精品解析：吉林省延边州延吉市第一高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

延吉市第一高级中学2024-2025学年度下学期期中考试 高一数学 命题人：单巍 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【详解】依题意得，，故. 故选：D 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意， . 故选：D. 3. 已知向量，，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值． 【详解】向量，，且，，则. 故选：． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换得到，再利用诱导公式求出答案. 【详解】因为，即， 所以． 故选：D 5. 在中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 6. 已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标扩大为原来的倍，再把图象上所有的点向上平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的周期可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过函数的图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标扩大为原来的倍，再把图象上所有的点向上平移个单位长度，得到函数，再利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】，将函数的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的，可得到函数的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再把所得图象向上平移个单长度，得到，由绝对值变换可知，函数的最小正周期为，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7. 在中，，则的形状为（ ）． A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状. 【详解】因为，所以， 即， 所以在中，与边上的中线垂直，则， 同理，， 所以，是等边三角形． 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题. 8. 已知的内角所对的边分别为，下列四个说法中正确个数是（ ） ①若，则一定是等边三角形； ②若，则一定是等腰三角形； ③若，则一定是等腰三角形； ④若，则一定是锐角三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角即可判断①；利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可判断②；利用正弦定理与两角和的正弦公式化简已知等式即可判断③；利用余弦定理即可判断④． 【详解】对于①，由，由正弦定理可得， 即，所以，是以是等边三角形，故①正确； 对于②，由正弦定理可得，可得， 所以或， 所以或 所以是等腰或直角三角形，故②不正确； 对于③，因为， 由正弦定理可得，即， 由正弦定理可得，所以为等腰三角形，故③正确； 对于④，由正弦定理可得，所以角为锐角， 而角不一定是锐角，④不正确． 故选：B． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的幂运算的周期性可求得；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定义依次判断各个选项即可. 【详解】； 对于A，，A正确； 对于B，由虚部定义知：的虚部为，B错误； 对于C，为纯虚数，C正确； 对于D，由共轭复数定义知：，D正确. 故选：ACD. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算逐项判断. 【详解】对于A：，故A错误. 对于B：，因为，所以，故B正确； 对于C：，则，故C正确； 对于D：在上的投影向量是，故D正确. 故选：BCD. 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 若方程在上有且只有5个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可求得函数的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项. 【详解】对于A，由，得，即，又， ，故A正确； 对于C，又的图象过点，则，即， ，即得，，又，， 所以，故C正确； 对于B，因为，而， 故直线不是函数的对称轴，故B错误； 对于D，由，得， 解得或，， 方程在上有5个根，从小到大依次为：， 而第6个根为，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题得到，再整体代入化简即得解. 【详解】因为， 所以， 则． 故答案为 【点睛】本题主要考查差角的正切公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 13. 设非零向量，满足，，则与的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据，，求出，再根据与夹角的范围，即可求出. 【详解】解：， ， 又， 代入上式得：， 解得：， 又， . 故答案为：. 14. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若为直角三角形，则的面积为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理化简，再结合余弦定理即可求得，然后根据为直角三角形，分或，再由三角形的面积公式即可得到结果. 【详解】由正弦定理，可化为： ，即， 所以，，所以， 又为直角三角形， 若，则，，，， 若，则，，，． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据，利用两角差的余弦函数公式即可求解． （2）利用二倍角公式可求，的值，进而即可代入求解． 【详解】（1）因为， 所以 又因为， 所以 所以 （2）因为， 所以 所以 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想． 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解； （2）利用余弦定理及面积公式求出、，进而求得，即可求得周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 因为，所以，则， 则，又，所以． 【小问2详解】 由（1）知，又因为， 由余弦定理，得①，     由题意知，即②， 联立①②得，所以，故， 则的周长为. 17. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，许多地方的摩天轮已成为当地的地标性建筑，如天津永乐桥摩天轮号称天津之眼，深圳快乐港湾摩天轮是亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动后距离地面的高度为，转一周大约需要. （1）已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； （2）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【小问1详解】 由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 19. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延吉市第一高级中学2024-2025学年度下学期期中考试 高一数学 命题人：单巍 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 6. 已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标扩大为原来的倍，再把图象上所有的点向上平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的周期可以为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，则的形状为（ ）． A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 8. 已知的内角所对的边分别为，下列四个说法中正确个数是（ ） ①若，则一定是等边三角形； ②若，则一定是等腰三角形； ③若，则一定是等腰三角形； ④若，则一定是锐角三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 若方程在上有且只有5个根，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 13. 设非零向量，满足，，则与的夹角为________. 14. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若为直角三角形，则的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 17. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，许多地方的摩天轮已成为当地的地标性建筑，如天津永乐桥摩天轮号称天津之眼，深圳快乐港湾摩天轮是亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动后距离地面的高度为，转一周大约需要. （1）已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； （2）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 19. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $