1.8三角函数的简单应用（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

1.8三角函数的简单应用 题型一 三角函数在物理学中的应用 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间满足关系式，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为（    ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 2．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在匀强磁场中，一不计重力的带电粒子在磁场作用下逆时针做匀速圆周运动，以运动轨迹的中心为圆心，建立坐标系，已知轨迹半径为3cm，粒子旋转一周需要的时间为2s．若从点处开始计时，则该带电粒子运动的过程中与轴所在平面的距离与时间的函数关系式可以为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一上·甘肃白银·期末）（多选）已知一正弦电流（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．在一个周期内，电流不超过30A的时长为 4．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为 s． 5．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 题型二 三角函数在实际生活中的应用 1．（24-25高一下·全国·课后作业）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在千元的基础上，按月呈的模型波动（为月份），已知月份达到最高价千元，月份价格最低为千元，根据以上条件可确定的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏淮安·期末）（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（　　） A．点P所满足的函数表达式为 B．点P第一次到达最高点需用时5秒 C．P再次接触水面需用时10秒 D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 3．（24-25高一上·全国·课后作业）如图为一个钟摆的示意图，其中是钟摆能向左摆动的最大位置，角为钟摆在运动过程中与的夹角，已知与时间（单位：s）满足函数关系式，且频率为，从最大处开始计时，则该函数的初相为 ．    4．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条.行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型为，x表示时间，车辆驾枝人员血液酒精含量阈值： 驾驶行为类别 阈值（mg/100mL） 饮酒驾车 醉酒驾车 根据上述条件，回答以下问题： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间x以整小时计）（参考数据：，） 5．（24-25高一上·全国·课后作业）某地区的一种特产水果最早一批在每年11月上市，上市初期产量较低，因此价格居高且逐渐上涨，中期产量增大时价格逐渐下跌，后期又由于供应量不足价格上涨，其销售价格（单位：元/千克）随着月份的变化满足函数（，其中1表示十一月份，2表示十二月份，…），经调查统计，一月份该水果的平均销售价格为10元/千克，五月份该水果的平均销售价格为6元/千克． (1)求函数的解析式； (2)若该水果价格小于7元/千克时，果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道，则每年哪几个月份需要采取外销策略？ 题型三 建立三角函数模型解决实际问题 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是 . 2．（24-25高一上·福建福州·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，. (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值. 3．（22-23高一下·河南漯河·阶段练习）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后，求点P的横坐标； (2)t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式. 4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）我校南门有条长米，宽米的道路（如图所示的矩形），路的一侧划有100个长米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中. (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 5．（23-24高一下·江西萍乡·期中）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米. (1)盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：） 1．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 2．（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，已知扇形的半径为，其圆心角为，四边形是该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为      A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南濮阳·期末）（多选）在天文观测中，某恒星的亮度随时间，单位：百年）的变化曲线可以用函数来描述．观测发现在和时，该恒星的亮度均为，而在时，恒星处于最亮状态，则下列说法正确的有（   ） A．在区间内，恒星亮度变化曲线的对称轴一定是奇数条 B．在区间内，恒星的亮度为的次数一定是偶数次 C．在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次 D．在区间内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次 4．（23-24高一上·吉林·期末）（多选）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．当时，水深度达到 D．已知函数的定义域为，有个零点，则 5．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）已知函数.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象. (1)求函数在区间[，]上的单调递减区间； (2)若对于恒成立，求实数m的范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.8三角函数的简单应用 题型一 三角函数在物理学中的应用 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间满足关系式，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为（    ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 【答案】A 【分析】根据题意，当时求出即可. 【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期，当时，， 所以开始计时时该振子位移为，则该振子第一次到达位移最小点所用时间为． 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在匀强磁场中，一不计重力的带电粒子在磁场作用下逆时针做匀速圆周运动，以运动轨迹的中心为圆心，建立坐标系，已知轨迹半径为3cm，粒子旋转一周需要的时间为2s．若从点处开始计时，则该带电粒子运动的过程中与轴所在平面的距离与时间的函数关系式可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表示距离为非负数排除AC,根据函数的单调性可判断BD. 【详解】由题意知，表示距离为非负数，A，C错误； 粒子从起始位置开始运动，到轴的距离逐步增加，达到最大值后开始减小， 中，当时，，函数单调递增，满足题意，B正确； 中，当时，，函数单调递减，D错误． 故选；B 3．（24-25高一上·甘肃白银·期末）（多选）已知一正弦电流（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．在一个周期内，电流不超过30A的时长为 【答案】ABD 【分析】由图象可得A正确；由周期公式可得B正确；由图象可得C错误；令可得D正确； 【详解】对于A，由图可知，故A正确； 对于B，由，得，则，故B正确； 对于C，由，得，得． 因为，所以，故C错误； 对于D，由，得， 得，得， 所以在一个周期内，电流不超过30A的时长为，故D正确； 故选：ABD. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为 s． 【答案】4 【分析】根据题意有被动轮和主动轮同时转动，转动时间相同，据此可以得到周期，由此可得两点再次同时回到初始位置的时间. 【详解】设主动轮、被动轮的周期分别为，则， 故，所以，故需要经过4s，同时回到起点． 故答案为： 5．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 【答案】(1)，. (2)次. 【分析】（1）根据最高点与最低点间距离和两次到达最高点的最短时间可分别得到A和最小正周期T，由此可得解析式； （2）由频率与周期的关系即可直接得答案. 【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以. 因为在时，小球位于最高点，所以，解得，. 因为，所以. 所以，. （2）小球振动的频率，即每秒钟小球能往复振动次. 题型二 三角函数在实际生活中的应用 1．（24-25高一下·全国·课后作业）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在千元的基础上，按月呈的模型波动（为月份），已知月份达到最高价千元，月份价格最低为千元，根据以上条件可确定的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的最小正周期，可求出的值，根据函数的最值可得出关于、的方程组，可解出这两个量的值，再由结合的取值范围可求出的值，由此可得出函数的解析式. 【详解】因为月份达到最高价千元，月份价格最低为千元， 所以函数的最小正周期为，则， 又，解得，所以， 因为，可得， 所以，则， 因为，则， 因此. 故选：A. 2．（24-25高一上·江苏淮安·期末）（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（　　） A．点P所满足的函数表达式为 B．点P第一次到达最高点需用时5秒 C．P再次接触水面需用时10秒 D．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】BC 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 3．（24-25高一上·全国·课后作业）如图为一个钟摆的示意图，其中是钟摆能向左摆动的最大位置，角为钟摆在运动过程中与的夹角，已知与时间（单位：s）满足函数关系式，且频率为，从最大处开始计时，则该函数的初相为 ．    【答案】 【分析】由频率确定周期，从而得到，再结合时，，即可求解. 【详解】因为频率，即，所以，故， 由已知可得当时，，解得，该函数的初相为． 故答案为： 4．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条.行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型为，x表示时间，车辆驾枝人员血液酒精含量阈值： 驾驶行为类别 阈值（mg/100mL） 饮酒驾车 醉酒驾车 根据上述条件，回答以下问题： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间x以整小时计）（参考数据：，） 【答案】(1)1.5小时，最大值是53毫克/百毫升 (2)6小时 【分析】（1）在时，取得最大值，由正弦函数的性质求解； （2）在时，解不等式可得． 【详解】（1）由图可知，当函数取得最大值时，. 此时. 当时，即时，函数取得最大值为， 故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是53毫克/百毫升; （2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升可以驾车，此时， 由，即， 解得， ，的最小值为6，故某人故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）某地区的一种特产水果最早一批在每年11月上市，上市初期产量较低，因此价格居高且逐渐上涨，中期产量增大时价格逐渐下跌，后期又由于供应量不足价格上涨，其销售价格（单位：元/千克）随着月份的变化满足函数（，其中1表示十一月份，2表示十二月份，…），经调查统计，一月份该水果的平均销售价格为10元/千克，五月份该水果的平均销售价格为6元/千克． (1)求函数的解析式； (2)若该水果价格小于7元/千克时，果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道，则每年哪几个月份需要采取外销策略？ 【答案】(1) (2)每年4月、5月、6月这三个月需要采取外销策略 【分析】（1）根据，，代入运算求解即可； （2）令，可得，结合正弦函数运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，解得， 所以． （2）令，即， 则，解得， 因为，则，故可取6，7，8， 因此每年4月、5月、6月这三个月需要采取外销策略． 题型三 建立三角函数模型解决实际问题 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】当时，求出的长，利用三角形的面积公式可判断①；利用函数的单调性可判断②；推导出，可判断③. 【详解】设交正方形于点，如图所示： 对于①，当时，因为，则， ,故①正确； 对于②，不妨设， 则由题意可知，从到，阴影部分面积不断扩大，即， 所以，， 因为即，所以，，故②错误； 对于③，根据题意可知，当时，表示射线未经过正方形的面积， 所以，表示正方形的面积，即， 故当时，则，，且， 所以，成立，故③正确. 故答案为：①③. 2．（24-25高一上·福建福州·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，. (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用锐角三角函数的定义求出 、 的长，然后根据面积公式算出 的面积； （2）根据题意，用关于 的三角函数式表示出三角形区域 的面积 ，然后根据换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质求出三角形区域 面积的最大值. 【详解】（1）设 与 相交于点 ，则 ， 可得 ， ， 因为 等于 到 的距离， 所以 ， 即 的面积为 . （2）过点 作 于点 ，则 ， 且三角形区域 面积为 ， 设 ，由 ，得 所以 ， 结合 ，可得 当 时， 取得最大值， 即三角形区域 面积的最大值为 . 3．（22-23高一下·河南漯河·阶段练习）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后，求点P的横坐标； (2)t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出一秒钟后的大小，利用三角函数知识可解决问题； （2）由（1）分析可表示出t秒钟后，点P的横坐标，然后可得答案. 【详解】（1）因运动速度为2秒一周，则每秒钟运动角度为. 初始位置为，与x轴正方向夹角为，则一秒后对应角度为. 则此时P的坐标为：，则横坐标为. （2）由（1）分析可得：t秒钟后，点P的横坐标为. 则t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式为：. 4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）我校南门有条长米，宽米的道路（如图所示的矩形），路的一侧划有100个长米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中. (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 【答案】(1)， (2)， (3)个 【分析】（1）根据图，找到的等角，解直角三角形即可； （2）在（1）的思路下结合图，解直角三角形，表示出即可； （3）由（2）和先求出，设改造后停车位数量的最大值为，由图可得第个车位顶点到的距离为，利用求解. 【详解】（1）注意到，又， 则. 则， 又，则，； （2）由图，， 又由（1），则， 即，； （3）由（2），. 则，则， 化简得：，解得或. 因，则，故， 设改造后停车位数量最大值为. 如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为. 则顶点到线段距离为：. 又由图及题意可得：，， 则. 注意到，则. ，则. 则，，又. 则， 令, 即改造后最大停车位数量为，则改造后的停车位比改造前增加个. 【点睛】关键点睛：本题前两问需利用三角函数及几何知识，用已知量表示未知量；第三问，需将车位数量和停车位顶点到停车场边界距离联系起来，然后在利用之前所得到的部分结论解决问题. 5．（23-24高一下·江西萍乡·期中）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米. (1)盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：） 【答案】(1)， (2)秒 【分析】（1）首先以点为原点，建立平面直角坐标系，利用三角函数表示； （2）由题意转化为，转化为三角不等式问题，即可求解. 【详解】（1）以简车中心为原点，与水面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 由题知，， 又筒车半径为6，点的纵坐标为3，则， 由题知，，解得，， 故，； （2）如图，作弦平行且等于盛水槽，则在中， ，，，则， 则距离水面的高度， 盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽， 即当时符合题意， 则，即，解得， 因为，所以盛水筒转一圈的过程中，能把水倒入盛水槽的时间为秒. 1．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是准确求出函数解析式，D选项容易理解为函数值相同，实际只需函数值的绝对值相同即可. 2．（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，已知扇形的半径为，其圆心角为，四边形是该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据几何图形的性质把矩形面积表示成关于的三角函数最值问题. 【详解】连接，设，则，由已知可得：三角形是等腰直角三角形，即， 所以， 故矩形的面积为： 显然当时，取得最大值， 故选:B 3．（24-25高一上·河南濮阳·期末）（多选）在天文观测中，某恒星的亮度随时间，单位：百年）的变化曲线可以用函数来描述．观测发现在和时，该恒星的亮度均为，而在时，恒星处于最亮状态，则下列说法正确的有（   ） A．在区间内，恒星亮度变化曲线的对称轴一定是奇数条 B．在区间内，恒星的亮度为的次数一定是偶数次 C．在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次 D．在区间内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次 【答案】BC 【分析】对取特殊即可排除A选项和D选项；由三角函数的对称性及最值判断B选项和C选项； 【详解】当时，在区间内恒星亮度变化曲线有2条对称轴，故A错误； 由于时，恒星处于最亮状态，即函数取最大值， 可解得，故，则是函数的对称轴， 区间关于对称，故恒星的亮度为的次数一定是偶数次，B正确； 因为当和时，该恒星的亮度均为，且时恒星处于最亮状态，， 故，则，即时取最小值， 在内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次， 在内，由于区间关于对称，且时取最小值，故恒星达到最暗的次数一定是奇数次， 故在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次，故C正确； 当时，，在区间内恒星达到最暗的次数只有1次，故D错误． 故选：BC． 【点睛】方法点睛，本题重点考查的内容是三角函数的图像及性质，通过三角函数的最值及对称性来解决本题. 4．（23-24高一上·吉林·期末）（多选）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．当时，水深度达到 D．已知函数的定义域为，有个零点，则 【答案】ACD 【分析】根据图象的最值求出，再根据图象得到其周期则得到，代入最高点求出，则得到三角函数解析式，则判断A，再结合其对称性即可判断B，代入计算即可判断C，利用整体法和其对称性即可判断D. 【详解】对A，由图知，，，； 的最小正周期，； ，，解得：， 又，，，故A正确； 对B，令，，解得，，当时，， 则，则函数的图象关于点对称，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，则，令， 则，令，则根据图象知两零点关于直线， 则，即，则，则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式，再根据其对称性等性质逐项分析即可. 5．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）已知函数.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象. (1)求函数在区间[，]上的单调递减区间； (2)若对于恒成立，求实数m的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式可将化为，因[，]，则 ，后由在上的单调递减区间可得答案； （2）由题可得，后利用在单调性可得. 方法1：令，则等价于 ，，后分三种情况，利用分离参数结合函数单调性可得答案； 方法2：令，则等价于 ，，则，即可得答案. 【详解】（1） . 因[，]，则，又分别在上单调递增和递减， 则，即函数在区间[，]上的单调递减区间为； （2）函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 所得解析式为， 又将所得函数图象向右平移个单位长度， 解析式为，则. 因，则. 又在上单调递增，在上单调递减， 则，故. 方法1：令，则等价于 ，. 当时，，则此时m可取任意值； 当时，， 注意到函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，则； 当时，， 注意到函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，则； 综上可得：. 方法2：令，则等价于 ，. 则. 【点睛】关键点点睛：本题涉及求正弦型函数的单调区间及恒成立问题，难度较大. （1）问较为基础，（2）问为恒成立问题，方法1转化为最值问题，方法2利用二次函数观点解决问题. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$