精品解析：2025年广东省清远市清城区中考一模数学试题

2025年清城区初中学业水平模拟考试（一） 数学 全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 说明： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，若零上记作，则零下记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图是如图的是（ ） A. B. C. D. 3. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》吸引了大量观众走进影院，截至2025年3月6日，累计观影人次已突破300000000．数据300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球 7. 将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为（ ） A. B. C. D. 10. 规定：对于任意实数、、，有，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 图1窗棂的外边框为正六边形（图2），则该正六边形每个外角的度数为_____． 13. 关于的一元二次方程的两根之和为_____． 14. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交BC于点F．若，则的长为______． 15. 如图，AB为半圆O的直径，AB＝8，半圆O绕OB的中点C顺时针旋转90°，直径A'B'与AB交于点D，连接BB'，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮直径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，求此时坐垫到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，）． 18. 如图，已知经过，，三点，点在边上，，． （1）实践与操作：求作；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） （2）应用与证明：证明是的切线． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. DeepSeek的问世吸引了无数人的目光，DeepSeek人工智能使用的时候，问题表述越精准，答案也越准确．为了解学生的提问水平，从某校七、八年级中各随机抽取10名学生进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分以及分析： 【收集数据】 七年级10名学生的提问水平成绩是：78，84，85，86，86，88，89，92，95，97 八年级10名学生的提问水平成绩是：86，74，90，64，96，97，90，95，90，98 【整理数据】 A：，B：，C：，D：．（x为学生成绩） 【分析数据】 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 88 88 中位数 87 b 众数 a 90 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 【解决问题】 （1）a＝______，b＝______，扇形统计图中，D所对应圆心角度数为______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级提问水平更强？请说明理由． 20. 材料题 生活中的数学：确定租车方案 信息一 出租车公司有A、B两种车型可供选择，下表为该公司租车记录单的部分信息： 记录单 租用A型客车数量/辆 租用B型客车数量/辆 租金总费用/元 记录单1 1 1 1200 记录单2 3 2 2800 信息二 载客量：A型客车每辆有30个座位，B型客车每辆有50个座位． 任务一 （1）根据该公司租车记录单上的信息，确定A、B两种型号客车每辆的租金分别是多少元？ 任务二 （2）已知七年级师生共460人前往某教育基地研学，决定租用A，B两种型号客车共10辆作为交通工具（可以有空的位置，但确保每个人都有位置坐），请你设计出一种最省钱的租车方案． 21. 综合与实践 【主题】什么形状的车轮让车辆行驶更平稳 【素材】三种形状的车轮，圆形车轮、正方形车轮、等边三角形车轮 【实践操作】分别将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动，车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． （1）如图1，若圆形车轮直径为，其车轮轴心O到地面的距离始终为______； （2）如图2，正方形车轮在滚动过程中轴心（对角线交点）到地面的距离不断变化，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为_____； （3）如图3，等边三角形车轮在滚动过程中轴心（三边垂直平分线的交点）到地面的距离不断变化，若等边三角形边长为，该车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 数学活动课上，某学习小组正在利用等腰直角三角形开展研究． 【初步探索】（1）已知和是两个全等的等腰直角三角形，且，，将固定不动，把的顶点F与A重合． ①如图1，与重合，则阴影部分的面积与的面积比为____； ②如图2，将绕点A旋转（始终在内部），线段分别与交于点M、N，在旋转过程中，是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（2）如图3，在矩形中，点E，F分别在边上，，求的长． 23. 【问题背景】 矩形中，，分别以所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． 【构建联系】 （1）请连接，则＝______，＝______，与的位置关系为______； （2）当k为何值时，以为直径的圆与相切； 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，点P为线段上一动点（包含端点），连接，以线段为边，在所在的直线的右上方作等边，当动点P从点F运动到点C时，点Q也随之运动，请求出点E到点Q运动路径的最短距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年清城区初中学业水平模拟考试（一） 数学 全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 说明： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，若零上记作，则零下记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相反意义的量．根据相反意义的量，解答即可． 【详解】解：零上记作，则零下记作， 故选：B 2. 下列几何体中，主视图是如图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．根据主视图是从正面看到的图形分析即可． 【详解】解：A．主视图是等腰三角形，不符合题意； B．主视图是共底边的两个等腰三角形，故不符合题意； C．主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故符合题意； D．主视图是有公共边的两个等腰三角形，故不符合题意； 故选：C． 3. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》吸引了大量观众走进影院，截至2025年3月6日，累计观影人次已突破300000000．数据300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图，在中，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴, ∵， ∴． 故选：C． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了积的乘方，合并同类项，完全平方公式，同底数幂相除．根据积的乘方，合并同类项，完全平方公式，同底数幂相除，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 6. 一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题关键．分别求出摸出四种颜色球的概率，即可得到答案． 【详解】解：A、摸出白球的概率为，不符合题意； B、摸出红球，符合题意； C、摸出绿球，不符合题意； D、摸出黑球，不符合题意； 故选：B． 7. 将一台带有保护套的平板电脑按题图1的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如题7图2所示．经测量．若移动支点的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形定义，根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解：是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选：C． 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了求不等式组的解集．分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 把不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：C 9. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为． 故选：C． 10. 规定：对于任意实数、、，有，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解中提公因式法是解题的关键，将公因式为提出分解因式即可得到答案． 【详解】解：. 故答案为：． 12. 图1窗棂的外边框为正六边形（图2），则该正六边形每个外角的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查多边形外角和，正多边形的性质．掌握n边形外角和为和正多边形的每个外角都相等是解题关键．根据n边形外角和为，再除以6即可． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴正六边形的每个外角为． 故答案为：． 13. 关于的一元二次方程的两根之和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握．利用根与系数的关系进行求值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交BC于点F．若，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．结合平行四边形的性质以及点E为的中点证明，再证明，由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线，相交于点O， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，AB为半圆O的直径，AB＝8，半圆O绕OB的中点C顺时针旋转90°，直径A'B'与AB交于点D，连接BB'，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出△BCB’的面积，再利用扇形面积减去三角形的面积，故可求解． 【详解】解：如图，∵半圆O绕OB的中点C顺时针旋转90°，故∠BCD=90°， ∵C点是OB中点， ∴BC===2=B’C， ∴S△BCB’=， 如图，连接OD， ∵OC==， ∴∠CDO=30°， ∴∠DOC=90°-∠CDO=60°， ∴CD= S弓形BCD=S扇形BOD-S△COD=， ∴图中阴影部分的面积为S△BCB’+S弓形BCD=2+=， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用平方根、负整数指数幂、零指数幂进行计算即可． 【详解】解： 17. 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮直径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，求此时坐垫到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出适当的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键；作于H，作地面于P，利用三角函数求出即可． 【详解】解：如图，作于H，作地面于P， 由题知，， ∴， ∴坐垫C离地面高度约为． 18. 如图，已知经过，，三点，点在边上，，． （1）实践与操作：求作；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） （2）应用与证明：证明是的切线． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）证明：连接， 如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得是的直径，作线段的垂直平分，交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，即可求解； （2）连接，根据题意可得，再由，可得，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. DeepSeek的问世吸引了无数人的目光，DeepSeek人工智能使用的时候，问题表述越精准，答案也越准确．为了解学生的提问水平，从某校七、八年级中各随机抽取10名学生进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分以及分析： 【收集数据】 七年级10名学生的提问水平成绩是：78，84，85，86，86，88，89，92，95，97 八年级10名学生的提问水平成绩是：86，74，90，64，96，97，90，95，90，98 【整理数据】 A：，B：，C：，D：．（x为学生成绩） 【分析数据】 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 88 88 中位数 87 b 众数 a 90 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 【解决问题】 （1）a＝______，b＝______，扇形统计图中，D所对应圆心角度数为______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级提问水平更强？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：八年级学生提问水平更强， 理由：虽然七、八年级的平均分均为88分，但八年级的中位数和众数都高于七年级．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）根据中位数和众数的定义、扇形圆心角的求法即可得到结论； （2）根据八年级的中位数和众数都高于七年级即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵在七年级10名学生提问水平成绩中86出现的次数最多，共出现2次， ， 八年级10名学生的提问水平成绩从小到大排列为： 64，74，86，90，90，90，95，96，97， 98 ∵八年级10名学生的提问水平成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数， ， D所对应圆心角度数为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 20. 材料题 生活中的数学：确定租车方案 信息一 出租车公司有A、B两种车型可供选择，下表为该公司租车记录单的部分信息： 记录单 租用A型客车数量/辆 租用B型客车数量/辆 租金总费用/元 记录单1 1 1 1200 记录单2 3 2 2800 信息二 载客量：A型客车每辆有30个座位，B型客车每辆有50个座位． 任务一 （1）根据该公司租车记录单上的信息，确定A、B两种型号客车每辆的租金分别是多少元？ 任务二 （2）已知七年级师生共460人前往某教育基地研学，决定租用A，B两种型号客车共10辆作为交通工具（可以有空的位置，但确保每个人都有位置坐），请你设计出一种最省钱的租车方案． 【答案】任务一：每辆种型号客车的租金是400元，每辆种型号客车的租金是800元；任务二：租用2辆种型号客车，8辆种型号客车，最省钱 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． 任务一：设每辆A种型号客车的租金是x元，每辆B种型号客车的租金是y元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务二：设租用辆种型号客车，则租用种型号客车辆，根据租用的客车可以有空的位置，但确保每个人都有位置坐，列出一元一次不等式，结合m为非负整数，即可得出各租车方案，再分别计算租金比较即可． 【详解】解：任务一，设每辆种型号客车的租金是元，每辆种型号客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆种型号客车的租金是400元，每辆种型号客车的租金是800元． 任务二，设租用辆种型号客车，则租用种型号客车辆， 根据题意得：， ， 又为非负整数， 或或 共有3种租车方案， 方案1：租用2辆种型号客车，8辆种型号客车，租金为：（元）； 方案2：租用1辆种型号客车，9辆种型号客车，租金为：（元）； 方案3：租用0辆种型号客车，10辆种型号客车，租金为：（元）； ∵， ∴租用2辆种型号客车，8辆种型号客车，最省钱． 21. 综合与实践 【主题】什么形状的车轮让车辆行驶更平稳 【素材】三种形状的车轮，圆形车轮、正方形车轮、等边三角形车轮 【实践操作】分别将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动，车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． （1）如图1，若圆形车轮直径为，其车轮轴心O到地面的距离始终为______； （2）如图2，正方形车轮在滚动过程中轴心（对角线交点）到地面的距离不断变化，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为_____； （3）如图3，等边三角形车轮在滚动过程中轴心（三边垂直平分线的交点）到地面的距离不断变化，若等边三角形边长为，该车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆的有关性质解答即可得到答案； （2）利用正方形的性质，轴心的运动轨迹的特征解答即可得到答案； （3）由题意画出符合题意的图形，类比得到点的轨迹，再利用等边三角形性质、含直角三角形性质，解直角三角形求出相关线段长，再由圆的弧长公式解答即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接并延长交于点，如图所示： 车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变， 中轴心到地面的距离为． 圆形车轮在滚动过程中，车轮轴心O到地面的距离始终不变等于圆的半径， 车轮轴心O到地面的距离始终为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作于点，以点为圆心，为半径画弧交正方形的边于点，如图所示： 为正方形的中心，， 圆心距离地面的最低距离为， 由题意知，在等腰中，， 点的移动轨迹为以点为圆心，为半径的弧， 点为车轮轴心距离地面的最高点， ， 车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：连接、，过点作于点，如图所示： 为等边三角形的中心， ， 为等边三角形的中心， ． ， ， ， 由等边三角形边长为，可知， ， 的长， 车轮在地面上无滑动地滚动一周，点经过的路径长为． 【点睛】本题主要考查综合与实践，涉及圆的有关性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形性质、含直角三角形性质、解直角三角形及弧长公式，本题是探究型题目，熟练掌握上述几何图形的性质是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 数学活动课上，某学习小组正在利用等腰直角三角形开展研究． 【初步探索】（1）已知和是两个全等的等腰直角三角形，且，，将固定不动，把的顶点F与A重合． ①如图1，与重合，则阴影部分的面积与的面积比为____； ②如图2，将绕点A旋转（始终在内部），线段分别与交于点M、N，在旋转过程中，是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（2）如图3，在矩形中，点E，F分别在边上，，求的长． 【答案】（1）①； ②成立． 如图，将绕点A顺时针旋转至位置，则，，，旋转角．连接， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意易证，推出，易证，推出，进而得到，即可解答；②将绕点A顺时针旋转至位置，则，，，旋转角．连接，证明，推出．结合，利用勾股定理得到，即； （2）分别延长至，使得，连接，得出四边形是正方形，延长交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，则，证明得出，设，在中，，即可求解． 【详解】（1）①解：∵和是两个全等的等腰直角三角形，且，， ∴，， ∵与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵阴影部分面积为， ∴阴影部分的面积与的面积比为； ②略 （2）解：如图所示，分别延长至，使得，连接， ∵ ∴， 又∵四边形是矩形 则 ∴四边形是正方形， 延长交于点，连接， ∵，， ∴ ∴ ∴， 将绕点顺时针旋转得到，则， 同（1）②可得 ∴ 设，则，， 在中， 即 解得： ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 【问题背景】 矩形中，，分别以所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． 【构建联系】 （1）请连接，则＝______，＝______，与的位置关系为______； （2）当k为何值时，以为直径的圆与相切； 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，点P为线段上一动点（包含端点），连接，以线段为边，在所在的直线的右上方作等边，当动点P从点F运动到点C时，点Q也随之运动，请求出点E到点Q运动路径的最短距离． 【答案】（1）2，2，；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）连接，由题意设点，得出，进一步得出，并根据三角函数定义得出，进一步分析即可得出答案； （2）由题意分别过的中点，即圆心，以及点作,分别交于点，在中，由勾股定理得，并根据，列出，从而得出答案； （3）由题意将绕点逆时针旋转得到，所在直线为点Q的运动路径，由点到直线的垂线段最短可得，点E到点Q运动路径的最短距离为的长度，随后进行分析求解即可． 【详解】解：（1）连接，由题意设点， 点F在反比例函数上， ∴， 四边形是矩形， ∴， ， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2，2，； （2）如图当以为直径的圆与相切，分别过的中点，即圆心，以及点作，分别交于点， 由切线性质可得以为直径的圆与相切时，， 由（1）设点，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ,， ， ， ， ， ，解得， ，以为直径的圆与相切； （3）由题意将绕点逆时针旋转得到，如图， 可知动点P从点F运动到点C时，点Q从点运动到点， 即所在直线为点Q的运动路径，由点到直线的垂线段最短可得， 点E到点Q运动路径的最短距离为的长度， 由（2）知， 即点E到点Q运动路径的最短距离为． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合应用，涉及到圆的切线性质以及锐角三角函数的应用以及勾股定理和全等三角形的旋转应用．考查学生对相关知识的综合应用能力，特别是最后一问，学生还需要掌握主从联动点的相关解题思路，整体难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $