第十章 三角恒等变换（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

第十章 三角恒等变换章末检测 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 3. 答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题答题卡交回。 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知角的终边上一点P的坐标为，则（    ） A． B． C． D．3 2．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A．4 B．2 C． D． 5．下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，则的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 7．函数的图像（   ） A．关于原点对称 B．关于y轴对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 8．如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（   ） A．5.861 B．5.674 C．5.076 D．4.926 因二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．“黄金分割”体现了和谐之美．把大小为的角分为不等的两个角，用表示较小的角，若满足，则称为黄金分割角．许多植物相继出现的叶片之间的夹角恰好等于黄金分割角，如图中编号相邻的叶片之间的夹角都等于黄金分割角，这种排布不仅是自然界和谐之美的体现，还可以增加叶片的受光面积．对于黄金分割角，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则的值为 ． 13．已知角是第二象限角，且，则 ． 14．已知函数，且函数图象过点，则函数在区间上的最小值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知 (1)求的值； (2)求的值： (3)求的值. 16．已知函数. (1)求的最小正周期及对称轴、对称中心； (2)求单调递增区间； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．已知为锐角，． (1)求证：； (2)的值． 18．已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数.其图象如图所示： (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间同时投产时的最大污水排放量； (3)受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 19．设，我们常用来表示不超过x的最大整数.如：，. (1)已知的两根是，，.求的值； (2)在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则的最小值为m，求的值. (3)已知，，若对，，使不等式成立，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 三角恒等变换章末检测 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 3. 答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题答题卡交回。 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知角的终边上一点P的坐标为，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由题意，得， 则. 故选：C. 2．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， ， 所以. 故选：B 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方的方法求得正确答案. 【详解】由两边平方得， 即. 故选：C 4．已知，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由题，可得，利用二倍角余弦公式化简运算得解. 【详解】由，得， . 故选：A. 5．下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据二倍角公式、两角差的正弦公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项， ，B选项错误. C选项，，C选项错误. D选项，，D选项正确. 故选：AD 6．已知向量，则的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积公式求出，再求出，最后将二者相加并结合三角函数和二次函数性质即可求出最大值. 【详解】由题， ， 所以 ， 所以， 令，则，. 所以时取得最大值为. 故选：B 7．函数的图像（   ） A．关于原点对称 B．关于y轴对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 【答案】B 【分析】对函数化简后，对于AB，通过判断函数的奇偶性分析判断，对于C，求出对称轴进行判断，对于D，求出函数的对称中心进行判断. 【详解】的定义域为， ， 对于AB，因为，所以为偶函数， 所以的图象关于轴对称，所以A错误，B正确； 对于C，因为的对称轴为直线，所以C错误； 对于D，因为的对称中心为，所以D错误. 故选：B 8．如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（   ） A．5.861 B．5.674 C．5.076 D．4.926 【答案】C 【分析】作出辅助线，用圆半径的表示出，结合已知求出，再用三角恒等变化求解. 【详解】令圆切直线于点，连接，设圆半径为， 依题意，， 则，则，得， 因此 .    故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据二倍角公式可判断选项AB；根据辅助角公式及诱导公式可判断选项C；根据两角差的正切公式可判断选项D. 【详解】，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D正确. 故选：CD. 10．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由两角和与差的余弦和正切以及同角的三角函数关系逐项判断即可. 【详解】由题意可得，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D错误； 故选：BC 11．“黄金分割”体现了和谐之美．把大小为的角分为不等的两个角，用表示较小的角，若满足，则称为黄金分割角．许多植物相继出现的叶片之间的夹角恰好等于黄金分割角，如图中编号相邻的叶片之间的夹角都等于黄金分割角，这种排布不仅是自然界和谐之美的体现，还可以增加叶片的受光面积．对于黄金分割角，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意可得，结合每个选项计算判断其正误即可得结论. 【详解】因为，故， 是把大小为的角分为不等的两个角中较小的角，故，， 易知，故，，故A正确； 由可得，，故，故B错误； 由可得，，故， 即，故C正确； 由可得，，故①， ②，由①，②可知，故D正确． 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据对数运算法则求出，将化为，再利用齐次式弦化切即可求得答案. 【详解】， . 故答案为：. 13．已知角是第二象限角，且，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系分别求出的正切值，再利用正切的二倍角公式求出. 【详解】因为角是第二象限角，， 所以，则， 所以． 故答案为： 14．已知函数，且函数图象过点，则函数在区间上的最小值为 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式结合题目条件可得函数的解析式，根据的范围可得的最小值. 【详解】由题意得，， ∵函数图象过点，∴， ∵，∴， ∴，解得， ∴. ∵，∴， 结合在单调递减， ∴函数在区间上的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知 (1)求的值； (2)求的值： (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由即可得，再由即可求解； （2）根据二倍角公式即可求解； （3）根据两角和的余弦公式即可求解. 【详解】（1）由有， ； （2）所以； ； （3）. 16．已知函数. (1)求的最小正周期及对称轴、对称中心； (2)求单调递增区间； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，对称轴为，对称中心为 (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）结合正弦函数的性质计算可得； （3）由的范围求出的范围，即可求出函数的值域，从而得解. 【详解】（1）因为 ， 即，所以的最小正周期， 令，解得，故对称轴为； 令，解得，故对称中心为. （2）令， 解得，所以单调递增区间为； （3）当时，，所以， 则在上的值域为， 因为不等式恒成立，所以，即实数的取值范围为. 17．已知为锐角，． (1)求证：； (2)的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由两角和的正弦公式展开求解出，然后证明即可； （2）由（1）求出的值，然后利用平方和关系结合角的范围求解即可. 【详解】（1）证明：因为， 所以，又， 所以， 所以，即 所以 （2）， 所以， 因为为锐角，所以，所以， 所以，所以. 18．已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数.其图象如图所示：      (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间同时投产时的最大污水排放量； (3)受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 【答案】(1) (2)m3 (3)推迟2小时 【分析】（1）利用图象可得，再将点代入即可求； （2）构造时刻的污水排放量，利用两角和差的余弦公式以及辅助角公式化简即可； （3）设乙车间比甲车间推迟小时投产，再构造时刻的污水排放量，化简解不等式即可. 【详解】（1）由图可得，， ，， 将代入，得， 又，， ， 所求函数的解析式为； （2）两车间同时投产时刻的污水排放量为甲、乙两车间污水排放量之和， 此时甲车间污水排放量为，乙车间污水排放量为， 故时刻的污水排放量 ， ，. 故两车间同时投产时的最大污水排放量为m3； （3）设乙车间比甲车间推迟小时投产，因其周期为，故， 故时刻的污水排放量， ， ， ，即， 则，， 由，故，结合余弦函数图象得，得， 故为满足环保要求，乙车间至少需比甲车间推迟2小时投产. 19．设，我们常用来表示不超过x的最大整数.如：，. (1)已知的两根是，，.求的值； (2)在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则的最小值为m，求的值. (3)已知，，若对，，使不等式成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)3 (2)1 (3) 【分析】（1）直接解出方程，再根据的定义即可得到答案； （2）由正弦定理边化角及三角恒等变换化简可得与用的代数式表示，代入所求式子中结合基本不等式求解即可. （3）将转化为关于的二次函数在上求其最大值，进而将问题转化为在上恒成立，运用分离参数可得在上恒成立，进而由函数单调性性质判断单调性求其最大值，结合函数单调性定义判断的单调性求其最小值即可. 【详解】（1），解得， 因为，即，则. （2）由已知得，， 又因为 ， 所以， 所以，即， 所以， 即， 所以， 所以， 又因为为锐角三角形，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值. 又，因此. （3）， 当时，，故，故 因为对，使不等式成立， 故在上恒成立， 故在上恒成立，而在上恒成立， 故在上恒成立， 设，， 因为在上均为增函数，故，为增函数， 故， 设， 设， 则， 而，故，故， 即，故为减函数， 故，故. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$