精品解析：陕西省西安市高新区第三初级中学博雅班2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学试题 一、选择题（每题3分） 1. 砝码是测量物体质量时使用的实物量具．下列各种砝码中，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三视图的知识，解题的关键是根据主视图和左视图的定义，发挥空间想象能力选出正确的选项．分别求出对应几何体的主视图和左视图即可得到答案． 【详解】解：根据从正面看到的图形和从左面看的图形相同的只有选项A符合， 故选：A． 2. 关于x的一元二次方程有实数根，则a满足（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键，当时，，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，且，求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故选：B． 3. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中不等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 利用锐角三角函数定义判断即可． 【详解】解：在中， ， 在中， ， ∵ ， ， ， 在中，， 故选：D． 4. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ） A. 40° B. 30° C. 15° D. 10° 【答案】D 【解析】 【分析】连接AD，根据圆周角、弧的关系得到∠DAC=40°，根据直角三角形的两锐角互余得到∠DAB=50°，再根据角的和差即可得解． 【详解】解：连接AD， ∵D是 的中点， ∴ ＝ ， ∴∠DBA＝∠DAC， ∵∠DBA＝40°， ∴∠DAC＝40°， ∵AB是直径， ∴∠D＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∴∠DAB＝50°， ∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝10°， 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 5. 点，，都在反比例函数的图象上，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的自变量的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二、四象限，且在每一个象限内随着的增大而增大， ∵点，，都在反比例函数图象上，且， ∴； 故选D． 6. 把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（　　） A. :1 B. 4:1 C. 3:1 D. 2:1 【答案】A 【解析】 【分析】设原矩形的长为2a，宽为b，对折后所得的矩形与原矩形相似，则 【详解】 设原矩形的长为2a，宽为b， 则对折后的矩形的长为b，宽为a， ∵对折后所得的矩形与原矩形相似， ∴， ∴大矩形与小矩形的相似比是：1； 故选A． 【点睛】理解好：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比. 7. 如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD=30º，∠BEC=90º，EF=4cm，则矩形的面积为( )cm2． A. 16 B. C. D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由是的中点，求解 再证明为等边三角形，可得 再利用的余弦求解 从而可得答案． 【详解】解：是的中点， 矩形 为等边三角形， 故选： 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 8. 二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断； ②将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合当时，对应的函数值，即可表示出m+n的取值范围； ③根据点（1，2）与当时，对应的函数值可知方程的正实数根在1和2之间，结合抛物线的对称性即可求出方程的负实数根的取值范围； ④分类讨论，当在抛物线的右侧时，的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有，求出对应的t即可；当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，求出对应的t即可. 【详解】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得：，则a、b互为相反数，∴，故①错误； ②∵a、b互为相反数， ∴将x=-1与x=2代入解析式得：， 则：， ∵当时，对应的函数值， ∴得：，即：， ∴. 故②正确； ③∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值， ∴方程的正实数根在1和 之间， ∵抛物线过点（0，2）与点（1，2）， ∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线， ∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间. 故③正确； ④∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值， ∴可以判断抛物线开口向下， ∵在抛物线的右侧时，恒在抛物线的右侧，此时恒成立， ∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时； ∵当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，即当时，满足， ∴当时，解得，即与在抛物线的异侧时满足，， ∴综上当时，. 故④错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题. 二、填空题（每题3分） 9. 已知函数，若，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据y值可确定x的取值范围，根据x的取值范围结合函数关系式列方程求出x的值即可得答案． 【详解】∵0≤x＜1时，0≤x2＜1，， ∴y=2时，x≥1， ∴2x-2=2， 解得：x=2， 故答案为：2 【点睛】本题考查函数值，根据y值结合各函数关系式得出对应的x的取值范围是解题关键． 10. 如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b，表示出BE，再根据正方形的性质表示出CF，然后相比计算即可得解． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b， 则BE＝a﹣b， ∵正方形AEFG的顶点E， ∴AF平分∠BAD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CA平分∠BAD， ∴点F在正方形ABCD的对角线上， ∵G在正方形ABCD的边AB，AD上， ∴CF＝， ∴BE：CF＝（a﹣b）：（）＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线与边长的关系，难点在于判断出点F在正方形ABCD的对角线上． 11. 在中，，，，则的长为________． 【答案】15或9 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，． 【详解】解：如图，当点D在线段上时，作，锐角中，，，， 在中，，， ，， 在中，由勾股定理得， ， 的长为； 如图：当点D在线段延长线上时，钝角中，，，， 在中，，，， 则，， 在中，由勾股定理得， ， 的长为． 故答案为：15或9． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键． 如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解； 【详解】解：如图，过点作轴于点． ∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴， 设，则， 由对称可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵点C的对应点D落在该反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，点D是上一点，，，，则________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、外角的性质、等腰三角形的性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题关键是构造出相似三角形． 本题先构造一个等腰三角形，利用两角分别相等的两个三角形相似得出，进一步得出，利用勾股定理，在两个不同的直角三角形中分别表示，从而建立一元二次方程求解，最后再次利用勾股定理即可完成最后结论． 【详解】解：如图，延长至E，使， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 设， ∴ 在中， 在中，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：20． 三、解答题（共81分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值的化简、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据特殊角的三角函数值、绝对值的代数意义、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 15. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 16. 如图，在中，．用尺规过点作直线与交于点，使得（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 如图所示， ， 【解析】 【分析】本题考查作一个角等于已知角，三角形相似判定与性质，掌握作一个角等于已知角的方法与步骤是解题关键． 利用作一个角等于已知角方法：作，利用相似三角形的判定定理即可判定． 【详解】解：过点以任意长为半径画弧交角的两边分别为、，再以点D为圆心以长为半径画弧交于，再以点为圆心，长为半径画弧交前弧于，则，过点D作射线交于点E， ， ． 17. 如图，矩形的对角线，交于点，且，，连接．求证：． 【答案】 证明：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平行四边形是菱形， ． 【解析】 【分析】先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据矩形的性质可得，然后根据菱形的判定与性质即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 18. 如图．是的高，，点R在边上，点S在边上，，垂足为E．当时，求的长． 【答案】当时，． 【解析】 【分析】根据AD⊥BC，SR⊥AD可得出SR∥BC，故△ASR∽△ABC，再由相似三角形的性质可得出AE的长，进而可得出结论． 【详解】∵， ∴//． ∴． ∴ ， ， ， ， 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键． 19. 某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率为，利用该单位4月份纸的用纸量该单位2月份纸的用纸量从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率为， 根据题意得：， ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该单位纸的用纸量月平均降低率为． 20. 只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”.如20=3+17. （1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ； （2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率. 【答案】（1）；（2）抽到两个素数之和等于30的概率是 【解析】 【分析】(1)四个数中，抽到7只有一种可能，根据概率公式直接计算即可得； (2)画树状图得到所有等可能的情况，然后再从中找出符合条件的结果数，利用概率公式进行计算即可. 【详解】(1)总共有四个数，7是其中的一个数， 所以从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，抽到的数是7的概率是1÷4=， 故答案为； (2)画树状图如图所示： 共有12各等可能的结果，其中抽到两个数的和为30的有4种可能， ∴抽到两个素数之和等于30的概率是4÷12=. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直． （1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长； （2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？ （参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果精确到个位） 【答案】（1）55；（2）不符合要求． 【解析】 【分析】（1）Rt△ABC中利用三角函数即可直接求解； （2）延长FE交DG于点I，利用三角函数求得∠DEI即可求得β的值，从而作出判断． 【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，tanA=， ∴AB===55（cm）； （2）延长FE交DG于点I． 则DI=DG﹣FH=100﹣72=28（cm）． 在Rt△DEI中，sin∠DEI=， ∴∠DEI=69°， ∴∠β=180°﹣69°=111°≠100°， ∴此时β不是符合科学要求的100°． 考点：解直角三角形的应用 22. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式； （2）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀． 【答案】（1） （2）能达到优秀 【解析】 【分析】（1）由图中信息可设抛物线解析式为，然后把点代入求解即可； （2）当时，则有，求解即可得到点C的坐标，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：依题意，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 由抛物线过点，有， 解得， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，得， 解得，（C在x正半轴，故舍去）， ∴ 点的坐标为（，）， ∴ ， 由，可得， ∴ 小明此次试投的成绩达到优秀． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是由题中信息得出抛物线的解析式． 23. 医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重(单位：)与脉搏率(单位：次/)存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点图，图2画出了与 的散点图是一种运算，如 ，) 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重(单位∶ ) 脉搏率(单位∶ 次/) 借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率与体重的立方根近似成反比例函数，数据处理后与近似成一次函数． （1）根据原始数据可建立模型：，则当增大时，如何变化？ （2）根据处理后数据可建立模型：，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出的值．(参考数据： ，；) 【答案】（1）当增大时，变小 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用； （1）根据反比例函数的性质，即可求解； （2）取表1中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求得和的值，即可求得相应的函数解析式． 【小问1详解】 解：，则当增大时，变小 【小问2详解】 解：由题意得：． ∵，；， ∴． 解得： 24. 如图，中，，以为直径的分别交，于点E，D，连接，． （1）求证； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是直径 ∴， ∵， ∴ ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可； （2）先由等腰三角形三线合一的性质得出长度，再由勾股定理得出长度，再利用求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ， 解得，． 25. 如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点仅在线段上运动，如图．求线段的最大值； 若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把点、代入中求出，的值即可； （2）由点得，，从而得，化为顶点式，根据二次函数的图象与性质即可得到结论； 易得到，则分为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入中，得 ， 解得， ； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 把，代入得， ，解得， ． 点是轴上的一动点，且轴， ，， ． ， 抛物线开口向下． 又点在线段上运动， ， ， 当时，有最大值； 轴， 轴，即， 、是以、为顶点的菱形的边； 如图所示，当为对角线时，      ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 轴， 轴，即轴， 点与点关于抛物线对称轴对称， ， 对称轴为直线， 点的坐标为， ， ， ； 如图所示，当为边时，则，      ，，， ，， ， 解得或（舍去）， ， ， ； 如图所示，当为边时，则，      同理可得， ， 解得或（舍去）， ， ， ； 如图所示，当为边时，则， 同理可得， 解得（舍去）或（舍去）； 如图所示，当为对角线时， ， ， ， x， 轴， 轴，这与题意相矛盾， 此种情形不存在； 如图所示，当为对角线时，设，交于， 轴， ， ， ，这与三角形内角和为度矛盾， 此种情况不存在； 综上所述，存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在菱形中，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________． 【问题解决】 （2）如图，五边形是某工厂园区的平面图，点、点分别是生产车间和办公楼．已知，米，米，米，米．现要在矩形区域内修一个处理站（不考虑处理站的面积），处理工业废水和生活废水，同时要在园区内修建3条地下管道，，将废水输送到处理站．根据园区的自然环境和实际需求，要求米，，且，因处理站具有一定的污染性，因此需建在离办公楼尽可能远的区域，当处理站到办公楼的距离最大时，连接，求此时处理站到园区大门（点）的距离以及． 【答案】（1）；（2）处理站到园区大门（点）的距离为米， 【解析】 【分析】（1）过点M作交延长线于E，连接，利用菱形的性质得到，则可得到，求出，再解直角三角形求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，则当三点共线时，有最小值，最小值为； （2）过点B作直线的垂线，垂足为G，解直角三角形得到，则可得到，即点G与点N重合，；作，使得米，连接，求出米，可证明，进而可证明，得到，则米，进而推出点M在以O为圆心，半径为500米的圆上运动，则当三点共线，且点O在线段上时，有最大值；设最大时，交于T，连接，过点M作于X，由矩形的性质得到米，，米，再证明四边形是矩形，得到米，，米进而求出米，米，由勾股定理得米，米，再用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，过点M作交延长线于E，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为； （2）∵， ∴； 如图所示，过点B作直线的垂线，垂足为G， ∵， ∴， ∴，即点G与点N重合， ∴； 如图所示，作，使得米，连接， ∵米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴米， ∴点M在以O为圆心，半径为500米的圆上运动， ∴当三点共线，且点O在线段上时，有最大值， 如图所示，设最大时，交于T，连接，过点M作于X， ∵四边形是矩形， ∴米，，米， ∴米， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米，，米， ∴米，米， 在中，由勾股定理得米； 在中，又勾股定理得米， ∵， ∴米， ∴． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，菱形与折叠问题，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（每题3分） 1. 砝码是测量物体质量时使用的实物量具．下列各种砝码中，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程有实数根，则a满足（ ） A. 且 B. 且 C. D. 3. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中不等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ） A. 40° B. 30° C. 15° D. 10° 5. 点，，都在反比例函数的图象上，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（　　） A. :1 B. 4:1 C. 3:1 D. 2:1 7. 如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD=30º，∠BEC=90º，EF=4cm，则矩形的面积为( )cm2． A. 16 B. C. D. 32 8. 二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题（每题3分） 9. 已知函数，若，则_________． 10. 如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为_____． 11. 在中，，，，则的长为________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____． 13. 如图，在中，，点D是上一点，，，，则________． 三、解答题（共81分） 14. 计算：． 15. 解方程：． 16. 如图，在中，．用尺规过点作直线与交于点，使得（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹）． 17. 如图，矩形的对角线，交于点，且，，连接．求证：． 18. 如图．是的高，，点R在边上，点S在边上，，垂足为E．当时，求的长． 19. 某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率． 20. 只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”.如20=3+17. （1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ； （2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率. 21. 如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直． （1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长； （2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？ （参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果精确到个位） 22. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式； （2）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀． 23. 医学研究发现，睡眠中恒温动物的体重(单位：)与脉搏率(单位：次/)存在一定的关系．如表给出一些恒温动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了脉搏率f与体重m的散点图，图2画出了与 的散点图是一种运算，如 ，) 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重(单位∶ ) 脉搏率(单位∶ 次/) 借助计算机进行模拟，发现原始数据脉搏率与体重的立方根近似成反比例函数，数据处理后与近似成一次函数． （1）根据原始数据可建立模型：，则当增大时，如何变化？ （2）根据处理后数据可建立模型：，利用豚鼠和兔的体重、脉搏率求出的值．(参考数据： ，；) 24. 如图，中，，以为直径的分别交，于点E，D，连接，． （1）求证； （2）若，，求的长． 25. 如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点仅在线段上运动，如图．求线段的最大值； 若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在菱形中，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________． 【问题解决】 （2）如图，五边形是某工厂园区的平面图，点、点分别是生产车间和办公楼．已知，米，米，米，米．现要在矩形区域内修一个处理站（不考虑处理站的面积），处理工业废水和生活废水，同时要在园区内修建3条地下管道，，将废水输送到处理站．根据园区的自然环境和实际需求，要求米，，且，因处理站具有一定的污染性，因此需建在离办公楼尽可能远的区域，当处理站到办公楼的距离最大时，连接，求此时处理站到园区大门（点）的距离以及． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $