精品解析：浙江省嘉兴市八校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

2024学年第二学期嘉兴八校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数求导正确的是（ ） A B. C. D. 2. 若的展开式中常数项为32，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 若随机变量，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 从4名女生和2名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层随机抽样，则不同的抽取方法数为（       ） A. 56 B. 28 C. 24 D. 12 5. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论不正确的有（ ） A. 函数的极大值点有个 B. 函数在是减函数 C. 若时，的最大值是，则的最大值为4 D. 当时，函数有个零点 8. 已知函数，，若在区间上，函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式的各项系数和为243 C. 展开式中奇数项的二项式系数和为16 D. 展开式中有理项一共有3项 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则b的取值范围为 B. 若满足，则 C. 若过点可作出曲线的三条切线，则 D. 若存在极值点，且，其中，则 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2，则实数a的值为_______． 13. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______________． 14. 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 _____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15 已知函数有极小值． （1）求的单调区间； （2）求在上最大值和最小值． 16. 设，且． （1）求与值； （2）求的值． 17. 张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有，两条路线(如图)，路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的均为；上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，. （1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率； （2）若走路线，求他遇到红灯的次数的分布列和数学期望. 18. 随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行准确评估，并据此制定针对性的教学方案.该校从初二学年学生中随机抽取40人将进行模拟测试.现将40人分成三个小组，其中组15人，组15人，组10人. （1）第一轮测试按小组顺次进行.若一切正常，则该小组完成测试的时间为10分钟，若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组完成测试所需时间为，求的分布列; （2）第二轮测试将3组同学一起排序，每一位同学顺次上机操作. ①求最后一名同学来自组的条件下，组同学比组同学提前完成测试的概率; ②若每名同学完成测试的时间都是为3分钟，求组和组同学全部完成测试所需时间的期望. 19 已知函数． （1）若，求证：． （2）讨论函数的极值； （3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期嘉兴八校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式逐项判断即可. 【详解】，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误. 故选：A. 2. 若的展开式中常数项为32，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项，根据常数项为32，求. 【详解】的展开式通项为. 故常数项为，得. 故选：A. 3. 若随机变量，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的期望、方差计算可得答案. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：A. 4. 从4名女生和2名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层随机抽样，则不同的抽取方法数为（       ） A. 56 B. 28 C. 24 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由分层抽样求出抽取的男女生人数，然后由组合的知识计算． 【详解】所抽取的男生人数为，因此女生人数为2， 抽取方法数共有种． 故选：D． 5. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解． 【详解】设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生， 根据题意可得， ，， 故． 故选：B． 6. 三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得上恒成立，结合恒成立问题分析运算. 【详解】对函数求导，得 因为函数在上是减函数，则在上恒成立， 即恒成立， 当，即时，恒成立； 当，即时，，则，即， 因为，所以，即； 又因为当时，不是三次函数，不满足题意， 所以. 故选：A． 7. 已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论不正确的有（ ） A. 函数的极大值点有个 B. 函数在是减函数 C. 若时，的最大值是，则的最大值为4 D. 当时，函数有个零点 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数的图象可判断A、B选项的正误；取，结合函数的最值与单调性的关系可判断C选项的正误；作出函数的草图，数形结合即可判断D选项的正误. 【详解】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、， 单调递减区间为、，B选项正确； 由单调性可知，函数有个极大值点，A选项正确； 当时，函数最大值是，而最大值是，C选项错误； 作出函数的图象如下图所示，由下图可知， 当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确. 故选：C 8. 已知函数，，若在区间上，函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，由题意有在上恒成立，即即可，利用导数研究单调性即可求解. 【详解】令，由数的图象恒在函数图象的上方得在上恒成立，即即可， 所以，令有或， 由，所以，由有或，由有， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以只需， 故选：D. 二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据随机分布的定义和随机分布的期望方差计算进行求解即可. 【详解】对于选项A：随机变量X服从两点分布，因为 故，故选项A正确； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故D正确. 故选：ACD 10. 已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式的各项系数和为243 C. 展开式中奇数项的二项式系数和为16 D. 展开式中有理项一共有3项 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据二项式系数最大得到方程，求出；B选项，赋值法得到各项系数和；C选项，先求出二项式系数和，结合二项式系数的性质得到答案；D选项，写出展开式的通项公式，从而得到有理项的项数. 【详解】A选项，二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，即为奇数， 且与最大，所以，解得，A错误； B选项，中，令得，， 故展开式的各项系数和为243，B正确； C选项，展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等， 所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C正确； D选项，展开式通项公式为，，且为整数， 当时，满足要求，当时，满足要求，当时，满足要求， 综上，展开式中有理项一共有3项，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则b的取值范围为 B. 若满足，则 C. 若过点可作出曲线的三条切线，则 D. 若存在极值点，且，其中，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A ，将代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可； 对于B ，根据，推断函数的对称性，进而可以求得的值； 对于C ，将代入得到的解析式，根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可； 对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，令，结合，再化简即可得到答案. 【详解】对于A ，，当时，，， 令，解得或， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时取得极大值，当时取得极小值， 有三个零点，，解得，故选项A正确； 对于B ，满足，根据函数的对称可知的对称点为，将其代入，得， 解得，故选项B错误； 对于C ，， 设切点为，则切线的斜率 化简， 得 由条件可知该方程有三个实根，有三个实根， 记， 令，解得或， 当时取得极大值，当时，取得极小值， 因为过点可作出曲线的三条切线， 所以，解得，故选项C正确； 对于D ，，， 当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 存在极值点， 由得 令， ，于， 所以 ， 化简得：， ，，于是， .故选项D正确； 故选：ACD. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2，则实数a的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，求得结果. 【详解】函数，可得， 所以切线的斜率为，解得， 故答案是3. 【点睛】该题考查的是有关函数图象在某个点处的切线的斜率问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，根据题意，得到参数所满足的等量关系，求得结果，属于简单题目. 13. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件结合正态分布的性质可得，， 由此可求，再求即可. 【详解】因为在内取值的概率为，服从正态分布， 所以，且， 所以， 所以， 所以在内取值的概率为， 故答案为：. 14. 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 _____________． 【答案】 84 【解析】 【详解】试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生， ①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有种；②有二所医院分1人另一所医院分3人.有种.故满足条件的分法共有种. 考点：计数原理的运用． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数有极小值． （1）求的单调区间； （2）求在上的最大值和最小值． 【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间为， （2）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间； （2）由的极小值列方程求得的值，比较极值和区间端点的函数值，求得在上的最大值和最小值. 【小问1详解】 ， 令，解得或，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为，． 【小问2详解】 由（1）知，的极小值为，解得． ∵在单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴的极小值为， 的极大值为 又， ， 所以在上的最大值为，最小值为． 16. 设，且． （1）求与值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）511. 【解析】 【分析】（1）利用组合数的性质求出，取求出. （2）利用赋值法，结合1的结论求出的值. 小问1详解】 由，得，取，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， 当时，， 因此， 所以. 17. 张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有，两条路线(如图)，路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的均为；上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，. （1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率； （2）若走路线，求他遇到红灯的次数的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设走路线最多遇到1次红灯为事件，根据独立重复试验概率计算公式即可求解； （2）根据题意，的可能取值为，再分别求出其概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望. 【详解】（1）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则. （2）依题意，的可能取值为0，1，2. 则；； ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 . 18. 随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行准确评估，并据此制定针对性的教学方案.该校从初二学年学生中随机抽取40人将进行模拟测试.现将40人分成三个小组，其中组15人，组15人，组10人. （1）第一轮测试按小组顺次进行.若一切正常，则该小组完成测试的时间为10分钟，若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组完成测试所需时间为，求的分布列; （2）第二轮测试将3组同学一起排序，每一位同学顺次上机操作. ①求最后一名同学来自组的条件下，组同学比组同学提前完成测试的概率; ②若每名同学完成测试的时间都是为3分钟，求组和组同学全部完成测试所需时间的期望. 【答案】（1）分布列见解析 （2） ， 【解析】 【分析】（1）三个小组都有可能按时完成，也都有可能出现异常情况，所以最少时间是30分钟，然后逐个加5分钟，写出随机变量的可取值，根据对应情况求出概率，从而得到分布列； （2）①由条件概率即可得到； ②找到完成时间的分布情况，求出对应的概率，由期望的公式得到代数式，利用组合数的性质运算即可得出结果. 【小问1详解】 设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；设事件：组正常完成； 随机变量的可取值：30，35，40，45 的分布列： 30 35 40 45 【小问2详解】①设事件：最后一名同学来自组；事件：组同学比组同学提前完成测试. 则 ②设所需时间为，的可取值：90,，93，96，，，，120（） 则 ∴ 19. 已知函数． （1）若，求证：． （2）讨论函数的极值； （3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）存在，最小值为1 【解析】 【分析】（1）利用导数研究出的单调性，求出其最小值即可 （2）求出，然后分和两种情况讨论 （3）结合（2）中的结论分、和三种情况讨论. 【详解】（1）时，， ，当，，函数单调递减 当时，，函数单调递增 ∴，故． （2）由题知．，， ①当时，，所以在上单调递减，没有极值； ②当时，，得，当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 故在处取得极小值，无极大值． （3）不妨令，不难证明，当且仅当取等号， 所以，当时，， 由（1）知，当，时，在上单调递减，恒成立； 所以不等式在上恒成立，只能． 当时，，由（1）知在上单调递减， 所以，不满足题意． 当时，设， 因为，，所以，，，， ， 即， 所以在上单调递增， 又，所以时，恒成立，即恒成立， 故当时，使得不等式在上恒成立． 此时的最小值是1． 【点睛】本题考查了利用导数证明不等式、利用导数研究函数的单调性及利用导数解决恒成立问题，属于压轴题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $