精品解析：江西省宜春市高安市吴有训实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

初三数学随堂练 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 1. 方程(x－3)(x＋2)＝0的根是 ( ) A. x＝3 B. x＝2 C. x＝3，x＝－2 D. x＝－3，x＝2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个因式之积为零，则至少一个因式为零，即可求得方程的根． 【详解】∵(x－3)(x＋2)＝0 ∴x－3=0或x＋2＝0 ∴x＝3，x＝－2 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，当两个一次因式之积为零时，则至少一个因式为零，这是解题的关键． 2. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 3. 对于 的图像，下列叙述错误的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴为直线x＝﹣3 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当x＝3时，y有最小值-4 【答案】B 【解析】 【分析】将函数展开，化成二次函数的一般式确定二次函数的系数，二次函数的求根公式，顶点坐标的计算公式即可求解． 【详解】解：原函数式变形得， ，根据二次函数的一般式得 ， ， ， ∴ 选项，二次项系数是 ，大于零，开口向上，选项说法正确，不符合题意； 选项，对称轴为 ，选项说法错误，符合题意； 选项，二次函数的对称轴是 ，当时，函数值随自变量的增大而增大，选项说法正确，不符合题意； 选项，二次函数的对称轴是 ，当时，函数值取到最小值 ，选项说法正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，理解和掌握二次函数的性质是解题的关键． 4. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程有实数根，得到判别式，即可求解． 【详解】解：①当时，方程为，是一元一次方程， 解得，符合题意； ②当时，方程是一元二次方程， ∵于x的方程有实数根， ∴， ∴， 即， ∴， ∴方程为一元二次方程时，m的取值范围是且， 综上所述：m的取值范围是． 故选：A． 【点睛】本题考查根的判别式及一元二次方程的定义，根据方程有实数根进行分类讨论是解题的关键． 5. 一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 故选：B 6. 如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ） 0 3 4 0 A. 图象的开口向下 B. 有最小值 C. 图象与轴的一个交点是 D. 图象的对称轴是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，学会根据表格中的信息求得函数的解析式是解题的关键． 由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为（、、为常数，）， 由题意可知， 解得， 二次函数的解析式为 ， 函数的图象开口向上，顶点为，图象与轴的交点分别为和， 图象的对称轴是，函数有最小值， 选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 7. 已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 8. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24， ∴， 解得：． 故答案为：． 9. 二次函数中，当时，y的值是________． 【答案】0 【解析】 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把代入计算． 10. 已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则________（填“＞”或“＜”）； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设二人从出发到相遇用x个单位时间，则根据题意列方程为 ____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程、勾股定理的应用，由题意得出，，，，由勾股定理即可解答． 【详解】解：如图： 设二人从出发到相遇用x个单位时间， 由题意得：，，，， 由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：． 12. 如图，抛物线与轴交于点，点为，是抛物线上一点，且是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征、直角三角形的判定，解题的关键是理解点P为直线与抛物线的交点或点P为直线与抛物线的交点． 【详解】当时， ，则， 是以为直角边的直角三角形， 点P为直线与抛物线的交点或点P为直线与抛物线的交点， 当时， 解得：，  当时， 解得：， 点坐标为或或 ， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了用直接开平方法和公式法解一元二次方程． （1）用直接开平方法，即可求解； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 整理得：， 即， ∴． 【小问2详解】 整理得：， ， ∴， ∴，． 14. 已知﹣1是方程x2+ax﹣b=0的一个根，求a2﹣b2+2b的值． 【答案】1 【解析】 【分析】把x=-1代入方程,得a+b=1,再代入中即可. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴． ∴． ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程． 15. 小明同学解一元二次方程：的过程如下： 解：原方程可化简为： ① ∴ ② 解得： ③ （1）小明的求解过程从第　　　　步开始出现错误，错误的原因是　　　　　　　　； （2）写出这个方程的正确解答过程． 【答案】（1）②，如果则两边不能同时除以 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）依据等式的基本性质判断即可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：小明的解答过程是从第②步开始出错的，其错误原因是如果则两边不能同时除以， 故答案为：②，如果则两边不能同时除以； 【小问2详解】 解：， ∴， ， 则或， 解得，． 16. 已知：二次函数的图象经过点． （1）求b； （2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入函数解析式即可求； （2）利用配方法化成顶点式即可． 【小问1详解】 解：把点代入得，， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式和配方法，解题关键是熟练掌握待定系数法和配方法，准确进行计算． 17. 已知二次函数解析式为，若两点和都在该函数图像上，求m，n的值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据函数的对称轴求出的值，再将点代入函数解析式求得． 【详解】解：由对称性可知；对称轴为， 即， 解得：， 二次函数的解析式为， 在函数图像上， 【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是求得对称轴，此题难度不大． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分） 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求a的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，且，求a的值． 【答案】（1）； （2）a的值为1． 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围即可； （2）用两根的和与两根的积表示已知等式，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出a的值． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，即， 整理得：， 解得：； 【小问2详解】 解：∵该方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：，即， 解得：(舍去)或， 则a的值为1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识并灵活应用是解题的关键． 19. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． （2）已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【答案】（1）方程是“黄金方程”， 理由如下： ，，， ， 一元二次方程 是“黄金方程”； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，代入判断是否为0即可； （2）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，求出，的关系式，然后把化成，代入方程，得到关于的方程，进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 是关于的“黄金方程”， ，，， ， ， ， 原方程可化为， 是此方程的一个根， ，即， 解得或． 【点睛】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义． 20. 如图，二次函数经过，，三个点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】（1） （2）点D的坐标为时，的周长最小 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，最短路径问题，掌握两直线交点求法是求出点D的关键． （1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）与对称轴的交点即为点D，此时的周长最小． 【小问1详解】 解：将A、B两点代入二次函数， 得，即， 解得：，， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为， 如图，连接与对称轴交于点D， ∵，， ∴B、C关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵为定值， 此时的周长取得最小值，点D即为所求； 设直线解析式为， 将A、C两点代入得， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ∴当点D的坐标为时，的周长最小． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 已知二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）若在抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】（1） （2），，，； 【解析】 【分析】（1）将点，代入解析式求解即可得到答案； （2）根据面积列式求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：将点，代入得， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， 解得：，，，， ∴点的坐标为：，，，； 【点睛】本题考查求二次函数的解析式及二次函数上动点面积问题，解题的关键是根据面积列式求解． 22. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】（1）6m （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． 【小问2详解】 解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共计12分） 23. 为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． （1）（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； （2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） （3）【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值． 【答案】（1） 函数图象如图所示， ； （2）方案一：①；②；方案二：①；②； （3）a的值为或． 【解析】 【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可； （2）根据图形写出点或点B的坐标，再代入求解即可； （3）先求得，，的顶点坐标为，再求得顶点距线段的距离为，得到的顶点距线段的距离为，得到的顶点坐标为或，再分类求解即可． 【小问1详解】 解：描点，连线，函数图象如图所示， 观察图象知，函数为二次函数， 设抛物线的解析式为， 由题意得， 解得， ∴y与x的关系式为； 【小问2详解】 解：方案一：①∵，， ∴， 此时点的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； 方案二：①∵C点坐标为，，， ∴， 此时点B的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意和的对称轴为， 则，，的顶点坐标为， ∴顶点距线段的距离为， ∴的顶点距线段的距离为， ∴的顶点坐标为或， 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 综上，a的值为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学随堂练 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 1. 方程(x－3)(x＋2)＝0的根是 ( ) A. x＝3 B. x＝2 C. x＝3，x＝－2 D. x＝－3，x＝2 2. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 3. 对于 的图像，下列叙述错误的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴为直线x＝﹣3 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当x＝3时，y有最小值-4 4. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 5. 一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ） 0 3 4 0 A. 图象的开口向下 B. 有最小值 C. 图象与轴的一个交点是 D. 图象的对称轴是 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 7. 已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为_____． 8. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则______． 9. 二次函数中，当时，y的值是________． 10. 已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则________（填“＞”或“＜”）； 11. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设二人从出发到相遇用x个单位时间，则根据题意列方程为 ____________________ ． 12. 如图，抛物线与轴交于点，点为，是抛物线上一点，且是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知﹣1是方程x2+ax﹣b=0的一个根，求a2﹣b2+2b的值． 15. 小明同学解一元二次方程：的过程如下： 解：原方程可化简为： ① ∴ ② 解得： ③ （1）小明的求解过程从第　　　　步开始出现错误，错误的原因是　　　　　　　　； （2）写出这个方程的正确解答过程． 16. 已知：二次函数的图象经过点． （1）求b； （2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式． 17. 已知二次函数解析式为，若两点和都在该函数图像上，求m，n的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分） 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求a的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，且，求a的值． 19. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． （2）已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 20. 如图，二次函数经过，，三个点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 已知二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）若在抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 22. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少？ （2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共计12分） 23. 为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． （1）（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； （2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） （3）【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $