猜押14～15题 向量与函数导数综合-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（天津专用）

猜押05 向量与函数综合14-15题（ 填空题） 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 向量 2024年天津卷第14题 2023年天津卷第14题 2022年天津卷第14题 天津高考，连续三年对平面向量的考察，难度较大，知识点较多，方法灵活多变。在知识点方面，考察平面向量基本定理，平面向量的数量积与模的运算，考察平面向量与基本不等式函数等方面应用。 预测2025年天津高考，对于向量的考察，难度不变，围绕着向量共线定理，包括向量扩展知识“等和线”，以及“极化恒等式”求范围最值，等等，向量综合应用展开考察。复习向量，熟练掌握向量基本知识和基础运算，学习和练习向量常见的方法，以及建系转化，三角函数转化、基本不等式转化等等常用的划归方法。 函数综合应用 2024年天津卷第15题 2023年天津卷第15题 2022年天津卷第15题 函数综合考察是天津高考22-24连续三年的小题压轴题，难度较大，解法灵活，要求学生熟练掌握和运用函数性质，结合函数图像来解决问题。常常需要对函数，特别是分段函数，含参函数，绝对值函数，带无理根号复合幂函数等熟练掌握。 预测2025年天津高考，函数综合考察继续维持在高难度大综合的题型考察，所以要复习和熟练掌握函数性质，函数奇偶型，单调性，周期性，函数图象，尤其涉及到分段函数，绝对值函数，是天津高考考察的核心函数。含参型分类讨论，是天津高考经常考察的重要数学思想。 题型一 向量共线定理型 （填空题） 1．（2025·天津南开·一模）在中，，若点为的中点，点满足，点为与的交点，用和表示 ；则的余弦值为 ． 2．（2024·天津河西·二模）在四边形中，，，，，，分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为 ； . 3．（23-24高一下·天津·期末）在中，，，为CD上一点，且满足，则的值为 ；若，，则的值为 . 4．（23-24高一下·天津西青·期末）在平行四边形中，是线段的中点，点满足若设，则可用表示为 ；若，则 ． 5．（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形中，，，记，，用和表示 ；若，，则值为 . 题型二 向量等和线型 （填空题） 1．（2025·天津河西·一模）如图所示，四边形内接于圆，，，则 ；设，且，则四边形的面积为 ． 2．（24-25高一下·天津南开·阶段练习）如图，在中，，，D，F分别为，的中点，P为与的交点，且．若，则 ；若，，，则 ． 3．（24-25高三上·天津·期末）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 ，的最小值为 ． 4．（24-25高三上·天津河北·期末）如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M为直线与的交点，N为直线与的交点，若，，，且，，，则 ， . 5．（24-25高三上·天津北辰·期末）在中，D，E分别为BC，AC的中点，线段AD与BE相交于点，H，F分别为AB，AC边上一点，且G，H，F三点共线，若，其中为实数，则 ；的最小值为 . 题型三 向量最值范围（填空题） 1．（2025·天津·一模）在边长为的菱形中，，且，，则 ；若为线段上的动点，则的最小值为 ． 2．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示 ；若，则的最小值为 . 3．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是 ；设点是线段上的动点，则的最小值为 . 4．（2025·天津武清·一模）已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为 . 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）在边长为2的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，则 ；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 . 题型四 向量综合应用型 （填空题） 1．（2025·天津·一模）平面四边形中，，，，点为线段的中点． （I）若，则 ； （II）的取值范围是 ． 2．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则 ，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为 . 3．（24-25高三上·天津·期末）在矩形ABCD中在AD上取一点M，在AB上取一点P，使得过M点作交BC于N点，若线段MN上存在一动点E，线段CD上存在一动点 （1）若用向量表示向量 ； （2）若则的最小值为 . 4．（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 5．（2024·天津·二模）已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 . 题型五 零点：绝对值型 （填空题） 1．（2025·天津河北·二模）若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为 . 2．（2025·天津宝坻·一模）已知函数，上有四个不同的零点，则实数的取值范围是 . 3．（2024·天津·二模）设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 . 4．（2024·天津和平·二模）已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ． 5．（2024·天津·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数a的取值范围为 ． 题型六 零点：无理与绝对值混合型 （填空题） 1．（20-21高三上·甘肃庆阳·期中）已知函数，若关于的方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高三上·天津和平·期末）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数．当时，，．若在区间上，关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 3．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 4．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）定义在R上的函数满足，且， ①的值域为；    ②的最小正周期是4； ③当时，；    ④方程恰有4个实数解. 上述正确命题的序号是 . 5．（2024·安徽黄山·二模）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 题型七 零点：max(min)函数型 （填空题） 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为 . 2．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，．用表示m，n中的最小者，记函数．若函数至少有3个零点，则实数a的取值范围为 ． 3．（24-25高一上·天津西青·期末）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为 . 4．（2025·天津河西·一模）定义函数，，若至少有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 5．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）记，若有三个不等实根，若，则实数 . 题型八 零点：复合二次型 （填空题） 1．（23-24高一上·山东淄博·期末）设是不为0的实数，已知函数.若函数有7个零点，则的取值范围是 . 2.（24-25高三上·天津南开·期末）已知函数若函数有5个零点，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数 ，若函数 有 9 个不同的零点，则实数 的取值范围为 4．（20-21高天津）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高二下·天津·期末）对任意的实数，记函数（表示中的较小者）.若关于的方程恰有5个不同的实根，则实数的取值范围为 . 题型九 零点： 双绝对值型（填空题） 1．（2025·天津和平·一模）若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 . 2．（2024·天津红桥·二模）函数有且只有一个零点，则m的取值范围是 ． 3．（23-24高三上·天津模拟）设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ． 4．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 ． 5．（23-24高三上·天津南开·期中）已知函数，若方程至少有三个不同的实根，则实数a的取值范围是 ． 题型十 函数综合 （填空题） 1．（2025·天津南开·一模）已知，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）若函数有唯一零点，则的取值范围为 . 2．（2024·天津滨海新·三模）已知函数若函数（）（为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是 ． 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若有三个不同的根，则的取值范围为 ． 5．（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数，若集合中恰有3个元素，且它们的和为0，则实数的取值集合是 ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押05 向量与函数综合14-15题（ 填空题） 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 向量 2024年天津卷第14题 2023年天津卷第14题 2022年天津卷第14题 天津高考，连续三年对平面向量的考察，难度较大，知识点较多，方法灵活多变。在知识点方面，考察平面向量基本定理，平面向量的数量积与模的运算，考察平面向量与基本不等式函数等方面应用。 预测2025年天津高考，对于向量的考察，难度不变，围绕着向量共线定理，包括向量扩展知识“等和线”，以及“极化恒等式”求范围最值，等等，向量综合应用展开考察。复习向量，熟练掌握向量基本知识和基础运算，学习和练习向量常见的方法，以及建系转化，三角函数转化、基本不等式转化等等常用的划归方法。 函数综合应用 2024年天津卷第15题 2023年天津卷第15题 2022年天津卷第15题 函数综合考察是天津高考22-24连续三年的小题压轴题，难度较大，解法灵活，要求学生熟练掌握和运用函数性质，结合函数图像来解决问题。常常需要对函数，特别是分段函数，含参函数，绝对值函数，带无理根号复合幂函数等熟练掌握。 预测2025年天津高考，函数综合考察继续维持在高难度大综合的题型考察，所以要复习和熟练掌握函数性质，函数奇偶型，单调性，周期性，函数图象，尤其涉及到分段函数，绝对值函数，是天津高考考察的核心函数。含参型分类讨论，是天津高考经常考察的重要数学思想。 题型一 向量共线定理型 （填空题） 1．（2025·天津南开·一模）在中，，若点为的中点，点满足，点为与的交点，用和表示 ；则的余弦值为 ． 【答案】 ； . 【分析】根据已知及加减、数乘的几何意义可得、，再由与的夹角相等，结合向量数量积的运算律及夹角余弦值的求法求的余弦值. 【详解】由，则， 由与的夹角相等，则， 又，，则， 所以， ，，所以. 故答案为：， 2．（2024·天津河西·二模）在四边形中，，，，，，分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为 ； . 【答案】 【分析】利用向量的加法可以求出第一个空；通过转化确定及与，的夹角，代入数量积的计算公式即可求出第二个空. 【详解】由题意得，,, 由分别为线段、的中点，知，， 因此，； 延长、交一点,由,，，,且., 又，,,，则.故答案为：； 3．（23-24高一下·天津·期末）在中，，，为CD上一点，且满足，则的值为 ；若，，则的值为 . 【答案】 /0.1 【分析】根据得到，设存在，使得，变形后得到，对照系数得到方程组，求出；再计算出，从而得到，代入计算即可. 【详解】因为，所以，， 因为三点共线，所以设存在，使得，故，即， 故，解得；， 则因为，，， 所以.故答案为：， 4．（23-24高一下·天津西青·期末）在平行四边形中，是线段的中点，点满足若设，则可用表示为 ；若，则 ． 【答案】 【分析】由向量的线性运算，可将用表示出来；以为基底，即可对的数量积进行运算求解. 【详解】由E是线段CD的中点，，可得，， 则， 则，所以； 由题意知，，，，， 则. 故答案为：；. 5．（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形中，，，记，，用和表示 ；若，，则值为 . 【答案】 / 【分析】对于空1，由得，结合即可得解；对于空2，利用已知条件将向量和转换成向量和来表示即可得解. 【详解】因为，所以，所以； 因为，所以，所以，故，即， 又，故，即， 因为，，所以. 故答案为：；. 题型二 向量等和线型 （填空题） 1．（2025·天津河西·一模）如图所示，四边形内接于圆，，，则 ；设，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）过作垂足为，则，再用数量积的运算律结合垂直向量求解即可； （2）在延长线上取点，使，取中点，由已知可得过圆心，求得，进而可求得梯形的高与上底，从而可求面积. 【详解】（1）过作垂足为，则， 所以； （2）在延长线上取点，使，取中点， 又因为，所以， 由，可得，所以直线MN过圆心， 在中，，，所以，， 因为，所以,所以， 所以等腰梯形高为，， 所以等腰梯形面积为．   故答案为：①；②. 2．（24-25高一下·天津南开·阶段练习）如图，在中，，，D，F分别为，的中点，P为与的交点，且．若，则 ；若，，，则 ． 【答案】 【分析】连接的中位线，利用三角形相似得到，再利用加法的三角形法则表示出，即可得到的值；同理表示出，利用向量的数量积运算即可得到结果. 【详解】 如图所示：连接， 因为D，F分别为，的中点， 所以是的中位线，所以， 则， 所以，所以； 因为， 所以 . 故答案为：；. 3．（24-25高三上·天津·期末）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 ，的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】由平行四边形的面积为，，可得，由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为平行四边形的面积为，， 所以，得， 如图，连接，则，因为，又为平行四边形，则 ，所以， 因为三点共线，所以，得，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故答案为：；. 4．（24-25高三上·天津河北·期末）如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M为直线与的交点，N为直线与的交点，若，，，且，，，则 ， . 【答案】 / / 【分析】取为基底表示向量，再利用数量积的定义及运算律计算即得. 【详解】在中，由，得，即， 则，又， 则，所以； 由分别为的中点，得为的重心， 则，而， 所以 .故答案为：；. 5．（24-25高三上·天津北辰·期末）在中，D，E分别为BC，AC的中点，线段AD与BE相交于点，H，F分别为AB，AC边上一点，且G，H，F三点共线，若，其中为实数，则 ；的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意作图，根据平面向量的线性运算以及三个共起点且终点共线向量的性质，可得参数的和，利用基本不等式“1”的妙用，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由为的中点，则，即， 由图可得，， 由为的两条中线与的交点，则， 由共线，则，即， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：；. 题型三 向量最值范围（填空题） 1．（2025·天津·一模）在边长为的菱形中，，且，，则 ；若为线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】依题意可得，根据平面向量线性运算及基本定理求出、，建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，利用坐标法及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以，又且、不共线，所以，所以；如图建立平面直角坐标系，则，，， 所以，由，所以，所以，因为为线段上的动点， 设，所以，所以， 所以，所以 ，所以当时取得最小值，且最小值为. 故答案为：； 2．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示 ；若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据已知及向量加减、数乘的几何意义用和表示，若且，，由已知得，，应用向量数量积的定义求值. 【详解】由，，则，， 由， 若且，，则，所以，， 所以 ，而，， 所以的最小值为.故答案为：； 3．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是 ；设点是线段上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据定比分点以及向量线性运算，利用数量积的运算律计算可得；设，利用向量数量积的运算律并结合二次函数性质即可求得的最小值. 【详解】因为D为BC的三等分点（靠近C点），所以， 可得， 所以 ；设， 所以， 可得 ； 可知当时，的最小值为.故答案为：；； 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用平面向量的共线定理设出，再由向量的线性运算以及运算律计算可得结果. 4．（2025·天津武清·一模）已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为 . 【答案】 / 【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则可得，再根据平面向量基本定理求，，由此可得；根据向量线性运算法则结合数量积运算律可得，结合图形确定的最小值，由此可求的最小值. 【详解】因为，所以，因为，， 所以，，所以，因为为线段的中点，所以，又， 所以， 又，所以，因为设是线段上的动点，又为钝角， 所以，因为正方形的边长为，，所以， 所以，所以当点与点重合时，取最小值，最小值为. 故答案为：；. 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）在边长为2的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，，则 ；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】以为基底，表示，可得，.再结合平面向量基本定理，表示出，利用数量积的概念和二次函数在给定区间上的值域求其最小值. 【详解】如图： 因为，所以，，所以. 因为在线段上，可设，.所以， . 所以 因为，所以，. 所以当时，取得最小值，为.故答案为：；. 题型四 向量综合应用型 （填空题） 1．（2025·天津·一模）平面四边形中，，，，点为线段的中点． （I）若，则 ； （II）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（I）证明四边形为菱形，即可利用定义求数量积； （II）以为原点，以所在直线为轴和轴建系，求出点的轨迹方程，再用坐标表示，再将其转化为几何意义求解. 【详解】（I）如图，连接， 因，，为线段的中点， 则，， 故四边形为菱形，则， （II）如图，以为原点，以所在直线为轴和轴， 在中可知，，则， 设，则，， 因，则点的轨迹为以为直径的圆， 方程为圆，欲使其构成平面四边形，则其轨迹为半圆， 因，则 该式子的几何意义为：点到半圆上的点的距离，因，则点在圆上， 则距离的最短值为，最长为，但此时无法构成四边形， 故.故答案为：； 2．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则 ，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】推导出，，然后以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的模长公式可求得的值；设点、，其中，，利用平面向量数量积的坐标运算得出，再结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为，可得， 因为，则， 因为，则，且，如下图所示： 以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如上图所示的平面直角坐标系， 则、、、、，； 设点、，其中，，，， 所以，，可得， 因为，则，则，，所以，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为. 故答案为：；. 3．（24-25高三上·天津·期末）在矩形ABCD中在AD上取一点M，在AB上取一点P，使得过M点作交BC于N点，若线段MN上存在一动点E，线段CD上存在一动点 （1）若用向量表示向量 ； （2）若则的最小值为 . 【答案】 【分析】（1）根据矩形的性质、平面向量的线性运算法则，求出用向量表示向量的式子； （2）由结合算出然后根据向量的模的公式算出的最小值． 【详解】解：（1）根据题意，可得且所以可得 结合、可得； （2）因为所以 观察图形可得：当时等号成立， 所以可得即的最小值为 故答案为：； 4．（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到，求出，设，，故，求出，故，从而得到最小值. 【详解】过点作⊥于点，因为等腰梯形中，， 所以，由勾股定理得，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，故，是腰的中点，故， 所以，设，，， 则，故，，故， ， 故， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 5．（2024·天津·二模）已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立适当平面直角坐标系，由题意可得各点坐标，从而可得所需向量的坐标表示，结合向量共线的坐标表示可得，借助向量的数量积公式计算即可得的最小值. 【详解】如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，则有、，   由，则，则，则，， 则，，由，即，则， 则，，又在线段上，故有， 解得，即，；设，，则，由，则，由，，则，则， 则，故，则，，，则 ，则当时，有最小值.故答案为：；. 题型五 零点：绝对值型 （填空题） 1．（2025·天津河北·二模）若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知可得在上有且仅有一个根，讨论、，导数研究区间单调性并确定右侧的值域，即可得参数范围. 【详解】令有且仅有一个根，且， 所以，在上有且仅有一个根，当，则， 令且，则，所以在上单调递增， 趋向于0时，，趋向于1时，，所以； 当，则， 令在上单调递减，且，趋向于时，， 所以；综上，.故答案为： 2．（2025·天津宝坻·一模）已知函数，上有四个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意可得，令，画出的图象，再对关于的方程，讨论时是否符合题意，再计算为方程的一个根时是否符合题意，分析可得有两个不相等实数根，结合二次函数根的分布问题得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 令，则， 又函数的图象如下所示：要使函数，上有四个不同的零点，对于关于的方程，若，则或，当时，解得，此时有且仅有个不同的零点，不符合题意； 当时，解得，此时无零点，不符合题意； 若为方程的一个根，则，则方程有两个实数根和， 此时有且仅有个不同的零点，不符合题意； 所以有两个不相等实数根，且两根均大于或一根小于0，一根大于0小于1， ①当两根均大于时，令，则有两个零点，且两个零点均大于， 所以，解得； ②当一根小于0，一根大于0小于1，则，解得； 综上可得实数的取值范围是.故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令，从而转化为关于的方程的根的情况问题. 3．（2024·天津·二模）设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】或. 【分析】函数恰有4个零点说明与的图象有四个交点，对实数的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况下的函数图象，通过斜率的变化即可确定实数的取值范围. 【详解】因为函数恰有4个零点，所以与的图象有四个交点， 当时，，函数图象如图1所示， 的图象与的图象仅有两个交点，不合题意. 当时，点，且时，，， 如图2，当与相切时， 联立得，， 由得或（舍）， 如图3，当时，与的图象在上有一个交点，在上有两个交点，不合题意. 如图4，当时，与的图象在上没有交点，在上有两个交点，不合题意. 如图2，当时，与的图象在上没有交点，在上有三个交点，不合题意. 如图5，当时，与的图象在上没有交点，在上有四个交点，符合题意. 当时，点，且时，，， 如图6，当与相切时， 联立得，， 由得或（舍）， 如图7，当时，与的图象在上有两个交点，在上有四个交点，不合题意. 如图6，当时，与的图象在上有两个交点，在上有三个交点，不合题意. 如图8，当时，与的图象在上有两个交点，在上有两个交点，符合题意. 如图9，当时，与的图象在上有一个交点，在上有两个交点，不合题意. 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的应用，关键在于利用数形结合与分类讨论的思想，需要通过讨论取值范围，结合范围的限制，判断交点个数，得到的取值. 4．（2024·天津和平·二模）已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】,,． 【分析】方程可化为，根据一次函数与二次函数的性质，分别讨论函数与函数，在同一坐标系内作出它们的图象并观察交点的个数，建立关于的不等式，进而求出实数的取值范围． 【详解】方程，即， 结合，得，原方程可化为， ①时，原方程变为，只有一个实数根，不符合题意； ②，记， 的图象是开口向下的抛物线，函数的最大值， 因为在上是减函数，在上是增函数， 所以的最小值为， 结合图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意； ③，则， 在上是减函数，在，上是增函数，的最小值为， 的图象是开口向上的抛物线，函数的最小值， 当时，即时，函数的最小值， 观察图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意； 当时，函数的最小值， 方程即的根的判别式△， 且方程即的根的判别式△， 结合与都在处取最小值，可知与的图象不止有两个交点，不符合题意． 综上所述，或，即实数的取值范围是,,． 故答案为：,,． 【点睛】方法点睛：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5．（2024·天津·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】是函数的一个零点，再分段去绝对值符号，探讨零点个数即得. 【详解】显然是函数的一个零点， 当时，，此时函数无零点； 当时，，由，得， 因为函数有3个零点，必有， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 题型六 零点：无理与绝对值混合型 （填空题） 1．（20-21高三上·甘肃庆阳·期中）已知函数，若关于的方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】在坐标平面中画出的图象，动态分析的图象后可得实数的取值范围. 【详解】当时，，令， 则，故此时的图象为圆的一部分， 在坐标平面中画出的图象如下： 因为关于的方程有三个不同的实数根， 所以的图象与的图象有3个不同的交点. 当时，的图象与的图象无交点，舍； 当时，的图象的左边的射线与的图象有一个交点， 当射线与相切时，设切点为， 则，故，. 当射线过时，， 当与圆相切时， 有，故. 因为，故当的图象与的图象有3个不同的交点时， 有或.故答案为：. 2．（24-25高三上·天津和平·期末）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数．当时，，．若在区间上，关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用周期性画出函数和在上的图象，再根据数形结合求满足个不同的交点的参数范围即可. 【详解】当时，由，得，， 又因为是奇函数，有， 且当时，则有， 即，， 而，再利用的周期为4，的周期为2， 在区间上，可分别作出函数，的图象： 由图可知,函数和在上的图象有2个不同的交点, 故函数和在上的图象只有个交点, 才可以满足在上在轴上方两图象有3个交点. 所以圆心到直线的距离为，解得, 因为两点连线斜率为,所以根据图形可知， 当直线与半圆在上仅有一个交点，则满足或. 故答案为：. 3．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得. 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则，即函数与函数有唯一交点，由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即，当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增，令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为，即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率，令，可得或（舍去），且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去），且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，.故答案为：. 4．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）定义在R上的函数满足，且， ①的值域为；    ②的最小正周期是4； ③当时，；    ④方程恰有4个实数解. 上述正确命题的序号是 . 【答案】②④ 【分析】取验证可判断①；由周期定义，结合在上的解析式可判断②；当时，，代入解析式，结合周期性可判断③；转化为与的图象的交点个数问题，作图可判断④. 【详解】对于①，因为，所以①错误； 对于②，因为，所以， 所以4是的周期， 又，所以的最小正周期是4，②正确； 对于③，当时，，所以， 所以，③错误； 对于④，方程恰有4个实数解，等价于与的图象有4个交点. 作出和的图象如图： 由图可知与的图象有且只有4个交点，故④正确.故答案为：②④ 5．（2024·安徽黄山·二模）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】． 【分析】令，则有，将问题转化为半圆与直线有两个交点，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】令， 则，所以， 又因为，即为，表示单位圆位于轴上及上方部分； 而，表示过点且斜率为的直线， 所以将问题转化为半圆与直线有两个交点， 当直线与半圆相切时；，解得， 当直线过点时，则有，解得，综上，．故答案为：． 题型七 零点：max(min)函数型 （填空题） 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】分别联立方程求得交点坐标，画出函数的图象，数形结合即可得解. 【详解】解：联立，解得， 联立，解得或， 联立，解得或， 作出函数的图象如图： 由图可知，则的最小值为.    故答案为：2. 2．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，．用表示m，n中的最小者，记函数．若函数至少有3个零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】由可得，要使函数至少有3个零点， 则函数至少有一个零点，， 所以或，①当时，，作出函数、的图象， 此时函数只有两个零点，不合乎题意， ②当时，设函数的两个零点分别为、（）， 要使函数至少有个零点， 则，所以， 所以，③当时，， 作出函数、的图象， 由图可知函数的零点个数为，合乎题意， ④当时，设函数的两个零点分别为、（）， 要使函数至少有个零点，则， 可得，解得，所以，所以.故答案为：. 3．（24-25高一上·天津西青·期末）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意作出函数的图象，根据函数图象即可求解． 【详解】令，解得或， 作出函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，取得最小值为． 故答案为：． 4．（2025·天津河西·一模）定义函数，，若至少有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值进行分类讨论，数形结合，结合函数的零点个数，可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由，可得， 设，则函数至少有一个零点， 则，解得或， 当时，设函数两个零点分别为、且， 由韦达定理可得，则必有，则必为函数的一个零点， 若使得函数至少有三个零点，则必有，即，解得，所以，， 且当时，， 作出函数的图象如下图中的实线所示： 由图可知，此时函数只有两个零点，不合乎题意； 若，设函数两个零点分别为、且， 由韦达定理可得，则必有， 从而可知，必为函数的一个零点，作出函数的图象如下图中的实线所示， 若使得函数至少有三个零点，则，所以，，解得，此时，. 综上所述，的取值范围是.故答案为：. 5．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）记，若有三个不等实根，若，则实数 . 【答案】 【分析】首先根据定义，画出函数的图象，并在同一坐标系中画出的图象，根据图象，并联立方程，求得，利用条件求解的值. 【详解】令，两边平方后得， 令，定义域为，恒过点， 联立，解得：，，所以,画出函数的图象， 在上，在上，，， 联立，解得：，联立 ，得，解得：，， ，，，解得：，因为， 所以.故答案为： 题型八 零点：复合二次型 （填空题） 1．（23-24高一上·山东淄博·期末）设是不为0的实数，已知函数.若函数有7个零点，则的取值范围是 . 【答案】. 【分析】作出的图象，然后由，得或，由图象可知有3个零点，所以就有4个零点，再结合图象可求出结果. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示. 由，得或.当时，有3个零点； 要使函数有7个零点， 则当，即时，曲线与直线有4个交点， 结合图象可得，解得， 即的取值范围为.故答案为：. 2.（24-25高三上·天津南开·期末）已知函数若函数有5个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】或. 【分析】设，的零点转化成的实根问题，结合的图像分析出根的分布情况，分类讨论求解. 【详解】作出函数图像如下： 设，， 由图可知，至多只有四个根， 于是必有两个不等实根. 设 当时，有个根，有个根，此时有个零点， 根据二次函数根的分布可知，，解得； 当，，有个根，有个根，此时有个零点， 此时，解得， 则，时，，，符合题意； 当，，有个根，有个根，此时有个零点， 此时，解得， 则，时，，，不符合题意. 综上可知，或.故答案为：或. 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数 ，若函数 有 9 个不同的零点，则实数 的取值范围为 【答案】 【分析】令，则或，先作出函数的图象，即可得出方程和方程实根的个数，进而可得出方程实根的个数，再结合函数的图象即可得解. 【详解】因为函数有9个不同的零点， 所以方程有9个不同的实根， ， 令，则或， ， 如图，作出函数的图象， 由图可知，方程有个不同的实根， 方程有个不同的实根， 因为所以方程有个不同的实根， 如图，作出函数的图象， 由图可知. 故答案为：. 4．（20-21高天津）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先作出图象，利用换元法，结合题意得到方程在内有两个不同的实数根，再利用二次函数根的分布得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程化为， 要使关于的方程恰好有六个不同的实数解， 则方程有个不同的实数解，结合图象可知，此时， 则方程在内有两个不同的实数根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为.故答案为：. 5．（23-24高二下·天津·期末）对任意的实数，记函数（表示中的较小者）.若关于的方程恰有5个不同的实根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】依题意可得或，令，则或，分、、三种情况讨论，可得、与共有个不同的交点，数形结合即可得解. 【详解】因为，所以， 则或，令，则或， 依题意可得、与共有个不同的交点， 当时，此时与有个交点， 与有个交点，不符合题意； 当时与无交点，与最多只有个交点，不符合题意； 当时，因为的图象是由的图象向右平移个单位而来， 由，解得，则的图象如下所示：   其中，由图可知与恰有个交点， 则与有个交点，所以，解得； 综上可得实数的取值范围为.故答案为： 题型九 零点： 双绝对值型（填空题） 1．（2025·天津和平·一模）若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值大于等于0，求得.再找到各个绝对值的零点，然后分三种情况分别考虑去绝对值符号后对应区间上的解的个数情况，进而总结得到答案. 【详解】右边的 ，即：.    解方程 得 或 ; 解方程 得 或 . 需要根据 的符号讨论： （1）当 时方程变为 ，即 ，解得 或 ，有两个不等实根. （2）当时，关键点顺序： 记. ：方程变为：,解，得 .当时， 根据开口方向和对称轴可知，至多有一解. 恰有一解条件,解得。当时，, 有一解条件,解得;当时,,至多有一解. 有一解条件，解得.所以时有2解; 若,由于,时，得 . :此时,有一解条件,, 或者，无解.有两解的条件：, 解得.所以时符合题意. 综上所述，当且仅当时方程有两个不同的实数解.故答案为：. 2．（2024·天津红桥·二模）函数有且只有一个零点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出图象，问题等价于与有且只有一个交点，考虑相切时的情况，利用导数的意义求出切线方程，再求出结果即可. 【详解】由题意可得，问题等价于与有且只有一个交点. 分别作图如下： 考虑他们的临界情况，即与相切时，如上图，即与相切时，仅有一个交点.设切点为，则，所以，， 所以，即，但因为与有且仅有一个交点， 所以，即，故答案为：. 3．（23-24高三上·天津模拟）设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意分类讨论，转化为二次函数问题直接求解即可. 【详解】当时，方程可化为，即， 则或（舍）； 当时，方程可化为； 要使原方程有三个根，则时有一根，时有两根， 则且，解得且， 所以实数a的取值范围为 4．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，讨论当时，，当且时，，确定函数零点只可能在且的情况，再分析含绝对值符号的二次函数即可得解. 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 当时，，当时，， 此时函数无零点； 当时，， 当时，若，则，于是， 若，函数的图象对称轴，此函数在上单调递增， ，， 即当且时，，函数无零点； 于是只有当且时，函数才有零点， 当，即时，， 当时，函数， 当时，， 当时，函数取得最小值， 而当时，， 显然当，即时，函数有两个零点， 要函数恰有4个零点，必有， 当时，函数的图象对称轴， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 显然， 而， 因此函数在、上各有一个零点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 5．（23-24高三上·天津南开·期中）已知函数，若方程至少有三个不同的实根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，利用两函数图象的交点个数，结合参数对应的几何意义求参数范围即可. 【详解】由题意知，， 则是偶函数，则其图象关于轴对称. 令，解得（舍），或. 此时，， 令，解得. 此时，， 则当时，； 当时，； 由函数的解析式与图象的对称性作出函数的图象. 直线过定点，且为直线的斜率， 若方程至少有三个不同的实根， 则直线与的图象至少有三个公共点， 由图可知，解得， 故答案为：. 题型十 函数综合 （填空题） 1．（2025·天津南开·一模）已知，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，先变形，再分，两种情况讨论的正负，从而去掉绝对值符号，再分段求解方程的根，即可求出的取值范围. 【详解】令，则原方程可化为， 因为， 又因为，所以上式可化为 . （1）当时，，，即， 所以则原方程可化为， 整理可得. （i）当时，上式可化为， 所以关于的一次方程有解必须满足，解得①， （ii）当时，上式可化为，解得，此时②， （2）当时，，，即， 所以则原方程可化为， 整理可得. 因为当时，原方程已有两个不等的实数根，原方程要有四个不同的实数根， 方程必须有两个不等的实数根， 令，的对称轴为 必须让二次函数在上与轴有两个不同的交点， 所以须满足，即， 解得③， 所以，综上①②③可得实数的取值范围为， 故答案为：. 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）若函数有唯一零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数的零点与两个函数图象的公共点的关系，构造两个函数，可知两个函数存在唯一公共点.分，，三种情况进行讨论，然后找到函数定义域，分段找到交点个数，从而讨论并算出的范围，即可得到答案. 【详解】根据题意，可得，令，即. ①当时，，有，则，不符合题意，舍去. ②当时，由，可得或，， 即函数与函数，有唯一公共点， 当时，则，则， 即整理得， 当时，即，即， 当时，或（正值舍去） 当时，或，有两个解，不符合题意，舍去， 综上所述，当时，方程在时有唯一解，因此，当时，方程在时无解， 当，且时，由函数关于对称， 令，可得或，且函数在上单调递增，在上单调递减， 令，即， 故时，图象为双曲线右支在轴上方部分向右平移所得， 由双曲线的渐近线方程为，即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去），且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； ②当时，则 ， 即函数与函数，有唯一公共点， 由，可得或 当时，则，则， 即整理得， 当时，即，即， 当时，（负值舍去）或 当时，或，有两个解，不符合题意，舍去， 综上所述，当时，方程在时有唯一解，因此，当时，方程在时无解， 当，且时，由函数关于对称， 令，可得或，且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：故时，图象为双曲线左支在轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去），且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 综上所述： 故答案为： 2．（2024·天津滨海新·三模）已知函数若函数（）（为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先作出的图象，根据k的范围分类讨论的图象，使得函数与函数的图象恰好有4个交点，求出对应k的范围即可． 【详解】时，，单调递增，的图象： 令， 函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象恰好有4个交点． ①当k＝0时，， 如图， 显然，函数与函数的图象不可能有4个交点，不符题意； ②当k＜0时，如图， 要使函数与函数的图象恰好有4个交点，则，则； ③当k＞0时，如图， 要使函数与函数的图象恰好有4个交点， 则与在时有两个交点， 即有两个正实数根， 即有两个正实数根， 令， 则与在时图象有两个交点， ， 令，， 则，∴在时单调递增， ∵，，， ∴当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴， ∴如图： ∴． 综上所述，．故答案为：． 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若有三个不同的根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用导数研究函数单调性，画出草图，然后数形结合解出结果. 【详解】当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 又时，时，，所以； 当时，易知在上单调递减，所以． 作出函数的大致图象如图所示． 令，则数形结合可知方程有两个不同的实数根，分别记为， 且，而方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个不同的交点，且两个交点的横坐标分别为． 数形结合可知．令，令，解得． 故答案为： 5．（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数，若集合中恰有3个元素，且它们的和为0，则实数的取值集合是 ． 【答案】 【分析】写出分段形式并画出函数草图，结合题设有与有三个交点，令横坐标分别为且，数形结合得，在、上分别令、，根据根与系数关系及求参数范围. 【详解】由，值域为，其函数图象如下， 结合题设易知与有三个交点，令横坐标分别为且， 由图知，且与在上有两个交点，与在上有一个交点， 令，即在上有两根， 若，则， 所以，即，且， 令，则，又， 所以， 综上，，即实数的取值集合是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：写出分段形式，将问题化为与各区间上的交点情况求参数. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$