重难点02 函数的图象、性质与综合问题(12大题型+高分技法+限时提升练)-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练(上海专用)

重难点02 函数的图象、性质与综合问题 上海中考函数部分聚焦一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，分值约 32 分，占代数板块近三分之-。考情呈现三大方向: 基础应用:重点考查函数解析式求法(待定系数法)、定义域、函数值计算，以及图象平移、对称变换等几何特征。 综合能力:以函数为工具解决几何问题，如抛物线与直线交点、图形翻折中的坐标变换，或结合锐角三角比、相似三角形的动态分析 。压轴题常设计为函数与几何的跨学科问题，需运用分类讨论、数形结合思想 题型一 一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．求交点：轴交点为轴交点为。 2．符号分析：轴正半轴需异号），负半轴则同号；轴正负由 直接判断。 3．面积公式：与坐标轴围成三角形面积为，取绝对值防错。 4．避坑点：勿忘，实际问题注意定义域，计算横截距别漏负号。 典例1已知直线在x轴上的截距为1，则实数m的值为（   ） A．2或 B．2或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、解分式方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题的考点是直线在坐标轴上的截距的定义，即求出直线与坐标轴的交点坐标，由题意，令代入直线方程求出x的值，即是在x轴上截距1再求出m． 【详解】解：由题意知，令，得在x轴上截距为， 即， 解得，或． 经检验均为方程的根，且符合题意， 故选：A． 1-1（2024·上海·三模）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（ ） A． B．5或 C． D．或3 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、一次函数与轴交点问题，读懂轴点函数的定义是解题的关键．根据题意，用表示出点、的坐标，代入，解出即可得到答案． 【详解】解：函数（为常数，）的图象与轴交于点 其轴点函数与轴的两个交点为、 或 解得：或 故选：D． 1-2（2024·上海·模拟预测）一次函数与x轴夹角的余切值为 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，三角函数的定义，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点求法及余切值的定义是解题的关键．先求出与轴和轴的交点坐标，再利用余切值的定义求解即可． 【详解】解：设一次函数与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 即， 则， 当时，解得：， 即， 则， 则， 则一次函数与x轴夹角的余切值为． 故答案为： 1-3（2024·上海黄浦·二模）将直线向上平移2个单位，所得直线与x轴、y轴所围成的三角形面积是 ． 【答案】1 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度得到：， 令，即， 解得， 令，得， 所以直线与轴和轴的交点坐标分别为：与， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 故答案为：1． 题型二 根据一次函数增减性求参数 1．核心规律：一次函数中，时单调递增，时单调递减，增减性仅由符号决定。 2．求参步骤： 根据题意明确增减性，直接得出或； 若含其他条件（如过点，与其他函数比较），联立方程／不等式（如递增时，结合点坐标求范围）。 3．避坑关键： 必须保证（一次函数定义）； 注意不等式方向，避免符号混淆（如递减勿写成）。 核心：紧扣的符号，结合条件列不等式，勿忘一次函数定义。 典例2当时，y与x的函数解析式为，则y的范围是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数自变量或函数值 【分析】代入及，求出值，进而可得出的范围．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 【详解】解：当时，； 当时，， 当时，的范围是． 故答案为：． 2-1若函数，的值随着的值增大而增大，则常数的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查一次函数的增减性，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据中，，每个象限y随x的增大而增大；，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故答案为：． 2-2（2023·江苏南通中）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】根据题意和一次函数的性质可得到，然后求解即可． 【详解】解：一次函数， 随的增大而增大， 对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，明确题意，列出正确的不等式是解题的关键． 2-3（静安区模拟）已知点在双曲线上． （1）求此双曲线的表达式与点的坐标； （2）如果点在此双曲线上，图像经过点、的一次函数的函数值随的增大而增大，求此一次函数的解析式． 【答案】（1），；（2）． 【知识点】求反比例函数解析式、根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式 【分析】（1）把点A（2，m+3）代入求得m，即可求出结果； （2）把点B（a，5-a）代入求得a得到B点的坐标，根据A点坐标和函数的增减性排除掉不符合题意的点，再由待定系数法求出一次函数解析式． 【详解】解：（1）∵点A（2，m+3）在双曲线上， ∴， 解得：m=-6， ∴m+3=-3， ∴此双曲线的表达式为， 点A的坐标为（2，-3）； （2）∵点B（a，5-a）在此双曲线上， ∴， 解得：a=-1或a=6， 经检验：都是原方程的根，且符合题意， ∴点B的坐标为（-1，6）或（6，-1）， ∵一次函数的函数值随的增大而增大，由（1）知A（2，-3）， ∴点B的坐标只能为（6，-1）， 设一次函数的解析式为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 题型三 行程问题（一次函数的实际应用） 1．建模核心：设时间为，距离为，一次函数表示为（为速度，为初始距离），注意速度方向（正负代表相向／同向）。 2．关键条件： 相遇：两函数值相等，联立求； 追及：速度差不为0时，通过距离差列方程（如慢）。 3．图像应用：交点为相遇时间，截距分别为初始位置，斜率为速度，注意横轴（时间），纵轴（距离）实际意义。 4．避坑点： -单位统一（如速度与时间需转换）； 定义域，距离非负，勿忽略实际情境限制（如到达终点后停止）。 核心：用 建模，抓相遇／追及条件联立方程，结合图像与实际定义域。 典例3（2024·上海浦东新·三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 【答案】12或 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用．小明离家时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家，利用路程速度可得此时间，第二个时间利用段解析式可求得． 【详解】解：小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为， 当小明离从家出发时，所用时间为：（分钟）； 如图，，， 设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， 当时，，解得， 即小明返回离家时，他离开家所用的时间是． 综上所述，当小明离家时，他离开家所用的时间是或． 故答案为：12或． 3-1（2024·上海黄浦·三模）在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题： (1)求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式； (2)若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 【答案】(1)； (2)小时． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）求出两人途中相遇的时间，可求出小刚此时距地的距离，再算出相遇后两人相距千米的时间，求出此时小刚距的距离，进而求出小刚到达地的时间，然后求出小刚从地返回地与小明相距的时间，把两个时间相加即为两人无法用无线对讲机保持联系的总时间； 本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，小明骑自行车的速度为千米小时， ∴小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式为； （2）解：由图可得，小刚骑电动车的速度为千米小时， 当两人在途中相遇时，有， ∴， 此时，小刚距地千米， 相遇后设小时两人相距千米，则， ∴， 此时，小刚距地千米，到达需要的时间为， 设小刚从地返回地小时与小明相距千米， 则， 解得， ∴两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间为小时． 3-2（2024·上海杨浦·一模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像． 根据图像提供的信息回答下列问题： (1)图中的_______，______； (2)求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； (3)她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)提速后y关于x的函数解析式为． (3)能．理由见解析 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据图象求出a的值，根据“离目的地的路程=家与目的地之间的距离-行驶的路程”可计算b的数值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）当时求出对应x的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ． （2）设提速后y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标和代入， 得 ， 解得 ， ∴提速后y关于x的函数解析式为． （3）能．理由如下： 当她们到达目的地时，， 得， 解得， 小时=6时12分， ∴她们于12：12分到达目的地． 题型四 新情境一次函数的应用 1．审题建模：抓变量关系（如单价数量，速度时间），设自变量，因变量，判断线性关系（ 。 2．确定表达式：用待定系数法（两组对应值求 $k, b$ ），或根据情境直接列式（如固定成本，单位变动成本）。 3．定义域约束：结合实际意义（如，整数解），图像取线段或射线，求最值时关注端点。 4．图表分析：从表格／图像中提取点坐标，识别截距（初始值）和斜率（变化率），解释实际意义（如横轴临界点）。 5．避坑关键：勿混淆一次函数与非线性模型，单位统一，结果符合现实逻辑（如数量非负）。 核心：建模抓＂线性关系＋实际约束＂，用解析式与定义域解决新情境问题。 典例4（2024·上海·模拟预测）甲、乙两个质点分别在两个并排直轨道上运动，其速度随时间的变化规律分别如图中a、b所示，图线a是直线，图线b是抛物线，时间内图线a、b与横轴围成的面积相等，抛物线顶点的横坐标为，下列说法正确的是（　　） A．时间内甲、乙的位移大小不相等 B．时间内甲、乙的位移大小之比为 C．时间内乙的平均速度大于甲的平均速度 D．时间内甲的加速度一直小于乙的加速度 【答案】B 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了图象，解题的关键是知道图象与坐标轴围成的面积表示位移．根据数学知识计算时间内两质点的位移，即可得到位移之比；平均速度是位移与时间的比值，比较位移的大小即可得到平均速度的大小， 图象切线的斜率表示加速度，据此求解即可． 【详解】解∶ 图象中，图线与时间轴围成的面积表示位移， 时间内图线a、b与横轴的面积相等，则甲、乙的位移大小相等，故选项A错误，不符合题意； 图线B是抛物线，根据抛物线的特点可知，设时间内甲、乙的位移为x，由几何关系得时间内甲的位移为，由抛物线的对称性可知乙的位移为，则甲、乙的位移大小之比为，故选项B正确，符合题意； 时间内a与坐标轴围成的面积大于b与坐标轴围成的面积，可知此时间段内甲的位移大于乙的位移，则甲的平均速度大于乙的平均速度，故选项C错误，不符合题意； 图象中图线的斜率等于加速度，则根据图象可知时间段内乙的加速度是不断减小的，到施科乙的加速度为零，而甲的加速度一直固定不变，则时间段内甲的加速度大小一开始小于乙的加速度大小，之后甲的加速度大小大于乙的加速度大小，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 4-1（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 4-2（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】(1)， (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解： 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． （2）． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 题型五 一次函数与几何综合 1．交点与几何要素： 求直线与坐标轴交点（横截距，纵截距），，用截距求围成三角形面积。 2．几何位置关系： 平行：两直线斜率相等；垂直：斜率乘积为。 3．距离与坐标运算： 两点距离公式，中点坐标。 4．动态几何应用： 动点在直线上时，设坐标为，结合几何条件（如等腰，直角）列方程。 5．避坑关键： 注意直线垂直于 x 轴时斜率不存在（无意义），分类讨论几何图形的多解性（如三角形顶点位置）。 核心：用斜率刻画几何关系，结合坐标运算与动态设点，转化几何条件为代数方程。 典例5对于平面直角坐标系中第一象限内的点和．已知，，，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M．N，若中的任意一点满足，，则称四边形是的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例如，就是的某两个覆盖的特征点．若直线的图象上存在覆盖的特征点，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数与几何综合、求一元一次不等式的解集 【分析】由题意知，当，时，直线图象上存在覆盖的特征点，则有，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当，时，直线图象上存在覆盖的特征点， ∴， 解得： ∴的取值范围为：． 故答案为：．． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解题的关键与难点在于根据题意列不等式． 5-1（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可． （3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图1，设对称轴与轴交于点， 平分， ， 又， ， ， ． 由（1）可知对称轴为直线，则 在中，，． ， ；． ①当时，直线解析式为：， 联立得． 解得：，， 点在对称轴右侧的抛物线上运动， ， ②当时，直线解析式为：， 同理可求：， 综上所述：点的坐标为：或； （3）解：由题意可知：，，， ， ， ， 直线经过，， 直线解析式为， 抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点， 坐标为； ， 设点坐标为，则，， ， ∴与全等，有两种情况， 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 5-2（2024·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，四边形是平行四边形，直线经过点C，交x轴于点D， (1)求m的值； (2)点是线段上的一个动点(点P不与O，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式 (直接写出自变量t的取值范围)； (3)在（2）的条件下，点H是线段上一点，连接交于点M，当以为直径的圆经过点M时，恰好使．此时点H的坐标为_________ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、一次函数与几何综合 【分析】（1）根据直线求出点A、B的坐标，从而得到的长度，再根据平行四边形的对边相等求出的长度，过点C作轴于K，从而得到四边形是矩形，根据矩形的对边相等求出的长度，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值． （2）延长交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线，垂足分别是R，Q，则四边形、四边形、四边形是矩形，再利用的正切值求出的长度，利用的正切值求出的长度，再利用的长度减去的长度，再减去的长度，计算即可得解． （3）根据平行四边形的对边平行可得，再根据平行线内错角相等求出，用t表示出，再根据与的正切值相等列式求出的长度，再表示出的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角推出∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP与∠BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根据加的关系求出，再判定和相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再根据，求出，利用勾股定理求出的长度，代入数据进行计算即可求出的值，然后求出的值，从而得到点H的坐标． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于K， ∵交x轴和y轴于A，B， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵四边形是矩形， ∴． ∴． 将代入，得：，解得：． （2）解：如图，延长交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线，垂足分别是R，Q， 则四边形、四边形、四边形是矩形． ∴． ∵，即， ∴． ∵交x轴和y轴于D，N， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． （3）解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 由（2）， ∴． ∵以为直径的圆经过点M， ∴． ∴． ∴． ∴，解得． ∵， ∴． ∴，即． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题属于一次函数的综合，主要考查了直线与坐标轴的交点问题、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、解直角三角形的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 题型六 判断反比例函数的增减性 1．核心规律：反比例函数： ：在每一象限内，随增大而减小（图像从左到右下降）； ：在每一象限内，随增大而增大（图像从左到右上升）。 2．关键前提：增减性仅在同一象限内成立，跨象限时不适用（时，，则，无法直接比较增减）。 3．应用场景： 比较函数值：若两点在同一象限，依符号判断；若跨象限，直接根据正负比较（如时，负区间为负，正区间为正）。 求参数范围：已知增减性，列或，注意。 4．避坑关键：严禁忽略＂在每一象限内＂的前提，避免错误描述为＂整体递增／递减＂。 核心：抓符号，分象限讨论，明确增减性的适用范围。 典例6（2024·上海浦东新·三模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，正比例函数的性质．根据反比例函数的性质及正比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、中，， 函数值随自变量的值增大而增大，符合题意； B、中，， 函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每一象限内函数值随自变量的值增大而增大，不符合题意； C、中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，在每一象限内函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意； D、中，， 函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意． 故选：A． 6-1（2024·上海黄浦·三模）下列函数中，满足的值随的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、y=ax²的图象和性质、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了函数的性质，根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质逐一判断即可求解，掌握一次函数、反比例函数及二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴的值随的值增大而增大，该选项不合题意； 、∵， ∴在同一个象限内，的值随的值增大而减小，该选项不合题意； 、∵， ∴的值随的值增大而减小，该选项符合题意； 、∵， ∴当时，的值随的值增大而增大；当时，的值随的值增大而减小，该选项不合题意； 故选：． 6-2（2024·上海青浦·二模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、判断反比例函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数图像与反比例函数图像的性质，熟练掌握函数图象的增减性是解题关键． 【详解】A：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而增大，故选项正确； B：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误； C：为反比例函数，，在内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误； D：为反比例函数，，在内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在内，函数值随自变量的值增大而增大，但在从左侧到右侧时不满足条件“函数值随自变量的值增大而增大”，故选项错误； 故选：A． 6-3（2024·上海·三模）反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而 ．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】此题考查反比例函数的性质．由，根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小， 在第三象限，y随x增大而减小， 故答案为：减小． 题型七 反比例函数系数k的几何意义 1．核心意义： 反比例函数中，|k|表示双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积，即 2．延伸应用： 过双曲线上一点与原点连线，及向单坐标轴作垂线，形成的三角形面积为三角形。 若两点在双曲线上关于原点对称，其对应矩形／三角形面积仍为|k|或 。 3．符号与象限： 时，双曲线在一，三象限，矩形面积为正；时在二，四象限，面积取绝对值。 解题关键： 已知面积求时，需根据象限确定的符号（如第一象限，第二象限）。 利用列方程，避免漏写绝对值或符号错误。 核心：紧扣＂面积即|k|，结合象限判符号，用面积公式快速建模。 典例7（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    【答案】24 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 7-1（2024·上海青浦·模拟预测）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 作轴于G，连接，设和交于I，设点，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作轴于G，连接，设和交于I， 设点， 由对称性可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴，即：， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 设直线的解析式为，将点B代入得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理得：直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 7-2（2024·上海静安·三模）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，，，与轴交于点，若与四边形的面积比为，则的值为 ．    【答案】12 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，作轴，垂足为G，轴，垂足为F，，垂足为Q，可证明得到，，利用可得点D的横坐标为3，设，则根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出m值，即可得到点D坐标，从而得到k值． 【详解】解：如图，作轴，垂足为G，轴，垂足为F，，垂足为Q，    ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵与四边形的面积比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵D、C在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：12． 7-3（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连结、，    ∵轴， ∴． ∴． ∵， ∵， ∴， ∵图象位于第一象限，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键． 题型八 一次函数与反比例函数图象综合判断 1．交点分析： 联立方程，化为一元二次方程，用判别式判断交点数两交点， 交点，无交点）。 交点坐标满足横纵坐标同时符合两函数解析式，注意跨象限交点的符号（如一次函数过一，三象限，反比例函数若也过一，三，可能有两交点）。 2．图象位置关系： 一次函数：由（斜率）和（截距）决定过哪些象限； 反比例函数：由（系数）决定所在象限 —，三，二，四）。 综合判断：若一次函数与反比例函数图象有交点，需 $k, b, m$ 符号匹配（如 且 时，可能在第一象限有交点）。 3．増减性对比： 一次函数增减性由直接决定 递增，递减）； 反比例函数增减性需分象限 时各象限内递减，时各象限内递增），跨象限时不具可比性。 4．几何应用（面积，距离）： 利用反比例函数|m|的几何意义（矩形面积），结合一次函数截距求交点形成的三角形／四边形面积 （如交点与原点围成的三角形面积，需拆分坐标计算）。 5．避坑关键： 勿混淆两种函数增减性的条件（反比例函数必须强调＂在每一象限内＂）； 联立方程时注意（反比例函数定义域），解出交点后需验证是否符合实际象限； 多解情况需结合图象排除矛盾解（如一次函数过一，四象限，反比例函数若在二，四象限，可能仅有一个交点）。 核心：抓联立方程判交点，结合符号定象限，对比增减性，用几何意义简化解题，注意定义域与多解讨论。 典例8在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D． 【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B； 当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键． 8-1如图，小明同学利用计算机软件绘制函数，，根据学习函数的经验，可以知道的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】由可得：的函数图象要在的图象的上方，再利用函数图象可得答案． 【详解】解：由可得： 的函数图象要在的图象的上方， 或． 故选：C 【点睛】本题考查的是利用函数图象的交点坐标求解不等式的解集，利用数形结合的方法进行分析是解题的关键． 8-2（2022·上海闵行·二模）如图，过原点且平行于的直线与反比例函数（,）的图像相交x于点C，过直线上的点，作轴于点B，交反比例函数图像于点D，且，那么点C的坐标为 . 【答案】() 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、公式法解一元二次方程 【分析】由条件可求得D点坐标，则可求得反比例函数解析式，联立直线与反比例函数解析式可求得C点坐标． 【详解】解：A(1，3)，AB⊥x轴点B， AB=3， OB= 1， ， BD=1， D(1，1)， 点D在反比例函数图象上， ，解得k=1， 反比例函数解析式为， 联立直线与反比例函数解析式可得 解得或， C ()． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及，函数图象的交点，联立方程组求交点是解题的关键 8-3（2024·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上，过点B作轴，垂足为点H．如果，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、求角的正切值、已知正切值求边长、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，锐角三角函数，反比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将点的坐标代入一次函数求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式； （2）由锐角三角函数可求，代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点， ， ， 将代入得， 反比例函数的解析式为； （2）解：过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上， ， ， 点B的坐标为． 题型九 一次函数与反比例函数的交点问题 1．联立方程判交点： 联立，得一元二次方程，用判别式判断： ：两交点；：一交点；：无交点。 2．符号分析定象限： 一次函数象限由（斜率），（截距）决定，反比例函数象限由（系数）决定（—，三象限； 二，四象限）。 交点横纵坐标需同时满足两函数符号（如时，可能在第一象限有交点）。 3．求解与验证： 用求根公式或因式分解求交点坐标，注意反比例函数定义域。 跨象限交点需结合图象验证合理性（如一次函数过一，四象限，反比例函数若在二，四象限，可能仅在第四象限有交点）。 4．几何简算： 利用反比例函数|m|的几何意义（矩形面积），结合一次函数截距，快速计算交点与坐标轴围成图形的面积 （如拆分坐标求三角形面积）。 避坑关键：勿漏判别式符号 非 ，严格区分两函数象限规律，解出交点后必验符号与定义域。 核心：联立方程用判别式，符号匹配定位置，求解验证保准确。 典例9（2025·上海闵行·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象都经过点，那么 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数即可求解． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，关键在于求出交点坐标． 【详解】解：将点A坐标代入反比例函数得：. ∴. ∴， 将点A坐标代入正比例函数得：. ∴. 故答案为：. 9-1（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交(每两个函数图像有且仅有1个交点)得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为 ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先画简易图象，并求解函数的交点坐标，再利用勾股定理求解三边的长度，从而可得答案. 【详解】解：如图， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴的最短边长度为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，新定义的含义，理解题意是解本题的关键. 9-2（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． 根据点在双曲线上，可以求出，把点的坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式； 因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在双曲线上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设直线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 直线的表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 可得点的坐标为． 9-3如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接回答：在第一象限内，当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 【答案】(1)， (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）找到直线在反比例函数上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴，， ∴，解得：， ∴； （2）由图象可知：当时，一次函数的值大于反比例函数的值． 9-4如图，反比例函数的图象与直线交于点，轴，与反比例函数的图象交于点．    (1)求反比例函数的解析式和的值； (2)当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、相似三角形的判定与性质综合、求反比例函数解析式 【分析】（1），将点代入，可得解析式；再将点坐标代入解析式即可； （2），过点作于点，，根据相似三角形线段成比例，求出点B的坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式，然后令求出点A的坐标． 【详解】（1）∵点是反比例函数图象上的点， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ∴； （2）如图，过点作于点，   轴，， ∴轴， ， ∴， 点、的横坐标分别为、， ∴， ∴， 由得点， 点， 点， 设直线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，，解得， 点． 【点睛】这是一道关于反比例函数与一次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造相似三角形． 9-5（2024·湖北中考）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求m，n，k的值； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点坐标代入求出，得到直线解析式，再把点坐标代入直线解析式求出，把点坐标代入反比例函数解析式求出值即可； （2）根据题意，列出不等式，解答即可． 【详解】（1）解：把点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 把点坐标代入直线解析式得， 解得， 把点坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， （2）∵ 反比例函数解析式为， 的面积小于的面积， ，即， 点在反比例函数图象上，且在第一象限， ， ． 题型十 一次函数与反比例函数的实际应用 1．建模核心： 一次函数（线性关系）：适用于＂固定量 + 变量＂场景（如总成本 =，表达式）。 反比例函数（反比关系）：适用于＂乘积恒定＂场景（如路程固定时速度 时间=定值，表达式）。 2．关系识别： 题目出现＂成正比＂＂每增加／减少．．．对应増加／减少．．．＂用一次函数； 出现＂成反比＂＂乘积一定＂＂反比例变化＂用反比例函数。 3．求解步骤： 设变量（自变量，因变量），根据题意列函数式； 用待定系数法（代入已知点）求k,b或； 联立两种函数解决综合问题（如利润＝收入－成本，收入为一次函数，成本可能含反比例关系）。 4．定义域约束： 结合实际意义限制变量范围（如，整数解），图像取射线或双曲线分支，极值在端点或特殊点（如反比例函数无最值，一次函数最值看定义域端点）。 5．综合问题处理： 交点意义：两函数交点为＂临界值＂（如成本＝收入时的销量）； 优化问题：利用一次函数增减性（递增，递减）或反比例函数在区间内的趋势（如时越大越小）求最优解。 6．避坑关键： 勿混清＂一次函数增减性＂与＂反比例函数分象限增减性＂； 单位统一（如速度与时间min需转换），结果符合现实逻辑（如数量非负，价格非负）。 核心：抓＂线性／反比关系＂建模，定参数，限范围，用交点与增减性解实际问题，紧扣现实约束。 典例10（2022·江苏盐城·二模）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1）解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2）解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3）解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 10-1（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习） 设计货船通过双曲线桥的方案 素材 一座曲线桥如图所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图是其示意图，且该桥关于对称．          素材 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式． 问题解决 任务 确定桥洞的形状 建立平面直角坐标系如图所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，点A的坐标为_______________，此时过点的双曲线的函数表达式为_____________，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意． 任务 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？ （提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式） 【答案】任务：，，乙正确；任务：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞． 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、实际问题与反比例函数 【分析】任务：设曲线的解析式为，把点代入，可得曲线的解析式为  ，再由反比例函数图象的对称性可得，点是的中点，，过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于， 可得，是等腰直角三角形，，进而可得，，点在双曲线上，与点在双曲线上矛盾； 任务：设其中则，可得，由 ，，可得，，可得，再根据矩形的性质可得，即可判断此时货船不能通过，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线与双曲线的交点 ，即可求得答案； 本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解题的关键是根据坐标系列出相应的函数解析式． 【详解】任务：设曲线的解析式为 ，把点代入，得 ：， 解得：， ∴曲线的解析式为， ∵落在第一象限的角平分线上， ∴、关于对称，即、关于第一象限角平分线对称， ∴点是的中点，， 过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于，如图， 则，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴点在双曲线上， ∴点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意， 故答案为：，，乙正确； 任务：设，，其中 ，则，如图， ∵点在直线上， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴ ，， ∵， ∴此时货船不能通过该桥洞， 设直线的解析式为，与双曲线的交点为，把代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：(舍去)， ， ∴ ∴，即， ∵， ∴ 故要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞， 答：此时货船不能通过该桥洞，要至少增加吨货物此货船能通过该桥洞． 10-2（2022·浙江·二模）某项目化成果展示了一款简易电子秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数关系式为，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为0~0.2安． 温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． ③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值． (1)用含I的代数式表示m． (2)请确定该电子体重秤可称的最大质量． (3)为了将电子体重秤可称的最大质量调高至115千克，在不更换原来电流表及量程条件下，小明用方案一、二、三来进行解决问题．请填写下表： 方案一 方案二 方案三 电源电压U（伏） 12 ________ ________ 定值电阻（欧） ________ 40 ________ 【答案】(1) (2)110 (3)见解析 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）根据，代入即可求解； （2）根据一次函数的性质即可求解； （3）根据各方案的条件，结合电学知识分别进行求解即可． 【详解】（1）依题意可得， 解得， 故； （2）∵随I的增大而减小 ∴得m随I的增大而增大， 则当时，m的最大值为110； （3）方案一：当电子体重秤可称的最大质量调高为115千克时，电路中最大电流为0.2， 则电路中的总电阻为R总=， 此时R2==10， ∴R1=60-10=50； 方案二：当电子体重秤可称的最大质量调高为115千克时，电路中最大电流为0.2， 此时R2==10，R1=40， ∴U==0.2×（10+40）=10； 方案3：当电子体重秤可称的最大质量调高为115千克时，电路中最大电流为0.2，R2=10， ∴U ==0.2×（+10）=， 故答案不唯一，满足的数对皆可． 【点睛】此题主要考查反比例函数、一次函数与物理电学综合，解题的关键是熟知物理电学知识、一次函数的图象与性质． 10-3（2025·新疆乌鲁木齐·一模）复习完“数与代数”的内容后，数学学习小组的同学想用“函数图象”的角度解决下面实际问题． 如图，计划围成一个面积为的矩形花园，花园一边靠墙，另外三边用栅栏围住． 问题1：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？若能围成，请你写出两边的长； 问题2：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？ 【问题探究】 学习小组思路：设为，为．由矩形花园面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，两个函数图象交点的坐标可以同时满足题目中的两个条件． （1）学习小组的同学已经画出了图象，请你根据上面的分析思路，利用画好的图象解决问题1． （2）请类比问题1的解决方法，解决问题2并说明理由． 【拓展应用】 （3）从探究中发现当栅栏总长为时，“能否围成矩形花园的问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在性问题”．其中一次函数的图象可以看成是直线平移得到的．若要围成矩形花园，且和的长均不小于，求a的取值范围． 【答案】（1）能围成矩形花园，，或，；（2）不能围出矩形花园，理由见解析；（3） 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解； （2）联立，得，根据判别式得到与函数图象没有交点即可求解； （3）联立，得及．因为AB和BC的长均不小于1m，求得当时；当时．要使方程有解，则，且，所以a的取值范围是． 【详解】（1）由，得， ∴， ∴， ∴， 解得，． 当时，；当时，． 所以能围成矩形花园，，或，． （2）由，得， ∴， ∴， ∵， 所以方程无解，不能围出矩形花园． （3）由，得，，． 因为和的长均不小于， 当时，，代入得，； 当时，，，代入得，． 要使方程有解，则，且． 解得．所以a的取值范围是． 【点睛】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题以及解一元二次方程． 10-4我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，如果满足，那么称两点互为“等差点”． (1)请判断在点中，有哪些点与点互为“等差点”？ (2)已知点在直线上，点在双曲线（为常数，且）上，且两点互为“等差点”．请求出点的坐标（用含的代数式表示）； (3)已知抛物线（为常数且）的顶点为点，与轴交于两点，两点分别在抛物线和直线上，如果两点互为“等差点”，且两点的横坐标是一元二次方程的两根，求的值． 【答案】(1)点； (2)的坐标为或； (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、坐标与图形 【分析】（1）根据“等差点”的定义判断即可； （2）令，，根据“等差点”的定义列方程求解即可； （3）先分别表示出，，再根据等腰直角三角形的性质，得到①，令，，根据“等差点”的定义，得到②，然后利用一元二次方程根和系数的关系，得到，，代入求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：与， 与， 与， 点与点互为“等差点”； （2）解：点在直线上，点在双曲线， 令，， 两点互为“等差点”， ， 整理得：， 解得：，， 的坐标为或； （3）解：抛物线的顶点为点，与轴交于两点， ， 令，则， 解得：，， ， 由题意知，且， 为等腰直角三角形， ， ， 化简得：①， 两点分别在抛物线和直线上， 令，， 互为“等差点”， ， 即②， 又两点的横坐标是的两根， ，且， 代入②得：， 整理得：， ， 整理得： ， 把①代入，得， 即， ． 【点睛】本题是函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，公式法解一元二次方程以及一元二次方程根和系数的关系，等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确理解“等差点”的定义，利用整体代入的思想解决问题是解题关键． 题型十一 一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．几何综合（面积／距离）： －利用反比例函数|k|的几何意义（矩形面积），结合一次函数截距，求交点与坐标轴围成图形的面积 （如拆分三角形用坐标差计算）。 两点在双曲线上时，距离公式结合一次函数解析式化简，避免复杂运算。 2.动点与参数设值： 动点在一次函数上设为，在反比例函数上设为，根据几何条件（如等腰，平行）列方程，注意。 参数范围需结合函数所在象限（如时反比例函数在一，三象限，动点横纵坐标同号）。 3．不等式与函数图像结合： 通过图像判断（或<）的解集：交点左右侧区间内，比较一次函数与反比例函数图像上下位置，注意跨象限讨论（如和分开分析）。 4．最值与优化问题： 一次函数在区间内的最值由增减性决定（端点处取得），反比例函数在区间内的最值需结合符号和区间单调性（如时，越大越小）。 利润，效率等实际问题中，联立两函数求临界值，再分析最优解（如成本最低，收益最高时的变量取值）。 5．分类讨论与多解性： 参数 k, b, m符号不同时，函数图像位置变化（如一次函数过不同象限，反比例函数在不同分支），需分情况讨论交点存在性及解的合理性。 几何问题中，动点位置可能对应多种图形形态（如三角形顶点在不同象限时的不同解法），避免漏解。 避坑关键： 设动点坐标时勿忽略反比例函数定义域（0）； 解不等式解集需标注区间，跨象限时用＂或＂连接； 多解问题结合图像验证，排除不符合实际意义的解（如距离为负，坐标矛盾）。 核心：用坐标设参简化几何关系，借图像解不等式，分类讨论参数影响，紧扣定义域与实际意义。 典例11小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查函数的图象及性质，将函数变形为，因此该函数图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，根据由函数的图象逐项判断即可． 【详解】解：∵函数可变形为， ∴函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到， ∵函数的图象的对称中心为原点， ∴函数的图象的对称中心为，故A选项错误； ∵由图可知，函数在时，不存在连续的增减性， ∴函数的图象在时，不存在连续的增减性，故B选项错误； ∵由图象可知，函数图象在时，有最低点，即存在最小值， ∵， 即当时，由最小值，为2， ∴函数在时，有最小值，为， ∴函数在时，由最小值，为，故C选项正确； ∵由函数与函数，可得， 即， 解得，， ∴二次函数的图象与函数的图象有2个不同的公共点，故D选项错误． 故选：C 11-1如图1，在平面直角坐标系中，，双曲线与矩形的两边、分别交于、两点，连接、、，将沿翻折后得． (1)探究一：如图2，若点为中点时，点又恰好落在线段上，证明：平分： (2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： (3)探究三：如图4，若点在直线上，是否存在的值使点落在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的其他综合应用、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据，利用表示出的长度，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长是解本题的关键． 探究一：证明平分可转化为证明，即证明是的中点即可，根据、的坐标满足函数的解析式即可证得； 探究二：证明四边形是正方形，证，即可求得，则和的比值是，则可利用的长表示出的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得的长，则面积即可求解； 探究三：首先解方程组求得的坐标，作于点，则，利用表示出的长度，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长，即可求得，求得的长，则的横坐标即可求得，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标． 【详解】（1）探究一：证明：，， 的坐标是， 的坐标是：， 在线上， ， 又的横坐标是，把代入，则， 是的中点，即， 又， ， 在的平分线上，即平分； （2）探究二：解：设正方形的边长是，则，， 则的坐标是：，的坐标是， 则， ． 四边形是正方形． ∴，， ∵， ∴ 又∵， ∴， ， 又平分， ， ， 设，则， ∴的坐标是， 代入得：， ∴， ∴正方形的面积是； （3）解：根据题意得： 解得：或 舍去， 则的坐标是． 的横坐标是，则的横坐标是，则， 在中，当时， ，， 如图所示，作于点． 折叠 又 则， 解得：， ∴在中，， 则， ， ， 把代入中得：， ． 11-2如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点． (1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标． (2)请直接写出的解集． (3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为；正比例函数表达式为； (2)或 (3)存在，或 【知识点】反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）利用待定系数法确定即可得到表达式，再联立方程组求解即可得到答案； （2）的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合求解即可得答案； （3）由旋转性质，结合直线性质得到，根据点的对称性及中垂线的判定与性质得到，若使是以为底边的等腰三角形，则，结合含的直角三角形性质得到线段，最后由两点之间距离公式列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数图象与正比例函数图象相交于点， ，即反比例函数表达式为； ，即正比例函数表达式为； 反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点， 联立，解得或，即； （2）解：的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，如图所示： 、， 当或时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即的解集是或 （3）解：如图所示： 把的图象绕点顺时针旋转得到了， 直线垂直直线， 与关于原点对称， 直线是线段的垂直平分线， 当在直线上时，由垂直平分线性质可得， 若使是以为底边的等腰三角形，则， 此时是等边三角形， 在中，，，则，由勾股定理可得， 设，则，解得或， 或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、直线与双曲线的交点、利用图象法解不等式、函数与特殊三角形、中垂线的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理、两点之间距离公式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数图象与性质、灵活运用相关几何性质是解决问题的关键． 11-3阅读与探究．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“绝对函数”．例如，函数y=x+1的“绝对函数”是，即；函数的“绝对函数”是，即；函数的图象如图1，则它的“绝对函数”的图象如图②所示． (1)的“绝对函数”是______； (2)在图3的平面直角坐标系中画出的绝对函数的图象； (3)在（1）的“绝对函数”图象上取一点A，点A关于y轴的对称点为，O是平面直角坐标系的原点，则的面积是______； (4)函数的“绝对函数”与直线有四个交点时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)6 (4) 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、其他问题(二次函数综合)、反比例函数与几何综合、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的综合应用，一次函数的应用；理解并运用新定义“绝对函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． （1）根据定义直接写出函数即可； （2）根据定义画出函数图象即可； （3）根据函数对称的特点，求出对称的函数的点，再由两个函数与y轴的交点不变，三角形面积计算公式即可； （3）先根据解析式，求出函数图象与y轴的交点，再根据两个函数交点与方程关系，列出方程组求解即可． 【详解】（1）根据题意得： 的“绝对函数”是， 故答案为： （2）的绝对函数是即 如图所示的绝对函数的图象为 （3）如图所示： 的“绝对函数”是，点A关于y轴的对称点为， 设点，则 ， 到x轴距离为y， 的面积是， （4）如图所示： 令，得则函数图象与y轴的交点是； 当直线经过时，直线与图象有三个交点， 此时 当直线向下平移，若直线与函数只有一个交点时， 可得方程有两个相等的实数根， 则， 解得 ， 若函数的“绝对函数”与直线有四个交点时， m的取值范围是． 11-4数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的？ 思路一：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a，面积为a2． 若新正方形的周长是原正方形周长的，则新正方形的边长为，此时新正方形的面积是____①____． 思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的____②____． 结论：____③____（“存在”或“不存在”）一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． 拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．____④____ 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究． 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 分析：设新矩形长和宽为，，根据题意，得 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题． 思路二：借助一次函数与反比例函数的图象（画出简单的函数图象即可）研究． 结论：____⑤____（“存在”或“不存在”）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将【阶段一】中的①~④分别补充完整． (2)分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整． (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 【答案】(1)①a2；②；③不存在；④等边三角形（答案不唯一，如圆） (2)思路一：见解析；思路二：见解析；⑤不存在 (3)当时，存在 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、矩形性质理解、相似多边形的性质、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的灵活应用，矩形，正方形的性质，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，相似多边形的性质，选择合适的方法解题是关键； （1）①直接利用面积公式计算即可；②由所有的正方形是相似图形，结合相似图形的性质可得答案；③根据②的探究下结论即可；④仿照正方形的探究方法，探究等边三角形即可； （2）思路一：把方程组消元得到一元二次方程，利用根的判别式的情况可得答案；思路二：分别画出两个函数的简易图象，根据交点的情况判定即可； （3）根据前面的探究方法建立方程组，根据判别式大于或等于0可得成立的条件． 【详解】（1）解：①新正方形的边长为，此时新正方形的面积是； ②正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的； ③总结可得：不存在一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． ④除正方形外，上面的结论对等边三角形也成立； ∵等边三角形都是相似图形，新的等边三角形的面积为原来等边三角形的面积的， ∴新的等边三角形与原来等边三角形的相似比为， 而新的等边三角形的周长为原来等边三角形的周长的， ∴此时新的等边三角形原来等边三角形的相似比为， ∴不存在一个新等边三角形，其周长和面积都为给定等边三角形周长和面积的． （2）思路一： 设新矩形长和宽为，，根据题意，得 ∴， 整理得：， ∴， ∴原方程组无解，则不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； 思路二：如图，函数与的图象如下： ∵两个函数图象没有交点， ∴无解， ∴不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； 结论：不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的； （3）∵矩形的长和宽分别为m和n， ∴矩形的周长为，面积为， ∴新的矩形的周长为，面积为， 设新矩形长和宽为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 存在新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为和的矩形周长和面积的； 题型十二 反比例函数与几何综合 1． k 的几何意义： 双曲线上任一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积为|k|，对应三角形面积为，直接用面积公式求或坐标（注意象限定符号）。 2.坐标与几何结合： 设双曲线上点为，结合几何条件（距离，中点，平行／垂直）列方程，利用代数运算化简（如两点距离公式，斜率关系）。 中点／对称点：若两点与关于原点对称，对应几何图形中心为原点。 3．面积巧算： 复杂图形面积拆分：过点作坐标轴垂线，利用矩形／三角形面积相加减（如双曲线与直线交点形成的图形，拆分为梯形或多个三角形）。 同底等高转化：利用反比例函数上点的坐标特性，找等面积变换（如平行于坐标轴的直线分割图形）。 4．动态几何与参数： 动点在双曲线上设为，结合运动轨迹（如平移，旋转）列几何方程，注意定义域及象限限制（如第一象限）。 最值问题：利用|k|定值，结合几何图形特性（如斜边最短，周长最小）求极值，避免复杂求导。 5．图形关系判定： 平行／垂直：两双曲线平行无意义，直线与双曲线位置关系用联立方程判别式；直线与双曲线切线时 。 相似／全等：通过坐标比例或距离比判定，利用的几何意义简化计算（如相似图形面积比为比）。 避坑关键： 点坐标必满足，勿漏符号（如第二象限点横负纵正，）； 动点轨迹勿跨定义域（如），多解时结合图象排除矛盾解（如距离为负，坐标超出象限）。 核心：借建坐标关系，用面积公式简算，设参联立解几何条件，紧扣象限与定义域。 典例12 （2023·上海长宁·三模）如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连结，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等三角形综合问题、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠问题．根据已知条件可得，进而得出；过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，证明得出，，则，根据得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：， ， ， 过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，如图所示 则． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 又∵ ∴， ，， ， ， ， ， 解得． ， ． 故答案为：． 12-1（2023·上海闵行·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点坐标为． (1)求直线的表达式； (2)将抛物线沿x轴正方向平移个单位后得到的新抛物线的顶点恰好落在反比例函数的图像上，求的余切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、二次函数图象的平移、反比例函数与几何综合 【分析】（1）根据题意可知，，用待定系数法即可求解； （2）由沿轴正方向平移个单位，得，顶点恰好落在反比例函数的图像上，可求出，延长交轴的正半轴于点，在中，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 由，得， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为． （2）解：由沿轴正方向平移个单位，得， 又∵顶点恰好落在反比例函数的图像上， ∴． ∴，即， 如图所示，延长交轴的正半轴于点， 得， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，函数图像交点坐标的计算及余切值的计算方法是解题的关键． 12-2（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为：或 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，即可得点，则待定系数法即可求的反比例函数； （2）当点在点右侧时，过点作直线，交轴于点，则点为所求点，即可求解；当点在点的左侧时，根据点的对称性即可求解； （3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，有或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， 由点，点得 ，解得 则直线的表达式为：， 当时，即，则， 即点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数的表达式为：； （2）解：存在，理由： 点是反比例函数图象上一点，则点， 当点在点右侧时， 过点作直线，交轴于点，则点为所求点， 直线的表达式为：，， 则直线的表达式为：， 令，则， 解得：，则点， 则， 当点在点的左侧时，由对称性可得点的坐标为：， 即点， 综上，点的坐标为：或； （3）解：为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”， ， 是直角三角形， 不可能为斜边，即， 或， 如图1，当时，过作轴于，过作轴于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点坐标为， ， 此时，点不可能在反比例函数上，故该情况不存在； ②如图2，当时，过作轴于，过作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， 设，， ， ， 点坐标，点坐标． ，在上， ， 解得：； 综上，， 则点的坐标为：， 将点的坐标代入函数表达式得：． 【点睛】本题为反比例函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、反比例函数的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，以及对称性，解题的关键是构造直角三角形和相似三角形，以及分类讨论思想的应用． 12-3（2024·上海·三模）如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设． (1)求的正切值； (2)已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，连接，若轴，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求角的正切值、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数与反比例函数与四边形的综合题目，难度中等，与全等综合转化相关的线段与角度是解题关键． （1）根据一次函数解析式算出点的坐标即可求算； （2）作轴，根据矩形的性质得出，从而表示出的坐标，再根据条件表示的坐标，再根据均在反比例图象上从而算出． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A，与轴交于点C， ∴， ∴； （2）解：如图，作轴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 又∵轴，在上， ∴， ∵,均在反比例上： ∴， 解得：， ∵四边形是矩形， ∴舍去， ∴， ∴． 12-4（2024·上海静安·三模）已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、坐标与图形 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的应用，涉及待定系数法求函数解析式、图形与坐标、锐角三角函数，数形结合思想的运用是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过A作于D，则，设，根据坐标与图形性质得到，，进而列方程求解t值即可； （3）先求得，再根据勾股定理求解，再根据余弦定义求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵第一象限内的点在反比例函数的图像上，点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：过A作于D，则， 设， ∵轴， ∴，， ∴， 解得，经检验，符合所列方程， 故点C坐标为； （3）解：∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 将代入中，得，则， ∴， 又，， ∴， ∴． （建议用时60分钟） 1．（2022·上海·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴： (2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值； (3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴即可； （2）求出点坐标，设直线与交于点，分别用含的式子表示出的坐标，利用直线将四边形的面积平分，得到列式求解即可； （3）分，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点、、三点， 设：， 则：， 解得：， ∴， ∴对称轴为：； （2）解：∵， 当时：； ∴， ∴， ∵、、 ∴，，， ∵直线与线段交于点，且平分四边形的面积， ∴直线与线段相交，设交点为， 当时，；当时，； ∴， ∴， ∴， 即：， ∴，即：， 解得：； （3）解：①当时，点在线段上，此时：； ②当时，设直线的解析式为：， 则：，解得：； ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 当时，， ∴ ③当时，设直线的解析式为：， 则：，解得：； ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 当时，， ∴ 综上：点、、、为顶点的四边形是梯形时，的坐标为：或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数与几何的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2．（2024·上海松江·二模）已知反比例函数的图像经过点，那么在每个象限内，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】根据题意，先确定，再依据反比例函数性质解答本题即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键． 【详解】解：反比例函数 的图象经过点， ，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 故答案为：增大． 3．（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由点在反比例函数的图象上，可知反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，然后作答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴反比例函数在第一象限，随着的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 4．（2023·上海长宁·二模）已知点在双曲线上，将点A向右平移5个单位得到点B． (1)当点B在直线上时，求直线的表达式； (2)当线段被直线分成两部分，且这两部分长度的比为时，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）根据点在双曲线上，求出点A坐标，根据点平移得到点B的坐标，将点B的坐标代入直线解析式即可得到答案； （2）根据，，得到，根据线段被分得的两段的长度比为，得到分割点坐标分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ∴，即， 又∵将点A向右平移5个单位得到点B， ∴， 当点B在直线上时，有，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵，， ∴， ∵线段被分得的两段的长度比为， 故分割点为或， 当分割点为时，，得， 当分割点为时，，得， 综上，或； 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合题，解题的关键是根据反比例函数求出点的坐标，代入直线解出直线解析式． 5．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图），点在反比例函数位于第一象限的图像上，点的横坐标大于点的横坐标，．如果的重心恰好也在这个反比例函数的图像上，那么点的横坐标为 ．    【答案】/ 【知识点】中点坐标、一次函数与反比例函数的交点问题、三线合一、重心的有关性质 【分析】由题意得点关于直线对称，由可得的重心在直线：上，联立函数解析式求出点坐标，即得，再根据三角形重心的性质可得，得到，设点，则，最后利用中点坐标公式解答即可求解． 【详解】解：由题意得，点关于直线对称， ∵， ∴的重心在直线：上，即为点， 由，解得或， ∵点在第一象限， ∴， ∴， ∵点为的重心， ∴， ∴， ∴， 设（），则， ∴， ∴， 设点，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 解得或， ∵点的横坐标大于点的横坐标， ∴点的横坐标为， 故答案为：．    【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，等腰三角形性质，三角形的重心，勾股定理，中点坐标公式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 6．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线与直线交于点A、点B，点C为双曲线上点A右侧的一点，过点B作，交y轴于点D，连接 (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，若四边形是平行四边形，求长； (3)如图1，当四边形的面积为4时，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）由题意，联立方程组，解得，结合图象，即可作答． （2）根据平行四边形的对角线互相平分，则，把，代入，计算得，，再根据两点间距离公式列式代入数值进行计算，即可作答． （3）先延长，交y轴于点F，证明，，根据平行线的性质，得，代入数值，得，再运用因式分解法解方程，结合“点C为双曲线上点A右侧的一点”作出判断，即可作答． 【详解】（1）解：∵双曲线与直线交于点A、点B， ∴ 得 解得 是原分式方程的解， 把分别代入，得 ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形 ∴， 连接，交于一点E 则运用中点法列式，则 ∵点C为双曲线上点A右侧的一点， ∴ ∵， ∴ 解得， 则； （3）解：延长，交y轴于点F， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 则 ∵四边形的面积为4，且 ∴ 即 ∵ ∴ 则 ∵， ∴ ∵ ∴ 整理得 即 ∴（点C为双曲线上点A右侧的一点，故舍去） ∴ 则 设直线的解析式为 把，代入 得 解得 ∴ 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，与一次函数的综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，待定系数法求解析式，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、实际问题与反比例函数 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 8．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数、求一次函数解析式 【分析】（1）根据题意可得，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出所在直线解析式为，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线关于直线轴对称，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：，，，为中点，， ， 设所在双曲线的表达式为， 将点坐标代入表达式中，得： 解得：， 抛物线表达式为； （2）解：根据题意得：点与点坐标分别为，， 设所在直线解析式为， 将、两点坐标代入得：， 解得，， 所在直线解析式为， 根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线关于直线轴对称， 联立， 解得， ∴， 联立， 解得：， ∴， ． 【点睛】本题主要查了反比例函数的实际应用，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 2 / 101 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02 函数的图象、性质与综合问题 上海中考函数部分聚焦一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，分值约 32 分，占代数板块近三分之-。考情呈现三大方向: 基础应用:重点考查函数解析式求法(待定系数法)、定义域、函数值计算，以及图象平移、对称变换等几何特征。 综合能力:以函数为工具解决几何问题，如抛物线与直线交点、图形翻折中的坐标变换，或结合锐角三角比、相似三角形的动态分析 。压轴题常设计为函数与几何的跨学科问题，需运用分类讨论、数形结合思想 题型一 一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．求交点：轴交点为轴交点为。 2．符号分析：轴正半轴需异号），负半轴则同号；轴正负由 直接判断。 3．面积公式：与坐标轴围成三角形面积为，取绝对值防错。 4．避坑点：勿忘，实际问题注意定义域，计算横截距别漏负号。 典例1已知直线在x轴上的截距为1，则实数m的值为（   ） A．2或 B．2或 C．或 D．或 1-1（2024·上海·三模）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（ ） A． B．5或 C． D．或3 1-2（2024·上海·模拟预测）一次函数与x轴夹角的余切值为 ． 1-3（2024·上海黄浦·二模）将直线向上平移2个单位，所得直线与x轴、y轴所围成的三角形面积是 ． 题型二 根据一次函数增减性求参数 1．核心规律：一次函数中，时单调递增，时单调递减，增减性仅由符号决定。 2．求参步骤： 根据题意明确增减性，直接得出或； 若含其他条件（如过点，与其他函数比较），联立方程／不等式（如递增时，结合点坐标求范围）。 3．避坑关键： 必须保证（一次函数定义）； 注意不等式方向，避免符号混淆（如递减勿写成）。 核心：紧扣的符号，结合条件列不等式，勿忘一次函数定义。 典例2当时，y与x的函数解析式为，则y的范围是 ． 2-1若函数，的值随着的值增大而增大，则常数的取值范围是 ． 2-2（2023·江苏南通中）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ． 2-3（静安区模拟）已知点在双曲线上． （1）求此双曲线的表达式与点的坐标； （2）如果点在此双曲线上，图像经过点、的一次函数的函数值随的增大而增大，求此一次函数的解析式． 题型三 行程问题（一次函数的实际应用） 1．建模核心：设时间为，距离为，一次函数表示为（为速度，为初始距离），注意速度方向（正负代表相向／同向）。 2．关键条件： 相遇：两函数值相等，联立求； 追及：速度差不为0时，通过距离差列方程（如慢）。 3．图像应用：交点为相遇时间，截距分别为初始位置，斜率为速度，注意横轴（时间），纵轴（距离）实际意义。 4．避坑点： -单位统一（如速度与时间需转换）； 定义域，距离非负，勿忽略实际情境限制（如到达终点后停止）。 核心：用 建模，抓相遇／追及条件联立方程，结合图像与实际定义域。 典例3（2024·上海浦东新·三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 3-1（2024·上海黄浦·三模）在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题： (1)求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式； (2)若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 3-2（2024·上海杨浦·一模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像． 根据图像提供的信息回答下列问题： (1)图中的_______，______； (2)求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； (3)她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由． 题型四 新情境一次函数的应用 1．审题建模：抓变量关系（如单价数量，速度时间），设自变量，因变量，判断线性关系（ 。 2．确定表达式：用待定系数法（两组对应值求 $k, b$ ），或根据情境直接列式（如固定成本，单位变动成本）。 3．定义域约束：结合实际意义（如，整数解），图像取线段或射线，求最值时关注端点。 4．图表分析：从表格／图像中提取点坐标，识别截距（初始值）和斜率（变化率），解释实际意义（如横轴临界点）。 5．避坑关键：勿混淆一次函数与非线性模型，单位统一，结果符合现实逻辑（如数量非负）。 核心：建模抓＂线性关系＋实际约束＂，用解析式与定义域解决新情境问题。 典例4（2024·上海·模拟预测）甲、乙两个质点分别在两个并排直轨道上运动，其速度随时间的变化规律分别如图中a、b所示，图线a是直线，图线b是抛物线，时间内图线a、b与横轴围成的面积相等，抛物线顶点的横坐标为，下列说法正确的是（　　） A．时间内甲、乙的位移大小不相等 B．时间内甲、乙的位移大小之比为 C．时间内乙的平均速度大于甲的平均速度 D．时间内甲的加速度一直小于乙的加速度 4-1（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 4-2（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 题型五 一次函数与几何综合 1．交点与几何要素： 求直线与坐标轴交点（横截距，纵截距），，用截距求围成三角形面积。 2．几何位置关系： 平行：两直线斜率相等；垂直：斜率乘积为。 3．距离与坐标运算： 两点距离公式，中点坐标。 4．动态几何应用： 动点在直线上时，设坐标为，结合几何条件（如等腰，直角）列方程。 5．避坑关键： 注意直线垂直于 x 轴时斜率不存在（无意义），分类讨论几何图形的多解性（如三角形顶点位置）。 核心：用斜率刻画几何关系，结合坐标运算与动态设点，转化几何条件为代数方程。 典例5对于平面直角坐标系中第一象限内的点和．已知，，，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M．N，若中的任意一点满足，，则称四边形是的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例如，就是的某两个覆盖的特征点．若直线的图象上存在覆盖的特征点，则m的取值范围是 ． 5-1（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 5-2（2024·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，四边形是平行四边形，直线经过点C，交x轴于点D， (1)求m的值； (2)点是线段上的一个动点(点P不与O，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式 (直接写出自变量t的取值范围)； (3)在（2）的条件下，点H是线段上一点，连接交于点M，当以为直径的圆经过点M时，恰好使．此时点H的坐标为_________ 题型六 判断反比例函数的增减性 1．核心规律：反比例函数： ：在每一象限内，随增大而减小（图像从左到右下降）； ：在每一象限内，随增大而增大（图像从左到右上升）。 2．关键前提：增减性仅在同一象限内成立，跨象限时不适用（时，，则，无法直接比较增减）。 3．应用场景： 比较函数值：若两点在同一象限，依符号判断；若跨象限，直接根据正负比较（如时，负区间为负，正区间为正）。 求参数范围：已知增减性，列或，注意。 4．避坑关键：严禁忽略＂在每一象限内＂的前提，避免错误描述为＂整体递增／递减＂。 核心：抓符号，分象限讨论，明确增减性的适用范围。 典例6（2024·上海浦东新·三模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 6-1（2024·上海黄浦·三模）下列函数中，满足的值随的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 6-2（2024·上海青浦·二模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 6-3（2024·上海·三模）反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而 ．（选填“增大”或“减小”） 题型七 反比例函数系数k的几何意义 1．核心意义： 反比例函数中，|k|表示双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积，即 2．延伸应用： 过双曲线上一点与原点连线，及向单坐标轴作垂线，形成的三角形面积为三角形。 若两点在双曲线上关于原点对称，其对应矩形／三角形面积仍为|k|或 。 3．符号与象限： 时，双曲线在一，三象限，矩形面积为正；时在二，四象限，面积取绝对值。 解题关键： 已知面积求时，需根据象限确定的符号（如第一象限，第二象限）。 利用列方程，避免漏写绝对值或符号错误。 核心：紧扣＂面积即|k|，结合象限判符号，用面积公式快速建模。 典例7（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    7-1（2024·上海青浦·模拟预测）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为 ． 7-2（2024·上海静安·三模）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，，，与轴交于点，若与四边形的面积比为，则的值为 ．    7-3（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 题型八 一次函数与反比例函数图象综合判断 1．交点分析： 联立方程，化为一元二次方程，用判别式判断交点数两交点， 交点，无交点）。 交点坐标满足横纵坐标同时符合两函数解析式，注意跨象限交点的符号（如一次函数过一，三象限，反比例函数若也过一，三，可能有两交点）。 2．图象位置关系： 一次函数：由（斜率）和（截距）决定过哪些象限； 反比例函数：由（系数）决定所在象限 —，三，二，四）。 综合判断：若一次函数与反比例函数图象有交点，需 $k, b, m$ 符号匹配（如 且 时，可能在第一象限有交点）。 3．増减性对比： 一次函数增减性由直接决定 递增，递减）； 反比例函数增减性需分象限 时各象限内递减，时各象限内递增），跨象限时不具可比性。 4．几何应用（面积，距离）： 利用反比例函数|m|的几何意义（矩形面积），结合一次函数截距求交点形成的三角形／四边形面积 （如交点与原点围成的三角形面积，需拆分坐标计算）。 5．避坑关键： 勿混淆两种函数增减性的条件（反比例函数必须强调＂在每一象限内＂）； 联立方程时注意（反比例函数定义域），解出交点后需验证是否符合实际象限； 多解情况需结合图象排除矛盾解（如一次函数过一，四象限，反比例函数若在二，四象限，可能仅有一个交点）。 核心：抓联立方程判交点，结合符号定象限，对比增减性，用几何意义简化解题，注意定义域与多解讨论。 典例8在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8-1如图，小明同学利用计算机软件绘制函数，，根据学习函数的经验，可以知道的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8-2（2022·上海闵行·二模）如图，过原点且平行于的直线与反比例函数（,）的图像相交x于点C，过直线上的点，作轴于点B，交反比例函数图像于点D，且，那么点C的坐标为 . 8-3（2024·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上，过点B作轴，垂足为点H．如果，求点B的坐标． 题型九 一次函数与反比例函数的交点问题 1．联立方程判交点： 联立，得一元二次方程，用判别式判断： ：两交点；：一交点；：无交点。 2．符号分析定象限： 一次函数象限由（斜率），（截距）决定，反比例函数象限由（系数）决定（—，三象限； 二，四象限）。 交点横纵坐标需同时满足两函数符号（如时，可能在第一象限有交点）。 3．求解与验证： 用求根公式或因式分解求交点坐标，注意反比例函数定义域。 跨象限交点需结合图象验证合理性（如一次函数过一，四象限，反比例函数若在二，四象限，可能仅在第四象限有交点）。 4．几何简算： 利用反比例函数|m|的几何意义（矩形面积），结合一次函数截距，快速计算交点与坐标轴围成图形的面积 （如拆分坐标求三角形面积）。 避坑关键：勿漏判别式符号 非 ，严格区分两函数象限规律，解出交点后必验符号与定义域。 核心：联立方程用判别式，符号匹配定位置，求解验证保准确。 典例9（2025·上海闵行·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象都经过点，那么 ． 9-1（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交(每两个函数图像有且仅有1个交点)得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为 ． 9-2（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 9-3如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接回答：在第一象限内，当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 9-4如图，反比例函数的图象与直线交于点，轴，与反比例函数的图象交于点．    (1)求反比例函数的解析式和的值； (2)当时，求点的坐标． 9-5（2024·湖北中考）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求m，n，k的值； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 题型十 一次函数与反比例函数的实际应用 1．建模核心： 一次函数（线性关系）：适用于＂固定量 + 变量＂场景（如总成本 =，表达式）。 反比例函数（反比关系）：适用于＂乘积恒定＂场景（如路程固定时速度 时间=定值，表达式）。 2．关系识别： 题目出现＂成正比＂＂每增加／减少．．．对应増加／减少．．．＂用一次函数； 出现＂成反比＂＂乘积一定＂＂反比例变化＂用反比例函数。 3．求解步骤： 设变量（自变量，因变量），根据题意列函数式； 用待定系数法（代入已知点）求k,b或； 联立两种函数解决综合问题（如利润＝收入－成本，收入为一次函数，成本可能含反比例关系）。 4．定义域约束： 结合实际意义限制变量范围（如，整数解），图像取射线或双曲线分支，极值在端点或特殊点（如反比例函数无最值，一次函数最值看定义域端点）。 5．综合问题处理： 交点意义：两函数交点为＂临界值＂（如成本＝收入时的销量）； 优化问题：利用一次函数增减性（递增，递减）或反比例函数在区间内的趋势（如时越大越小）求最优解。 6．避坑关键： 勿混清＂一次函数增减性＂与＂反比例函数分象限增减性＂； 单位统一（如速度与时间min需转换），结果符合现实逻辑（如数量非负，价格非负）。 核心：抓＂线性／反比关系＂建模，定参数，限范围，用交点与增减性解实际问题，紧扣现实约束。 典例10（2022·江苏盐城·二模）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 10-1（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习） 设计货船通过双曲线桥的方案 素材 一座曲线桥如图所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图是其示意图，且该桥关于对称．          素材 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式． 问题解决 任务 确定桥洞的形状 建立平面直角坐标系如图所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，点A的坐标为_______________，此时过点的双曲线的函数表达式为_____________，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意． 任务 拟定方案 此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？ （提示：先求出桥洞所在双曲线的函数表达式） 10-2（2022·浙江·二模）某项目化成果展示了一款简易电子秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数关系式为，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为0~0.2安． 温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． ③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值． (1)用含I的代数式表示m． (2)请确定该电子体重秤可称的最大质量． (3)为了将电子体重秤可称的最大质量调高至115千克，在不更换原来电流表及量程条件下，小明用方案一、二、三来进行解决问题．请填写下表： 方案一 方案二 方案三 电源电压U（伏） 12 ________ ________ 定值电阻（欧） ________ 40 ________ 10-3（2025·新疆乌鲁木齐·一模）复习完“数与代数”的内容后，数学学习小组的同学想用“函数图象”的角度解决下面实际问题． 如图，计划围成一个面积为的矩形花园，花园一边靠墙，另外三边用栅栏围住． 问题1：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？若能围成，请你写出两边的长； 问题2：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？ 【问题探究】 学习小组思路：设为，为．由矩形花园面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，两个函数图象交点的坐标可以同时满足题目中的两个条件． （1）学习小组的同学已经画出了图象，请你根据上面的分析思路，利用画好的图象解决问题1． （2）请类比问题1的解决方法，解决问题2并说明理由． 【拓展应用】 （3） 从探究中发现当栅栏总长为时，“能否围成矩形花园的问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在性问题”．其中一次函数的图象可以看成是直线平移得到的．若要围成矩形花园，且和的长均不小于，求a的取值范围． 10-4我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，如果满足，那么称两点互为“等差点”． (1)请判断在点中，有哪些点与点互为“等差点”？ (2)已知点在直线上，点在双曲线（为常数，且）上，且两点互为“等差点”．请求出点的坐标（用含的代数式表示）； (3)已知抛物线（为常数且）的顶点为点，与轴交于两点，两点分别在抛物线和直线上，如果两点互为“等差点”，且两点的横坐标是一元二次方程的两根，求的值． 题型十一 一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．几何综合（面积／距离）： －利用反比例函数|k|的几何意义（矩形面积），结合一次函数截距，求交点与坐标轴围成图形的面积 （如拆分三角形用坐标差计算）。 两点在双曲线上时，距离公式结合一次函数解析式化简，避免复杂运算。 2.动点与参数设值： 动点在一次函数上设为，在反比例函数上设为，根据几何条件（如等腰，平行）列方程，注意。 参数范围需结合函数所在象限（如时反比例函数在一，三象限，动点横纵坐标同号）。 3．不等式与函数图像结合： 通过图像判断（或<）的解集：交点左右侧区间内，比较一次函数与反比例函数图像上下位置，注意跨象限讨论（如和分开分析）。 4．最值与优化问题： 一次函数在区间内的最值由增减性决定（端点处取得），反比例函数在区间内的最值需结合符号和区间单调性（如时，越大越小）。 利润，效率等实际问题中，联立两函数求临界值，再分析最优解（如成本最低，收益最高时的变量取值）。 5．分类讨论与多解性： 参数 k, b, m符号不同时，函数图像位置变化（如一次函数过不同象限，反比例函数在不同分支），需分情况讨论交点存在性及解的合理性。 几何问题中，动点位置可能对应多种图形形态（如三角形顶点在不同象限时的不同解法），避免漏解。 避坑关键： 设动点坐标时勿忽略反比例函数定义域（0）； 解不等式解集需标注区间，跨象限时用＂或＂连接； 多解问题结合图像验证，排除不符合实际意义的解（如距离为负，坐标矛盾）。 核心：用坐标设参简化几何关系，借图像解不等式，分类讨论参数影响，紧扣定义域与实际意义。 典例11小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 11-1如图1，在平面直角坐标系中，，双曲线与矩形的两边、分别交于、两点，连接、、，将沿翻折后得． (1)探究一：如图2，若点为中点时，点又恰好落在线段上，证明：平分： (2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： (3)探究三：如图4，若点在直线上，是否存在的值使点落在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11-2如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点． (1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标． (2)请直接写出的解集． (3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由． 11-3阅读与探究．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“绝对函数”．例如，函数y=x+1的“绝对函数”是，即；函数的“绝对函数”是，即；函数的图象如图1，则它的“绝对函数”的图象如图②所示． (1)的“绝对函数”是______； (2)在图3的平面直角坐标系中画出的绝对函数的图象； (3)在（1）的“绝对函数”图象上取一点A，点A关于y轴的对称点为，O是平面直角坐标系的原点，则的面积是______； (4)函数的“绝对函数”与直线有四个交点时，求m的取值范围． 11-4数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的？ 思路一：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a，面积为a2． 若新正方形的周长是原正方形周长的，则新正方形的边长为，此时新正方形的面积是____①____． 思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新正方形与原正方形相似比为，此时新正方形周长应是原正方形周长的____②____． 结论：____③____（“存在”或“不存在”）一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． 拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．____④____ 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究． 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 分析：设新矩形长和宽为，，根据题意，得 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题． 思路二：借助一次函数与反比例函数的图象（画出简单的函数图象即可）研究． 结论：____⑤____（“存在”或“不存在”）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将【阶段一】中的①~④分别补充完整． (2)分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整． (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 题型十二 反比例函数与几何综合 1． k 的几何意义： 双曲线上任一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积为|k|，对应三角形面积为，直接用面积公式求或坐标（注意象限定符号）。 2.坐标与几何结合： 设双曲线上点为，结合几何条件（距离，中点，平行／垂直）列方程，利用代数运算化简（如两点距离公式，斜率关系）。 中点／对称点：若两点与关于原点对称，对应几何图形中心为原点。 3．面积巧算： 复杂图形面积拆分：过点作坐标轴垂线，利用矩形／三角形面积相加减（如双曲线与直线交点形成的图形，拆分为梯形或多个三角形）。 同底等高转化：利用反比例函数上点的坐标特性，找等面积变换（如平行于坐标轴的直线分割图形）。 4．动态几何与参数： 动点在双曲线上设为，结合运动轨迹（如平移，旋转）列几何方程，注意定义域及象限限制（如第一象限）。 最值问题：利用|k|定值，结合几何图形特性（如斜边最短，周长最小）求极值，避免复杂求导。 5．图形关系判定： 平行／垂直：两双曲线平行无意义，直线与双曲线位置关系用联立方程判别式；直线与双曲线切线时 。 相似／全等：通过坐标比例或距离比判定，利用的几何意义简化计算（如相似图形面积比为比）。 避坑关键： 点坐标必满足，勿漏符号（如第二象限点横负纵正，）； 动点轨迹勿跨定义域（如），多解时结合图象排除矛盾解（如距离为负，坐标超出象限）。 核心：借建坐标关系，用面积公式简算，设参联立解几何条件，紧扣象限与定义域。 典例12 （2023·上海长宁·三模）如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连结，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ． 12-1（2023·上海闵行·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点坐标为． (1)求直线的表达式； (2)将抛物线沿x轴正方向平移个单位后得到的新抛物线的顶点恰好落在反比例函数的图像上，求的余切值． 12-2（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 12-3（2024·上海·三模）如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设． (1)求的正切值； (2)已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，连接，若轴，求m的值． 12-4（2024·上海静安·三模）已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． （建议用时60分钟） 1．（2022·上海·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴： (2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值； (3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 2．（2024·上海松江·二模）已知反比例函数的图像经过点，那么在每个象限内，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 3．（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则当时，的取值范围是 ． 4．（2023·上海长宁·二模）已知点在双曲线上，将点A向右平移5个单位得到点B． (1)当点B在直线上时，求直线的表达式； (2)当线段被直线分成两部分，且这两部分长度的比为时，求b的值． 5．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图），点在反比例函数位于第一象限的图像上，点的横坐标大于点的横坐标，．如果的重心恰好也在这个反比例函数的图像上，那么点的横坐标为 ．    6．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线与直线交于点A、点B，点C为双曲线上点A右侧的一点，过点B作，交y轴于点D，连接 (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，若四边形是平行四边形，求长； (3)如图1，当四边形的面积为4时，求直线的解析式． 7．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 8．（2024·浙江金华·模拟预测）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图2，求所在图象的函数表达式． (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 2 / 101 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $$