4.2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

4.2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用 题型一 两角和与差的正弦公式求值 1．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）若为锐角，，则 ． 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，，，则 ． 题型二 两角和与差的正弦公式的逆用 1．（24-25高一下·四川·阶段练习）的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）计算的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江金华·二模）已知，则 . 题型三 两角和与差的正切公式求值 1．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图，已知E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点F，H分别在边AD，EC上，若．则的值为（    ）    A． B． C． D． 3.（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则 . 4.（24-25高一上·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（以为圆心）交于点．则 ． 5.（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，，且，则的最大值为 ． 题型四 两角和与差的正切公式的逆用 1．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 2．（24-25高一下·湖南长沙·期中）已知，则 ． 3．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）在中，若，则 . 4．（24-25高一下·天津红桥·阶段练习）的值为 5．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知满足，则 ． 题型五 化简求值 1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）（   ） A．2 B．4 C． D． 2．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段练习）（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角 、 满足 ，命题甲：存在 属于第一象限， 属于第三象限: 命题乙: 存在 属于第二象限， 属于第四象限. 则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲、乙都不是真命题 4．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）（    ） A． B． C．1 D． 5．（24-25高一下·江苏·阶段练习）（1）求值：. （2）在中，已知，求角C的大小. 题型六 凑角求值 1．（2025·四川·模拟预测）已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 2．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）设，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D．或 4．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则 ． 5．（24-25高一下·重庆·阶段练习）设为锐角，若，则 ． 题型七 在三角形中的应用 1．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，三个边长为的正方形相连，若，，则（   ） A． B． C． D．1 3．（24-25高一下·四川内江·阶段练习）如图，已知点是等腰直角直角边上的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）(多选)在中，若，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）如图，矩形中，，，点是中点，连接.将沿折叠，点落在点处，则的值为 . 1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知和均为锐角，且，则（    ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知中，，，，点M在边CB上，N在边CA上，且，AM与BN交于点P，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知点，将线段绕坐标原点逆时针转动至，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）(多选)已知，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，角的终边与单位圆在第一象限交于点P．且P的横坐标为，半径绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点 关于x轴的对称点为，角的终边在上，则 ．    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用 题型一 两角和与差的正弦公式求值 1．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数基本关系和两角和的正弦公式进行计算可得结果. 【详解】因为，所以， 由，则， 所以， 则 . 故选：D. 2．（23-24高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 3．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系可得，结合两角和的正弦公式可得结果. 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：B. 4．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）若为锐角，，则 ． 【答案】 【分析】由同角三角函数的平方式，结合题意，求得余弦值，利用正弦和角公式，可得答案. 【详解】由题意可得， 则. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】首先分别求出，，再利用两角和差的正弦和余弦公式即可得到答案. 【详解】由得， 因，则，则， 因为，，则，则， 则，则， 则 ， ， 则. 故答案为：. 题型二 两角和与差的正弦公式的逆用 1．（24-25高一下·四川·阶段练习）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的差角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 2．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的差角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 3．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式即可得解. 【详解】 . 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用诱导公式及和角正弦公式化简求值. 【详解】 . 故选：C 5．（2025·浙江金华·二模）已知，则 . 【答案】/ 【分析】由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 即，所以. 故答案为： 题型三 两角和与差的正切公式求值 1．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. 2.（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图，已知E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点F，H分别在边AD，EC上，若．则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数，结合正切和差角公式即可求解. 【详解】由于，所以, 不妨设小正方形的边长为，则，所以， 由于,所以， 所以, 故选：A    3.（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则 . 【答案】7. 【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解. 【详解】已知， 则， 即， 则， 则， 则. 故答案为：7 4.（24-25高一上·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（以为圆心）交于点．则 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的定义可求出的值，再利用两角和的正切公式可求得的值. 【详解】由三角函数的定义可得， 由两角和的正切公式可得. 故答案为：. 5.（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由两角和的正弦公式化简得，然后转化正切可得，进而将用来表示，从而利用基本不等式可得最大值. 【详解】由得，即， ， 由于，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 故． 故答案为：. 题型四 两角和与差的正切公式的逆用 1．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】应用两角和差的正弦及正切公式计算求解得出，最后应用对数运算化简求值. 【详解】因为， 又因为，所以 所以， ， 则. 故选：A. 2．（24-25高一下·湖南长沙·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】原式． 故答案为： 3．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）在中，若，则 . 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式的变形形式求值. 【详解】首先因为，所以. 这是因为：若，则， 又因为为三角形内角，所以互补，这是不能成立的. 所以. 因为，所以. 又 ， 所以. 所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·天津红桥·阶段练习）的值为 【答案】 【分析】根据题意把要求的式子化为，再利用两角和的正切公式即可求出结果． 【详解】， 故答案为：． 5．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知满足，则 ． 【答案】 【分析】由条件可得，结合两角差的正切公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 所以， 故答案为： 题型五 化简求值 1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由两角差的正切公式变形即可得解. 【详解】 ， 故选：B 2．（24-25高一下·甘肃平凉·阶段练习）（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和的正弦公式化简即可求解. 【详解】 . 故选：. 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角 、 满足 ，命题甲：存在 属于第一象限， 属于第三象限: 命题乙: 存在 属于第二象限， 属于第四象限. 则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲、乙都不是真命题 【答案】C 【分析】利用构造一元二次方程结合韦达定理思想，通过根的正负研究根与系数的关系，最后通过判断别式的符号来判断存在性，从而问题得以解答. 【详解】设是方程的两个根，则， 由于可得：， 对于命题甲，假设存在属于第一象限角， 属于第一象限角， 即，则，解得， 此时， u，可知，， 方程无解，故假设不成立，所以命题甲错误； 对于命题乙，假设存在属于第二象限角， 属于第四象限角， 即，则，解得， 此时， 当时，一定有，则， 满足方程有两个解，此时假设成立，所以命题乙正确； 故选：C. 【点睛】方法点睛：像这种两正切的乘积与两正切的和的关系，转化为一元二次方程韦达定理思想，得到系数的关系，再通过判别式的符号来确定是否存在即可. 4．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】应用诱导公式及正切和角公式得，即可求值. 【详解】由，且， 所以， 则. 故选：A 5．（24-25高一下·江苏·阶段练习）（1）求值：. （2）在中，已知，求角C的大小. 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）应用和角正余弦公式将目标式化为，再应用正切和角公式求值； （2）逆用和角正切公式及已知得，进而有，即可求角的大小. 【详解】（1） ， ∵， ∴原式=. （2）中，已知， 若，则，不合题意； ∴，， 由已知，， ∴，， ∴，∴. 题型六 凑角求值 1．（2025·四川·模拟预测）已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】利用及两角差的正切公式即可求解. 【详解】. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）设，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用正弦的和角公式及商数关系，得到，再由正弦的差角公式，即可求解. 【详解】因为①， 又，整理得到②， 由①②解得，所以， 故选：D. 3．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】结合已知中角的特点，可得，，再根据正切值及已知中角的范围判断，的范围，得到的范围，从而求得角的大小. 【详解】，， ， ， ，，，， ，，，，， . 故选：A. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】由，结合两角差的正弦公式可得答案； 【详解】因则. 又 ，则， . 则 ； 故答案为：. 5．（24-25高一下·重庆·阶段练习）设为锐角，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平方关系可得，再结合，利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】由为锐角，可得， 又，则， 所以 ． 故答案为：. 题型七 在三角形中的应用 1．（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用同角公式、诱导公式及和角的正切公式计算得解. 【详解】在中，由，得，则， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，三个边长为的正方形相连，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据图形先求出的正切值，再利用两角差的正切公式计算即得. 【详解】由图知， 则. 故选：A. 3．（24-25高一下·四川内江·阶段练习）如图，已知点是等腰直角直角边上的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合题设可得，利用差角正切公式求值即可. 【详解】设，则，， 由图可知， 由题意，， 所以 . 故选：B 4．（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）(多选)在中，若，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据两角和与差的正弦公式求出，再由正弦定理求得，即可利用面积公式求解面积，结合选项逐一求解. 【详解】∵是三角形内角， ∴， ∴ ， 由得， ,故BD正确，AC错误， 故选：BD 5．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）如图，矩形中，，，点是中点，连接.将沿折叠，点落在点处，则的值为 . 【答案】 【分析】结合图形，由两角差的正弦展开式结合诱导公式可求. 【详解】由题意可得，，，， 所以， 所以 . 故答案为： 1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知和均为锐角，且，则（    ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】B 【分析】首先根据两角和与差的正弦公式及同角三角函数的商数关系化简得，再根据两角差的正切公式及基本不等式得出，结合正切函数的单调性即可求解． 【详解】因为， 所以，即， 又和均为锐角，所以，，， 所以，有， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 又因为在单调递增，所以， 故选：B． 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知中，，，，点M在边CB上，N在边CA上，且，AM与BN交于点P，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，借助三角形外角定理和四边形内角和定理，用表示，再利用两角和的正切公式求即可. 【详解】如图： 设，，则，同理：. 根据四边形的内角和为，所以， 所以 所以 . 又为锐角，所以，且，. 所以 ，所以. 所以 . 故选：B 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知点，将线段绕坐标原点逆时针转动至，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角三角函数值的定义结合两角和正弦公式运算求解. 【详解】设点是终边上一点，则， 将线段绕坐标原点逆时针转动至，， 由题意可知：点的纵坐标为. 故选：C. 4．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）(多选)已知，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据两角和差的正切公式求出判断AB；根据角的范围及特殊角的正切值判断CD. 【详解】因为， 所以， ，故选项AB正确； 因为，所以，又，， 所以， 因为，所以即，所以C错误，D正确. 故选：ABD 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，角的终边与单位圆在第一象限交于点P．且P的横坐标为，半径绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点 关于x轴的对称点为，角的终边在上，则 ．    【答案】 【分析】利用三角函数的定义结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】因为P的横坐标为所以P的坐标为 由因为半径绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点 所以以为终边的角大小为 关于x轴的对称点为，角的终边在上， 所以角的终边构成的角为 ， 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$