4.2.3&4.2.4三角函数的叠加及其应用与积化和差和差化积（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

4.2.3三角函数的叠加及其应用 4.2.4积化和差和差化积 题型一 辅助角公式 1．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）(多选)若，则的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用辅助角公式化简可得,进而计算可得,根据选项可得结果. 【详解】因为， 且， 所以,解得： ,. 所以的一个可能的值是,. 故选：AB 2．（24-25高一下·辽宁辽阳·阶段练习）(多选)已知函数的最小值为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据两角和的正弦公式及辅助角公式化简后，利用最小值求解即可. 【详解】由 ， 所以函数的最小值为， 即，解得， 所以 ， 故选：AC 3．（24-25高一下·江苏苏州·期中）钝角能使得等式成立，则该钝角的值等于 . 【答案】 【分析】根据给定条件，将正切化成正余弦，再利用辅助角公式变换即可. 【详解】依题意， ，而是钝角， 所以. 故答案为： 4.（24-25高一下·上海·阶段练习）函数，的值域是 【答案】 【分析】根据三角恒等变换化简函数为，利用正弦函数的性质求解. 【详解】， ，，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 5.（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）函数在时函数取得最大值，则 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式计算可得时满足题意，再利用诱导公式计算可得结果. 【详解】易知， 其中； 当时，取得最大值，此时需满足， 即可得，所以； 可知. 故答案为： 题型二 和差化积公式的应用 1．（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和差化积公式，即可求值. 【详解】． 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 3．（22-23高一下·全国·课后作业）若，，则的值为（    ） A．2 B． C．－2 D． 【答案】A 【分析】利用和差化积公式即可得到答案. 【详解】由 ， ， 两式相除得. 故选：A. 4．（24-25高一下·全国·课前预习）将下列各式化成积的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和差化积可求三角函数式积的形式； （2）把化为后可利用和差化积将三角函数式化为积的形式. 【详解】（1） . （2）. 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据和差化积公式即可求解. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 题型三 积化和差公式应用 1．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积化和差可求三角函数式的值. 【详解】原式． 故选：B. 3．（20-21高一·全国·课后作业）（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 【答案】D 【分析】利用积化和差求解, 【详解】解：， ， ， ， 故选：D. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）把下列各式化成和或差的形式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦的积化和差公式即可求解， （2）根据余弦的积化和差公式即可求解. 【详解】（1）原式. （2）原式 5．（24-25高一下·全国·课前预习）求的值． 【答案】 【分析】利用积化和差可求三角函数式的值. 【详解】 1．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）函数取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数得，且，根据取得最大值时，得，利用诱导公式化简即可求解. 【详解】根据辅助角公式，其中， 可得，， 则，， 所以， 当时，取得最大值， 此时，移项可得， 可得， 所以， 故选：A. 2．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，则其最大值与最小值之差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数的解析式，利用正弦函数、余弦函数的基本性质可求出的最大值和最小值，即可得解. 【详解】因为， 当时，即当时， ，即， 此时，； 当时，即当时， ，则， 此时，， 所以，函数的值域为，即，， 因此，函数最大值与最小值之差为. 故选：C. 3．（24-25高一下·内蒙古包头·阶段练习）（多选）若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的值可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】由可得： ； 即是上的“完整函数”，所以存在，使得成立； 即存在，使得成立； 又因为，因此，‘ 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得 综上可知的取值范围为.则的值可以是. 故选：BCD. 4．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（多选）已知，且，则以下正确的有（   ） A． B．值域为 C．在上单调递增 D． 【答案】BC 【分析】先化简得到，再结合正弦型函数的性质逐个判断即可； 【详解】 所以，A错误； 函数的值域为，B正确； 当，可得，故在上单调递增，C正确； 由，可得， 所以， 所以，D错误， 故选：BC 5．（24-25高一上·江苏南京·期末）如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有 . ①； ②； ③点的坐标为； ④点的坐标为 【答案】①②③ 【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D. 【详解】，①正确； 依题意，知为的中点，，②正确； 又为劣弧的中点，， 又，点的坐标为，③正确： 为的中点，，则点的坐标为， ， ， 点的坐标为，④错误. 故答案为：①②③. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.3三角函数的叠加及其应用 4.2.4积化和差和差化积 题型一 辅助角公式 1．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）(多选)若，则的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁辽阳·阶段练习）(多选)已知函数的最小值为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏苏州·期中）钝角能使得等式成立，则该钝角的值等于 . 4.（24-25高一下·上海·阶段练习）函数，的值域是 5.（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）函数在时函数取得最大值，则 ． 题型二 和差化积公式的应用 1．（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 3．（22-23高一下·全国·课后作业）若，，则的值为（    ） A．2 B． C．－2 D． 4．（24-25高一下·全国·课前预习）将下列各式化成积的形式： (1)； (2)． 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 积化和差公式应用 1．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）等于（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一·全国·课后作业）（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）把下列各式化成和或差的形式： (1)； (2). 5．（24-25高一下·全国·课前预习）求的值． 1．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）函数取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，则其最大值与最小值之差为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古包头·阶段练习）（多选）若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的值可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（多选）已知，且，则以下正确的有（   ） A． B．值域为 C．在上单调递增 D． 5．（24-25高一上·江苏南京·期末）如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有 . ①； ②； ③点的坐标为； ④点的坐标为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$