专题10.5 三元一次方程组（5大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题10.5 三元一次方程组（5大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】三元一次方程（组）的概念 1.三元一次方程概念：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程。 2.由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 【知识点2】三元一次方程组的解 使三元一次方程组中三个方程左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。 【知识点3】解三元一次方程组的基本思路 通过 “代入” 或 “加减” 进行消元，把 “三元” 化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。 【知识点4】解三元一次方程组的一般步骤 1.消元：（1）利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组。（2）再选择另外两个方程，通过同样的方法消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程。 2.求解二元一次方程组： 3求出第三个未知数：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值。 【知识点5】三元一次方程组的应用 解决实际问题时，通常需要根据问题中的等量关系列出三元一次方程组，然后求解方程组得到问题的答案。 考点与题型目录 【考点一】三元一次方程（组）定义及其解 【题型1】三元一次方程（组）.........................................................2 【考点二】解三元一次方程（组） 【题型2】解三元一次方程组（一般方法求解）...........................................2 【题型3】解三元一次方程组（整体思想求解）...........................................2 【题型4】解三元一次方程组（构造三元一次方程组求解）.................................3 【题型5】解三元一次方程组（设参求三元一次方程组的比值）.............................3 【题型6】解三元一次方程组（由三元一次方程组的解求参数）.............................3 【考点三】三元一次方程（组）的应用 【题型7】三元一次方程组的应用.......................................................4 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考...................................................................4 【题型9】拓展延伸...................................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】三元一次方程（组）定义及其解 【题型1】三元一次方程（组） 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（23-24七年级下·全国·课后作业）若是一个关于的三元一次方程，那么 ， ． 【考点二】解三元一次方程（组） 【题型2】解三元一次方程组（一般方法求解） 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： （1） （2） 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）的解是 ． 【题型3】解三元一次方程组（整体思想求解） 【例1】（23-24六年级下·全国·单元测试）解方程组： 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知三元一次方程组，则 （    ） A．20 B．30 C．35 D．70 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）如果 ，那么的值为 【题型4】解三元一次方程组（构造三元一次方程组求解） 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，当时，，当时，；当时，． （1）求a、b、c的值； （2）求当时，y的值． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在等式中，当时，；当时，；当时，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．16 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ， ． 【题型5】解三元一次方程组（设参求三元一次方程组的比值） 【例5】（23-24七年级下·全国·期末）已知，且，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，则 ． 【题型6】解三元一次方程组（由三元一次方程组的解求参数） 【例6】（22-23七年级下·贵州黔东南·阶段练习）若关于，的方程组的解，互为相反数，求的值 【变式1】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）若方程组的解满足，则点在第 象限． 【考点三】三元一次方程（组）的应用 【题型7】三元一次方程组的应用 【例7】（2024七年级下·全国·专题练习）某汽车在相距的两地往返行驶，因为从A到B的行程中有一坡度均匀的小山，所以该汽车从A地到B地需要，而从B地回到A地需要．假设汽车在平地上的平均速度为，上坡的平均速度为，下坡的平均速度为，从A地到B地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少千米？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，共付27.2元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，共付32.4元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付 元． 【题型8】直通中考 【例1】（2023·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 【例2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【题型9】拓展延伸 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 【例2】（22-23七年级上·四川成都·期末）王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.5 三元一次方程组（5大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】三元一次方程（组）的概念 1.三元一次方程概念：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程。 2.由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 【知识点2】三元一次方程组的解 使三元一次方程组中三个方程左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。 【知识点3】解三元一次方程组的基本思路 通过 “代入” 或 “加减” 进行消元，把 “三元” 化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。 【知识点4】解三元一次方程组的一般步骤 1.消元：（1）利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组。（2）再选择另外两个方程，通过同样的方法消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程。 2.求解二元一次方程组： 3求出第三个未知数：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值。 【知识点5】三元一次方程组的应用 解决实际问题时，通常需要根据问题中的等量关系列出三元一次方程组，然后求解方程组得到问题的答案。 考点与题型目录 【考点一】三元一次方程（组）定义及其解 【题型1】三元一次方程（组）.........................................................2 【考点二】解三元一次方程（组） 【题型2】解三元一次方程组（一般方法求解）...........................................3 【题型3】解三元一次方程组（整体思想求解）...........................................5 【题型4】解三元一次方程组（构造三元一次方程组求解）.................................7 【题型5】解三元一次方程组（设参求三元一次方程组的比值）.............................8 【题型6】解三元一次方程组（由三元一次方程组的解求参数）............................10 【考点三】三元一次方程（组）的应用 【题型7】三元一次方程组的应用......................................................12 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考..................................................................13 【题型9】拓展延伸..................................................................15 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】三元一次方程（组）定义及其解 【题型1】三元一次方程（组） 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的方程组，叫做三元一次方程组．根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证． 解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组． A、满足三元一次方程组的定义，故A选项正确； B、，未知量的次数为2次，不是三元一次方程，故B选项错误； C、，未知量的次数为2次，不是三元一次方程，故C选项错误； D、不是整式方程，故D选项错误； 故选：A． 【变式】（23-24七年级下·全国·课后作业）若是一个关于的三元一次方程，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义．根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案． 解：由题意得：， 解得：． 故答案为：，0． 【考点二】解三元一次方程（组） 【题型2】解三元一次方程组（一般方法求解） 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组及三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用代入消元法及加减消元法解此方程组即可． 解：（1）解： ，得．④ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 把代入①，得． 故原方程组的解是； （2）解： 把①代入②，得， 即．④ ，得，解得． 把代入①，得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解为． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三元一次方程组的解法，属于基础题型．消元法的使用是解决这个问题的关键．首先利用和得出关于和的二元一次方程组，从而求出和的值，然后将和代入任何一个式子得出的值，从而得出方程组的解． 解：， 可得：④， 可得：⑤， 可得：， 解得：，将代入④可得：， 将，代入①可得：， ∴方程组的解为：， 故选：． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，直接利用加减消元法消元解方程即可． 解：， ，得：④； ，得：⑤； ，得：，解得：； 把代入④得：，解得：； 把，代入①得：，解得：； ∴方程组的解为：， 故答案为：． 【题型3】解三元一次方程组（整体思想求解） 【例1】（23-24六年级下·全国·单元测试）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，首先，则得到的方程与有两个相同的项，然后与相减，即可求得的值，然后把的值代入求得的值，解三元一次方程组的关键是消元，解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数． 解：由，得： 由，得：， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴原方程组的解集是：． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知三元一次方程组，则 （    ） A．20 B．30 C．35 D．70 【答案】A 【分析】此题考查解三元一次方程组，根据各方程的特点选用加减法将三个方程相加即可求出结果，熟练掌握加减法解方程组是解题的关键． 解：， ①+②+③得， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）如果 ，那么的值为 【答案】 【分析】此题考查了加减法解三元一次方程组，①＋②＋③得到，即可得到答案． 解： ①＋②＋③得到， ， ∴， 故答案为： 【题型4】解三元一次方程组（构造三元一次方程组求解） 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，当时，，当时，；当时，． （1）求a、b、c的值； （2）求当时，y的值． 【答案】（1），，；（2）28 【分析】此题考查了三元一次方程组和代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把x、y的三对对应值分别代入，列出方程组，再求解； （2）把代入，求解． 解：（1）解：由题意得：， 解得：， ∴，，； （2）解：由（1）知， 当时，． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在等式中，当时，；当时，；当时，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查三元一次方程组，把当时，；当时，；当时，代入中，解出的值即可求出结果． 解：根据题意：， 解得：， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ， ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查绝对值非负性，解三元一次方程组；根据绝对值非负性列出三元一次方程组，计算求解即可． 解：根据题意得： 由②得 把代入③ 得： 把，代入① 解得： 故答案为：，1，． 【题型5】解三元一次方程组（设参求三元一次方程组的比值） 【例5】（23-24七年级下·全国·期末）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型． 解：把z看作常数，解关于x、y的方程组 ，得 所以原式 ． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是正确用将表示出来，并代入代数式求解．用将表示出来，代入式子，求解即可． 解：联立，可得 ，即，解得 将代入可得 ， 故选：B． 【变式2】（2025七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，则 ． 【答案】 【分析】根据方程组系数的特点，先消去未知数，得出与的关系，再得出与的关系，最后求比值．本题考查了解三元一次方程组．关键是把其中一个未知数当作已知数，求另外两个未知数与这个未知数的关系． 解：， ①②得：，， ①②得：，， ． 故答案为：． 【题型6】解三元一次方程组（由三元一次方程组的解求参数） 【例6】（22-23七年级下·贵州黔东南·阶段练习）若关于，的方程组的解，互为相反数，求的值 【答案】 【分析】根据已知条件，互为相反数知，然后将代入原方程组，转变为二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 解：，互为相反数， ，即， 将代入原方程组， ， 整理可得， ， 得，，即， 将代入②得，． 【点拨】本题考查了三元一次方程组，加减消元法解二元一次方程组，相反数的应用，解答此题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件． 【变式1】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）若方程组的解满足，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了解三元一次方程组和点坐标所在象限的判定，方程组三方程相加即可求出的值，从而得到k的值，即可得到P的坐标，再进行判断即可． 解：， 得， 整理得， ∴， ∴， 点为， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 【考点三】三元一次方程（组）的应用 【题型7】三元一次方程组的应用 【例7】（2024七年级下·全国·专题练习）某汽车在相距的两地往返行驶，因为从A到B的行程中有一坡度均匀的小山，所以该汽车从A地到B地需要，而从B地回到A地需要．假设汽车在平地上的平均速度为，上坡的平均速度为，下坡的平均速度为，从A地到B地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡各是 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，本题还需注意去时的上坡路是回时的下坡路，去时的下坡路是回时的上坡路，平路不变．正确找到三个等量关系是解题关键设从地到地的行程中，平路为千米，上坡路为千米，下坡路为千米，根据从甲地到乙地，平路所用时间加上坡所用时间加下坡所用时间等于；从乙地到甲地：平路所用时间加上坡所用时间加下坡所用时间等于；平路加上坡路加下坡路等于千米，列方程组求出、、的值即可得答案 解：设从地到地的行程中，平路为千米，上坡路为千米，下坡路为千米，则 ∴， 解得：，，， 答：平路千米、上坡路千米、下坡路千米 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元”，即可得出关于x、y、z的二元一次方程组，此题得解． 解：依题意，得：． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，共付27.2元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，共付32.4元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付 元． 【答案】11 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．设1斤苹果元，1斤西瓜元，1斤橙子元，根据题意列三元一次方程组，利用加减消元法得到，即可得到答案． 解：设1斤苹果元，1斤西瓜元，1斤橙子元， 则， 由得：， 解得：， 即买1斤西瓜和1斤橙子需付11元， 故答案为：11． 【题型8】直通中考 【例1】（2023·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得，，然后作答即可． 解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得， ， 由②得：， 由得：， 则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费元， 故选：A． 【例2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【答案】乙槽 【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作最小的是乙槽． 本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键． 解：设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽． 故答案为：乙槽． 【题型9】拓展延伸 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组． 设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可． 解：如图，设的十位数字是m，个位数字是n，    ∴， ∴， ∴D正确； ∴， ∴B正确，D不正确； ∴乘积结果可以表示为． ∴C正确． 故选：D． 【例2】（22-23七年级上·四川成都·期末）王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人） 【答案】13 【分析】本题主要考查了方程的应用，分类讨论思想， 先设第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，可得，再根据已知得，然后从讨论，进而得出答案． 解：设期末考试第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，则， 即， ∴． ∵为正整数，， ∴． 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴或或， ∴； 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴不符合题意，舍去． 随着的值的减小，的值不断增大，不符合题意． 故答案为：13． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$