精品解析：山东省日照神州天立高级中学2024-2025学年高二下学期期中模拟数学试卷

日照神州天立高中2024至2025学年下学期高二期中模拟 高二年级数学学科试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 记为等比数列的前n项和，若，，则公比（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列求和公式基本量的计算即可得解. 【详解】若，，则，解得，符合题意. 故选：D. 2. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间内有2个极值点 C. 在区间上是增函数 D. 曲线在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象确定的极值点、单调区间、导数的几何意义，进而判断各选项的正误. 【详解】由导函数的部分图象可得， 当或时，，当或时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间内有个极值点，故BC错误； 所以，故A错误； 曲线在处的切线的斜率为，故D正确. 故选：D. 3. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性判断A、B、D，利用导数判断C选项的单调性. 【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误； 对于B：在定义域上单调递减，故B正确； 对于C：，则， 当时，所以在上单调递增，故C错误； 对于D：在定义域上单调递增，故D错误. 故选：B 4. 记数列的前n项和为，若，则（ ） A. 301 B. 101 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分组求和法计算即得. 【详解】数列中，，则， 所以 故选：C 5. 函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把三个数值看成三个斜率，即可用数形结合比较大小. 【详解】设点 则可以把看成两点的斜率， 把看成曲线在点的切线斜率， 把看成曲线在点的切线斜率， 再作出图形进行数形结合分析： 由图可得， 即. 故选：B. 6. 函数在处取得极大值9，则（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先由取极值的必要条件求出参数，然后回过头去检验是否满足题意即可. 【详解】由题意，函数，可得， 因为在处取得极大值9，可得， 解得或， 检验知，当时，可得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值9，与题意矛盾，故不符题意； 当时，可得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值9，故符合题意； 所以 故选：B. 【点睛】方法点睛：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，，即可比较的大小，构造函数，即可比较的大小，即可得解. 【详解】令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，即， 所以， 令，则， 当时，， 所以函数上单调递增， 所以，即，即， 所以， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，即， 所以，即， 综上所述. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造函数，， ，是解决本题的关键. 8. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合奇函数的性质即可进一步得解. 【详解】当时，令，则，所以在上单调递增， 当时，，即， 当时，，即， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以当时，，当时，， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，利用导数得出单调性，从而即可顺利得解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数的导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用函数乘除的导数可以判断A、C,B、D用复合函数的求导规则判断即可. 【详解】对于A,,故A对. 对于B,,故B对. 对于C, ,故C错. 对于D,,故D对. 综上所得,正确的是：ABD. 故选:ABD. 10. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意得，再利用裂项相消法可求出，，然后逐个分析判断. 【详解】由于每一个白圈产生下一行的1白1黑两个圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈，第n行白圈的个数为，黑圈的个数为， 所以，所以B错误， 所以由，得，，，所以A正确， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 ， 所以，所以，所以D正确， 因为，所以， 因为，，所以， 所以，所以C错误， 故选：AD 【点睛】关键点点睛：此题考查数列的递推式的应用，考查裂项相消法，解题的关键是根据题意求得递推式，考查推理能力和计算能力，属于较难题. 11. 黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由即可举出反例，对于B，首先得，利用作差法即可判断；对于CD，利用数学归纳法即可证明. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，当时，是相邻的偶数和奇数，所以是既约分数，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，当时，， 若当时，成立， 则时， ，故C正确； 对于D，当时，， 若当时，成立， 则时，， 要使， 而，， 只需，只需，显然， 故只需， 当时，该式子为，显然成立， 若当时，有， 当时， ， 从而对任意正整数均有， 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：再利用数学归纳法以及分析法可知只需证明对任意正整数均有成立即可，再次利用数学归纳法即可顺利得解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数_______________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意，计算可得. 【详解】因，所以， 依题意可得，即，解得. 故答案为： 13. 记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】由已知结合等差数列基本量的计算、等差数列的性质得，进一步结合等差数列基本量的计算列方程即可求解. 【详解】设的首项、公差分别为，则， 所以， 因为，所以. 故答案为：12. 14. 已知函数，设，若只有一个零点，则实数a的取值范围是______；若不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用导数，确定的单调区间及最值，作出图象，由可得或，再根据只有一个零点，结合的图象求解，即可得第一空答案；由，可得，分，结合题意和的图象求解，即可得第二空答案． 【详解】，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； ∴；当时，；当时，；． 据此可作出图象如图所示： 令，则或， 由，可得； 又∵只有一个零点，∴无解，或， ∴，或， ∴的取值范围是． 令，则． ①当时，则或， 由，可得，无整数解，∴中有3个整数解， 结合的图象可知此三个整数解为， ∵， ∴； ②当时，， 由，得，不满足题意； ③当时，由，得或， ∵的解集中无整数，的解集中有若干个整数，不满足题意； 综上，的取值范围为． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：本题的第一空的关键是采用整体法，解出或，再利用导数得出的图象与性质，结合图象即可得到的范围. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）单调递减区间为,函数单调递增区间为．极小值为,无极大值； （2）最小值为,最大值为2． 【解析】 【分析】（1）求导,得到,令得,或（舍去）,将定义域分成几段考虑导数正负,得出单调区间,由单调性,得到函数的极值. （2）与（1）方法相同(只是定义域发生改变),求出极值后再与端点值比较即可得到最值. 【小问1详解】 函数的定义域为, ． 令得,或（舍去）, 当时,,函数单调递减； 当时,,函数单调递增, 所以函数单调递减区间为,函数单调递增区间为． 函数的极小值为,无极大值． 【小问2详解】 由（1）知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以,,, 又因为,所以函数在区间的最小值为,最大值为2． 16. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，且，令，求的最小值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算即可列方程组求解首项、公差，进而得解； （2）由（1）中结论结合累乘法得数列的通项公式，通过裂项法得的表达式说明单调递增，或由也可说明单调递增，进而得解. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为． 由，得， 解得：，所以． 【小问2详解】 方法一：由（1）得， 由题意， ， 而，从而， ， 而关于单调递减，从而关于单调递增， 所以关于也是单调递增， 所以当时，的最小值为； 方法二：由（1）得， 由题意， ， 而，从而， 又，所以单调递增， 所以的最小值为. 17. 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. （1）求函数的解析式； （2）当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 【答案】（1） （2）台，万元 【解析】 【分析】（1）先通过待定系数法求解出与的关系，然后根据利润定义表示出即可； （2）利用导数分析的单调性，从而可求的最大值以及对应的值. 【小问1详解】 设，代入可得，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元. 18. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）时，有，将它与已知式子相比可得，检验是否满足该式子即可得解； （2）先通过分组求和、等比数列求和公式得，然后对分离参数得不等式对恒成立，从而只需求出的最大值即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以时，， 所以当时，， 又满足上式， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 所以， 即不等式对恒成立， 令，， 令，可得， 当时，，此时，即此时有， 数列的最大项为，所以． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）只需分别求出的值即可求解； （2）构造函数，原题条件等价于在上恒成立，求得，从而分是否小于1进行讨论即可求解. （3）由（2）可知得即，进一步有，从而累加即可得证. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，， 所以函数在处的切线方程为即； 【小问2详解】 若在上恒成立，则在上恒成立， 设，，所以， ， ①当时，， 当时，， 所以在上单调递减， 所以，即在不恒成立． ②当时，， 当时，，在上单调递增， 又，此时， 综上所述，所求m取值范围是； 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上恒成立， 取，得即，当且仅当时等号成立， 令，， 则， 所以， 所以 ， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是利用第二问的结论得到，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 日照神州天立高中2024至2025学年下学期高二期中模拟 高二年级数学学科试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 记为等比数列的前n项和，若，，则公比（ ） A. B. C. 3 D. 2 2. 已知函数的导函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在区间内有2个极值点 C. 在区间上是增函数 D. 曲线在处的切线的斜率大于0 3. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 记数列前n项和为，若，则（ ） A 301 B. 101 C. D. 5. 函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在处取得极大值9，则（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（ ） A B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数_______________. 13. 记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______． 14. 已知函数，设，若只有一个零点，则实数a的取值范围是______；若不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最值． 16. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列前n项和为，且，令，求的最小值． 17. 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. （1）求函数的解析式； （2）当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 18. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$