， 故选B． 6. 如果将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了二次函数图象平移，根据“上加下减，左加右减”的法则求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是， 故选：C． 7. 如图，A、B、C、D是上的四个点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型． 根据可得结论． 【详解】解：连接． ，， ， 故选A． 8. 某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出相关方程是解答本题的关键．根据百分率的意义及方程的意义即可得出答案． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 一次降价后价格可表示为，再次降价后价格表示为， 可列方程为， 故选：D． 9. 在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得， 黑球的个数为： ， 故选：D． 【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，理解概率的意义． 10. 已知二次函数的图像如图所示，在下列四个结论中：①②③④，错误的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点即可判断①和②，根据当时，，即可判断③，根据当时，，即可判断④．熟练掌握二次函数的图象和性质并数形结合是解题的关键． 【详解】解：∵图象可知，抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴左边， ∴， ∴，， ∴，故②正确， ∵抛物线与y轴相交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 根据函数图象可得，当时，，故③正确； 根据函数图象可得，当时，，故④错误； 综上可知，错误的个数有1个． 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 绿化公司对某种花苗移植的成活率进行调查，结果如表所示： 根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为______．（精确到） 移植总数 成活数 成活的频率 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，通过表格及用频率估计概率可直接得出答案，解题的关键是正确理解大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：由频率分布表可看到成活的频率稳定在附近， ∴用频率估计概率可知成活的概率约为， 故答案为：． 12. 已知关于x的方程的两根分别是,，且满足，则k的值是____． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】根据题意得 ∴k=3 故答案为3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝． 13. 如图，是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好落在上，，则的度数是______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换的性质，属于基础题型，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，进一步即可求得结果． 【详解】解：∵是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色制帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为，母线长为，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面为___________ （结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式，熟练记忆圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键．根据圆锥的侧面积底面周长母线长计算即可． 【详解】解：底面半径为，母线长为， 则底面周长， 侧面面积． 故答案为：． 15. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC的长是____________． 【答案】3cm 【解析】 【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可． 【详解】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点， ∴， 在Rt△OCB中，由勾股定理得：cm， 故答案为：3cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC是解决问题的关键． 16. 如图是抛物线的部分图象，若，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，得到，解得，结合抛物线开口方向，和，得到解集为． 本题考查了抛物线的对称性，与不等式的关系，熟练掌握对称性，不等式性质是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， 故， 解得， 结合抛物线开口方向，和，得到解集为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 18. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根． 【答案】的值为 ，方程的根 ． 【解析】 【分析】利用一元二次方程 根的判别式 ，可求出的值，然后解出方程即可． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即 ， 解得： ， ∴该一元二次方程为， ∴ ， 解得 ： ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的各种解法——直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法和根的判别式． 19. 一个不透明的盒子里装有3个白色纽扣和若干个黑色纽扣，每个纽扣除颜色外其他完全相同，每次把盒子里的纽扣摇匀后随机摸出一个，记下颜色后再放回盒子里，通过大量重复试验后，发现摸到白色纽扣的频率稳定于0.2，估计盒子里黑色纽扣的个数． 【答案】12个 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，先设盒子里黑色纽扣的个数为x个，由题意可知摸到 白色球的概率是0.2，再根据概率公式列出方程，求出解即可． 【详解】解：设盒子里黑色纽扣的个数为x个，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是原方程的解． 答：估计盒子里黑色纽扣的个数为12个． 20. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，墙对面有一个宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．若要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽各为多少？ 【答案】养鸡场的长，宽． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设养鸡场的宽为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 整理得，即， 解得：，， 当时，， 当时，（舍去）， ∴养鸡场的长，宽． 21. 如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“1，2，3，4，5，6，7，8”这8个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：甲、乙两个人参与游戏，甲转动转盘，乙猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则乙获胜；若结果不相符，则甲获胜．（若指针恰好指在分割线上，那么重转一次） （1）如果乙猜是“数4”，则乙获胜的概率为______； （2）如果乙猜是“3的倍数”，则甲获胜的概率是______； （3）如果乙猜是“偶数”，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）这个游戏对双方公平，理由如下： 在这8个数中，偶数有4个， 则乙获胜的概率为，甲获胜的概率为， ∴这个游戏对双方公平． 【解析】 【分析】本题主要考查游戏的公平性，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）由这8个数中，有1个数字4，据此可得答案； （2）根据概率公式先求得乙获胜的概率，继而可得甲获胜的概率； （3）在这8个数中，偶数有4个，根据概率公式求解可得甲、乙获胜的概率即可得． 【小问1详解】 如果乙猜是“数4”，则乙获胜的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 如果乙猜是“3的倍数”，则乙获胜的概率是， 则甲获胜的概率为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 22. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位时，宽16米，此时水面距拱顶4米． （1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式； （2）若水位上升3米，就达到警戒线，则拱桥内水面的宽是多少米？ 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）此时水面的宽度为8米. 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点代入求出a的值即可； （2）求出时x的值，据此可得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：或， 则此时水面的宽度为8米. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，是的直径，点，在上，且平分．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可求得的度数，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，可求得的度数，根据圆内接四边形的对角互补，即可求得答案． 【详解】∵，平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查圆周角定理及其推论，牢记圆周角定理及其推论是解题的关键． 24. 天水麻辣烫持续火爆，越来越多的游客到天水旅游打卡，在带动餐饮市场的同时，还带火了天水的文旅产业．小明一家准备春节假期去天水游玩，要从A伏羲庙、B玉泉观、C武山水帘洞、D甘谷大象山四个景点中选择游玩． （1）若只去一个景点，选择D甘谷大象山的概率是______； （2）若这四个景点中任选两个，用画树状图或列表的方法求出同时选到A伏羲庙和B玉泉观的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）利用画树状图法求出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 共4个景点，若只去一个景点，选择D甘谷大象山的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如图 P（同时选到A伏羲庙和B玉泉观）． 25. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）设，根据勾股定理得出，求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 在中，，， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴． 26. 如图，二次函数的图象经过点和． （1）求该二次函数的解析式； （2）若二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）15 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握待定系数法和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）先求出A、B、C的坐标，再根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 当时，， 解得：或， ∴二次函数的图象与x轴交点，， ∴的面积为：． 27. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接， 证明：． （1）思路梳理 ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ∵，∴，点F、D、G共线， 证明得． 请按此思路证明原题中． （2）类比引申 如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足怎样的关系时，仍有，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图1， ∵， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，使与重合， ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，， ， 即， 在和中，， ∴， ∴； （2） 解：时，；理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合，如图2所示， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． （1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $