精品解析：江苏省连云港市连云港高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中质量监测数学试题

2024~2025学年度第二学期期中质量监测 高二数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 120 B. 360 C. 720 D. 840 2. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 3. 某医疗小组有3名医生，5名护士，现从中选1名医生和1名护士代表参加医院年终表彰大会，则不同的选法种数为（ ） A. 6 B. 8 C. 15 D. 20 4. 设随机变量服从正态分布，记，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 5. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 3个完全相同的球（无任何差别），放入5个不同的盒子，则不同的放法种数为（ ） A. 35 B. 60 C. 243 D. 125 8. 已知随机变量满足：，当时，，随机变量的取值为，，…，，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于空间向量，，，下列结论正确的是（ ） A. 若存在实数，，使得，则与，共面 B. 若与，共面，则存在实数，，使得 C. 若，，共面，则存在实数，，，使得 D. 若存在实数，，，使得，则，，共面 11. 某次射击比赛中，记事件：“甲射击一次，命中目标”，，常数；事件：“乙射击一次，命中目标”，，假定甲、乙互不影响，各人每次射击互不影响，比赛时，两人同时射击次，事件，，发生的次数分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知盒中装有个红球和个黄球，这些球除颜色外完全相同.从中一次摸出个球，记取到的红球数为随机变量，则的数学期望______. 13. 在的二项展开式中，第3项的二项式系数为______，系数为______. 14. 若随机事件、满足：，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校招募社团干事，涵盖文学社、器乐社和科技社3个社团.已知有5人报名，每人只报1个社团. （1）求不同的报名情况种数； （2）若恰有1个社团无人报名，求不同的报名情况种数. 16. 如图，在直三棱柱中，已知，.试建立恰当的空间直角坐标系解决如下问题： （1）求证：； （2）求二面角的大小. 17. 已知（，且）. （1）当时，求的值； （2）若，求的值. 18. 已知四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形，平面平面，，四棱锥的底面与棱长为1的正三棱柱的侧面恰好重合，拼接成多面体（如图，、重合为点，、重合为点，、重合为点，、重合为点），点，，分别在棱，，上，且. （1）当时， （i）求证：平面； （ii）记的重心为，求线段的长； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求. 19. 某商场进行抽奖活动，规则如下：在一个盒中共有4个大小相同的小正四面体，其中2个类小正四面体（3面印着奇数，1面印着偶数），1个类小正四面体（4面都印着奇数），1个类小正四面体（4面都印着偶数）.顾客先从盒中随机取出1个小正四面体并投掷两次，若两次投掷向下的面都是奇数，则进入最终环节，否则退出，不获得任何消费券.最终环节是从盒中剩余的3个小正四面体中随机取出1个投掷，若投掷向下的面为奇数，则获得300元消费券；否则获得100元消费券. （1）求第1次投掷向下的面为奇数的概率； （2）若某顾客随机取出1个小正四面体投掷两次，向下的面均为奇数，求该小正四面体是类的概率； （3）在某顾客进入了最终环节的条件下，求他获得的消费券金额的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中质量监测 高二数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 120 B. 360 C. 720 D. 840 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数公式直接运算即可. 【详解】因为. 故选：A. 2. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点分布的性质直接求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布， 所以，故C正确. 故选：C 3. 某医疗小组有3名医生，5名护士，现从中选1名医生和1名护士代表参加医院年终表彰大会，则不同的选法种数为（ ） A. 6 B. 8 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】分步乘法计数原理进行求解 【详解】根据题意可知选择医生有3种,选择护士有5种,故种. 故选:C 4. 设随机变量服从正态分布，记，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性，可得，即可由求得答案. 【详解】因，则， 由和正态曲线的对称性，可得， 故. 故选：B. 5. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由和可求得和，再结合向量的投影公式即可求解. 【详解】因为空间向量，，所以， ， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 6. 已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体特征，建立空间直角坐标系，根据空间点到线的距离公式计算即可. 【详解】根据题意，以正方体的顶点为坐标原点，以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，所以，， 设与的夹角为，则， 所以， 所以点到直线的距离为. 故选：D. 7. 3个完全相同的球（无任何差别），放入5个不同的盒子，则不同的放法种数为（ ） A. 35 B. 60 C. 243 D. 125 【答案】A 【解析】 【分析】将3个相同的球放入5个不同的盒子里,可以使用"星与条"的方法解决 【详解】根据题意,. 故选:A 8. 已知随机变量满足：，当时，，随机变量的取值为，，…，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB：根据期望公式分析判断；对于CD：根据方差的意义分析判断. 【详解】由题意可知：，， 可知，故AB错误； 因为，且距比距较近， 即随机变量的波动性较大，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法判断A，C，D，利用二项式定理得到的通项，再结合组合数的性质判断B即可. 【详解】由题意得， 对于A，令，得到， 解得，故A正确， 对于B，由二项式定理得的通项为， 当时，，当时，， 由组合数性质得，即，故B正确， 对于C，令，得到， 由已知得，则，故C错误， 对于D，令，则， 而，两式相减得， 解得，故D正确. 故选：ABD 10. 关于空间向量，，，下列结论正确的是（ ） A. 若存在实数，，使得，则与，共面 B. 若与，共面，则存在实数，，使得 C. 若，，共面，则存在实数，，，使得 D. 若存在实数，，，使得，则，，共面 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AC：根据平面向量基本定理分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面； 综上所述：与，共面，故A正确； 对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误； 对于选项C：若向量共线，则取，可得； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得， 即，可得； 综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确； 对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立， 此时无法判断，，是否共面，故D错误. 故选：AC. 11. 某次射击比赛中，记事件：“甲射击一次，命中目标”，，常数；事件：“乙射击一次，命中目标”，，假定甲、乙互不影响，各人每次射击互不影响，比赛时，两人同时射击次，事件，，发生的次数分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先判断出，，服从二项分布，再利用二项分布的期望公式和方差公式分别求出期望和方差，最后逐个选项判断即可. 【详解】对于A，由题意得事件：“甲射击一次，命中目标”，， 事件：“乙射击一次，命中目标”，， 则，， 由二项分布的期望公式得，， 则，， 即，故A正确， 对于B，由二项分布的方差公式得，， 则，， 则不一定相等，故B错误， 对于C，由题意得假定甲、乙互不影响， 则，相互独立，由独立事件概率公式得， 则，由二项分布的期望公式得， 由二项分布的方差公式得， 由已知得，得到，故C正确， 对于D，由已知得， ，则，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知盒中装有个红球和个黄球，这些球除颜色外完全相同.从中一次摸出个球，记取到的红球数为随机变量，则的数学期望______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知，随机变量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，结合期望公式可求得的值. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、， 则，， 因此，. 故答案为：. 13. 在的二项展开式中，第3项的二项式系数为______，系数为______. 【答案】 ①. 21 ②. 84 【解析】 【分析】利用二项式系数的概念求出第3项的二项式系数，进而利用展开式的通项公式可求第3项的系数. 【详解】二项式展开式的通项为， 则展开式中第3项的二项式系数为；其系数为． 故答案为：；. 14. 若随机事件、满足：，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用并事件的概率公式结合已知条件求出的值，再利用条件概率公式可求出的值. 【详解】因为，， ，所以， 由条件概率公式可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校招募社团干事，涵盖文学社、器乐社和科技社3个社团.已知有5人报名，每人只报1个社团. （1）求不同的报名情况种数； （2）若恰有1个社团无人报名，求不同的报名情况种数. 【答案】（1）243种. （2）90种. 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理运算求解； （2）法1：利用间接法，在5个人报名两个社团的前提下排除5个人报其中同一社团的情况；法2：分“1，4”型和“2，3”型两种情况运算求解. 【小问1详解】 5人报名3个社团，每人只报1个社团，则每人都有3种不同报名方法， 所以不同的报名情况共有种. 【小问2详解】 法1：5个人报名两个社团的情况有种， 5个人报其中同一社团的情况有种， 所以恰有1个社团无人报名的不同情况共有种. 法2：因为“1，4”型有种， “2，3”型有种， 所以恰有1个社团无人报名的不同报名情况共有90种. 16. 如图，在直三棱柱中，已知，.试建立恰当的空间直角坐标系解决如下问题： （1）求证：； （2）求二面角的大小. 【答案】（1） 在直三棱柱中，因为平面，， 故可以为一组基底建立空间直角坐标系（如图）. 因为，则，，，，，. 于是，，由可得. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件建系，求出相关点的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即可证明； （2）在（1）建系基础上，分别求二面角的两个半平面的法向量，利用向量夹角的坐标计算公式即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因，， 设平面的一个法向量， 则，故可取； 又，， 设平面的一个法向量， 则故可取. 设二面角的大小为， 则， 由图知，为锐角，故二面角的大小为. 17. 已知（，且）. （1）当时，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）42； （2）. 【解析】 【分析】（1）代入直接计算即可求解； （2）将和用组合数表达式展开，运用组合数的性质化简，可得，解方程即可. 【小问1详解】 当时，. 【小问2详解】 因为，所以， 即，所以， 所以，解得. 18. 已知四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形，平面平面，，四棱锥的底面与棱长为1的正三棱柱的侧面恰好重合，拼接成多面体（如图，、重合为点，、重合为点，、重合为点，、重合为点），点，，分别在棱，，上，且. （1）当时， （i）求证：平面； （ii）记的重心为，求线段的长； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】（1）证明：由题意得在多面体中， 四棱锥底面为正方形，侧面为等边三角形， 平面平面，，正三棱柱的棱长为1， 设与交于点，的中点为， 则四边形是边长为1，为的菱形， 故不妨以为基底建立空间直角坐标系（如图）. AI 则，，，， ，，， 因为，所以当时，， ，， （i），又平面的一个法向量为， 则.又平面，所以平面. （ii）1 （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用空间位置关系的向量证明求解即可. （ii）利用重心坐标公式结合向量模长公式求解即可. （2）利用线面角的向量求法结合给定条件建立方程，求解参数即可. 【小问1详解】 由题意得在多面体中， 四棱锥底面为正方形，侧面为等边三角形， 平面平面，，正三棱柱的棱长为1， 设与交于点，的中点为， 则四边形是边长为1，为的菱形， 故不妨以为基底建立空间直角坐标系（如图）. 则，，，， ，，， 因为，所以当时，， ，， （i）略； （ii）由重心坐标公式得的重心， 则，由向量模长公式得. 【小问2详解】 易得，， 由向量加法法则得， 设平面的一个法向量为，则，， 即，，令，得. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 得到，解得或. 又因为，所以. 19. 某商场进行抽奖活动，规则如下：在一个盒中共有4个大小相同的小正四面体，其中2个类小正四面体（3面印着奇数，1面印着偶数），1个类小正四面体（4面都印着奇数），1个类小正四面体（4面都印着偶数）.顾客先从盒中随机取出1个小正四面体并投掷两次，若两次投掷向下的面都是奇数，则进入最终环节，否则退出，不获得任何消费券.最终环节是从盒中剩余的3个小正四面体中随机取出1个投掷，若投掷向下的面为奇数，则获得300元消费券；否则获得100元消费券. （1）求第1次投掷向下的面为奇数的概率； （2）若某顾客随机取出1个小正四面体投掷两次，向下的面均为奇数，求该小正四面体是类的概率； （3）在某顾客进入了最终环节的条件下，求他获得的消费券金额的数学期望. 【答案】（1） （2） （3）（元） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设相关事件,分别求出，利用全概率公式计算即得； （2）先利用全概率公式求出积事件的概率，再利用贝叶斯公式求的概率即可； （3）根据第1次抽到的小正四面体分别为A类、类、类，依次计算对应的第2次抽到类，类，类小正四面体向下的面为奇数的概率，即可求得三次投掷小正四面体向下的面都为奇数的概率，由此列出的分布列，计算期望即得. 【小问1详解】 记事件分别表示第1次抽到类，类，类小正四面体， 事件表示第1次投掷向下的面为奇数，事件表示第2次投掷向下的面为奇数， 由题知，，， 则 ， 即第1次投掷向下的面为奇数的概率为. 【小问2详解】 连续投掷两次向下的面均为奇数的概率为 ， 故所求概率为， 则该小正四面体是类的概率为. 【小问3详解】 记事件表示第3次投掷向下的面为奇数， 设第3次投掷获得的消费券为元，的可能取值为300，100. 若第1次抽到的是A类小正四面体， 记事件分别表示第2次抽到类，类，类小正四面体， 则 ； 若第1次抽到的是类小正四面体， 记事件分别表示第2次抽到类，类，类小正四面体， 则 . 所以，. 所以，， 所以他获得的消费券金额的数学期望（元）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $