2025年中考数学专题复习：一元一次方程应用分类训练

一元一次方程应用分类训练 相遇问题： 例1：已知 A，B 两地相距1500km，一辆慢车从A 地开出，速度为65 km/h，一辆快车从B 地开出，速度为85 km/h。若两车相向而行，慢车先行90 min，则快车行驶几小时后两车相遇？ 变式练习： 1．A，B两地相距150千米，甲车从A地匀速行驶前往B地，每小时行驶40千米；乙车从B地匀速行驶前往A地，每小时行驶60千米. （1）甲、乙两车同时出发，_______小时相遇． （2）甲、乙两车同时出发，_______小时两车相距10千米． （3）若乙车先行驶半小时，甲车再出发，求甲车出发几小时两车相遇？ 2、甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。 追及问题： 例2：休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追我们，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？ 变式练习： 1、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。⑴ 行人的速度为每秒多少米？ ⑵ 这列火车的车长是多少米？ 环形跑问题 例3．周末，甲乙两人沿环形生态跑道散步，甲每分钟行80米，乙每分钟行120米，跑道一圈长400米． 求：（1）若甲乙两人同时同地同向出发，多少分钟后他们第一次相遇？ （2）若两人同时同地反向出发，多少分钟后他们第一次相距100米？ 火车过桥问题： 例4．已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米． 变式练习： 1、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。 火车错车问题; 例5、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？ 顺逆流问题: 例6、某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。 配套问题: 例7.某车间有20名工人，生产一种特殊的螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母16个．如果分配x名工人生产螺栓，其余的工人生产螺母，且每天生产的螺母恰好是螺栓的2倍．则可列方程为 _____． 解：∵分配x名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母， ∴由题意可列方程为． 故答案为：． 变式练习： 1.某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 积分问题： 例8：某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．答对一题得x分，答错一题扣2分．在此次竞赛中，有一位参赛者答对14道题，答错6道题，这位参赛者的最终得分为72分．则x＝________． 数字问题： 例9：一个两位数的十位数字与个位数字的和是9，把这个两位数加上27后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是______． 赢不足问题： 例10：中国古代人们很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是今有若干人乘车，若每3人共乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 利润问题： 例11.某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ （2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？ 工程问题： 例12.一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成．若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作的．若设甲一共做了x天，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 变式训练： 1.某街道1000米的路面下雨时经常严重积水．需改建排水系统．市政公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案： 方案一：甲、乙两队合作施工，那么12天可以完成； 方案二：如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独施工，还需15天才能完成． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？ 方案设计问题 例13．新疆因独特的地理环境，盛产各种大枣，其中“若羌”灰枣因皮薄肉厚、口感甘甜醇厚而享誉国内外．某公司打算到灰枣基地购买一批优质灰枣，灰枣基地对购买量在100千克（含100千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克38元，由灰枣基地免费送包装礼盒并送货上门；方案二：每千克34元，由顾客自行购买礼盒并租车运回，购买礼盒并租车的费用大约需要860元．请问： （1）公司购买多少千克灰枣时，两种购买方案的付款费用相同； （2）若公司打算购买500千克灰枣，选择哪种方案付款费用少？为什么？ 变式练习： 1．某校七年级准备观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有5人可以免票． （1）若二班有41名学生，则他该选择哪个方案？ （2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道该班有多少人吗？ 图形问题： 例14：如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为-2和7，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离． （1）求AB的值； （2）若在数轴上存在一点C，使，求点C表示的数； （3）点P和点Q是数轴上的两个动点，点P从A出发以2个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从B出发以1个单位/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒，当时，请直接写出t的值： 变式练习： 1．如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？ 市场经济问题 例15、某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐． （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由． 分配问题： 例16： 某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．�已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，�求这一天有几个工人加工甲种零件． 巩固练习 1 ．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆游向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这艘轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为（　　）千米． A．30 B．36 C．44 D．48 2.在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 3．“端午临中夏，时清日复长”，临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． （1）求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； （2）两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 4、某水果店购进1000kg水果，进价为每千克5元，售价为每千克9元，很快所有水果都销售完． （1）这批水果全部出售后的利润是 　 　元． （2）老板看到销售情况很好，第二次又以同样的价格购进了该水果1000kg，销售过程中有3%的水果因被损坏而不能出售．按每千克9元售出第二次进货量的一半后，为了尽快售完，水果店准备将余下的水果打折出售，两次获得的总利润为5765元．在余下的水果销售中，打了 　 　折． 5、甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B到A地，两人都匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B两地间的路程。 6．A、B两列火车的长分别为156m和180m，A车比B车每秒多行4m． (1)若两列火车相向而行，从相遇到全部错开，需要8s．问两车速度各是多少？ (2)在（1）的条件下，若两列火车同向行驶，且B车行驶在A车前方，求A车的车头从B车的车尾开始追及到A车车尾超过B车车头需多少时间？ 7、安阳市政府为引导低碳生活、倡导绿色出行，于11月1日起陆续投放公共自行车供市民出行免费使用，小明同学通过查阅资料发现：在这项惠民工程中，目前共建设大、中、小型三种公共自行车存放站点160个，共可停放公共自行车3730辆，其中每个大型站点可存放自行车40辆，每个中型站点可存放自行车30辆，每个小型站点可存放自行车20辆．已知大型站点有11个，则中、小型站点各应有多少个？ 8．甲，乙两车从A、B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经3小时相遇．已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地，问： （1）甲车速度是 　　千米/小时，乙车速度是 　　千米/小时，A，B路程是 　　千米； （2）这一天，若乙车晚1小时出发，问乙出发后经过多长时间，两车相距20千米？ 9．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市自来水具体收费价格见下表： 每月用水量 单价（单位：元/） 不超过10m3的部分 2 超过10m3，但不超过20m3的部分 4 超过20m3的部分 8 （1）实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月交费44元？ （2）实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月的平均水费为每立方米3.2元？ 10．A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，乙车行驶5小时到达A地，并原地休息．甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的倍． (1)甲车的行驶速度是________千米/ 时，乙车的行驶速度是________千米/ 时； (2)求乙车出发后几小时两车相遇；（列方程解答此问） (3)若甲车到达B地休息一段时间后按原路原速返回，且比乙车晚2小时到达A地．甲车从A地出发到返回A地过程中，甲车出发________小时，两车相距40千米；甲车在B地休息________小时． 11．如图，甲、乙两位同学在长方形的场地ABCD上绕着四周跑步，甲沿着A－D－C－B－A方向循环跑步，同时乙沿着B－C－D－A－B方向循环跑步，AB＝30米，BC＝50米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒． (1)设经过的时间为t秒，则用含t的代数式表示甲的路程为 米； (2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为多少秒？ (3)若甲改为沿着A－B－C－D－A的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙追上甲？ (4)小明在探索中发现一个非常有趣的结论：在（3）的条件下，甲乙继续跑步，以后遇的地点每次相遇的地点都和第一次遇的地点一样，请同学们试以第n次相遇为例帮小明同学进行简单的论证，并写出每次相遇时点P的位置． 一元一次方程应用分类训练（答案） 相遇问题： 例1：已知 A，B 两地相距1500km，一辆慢车从A 地开出，速度为65 km/h，一辆快车从B 地开出，速度为85 km/h。若两车相向而行，慢车先行90 min，则快车行驶几小时后两车相遇？ 解：设快车行驶x h后两车相遇 90 min＝ h 由题意，得65× ＋65x＋85x＝1500， 解得x＝9.35. 答：快车行驶9.35 h后两车相遇。 变式练习 1．A，B两地相距150千米，甲车从A地匀速行驶前往B地，每小时行驶40千米；乙车从B地匀速行驶前往A地，每小时行驶60千米. （1）甲、乙两车同时出发，_______小时相遇． （2）甲、乙两车同时出发，_______小时两车相距10千米． （3）若乙车先行驶半小时，甲车再出发，求甲车出发几小时两车相遇？ 答案．（1）1.5；（2）1.4或1.6；（3）1.2小时 2、甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。 解：设乙的速度是 x 千米/时，则 3x＋3 (2x＋2)＝25.5×2 ∴ x＝5 2x＋2＝12 答：甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。 追及问题 例2：休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追我们，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？ （提示：此题为典型的追击问题） 解：设爸爸用x小时追上我们，则 6x＝2x＋2×1 解得 x＝0.5 0.5小时＜1小时45分钟 答：能追上。 变式练习： 1、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。⑴ 行人的速度为每秒多少米？ ⑵ 这列火车的车长是多少米？ 解：⑴ 行人的速度是：3.6km/时＝3600米÷3600秒＝1米/秒 骑自行车的人的速度是：10.8km/时＝10800米÷3600秒＝3米/秒 ⑵ 方法一：设火车的速度是x米/秒，则 26×(x－3)＝22×(x－1) 解得x＝4 方法二：设火车的车长是x米，则 环形跑问题 例3．周末，甲乙两人沿环形生态跑道散步，甲每分钟行80米，乙每分钟行120米，跑道一圈长400米． 求：（1）若甲乙两人同时同地同向出发，多少分钟后他们第一次相遇？ （2）若两人同时同地反向出发，多少分钟后他们第一次相距100米？ 解：（1）设甲乙两人同时同地同向出发，x分钟后他们第一次相遇， 依题意，得：120x﹣80x＝400， 解得：x＝10． 答：甲乙两人同时同地同向出发，10分钟后他们第一次相遇． （2）设两人同时同地反向出发，m分钟后他们第一次相距100米， 依题意，得：120m+80m＝100， 解得：m＝． 答：两人同时同地反向出发，分钟后他们第一次相距100米． 火车过桥问题 例4．已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米． 答案．200 变式练习： 1、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。 解：方法一：设这列火车的长度是x米，根据题意，得 x＝300 答：这列火车长300米。 方法二：设这列火车的速度是x米/秒， 根据题意，得20x－300＝10x x＝30 10x＝300 答：这列火车长300米。 火车错车问题 例5、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？ 提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。 等量关系：快车行的路程＋慢车行的路程＝两列火车的车长之和 设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2x米/秒，则 16×3x＋16×2x＝200＋280 顺逆流问题 例6、某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。 解：设A与B的距离是x千米，(请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程) ① 当C在A、B之间时， 解得x＝120 ② 当C在BA的延长线上时， 解得x＝56 答：A与B的距离是120千米或56千米。 配套问题 例7.某车间有20名工人，生产一种特殊的螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母16个．如果分配x名工人生产螺栓，其余的工人生产螺母，且每天生产的螺母恰好是螺栓的2倍．则可列方程为 _____． 解：∵分配x名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母， ∴由题意可列方程为． 故答案为：． 1.某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ (1)设该工厂有男工x人，则女工有（2x－20）人， 由题意得：x＋2x－20＝88， 解得：x＝36， 女工：2×36－20＝52（人）， 答：该工厂有男工36人，有女工52人． (2)设调y名女工帮男工制作盒底， 由题意得：50（36＋y）×2＝（52－y）×120， 解得：y＝12， 答：调12名女工帮男工制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 积分问题 例8：某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．答对一题得x分，答错一题扣2分．在此次竞赛中，有一位参赛者答对14道题，答错6道题，这位参赛者的最终得分为72分．则x＝________． 解：由题意得： ， 解得：； 故答案为：6 数字问题 例9：一个两位数的十位数字与个位数字的和是9，把这个两位数加上27后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是______． 解：根据题意，设十位数字为x，则个位数字为9x，这个两位数为10x+9x=9x+9，对调后的两位数为10（9x）+x=909x，根据题意得： 9x+9+27=909x， 解得：x=3， ∴93=6， ∴这个两位数为36． 故答案为：36 赢不足问题 例10：中国古代人们很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是今有若干人乘车，若每3人共乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 解：设有x辆车，则可列方程： 3（x﹣2）＝2x＋9． 故选：B． 4. 利润问题 例11.某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ （2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？ 【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1000﹣x）只， 由题意，得25x+45（1000﹣x）＝37000，解得：x＝400 购进乙型节能灯1000﹣x＝1000﹣400＝600（只） 答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元． （2）设乙型节能灯需打a折， 0.1×60a﹣45＝45×20%，解得a＝9，答：乙型节能灯需打9折． 工程问题 例12.一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成．若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作的．若设甲一共做了x天，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设甲一共做了x天， 由题意得：， 故选：B． 变式训练： 1.某街道1000米的路面下雨时经常严重积水．需改建排水系统．市政公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案： 方案一：甲、乙两队合作施工，那么12天可以完成； 方案二：如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独施工，还需15天才能完成． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？ 【解答】解：（1）设甲队每天施工x米，则乙队每天施工米， 依题意，得：12x+121000，解得：x＝50，∴， ∴1000÷50＝20（天），100030（天）． 答：甲队单独完成此项工程需要20天，则乙队单独完成此项工程需要30天． （2）50×12＝600（米），12＝400（米）． 答：方案一中，甲队实际施工了600米，乙队实际施工了400米． 方案设计问题 例13．新疆因独特的地理环境，盛产各种大枣，其中“若羌”灰枣因皮薄肉厚、口感甘甜醇厚而享誉国内外．某公司打算到灰枣基地购买一批优质灰枣，灰枣基地对购买量在100千克（含100千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克38元，由灰枣基地免费送包装礼盒并送货上门；方案二：每千克34元，由顾客自行购买礼盒并租车运回，购买礼盒并租车的费用大约需要860元．请问： （1）公司购买多少千克灰枣时，两种购买方案的付款费用相同； （2）若公司打算购买500千克灰枣，选择哪种方案付款费用少？为什么？ 【解答】（1）解：设公司购买x千克苹果时，选择两种购买方案的付款费用相同． 根据题意，得：38x＝34x+860， 解得：x＝215． 答：公司购买215千克灰枣时，两种购买方案的付款费用相同； （2）选择方案二付款最少．理由如下： 当x＝500时，38x＝38×500＝19000（元）， 34x+860＝34×500+860＝17860（元）， 19000＞17860， ∴选择方案二付款最少． 变式练习： 1．某校七年级准备观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有5人可以免票． （1）若二班有41名学生，则他该选择哪个方案？ （2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道该班有多少人吗？ 【解答】解：（1）方案一的费用为：41×30×0.8＝984（元），方案二的费用为：（41﹣5）×0.9×30＝972（元）， ∵984＞972， ∴他该选择方案二， 答：若二班有41名学生，则他该选择方案二； （2）设一班有x人，根据题意得： x×30×0.8＝（x﹣5）×0.9×30， 解得x＝45， 答：一班有45人． 图形问题 例14：如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为-2和7，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离． （1）求AB的值； （2）若在数轴上存在一点C，使，求点C表示的数； （3）点P和点Q是数轴上的两个动点，点P从A出发以2个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从B出发以1个单位/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒，当时，请直接写出t的值： 解：(1)数轴上两点A，B表示的数分别为-2，7， ∴AB= 7-(-2)= 9， 答：A B的值为9； (2)设点C表示的数为x，由题意得： | x-(-2)|= 2|x- 7|， ∴|x+2|=2|x- 7|， ∴x=16或x=4． .答:点C表示的数为4或16； (3)t秒后，PB= |2t- 2- 7|= |2t- 9|， AQ =|7- t+ 2|= |9- t|， 当PB+ AQ = 12时， |2t- 9|+|9-t|= 12， 当0≤t≤4.5时，解得：t=2； 当4.5 < t≤9时，解得：t= 12(舍)； 当t>9时，解得：t=10； 所以，t = 10或2． 变式练习： 1．如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？ 解：设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是， 由题意得：， 解得：， 则． 答：每一个长条的面积为． 市场经济问题 例15、某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐． （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由． 解：（1）设1个小餐厅可供名学生就餐，则1个大餐厅可供（1680-2y）名学生就餐，根据题意，得2（1680-2y）+y=2280解得：y=360（名）所以1680-2y=960（名） （2）因为， 所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐． 分配问题 例16： 某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．�已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，�求这一天有几个工人加工甲种零件． 解：设这一天有x名工人加工甲种零件， 则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个． 根据题意，得16×5x+24×4（16-x）=1440 解得x=6 巩固练习 1．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆游向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这艘轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为（　　）千米． A．30 B．36 C．44 D．48 【解答】解：设船在静水中的速度为x千米/小时， 由题意得：x+2＝2（x﹣2），解得：x＝6， 则顺流时的速度为8千米/小时，逆流时的速度为4千米/小时， 设乙、丙两地相距y千米，由题意得：+＝12，解得：y＝26，则y+18＝44， 即甲、丙两港间的距离为44千米．故选：C． 2.在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 解：设九（1）班获胜x场，则平场， 根据题意得：， 解得：． 答：九（1）班获胜7场． 3．“端午临中夏，时清日复长”，临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． （1）求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； （2）两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【解答】解：（1）设甲组平均每天能加工x袋粽子，乙两组平均每天能加工y袋粽子， 根据题意得：，解得， 答：甲组平均每天能加工200袋粽子，乙两组平均每天能加工150袋粽子； （2）设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a袋粽子，由题意得： 2×（200+150）+（200+100a）（10﹣2﹣a）+150（8﹣2﹣a）＝3200+500， 整理得：2a2﹣9a+10﹣0，解得：a1＝2，a2＝2.5， ∵甲、乙两组加工的天数均为整数，∴a＝2，∴200+100×2＝400（袋）． 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 4、某水果店购进1000kg水果，进价为每千克5元，售价为每千克9元，很快所有水果都销售完． （1）这批水果全部出售后的利润是 　 　元． （2）老板看到销售情况很好，第二次又以同样的价格购进了该水果1000kg，销售过程中有3%的水果因被损坏而不能出售．按每千克9元售出第二次进货量的一半后，为了尽快售完，水果店准备将余下的水果打折出售，两次获得的总利润为5765元．在余下的水果销售中，打了 　 　折． 解：（1）由题意可得， 这批水果全部出售后的利润是：（9﹣5）×1000＝4×1000＝4000（元），故答案为：4000； （2）设在余下的水果销售中，打了x折， 由题意可得：（9﹣5）×（1000×）+（9×﹣5）×[1000×（1﹣﹣3%）]+4000＝5765， 解得x＝5，即在余下的水果销售中，打了5折，故答案为：5． 5、甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B到A地，两人都匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B两地间的路程。 解：设A、B两地间的路程是 x 千米，则 方法一： 方法二：x＋36＝36×2×2 解，得 x＝108 答：A、B两地间的路程是108千米。 6．A、B两列火车的长分别为156m和180m，A车比B车每秒多行4m． (1)若两列火车相向而行，从相遇到全部错开，需要8s．问两车速度各是多少？ (2)在（1）的条件下，若两列火车同向行驶，且B车行驶在A车前方，求A车的车头从B车的车尾开始追及到A车车尾超过B车车头需多少时间？ (1)解：设A车的速度为xm/s，则B车的速度为（x-4）m/s，根据题意得： ， 解得：x=23， ∴x-4=19， 答：A车的速度为23m/s，则B车的速度为19m/s； (2) 解：设A车的车头从B车的车尾开始追及到A车车尾超过B车车头需ts，根据题意得： ， 解得：t=84， 答：A车的车头从B车的车尾开始追及到A车车尾超过B车车头需84s． 7、安阳市政府为引导低碳生活、倡导绿色出行，于11月1日起陆续投放公共自行车供市民出行免费使用，小明同学通过查阅资料发现：在这项惠民工程中，目前共建设大、中、小型三种公共自行车存放站点160个，共可停放公共自行车3730辆，其中每个大型站点可存放自行车40辆，每个中型站点可存放自行车30辆，每个小型站点可存放自行车20辆．已知大型站点有11个，则中、小型站点各应有多少个？ 解：设小型站点应有x个，中型站点各应有160﹣11﹣x个， 可得：40×11+30（160﹣11﹣x）+20x=3730， 解得：x=118．答：中型站点应有31个，小型站点应有118个 8．甲，乙两车从A、B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经3小时相遇．已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地，问： （1）甲车速度是 　15　千米/小时，乙车速度是 　45　千米/小时，A，B路程是 　180　千米； （2）这一天，若乙车晚1小时出发，问乙出发后经过多长时间，两车相距20千米？ 【分析】（1）设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为千米/时，根据乙车1小时行驶的路程等于甲车3小时行驶的路程列方程求出x的值，再求出乙车的速度及A、B两地的路程； （2）设乙车出发y小时两车相距20千米，由于乙车晚出发1小时，所以甲车的行驶时间为（y+1）小时，两车相距20千米分两种情况，一是两车相遇前相距20千米，二是两车相遇后相距20千米，分别列方程求出y的值即可． 【解答】解：（1）设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为千米/时， 根据题意得×1＝3x， 解得x＝15， ∴＝＝45， ∴3×15+3×45＝180（千米）， 甲车的速度为15千米/时，乙车的速度为45千米/时，A、B两地的路程是180千米， 故答案为：15，45，180． （2）设乙车出发y小时两车相距20千米， 根据题意得15（y+1）+45y+20＝180或15（y+1）+45y﹣20＝180， 解得y＝或y＝， 答：乙出发后经过小时或小时，两车相距20千米． 9．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市自来水具体收费价格见下表： 每月用水量 单价（单位：元/） 不超过10m3的部分 2 超过10m3，但不超过20m3的部分 4 超过20m3的部分 8 （1）实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月交费44元？ （2）实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月的平均水费为每立方米3.2元？ 【解答】解：（1）设每月用水量为xm3，则当0＜x≤10时，所交水费为：2x（元），最高为20元； 当10＜x≤20时，所交水费为：2×10+4×（x﹣10）＝（4x﹣20）元，最高为60元； 当x＞20时，所交水费为：2×10+4×（20﹣10）+8（x﹣20）＝（8x﹣100）元； ∵20＜44＜60， ∴令4x﹣20＝44，解得x＝16； ∴该市一户居民月用水16立方米时，其当月交费44元； （2）当0＜x≤10时，显然不成立； 当10＜x≤20时，有4x﹣20＝3.2x，解得x＝25，显然不成立； 当x＞20时，8x﹣100＝3.2x，解得x＝， 即该市一户居民月用水立方米时，其当月的平均水费为每立方米3.2元． 10．A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，乙车行驶5小时到达A地，并原地休息．甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的倍． (1)甲车的行驶速度是________千米/ 时，乙车的行驶速度是________千米/ 时； (2)求乙车出发后几小时两车相遇；（列方程解答此问） (3)若甲车到达B地休息一段时间后按原路原速返回，且比乙车晚2小时到达A地．甲车从A地出发到返回A地过程中，甲车出发________小时，两车相距40千米；甲车在B地休息________小时． （1）解：乙车的行驶速度：（千米/小时） 甲车的行驶速度：（千米/小时）， 故答案为：80，60； （2） 解：设乙车出发后x小时两车相遇， 解得 答：乙车出发后小时两车相遇； （3） 解：设甲车出发y小时后，甲乙两车相距40千米， 当两车在相遇前相距40千米时：80y+60(y-1)=300-40， 解得y=， 当两车在相遇后相距40千米∶80y+60(y-1)=300+40， 解得y=， ∵乙车出发后，甲车所用在途时间：（小时），甲车所用时间为5小时，甲车比乙车晚2小时到达A地． ∴甲车在B地休息时间为：5+2-6.5=0.5（小时） 故答案为：；0.5． 11．如图，甲、乙两位同学在长方形的场地ABCD上绕着四周跑步，甲沿着A－D－C－B－A方向循环跑步，同时乙沿着B－C－D－A－B方向循环跑步，AB＝30米，BC＝50米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒． (1)设经过的时间为t秒，则用含t的代数式表示甲的路程为 米； (2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为多少秒？ (3)若甲改为沿着A－B－C－D－A的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙追上甲？ (4)小明在探索中发现一个非常有趣的结论：在（3）的条件下，甲乙继续跑步，以后遇的地点每次相遇的地点都和第一次遇的地点一样，请同学们试以第n次相遇为例帮小明同学进行简单的论证，并写出每次相遇时点P的位置． （1）解： 甲的路程=2t米； 故答案为：2t； （2） 解：设经过t秒甲、乙两人第一次相遇 ，根据题意得 3t+2t=50×2+30 ； t=26 答：经过26秒 （3） 解：设经过t秒乙追上甲，根据题意得 3t-2t=130           解得t=130 答：经过130秒，乙追上甲 （4） 解：130×2=260（米） 260-（50+30）×2=100（米） 100-30-50=20（米） 所以（3）中乙追上甲的地点在CD上，离C点20米的地方； 若乙第n次追上甲的时间为a秒,则 3a-2a=160(n-1)， 解得a=160(n-1) 160(n-1)×2=320(n-1)（米） 320(n-1)÷160=2(n-1)（圈） 第n次乙追上甲时，甲又跑了2(n-1)圈． 所以第n次乙追上甲的地方跟（3）一样，在CD上，离C点20米的地方；                       P点如图 学科网（北京）股份有限公司 $$