精品解析：广东省汕头市金平区汕头市汕樟中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

汕樟中学2024—2025学年度第二学期 八年级数学科素养训练卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，故A符合题意； B、，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故B不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故C不符合题意； D、，被开方数含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列运算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项计算正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键． 3. E，F，G，H分别为矩形ABCD四边的中点，则四边形EFGH一定是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 非特殊的平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形判定条件即可求出结果. 【详解】如图, 连结AC,BD. 、H、F、G分别是AB、AD、BC、DC中点, , . 四边形EFGH是菱形; 所以B选项是正确的. 【点睛】本题主要考查菱形的判定条件，熟悉掌握是关键. 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 5. 下列命题的逆命题成立的是（　　）． A. 全等三角形的对应角相等 B. 若三角形的三边满足（c最大），则该三角形是直角三角形 C. 对顶角相等 D. 同位角互补，两直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据全等三角形的性质、勾股定理、对顶角的定义、平行线的性质进行判断即可． 【详解】A、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题； B、若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形的逆命题为若a、b、c为直角三角形的三边，则满足，此逆命题为真命题； C、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题； D、两条直线平行，同位角互补的逆命题为同位角互补，两条直线平行，此逆命题为假命题． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理、逆命题等知识，判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 6. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理可求出半径，根据圆的性质，即可得出点A表示的数． 【详解】由勾股定理，得斜边的长为， 由圆的性质，得点A表示的数为， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出斜边的长是解题关键． 7. 如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点A，B，C是展开后小正方形的顶点，连接AB，BC，则∠ABC的大小是（　　） A. 60° B. 50° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC，由图可知∠ACB=90°，简单计算即可发现AC=BC. 【详解】解：连接AC，由图可知∠ACB=90°，由勾股定理可得AC=BC=，则△ACB是一个直角等腰三角形，则∠ABC=45°， 故选择C. 【点睛】连接AC并发现△ACB是一个直角等腰三角形是解题关键. 8. 矩形中，，，分别平分，，交于点E，F，射线，交于点G，若，则的长是（ ） A. 6或7 B. 8或9 C. 7或9 D. 6或9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．先证，同理，，则，再分两种情况，当点G在矩形内部时，当点G在矩形外部时，画出图形，分别求出AB的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 分两种情况： ①当点G在矩形内部时，如图所示： 则， 即， 解得：， ∴； ②当点G在矩形外部时，如图所示： 则， ∴， ∴； 综上所述，的长为7或9， 故选：C． 9. 将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图所示的方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则的长是（ ）． A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论． 【详解】解：如图，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的判定等，由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点与点重合时，的最大值为4 ，则长度的最大值为2．据此可判断③；根据，据此可判断④． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故①正确； ②由①可知，四边形是矩形， ∴， ∵O，F分别是，的中点，点在上， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴点E是的中点，故②正确； ③∵是的中位线， ∴， ∴当的值最大时，的值最大， 当点E与点D重合时，的值最大，此时， ∴线段长度的最大值是2，故③正确； ④当点E在边上，且时，， ∴不是等边三角形，故④错误． 综上所述，正确的结论有3个， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 12. 菱形的边长为5，则它的周长为____________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据菱形的四条边相等，即可求出． 【详解】∵菱形的四条边相等． ∴周长：， 故答案为：20． 【点睛】本题考查菱形的性质；熟练掌握菱形的性质是本题解题关键． 13. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：由数轴得，a>2且a<5， 所以a-5<0，a-2>0， 原式=5-a+a-2=3． 故答案为：3 14. 如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了______米（的长）（假设绳子是直的）． 【答案】9 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】在Rt△ABC中： ∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米， ∴（米）， ∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 15. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm． 【答案】15 【解析】 【分析】过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形， 过作于，作关于的对称点，连接交于，连接， 则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ，， ， ，， 在△中，由勾股定理得：， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，解题的关键是找出最短路线． 三、解答题（一）（每题8分，共24分） 16. 计算 （1） （2）﹣ 【答案】（1）24+2；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算； （2）利用完全平方公式计算． 【详解】解：（1）原式＝+2 ＝24+2； （2）原式＝5+2+2﹣﹣ ＝． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 17. 化简求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】直接利用分式的混合运算法则计算，再把已知数据代入求出答案即可. 【详解】， 当时 原式 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键. 18. 如图，在四边形中，，E，F，M分别是，，的中点，连接，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】此题主要考查三角形的线段证明，解题的关键是熟知三角形中位线与直角三角形斜边上的中线性质． 【详解】证明：，F分别是，的中点， 是的中位线， ， ，M是的中点， ．， ． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. 如图，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时速度向南偏东 50°航行，乙船向北偏东 40°航行，3小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若C，B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？ 【答案】乙船的速度是12海里/ 时． 【解析】 【分析】首先理解方位角的概念，根据所给的方位角得到∠CAB=90°．根据勾股定理求得乙船所走的路程，再根据速度=路程÷时间，计算即可． 【详解】解：根据题意，得∠CAB=180°-40°-50°=90°， ∵AB=16×3=48（海里），BC=60海里， ∴在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC=（海里）． 则乙船的速度是36÷3=12海里/时． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，抓住方位角构造直角三角形是解题的关键． 20. 如图，已知某开发区有一块四边形空地，经测量，，，，， （1）求这块空地的面积； （2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 【答案】（1） （2）19200元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明为直角三角形是解题的关键． （1）连接，由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，然后求出，即可求解； （2）根据每平方米草皮需200元，求出结果即可． 【小问1详解】 解：连接AC，如图： 在中，， 在中，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵计划在该空地上种植草皮，每平方米草皮需200元， ∴在该空地上种植草皮共需费用为：（元）． 21. 如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E． （1）求证：△AED≌△CEB′； （2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得； （2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D ∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠 ∴BC＝B'C，∠B＝∠B' ∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC ∴△ADE≌△B'EC （2）四边形AECF是菱形 ∵△ADE≌△B'EC ∴AE＝CE ∵AE＝CE，EF⊥AC ∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF ∴AF＝CF ∵CD∥AB ∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF ∴∠AEF＝∠EFA ∴AF＝AE ∴AF＝AE＝CE＝CF ∴四边形AECF是菱形 【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键． 五、解答题（三）（每题12分，共24分） 22. 如图所示，在矩形中，cm，cm，点P从A开始沿边以4m/s的速度运动，点Q从C开始沿边以2m/s的速度运动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s． （1）当时，求P，Q两点之间的距离． （2）当何值时，线段与互相平分? （3）当为何值时，四边形的面积为矩形面积的． 【答案】（1）cm （2）4s （3）3s 【解析】 【分析】（1）当t=2秒时，表示出QC，AP的长，利用勾股定理求出PQ的长即可． （2）根据线段AQ与DP互相平分，则四边形APQDA为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解出即可． （3）用t表示出四边形APQD面积，再求出矩形面积的进而得出即可． 【小问1详解】 解：连接PQ，过D点P作PE⊥DQ于点E，如图所示： ∵AB=24cm，BC=10cm，点P从A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，点QA从C开始沿CD边2cm/s的速度移动， ∴当t=2秒时，QC=4cm，AP=8cm， ∴DQ=24-QC=20cm，则EQ=12cm， ∴(cm)， ∴P，Q两点之间的距离cm． 【小问2详解】 ∵AP=4t，DQ=24-2t， 当线段AQ与DP互相平分，则四边形APQD为矩形时， 则AP=DQ，即4t=24-2t， 解得：t=4， 故t为4s时，线段AQ与DP互相平分． 【小问3详解】 ∵P在AB上， ∴ ， ， ， 解得：， ∴t为3秒时，四边形APQD的面积为矩形面积的． 【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理的应用，根据运动速度得出QC以及AP的长是解题关键． 23 如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H． （1）证明：△ADG≌△CDE； （2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)答案见解析；(2) AG=CE，AG⊥CE；(3) △ADE的面积=△CDG的面积 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△ADG≌△CDE； （2）利用△ADG≌△CDE得到AG=CE，∠DAG=∠DCE，利用∠DAG+∠AMD=90°得到∠DCE+∠CMG=90°，即可推出AG⊥CE； （3）△ADE的面积=△CDG的面积，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，证明 △DPG≌△DNE，得到PG=EN，再利用三角形的面积公式分别表示出△ADE的面积，△CDG的面积，即可得到结论△ADE的面积=△CDG的面积. 【详解】（1）∵四边形ABCD与DEFG都是正方形， ∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°， ∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG， ∴∠ADG=∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， （2）AG=CE，AG⊥CE， ∵△ADG≌△CDE， ∴AG=CE，∠DAG=∠DCE， ∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG， ∴∠DCE+∠CMG=90°， ∴∠CHA=90°， ∴AG⊥CE； （3）△ADE的面积=△CDG的面积， 作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，则∠DPG=∠DNE=90°， ∵∠GDE=90°， ∴∠EDN+∠GDN=90°， ∵∠PDG+∠GDN=90°， ∴∠EDN=∠PDG， ∵DE=DG， ∴△DPG≌△DNE， ∴PG=EN， ∵△ADE的面积=，△CDG的面积=， ∴△ADE的面积=△CDG的面积. 【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，利用三角形面积公式求解，根据图形得到三角形全等的条件是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汕樟中学2024—2025学年度第二学期 八年级数学科素养训练卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 3. E，F，G，H分别为矩形ABCD四边的中点，则四边形EFGH一定是（　　） A 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 非特殊的平行四边形 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 5. 下列命题的逆命题成立的是（　　）． A. 全等三角形的对应角相等 B. 若三角形的三边满足（c最大），则该三角形是直角三角形 C 对顶角相等 D. 同位角互补，两直线平行 6. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点A，B，C是展开后小正方形的顶点，连接AB，BC，则∠ABC的大小是（　　） A. 60° B. 50° C. 45° D. 30° 8. 矩形中，，，分别平分，，交于点E，F，射线，交于点G，若，则的长是（ ） A. 6或7 B. 8或9 C. 7或9 D. 6或9 9. 将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图所示的方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则的长是（ ）． A B. 2 C. D. 10. 如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 12. 菱形的边长为5，则它的周长为____________． 13. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________． 14. 如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了______米（的长）（假设绳子是直的）． 15. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm． 三、解答题（一）（每题8分，共24分） 16. 计算 （1） （2）﹣ 17. 化简求值：，其中 18. 如图，在四边形中，，E，F，M分别是，，的中点，连接，，求证：． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. 如图，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东 50°航行，乙船向北偏东 40°航行，3小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若C，B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？ 20. 如图，已知某开发区有一块四边形空地，经测量，，，，， （1）求这块空地的面积； （2）现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？ 21. 如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E． （1）求证：△AED≌△CEB′； （2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF形状并给予证明． 五、解答题（三）（每题12分，共24分） 22. 如图所示，在矩形中，cm，cm，点P从A开始沿边以4m/s的速度运动，点Q从C开始沿边以2m/s的速度运动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s． （1）当时，求P，Q两点之间的距离． （2）当为何值时，线段与互相平分? （3）当为何值时，四边形面积为矩形面积的． 23. 如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H． （1）证明：△ADG≌△CDE； （2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$