精品解析：陕西省榆林市子洲县周家硷中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024~2025学年度第一学期第二次阶段性作业九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如图是U型磁铁，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握从前面看到的图形是主视图是解题的关键．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解． 【详解】解：根据题意得：其主视图是， 故选：A． 2. 在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影形状不可能是（ ） A. 矩形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 圆 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行投影， 根据平行形的投影是平行或重合，即可得出几何图形，并逐个判断即可． 【详解】解：矩形框在水平地面上形成的投影形状可能是矩形，正方形，平行四边形，线段，所以不可能是圆． 故选：D． 3. 在一个不透明的袋子中放有10根笔，这些笔除颜色外完全相同，若每次把笔充分搅匀后，任意摸出一根笔记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到红笔的频率稳定在0.3，则这个袋子里红笔的数量约为（ ） A. 3 B. 6 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率， 设红笔的数量为x个，再根据多次试验的频率稳定在概率附近可得，求出解即可. 【详解】解：设红笔的数量为x个，根据题意，得 ， 解得. 所以这个袋子里红笔的数量为3个. 故选：A. 4. 一个几何体三视图如图所示，则这个几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由常见几何体的三视图即可判断． 详解：由三视图知这个几何体是三棱柱， 故选C． 点睛：本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握常见几何体的三视图． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似（点，，的对应点分别是点，，），原点是位似中心，若的面积为0.6，则的面积为（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 6 D. 5.4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，位似图形的定义， 先根据点的坐标求出位似比，可得相似比，再根据相似三角形的性质得出答案. 【详解】解：∵点， ∴， ∴. ∵和位似，且点O为位似中心， ∴位似比为， ∴和的相似比为， ∴. ∵， ∴. 故选：D. 6. 某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆1200人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1728人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及平均增长率问题，读懂题意，若进馆人次的月平均增长率为，由第一个月进馆1200人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1728人次，结合平均增长率问题的解法即可得到答案．熟练掌握平均增长率问题的求解方法是解决问题的关键． 【详解】解：若进馆人次的月平均增长率为， 第一个月进馆1200人次， 第二个月进馆人次为，则第三个月进馆人次为， 第三个月进馆1728人次， 则可列方程为， 故选：C． 7. 如图所示，由位似的正，正，正，…正组成的相似图形，点为位似中心，其中第一个的边长为1，点是的中点，是的中点，是的中点…是的中点，顶点，，…，和，，…，都在边上．则正的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查规律探索及位似图形的性质，理解题意，找出相应规律是解题关键 根据题意得出正的边长为，正的边长为，得出规律，即可求解． 【详解】解：∵点为位似中心，其中第一个的边长为1，点是的中点，是的中点， ∴正的边长为， 同理：正的边长为， ⋮ 正的边长是， 故选：B． 8. 对于关于的一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若关于的方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则； 其中所有正确说法的序号是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根， 将代入计算判断①；再根据方程有两个不相等的实数根可得，然后根据一元二次方程根的判别式解答②；接下来将代入方程可知，可解答③. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 所以①正确； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴. 方程中， ∴该方程有两个不相等的实数根. 所以②正确； 将代入方程， 可得， ∴. 所以③不正确. 正确的有①②. 故选：B. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 以下几种光线：①太阳光线；②台灯的光线；③手电筒的光线．其中可以形成平行投影的是________．（填序号） 【答案】① 【解析】 【分析】本题主要考查了平行投影和中心投影的定义，由平行光线所形成的投影称为平行投影；由中心放射状光线所形成的投影称为中心投影，据此可得答案． 【详解】解：太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线，故阳光线形成的投影为平行投影； 台灯、手电筒发出的光线是由点光源发出的光线，所形成的投影是中心投影； ∴可以形成平行投影的是太阳光线， 故答案为；①． 10. 如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若两个正方形在位似中心的异侧，则位似中心的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，． 故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 11. 平面直角坐标系内，一点光源位于处，线段CD⊥x轴，D为垂足，点C的坐标为，则CD在x轴上的影长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，连接AC并延长，交x轴与点E， ∵轴， ∴CD//OA， ∴， ∴， ∵点A（0，5），点C（3，1）， ∴，，， ∴， 解得，即CD在x轴上的影长为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系的知识以及相似三角形的判定与性质，解题关键是根据相似三角形的性质求解． 12. 如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，能根据相似得出比例式是解此题的关键．根据相似四边形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【详解】解：对折两次后得到的小矩形纸片的长为b，宽为， ∵小矩形纸片与原矩形纸片相似， ∴=， 又∵， ，即． 故答案： 13. 如图，PA＝，PB＝，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时，则PD的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质，然后利用勾股定理可得，最后根据三角形的三边关系即可得． 【详解】解：四边形是正方形， ， 则将绕点顺时针旋转得到，其中，点为点旋转后的对应点，点为点旋转后的对应点，连接，如图所示： 由旋转的性质得：， ， ， ，当且仅当点共线时，等号成立， 则的最大值为， 即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 用公式法解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程．根据一元二次方程的一般形式得到，，，计算得到，代入求根公式进行计算即可． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴， 解得，． 15. 如图为某几何体的示意图，请画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查三视图．根据三视图即可判断该几何体． 【详解】解：如图所示： ． 16. 两个相似三角形某一对应角的角平分线的比为，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小．求这两个三角形的周长． 【答案】这两个三角形周长为和 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，对应角的角平分线的比等于相似比求解即可． 【详解】解：设较小的三角形的周长为，则较大的三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的周长比为， ∴， 解得，则， 故这两个三角形的周长为和． 17. 如图，在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，相似三角形判定， 以点A为圆心以为半径画弧，同样以点B为圆心，以为半径画弧，再以点E为圆心以为半径画弧，交前弧于点H，作交于点D，则点D即为所求作的点.由，可得. 【详解】解：如图所示：点即为所求． 18. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质， 先根据正方形的性质得和都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得，，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 【详解】证明：∵，分别是正方形和正方形的对角线， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心、在第二象限内将放大为原来的2倍，得到（A，B，C点的对应点分别是，，），画出，并求出的值． 【答案】见解析， 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质及作图是解题的关键．根据原点为位似中心，在第二象限内将放大为原来的2倍，分别找出点，，，再依次连接，得出；根据位似图形的性质，位似图形的面积比等于位似比的平方，即得答案． 【详解】解：如图：即为所求； 与是位似图形， ，且相似比位， ． 20. 如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图，回答下列问题： （1）这个几何体是由圆柱和________________组成； （2）求这个几何体的体积（，结果保留，单位：cm） 【答案】（1）长方体 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，求圆柱的体积， 对于（1），观察三视图可知组合体上面是一个圆柱，下面是一个长方体； 对于（2），根据体积公式求解即可． 【小问1详解】 解：观察组合体上面是一个圆柱，下面是一个长方体. 故答案为：长方体； 【小问2详解】 解：该几何体上部分是一个圆柱，底面直径是、高是；下部分是一个长方体，长、宽、高分别是. ∴， ∴该几何体的体积为． 21. 西安地铁2号线是陕西省西安市第一条建成运营的地铁线路，是贯穿西安市区南北中轴线的核心线路．某周六上午，小敏和小颖两位学生志愿者要在常宁宫、韦曲南、航天城、凤栖原四个站点，各自随机选择一个站点开展志愿服务活动，其中每个站点被选择的可能性均相同． （1）小敏在航天城开展志愿服务活动的概率为____________； （2）请用画树状图或列表法，求小敏和小颖两人都没有选择在常宁宫开展志愿服务活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算公式及用画树状图或列表法求概率，熟练掌握用画树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）用概率的计算公式计算即可； （2）先画出树状图，再根据概率的计算公式计算即可． 【小问1详解】 解：小敏选择志愿服务活动的站点共有4种等可能结果,选择在航天城开展志愿服务活动只有一种结果,所以小敏在航天城开展志愿服务活动的概率为； 故答案为: ； 【小问2详解】 解：将常宁宫、韦曲南、航天城、凤栖原四个站点分别记为A，，，，根据题意画树状图如下： 共有16种等可能的结果，小敏和小颖两人都没有选择在常宁宫开展志愿服务活动的结果数为9种， 小敏和小颖两人都没有选择在常宁宫开展志愿服务活动的概率为． 22. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．物体的高为，实像的高为，物体与实像的距离为，点，，在一条直线上，，，均与垂直，求小孔到的距离． 【答案】小孔到的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明得到，则，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，，， ∵，均与垂直， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴小孔到的距离为． 23. 如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，． （1）求证：； （2）求的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长度为 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质，结合直角三角形两锐角互余及互余定义得到、，等量代换即可得到，结合“一线三垂直模型”，由两个三角形相似的判定即可得证； （2）由矩形性质，结合题意得到相关线段长度，再由（1）中，列比例式，代值求解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设， ，， ，， 由（1）知， ，即， 则，整理得， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的长度为． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定、矩形的判定、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟记矩形的判定与性质、掌握“一线三垂直模型”判定两个三角形相似是解决问题的关键． 24. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质以及矩形的判定方法证明即可． （2）由矩形的性质得出，利用勾股定理求出，再证明，由相似三角形的性质得出，进而可得出． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 25. 综合与实践． 现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱，在灯柱上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题： （1）已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子； （2）如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长为， 沿方向走到点 G， ， 此时影长为， 求路灯 P到地面的高度； 【答案】（1）见解析 （2）路灯P离地面的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用以及中心投影的性质： （1）利用中心投影的性质进而得出P点和H点位置； （2）利用相似三角形的判定与性质得出，同理可得，进而得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，点P、线段即为所求， 延长于点P，找到路灯 P 的位置，连接并延长，交射线于点H，即为人在路灯下的影子． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即 ① ∵， ∴， 即 ② 由①②得 解得 解得． 答：路灯P离地面的高度为． 26. 【问题探究】 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接、，求证：； 【拓展衍生】 （2）如图2，在矩形中，点为边上的一点，点为对角线上的一点，连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，求与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，矩形的性质， 对于（1），根据旋转的性质可得，再说明，然后根据“两边成比例夹角相等的两个三角形相似”得出结论； 对于（2），先根据矩形的性质得，进而得，再说， 可得，然后根据旋转的性质得，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 详解】（1）证明：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴由旋转性质，得，，， ∴， ∴， ∴， ∴. ∴； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即. ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期第二次阶段性作业九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如图是U型磁铁，其主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影形状不可能是（ ） A. 矩形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 圆 3. 在一个不透明的袋子中放有10根笔，这些笔除颜色外完全相同，若每次把笔充分搅匀后，任意摸出一根笔记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到红笔的频率稳定在0.3，则这个袋子里红笔的数量约为（ ） A. 3 B. 6 C. 5 D. 7 4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似（点，，的对应点分别是点，，），原点是位似中心，若的面积为0.6，则的面积为（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 6 D. 5.4 6. 某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆1200人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1728人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，由位似的正，正，正，…正组成的相似图形，点为位似中心，其中第一个的边长为1，点是的中点，是的中点，是的中点…是的中点，顶点，，…，和，，…，都在边上．则正的边长是（ ） A. B. C. D. 8. 对于关于的一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若关于的方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程一个根，则； 其中所有正确说法的序号是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 以下几种光线：①太阳光线；②台灯的光线；③手电筒的光线．其中可以形成平行投影的是________．（填序号） 10. 如图，在平面直角坐标系中，阴影所示两个正方形是位似图形，若两个正方形在位似中心的异侧，则位似中心的坐标为______． 11. 平面直角坐标系内，一点光源位于处，线段CD⊥x轴，D为垂足，点C的坐标为，则CD在x轴上的影长为______． 12. 如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则________． 13. 如图，PA＝，PB＝，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时，则PD的最大值为_________． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 用公式法解方程． 15. 如图为某几何体的示意图，请画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． 16. 两个相似三角形某一对应角角平分线的比为，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小．求这两个三角形的周长． 17. 如图，在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心、在第二象限内将放大为原来的2倍，得到（A，B，C点的对应点分别是，，），画出，并求出的值． 20. 如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图，回答下列问题： （1）这个几何体是由圆柱和________________组成； （2）求这个几何体的体积（，结果保留，单位：cm） 21. 西安地铁2号线是陕西省西安市第一条建成运营的地铁线路，是贯穿西安市区南北中轴线的核心线路．某周六上午，小敏和小颖两位学生志愿者要在常宁宫、韦曲南、航天城、凤栖原四个站点，各自随机选择一个站点开展志愿服务活动，其中每个站点被选择的可能性均相同． （1）小敏在航天城开展志愿服务活动的概率为____________； （2）请用画树状图或列表法，求小敏和小颖两人都没有选择在常宁宫开展志愿服务活动的概率． 22. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．物体的高为，实像的高为，物体与实像的距离为，点，，在一条直线上，，，均与垂直，求小孔到的距离． 23. 如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，． （1）求证：； （2）求长度． 24. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 25. 综合与实践． 现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱，在灯柱上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题： （1）已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子； （2）如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长为， 沿方向走到点 G， ， 此时影长为， 求路灯 P到地面的高度； 26. 【问题探究】 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接、，求证：； 拓展衍生】 （2）如图2，在矩形中，点为边上的一点，点为对角线上的一点，连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，求与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$