精品解析：甘肃省临潭县第一中学2024-2025学年高三下学期期中考试数学试卷

临潭县第一中学2024-2025学年度第二学期高三期中考试数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1. 定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数画出函数图像，得到的根的个数情况，根据 有且仅有6个不等的实数根得到 或 ，再根据韦达定理得到答案. 【详解】当时，，为偶函数 画出函数图像，如图所示： 根据图像知： 当时：无解； 当时：有2个根； 当时：有4个根； 当时：有2个根； 当时：有1个根； 当时：无解； 有且仅有6个不等的实数根 和满足： 或 则满足： 则满足： 综上所述： 故选 【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生对于函数图像，韦达定理，不等式的综合应用能力. 2. 已知，，，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，得到其单调性，根据题目条件得到，，，结合且在上单调递减，从而得到. 【详解】构造函数， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 由，可得，即， 即， 由，可得，即， 即， 因为，在上单调递增， 所以，故， 因为在上单调递减，，故， 因为， 故，即， 因为，所以， 因为在上单调递减，，故， 从而. 故选：A 【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中由对数运算后，根据式子特征选择，从而达到构造出适当函数的目的. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率. 【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点， 设点，，则， 因为为的重心，所以， 因为轴，所以点横坐标也为，， 因为为的角平分线， 则有， 又因为，所以可得， 又由角平分线的性质可得，，而 所以得， 所以，， 所以，即， 因为 即，解得，所以答案为A. 【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有： （1）根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解. （2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合. 4. 已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，，，可将问题转化为方程组有且只有一组实数根.后通过研究曲线，及曲线过原点与的切线，可得答案. 【详解】令，则 ，令，则 ，令，则. 令在上单调递增； 在上单调递减； 又，，则有且只有两根，分别为. 则函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点， 等价于方程组有且只有一组实数根. 令，则， 当时，，则此时在上递增，又. 即，则有且只有一组实数根. 当时，方程组有且只有一组实数根， 等价于函数图象与直线图象有两个交点， 临界情况为两条直线与图象相切. 当与相切，设对应切点为，因 ，则相应切线方程为 ； 当与相切，设对应切点为，则相应切线方程为 ，则. 综上，. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题涉及同构以及用导数，函数思想研究函数图象的交点.同构时，需仔细观察，巧用指对互化，将相同结构放在一起以便简化问题，对于函数零点问题，常可转化为相关图象交点问题来解决. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，判断其单调性可证，构造函数利用其单调性可证，可得；构造函数，利用其单调性可证，从而得解. 【详解】解：记则， 所以在单调递增， 故， 记，则，令，解得，故在上单调递减， 故，即，即，故， 记，则， 故当时，，故在上是增函数， 故，即，故， 故. 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题主要考查构造函数，并利用函数单调性比较函数值大小. 首先构造函数，利用其单调性可证，再构造函数利用其单调性可证，可得；又构造函数，利用其单调性可证，可得，从而问题得解. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，判断其单调性可证，构造函数利用其单调性可证，可得；构造函数，利用其单调性可证，从而得解. 【详解】解：记则， 所以在单调递增， 故， 记，则，令，解得，故在上单调递减， 故，即，即，故， 记，则， 故当时，，故在上是增函数， 故，即，故， 故. 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题主要考查构造函数，并利用函数单调性比较函数值大小. 首先构造函数，利用其单调性可证，再构造函数利用其单调性可证，可得；又构造函数，利用其单调性可证，可得，从而问题得解. 7. 对个正整数用k种颜色染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，设k的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用特例可判断BCD的正误，利用整除性和数学归纳法可判断A的正误. 【详解】取，则，将1234染成即可．因此选项CD错误． 下面证明． 设为正整数n中素数p的幂次，即． 对于任意的正整数，将m染成第种颜色，这样就用了种颜色． 此时对于任意不同色的正整数x，y，有， 因此和均与x，y之一同色，符合题意．这样就证明了． 接下来设，则右侧不等式即． 对k进行归纳，应用数学归纳法证明． 当时，，此时，命题成立． 假设命题对成立，对已有的染色，考虑1，2，…，n的染色，若其中有两种或两种以上新增的颜色，不妨设为红色和蓝色，且最小的红色数为x，最小的蓝色数为y，且，则， 考虑正整数，它与异色数对成等差数列，于是必然与x，y之一同色，但，这与之前假设的x，y的最小性矛盾． 因此1，2，…，n的染色至多在之前的基础上增加1种，从而命题得证． 综上所述，有． 接下来考虑的情形，此时，排除选项B． 故选：A. 8. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的几何体，确定出球心O的位置，求出球半径，再建立空间直角坐标系求出点O到直线距离，进而求出最小截面圆半径作答. 【详解】依题意，四边形是正方形，令正方形与正方形中心分别为，连接， 因为正方形与正方形在同一平面内，且有相同中心，因此它们有相同的外接圆， 从而十面体与长方体的外接球相同，球心O是线段的中点，如图， 取中点M，连接，因为，则，显然， 又平面，则平面， 而平面，平面，即有， 平面，则平面，平面与平面有公共点， 显然平面与平面为同一平面，有，而，， 在直角梯形中，过作于I，， 球O的半径， 过D作平面，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由已知得，即， ，，则点到直线的距离有：, 球O被过直线的平面所截的截面圆最小时，球心O到平面的距离最大，即为点到直线的距离， 截得的最小截面圆半径为，而，则 ， 所以截得的截面圆面积的最小值是. 故选：C 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 二、多项选择题 9. 如图所示，四边形ABDC为梯形，其中，O为对角线的交点.有4条线段（GH、KL、EF、MN）夹在两底之间.GH表示平行于两底且于他们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行与两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的有（    ） A. 若，则. B. ， C. ， D. ，. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相似比可得，故可判断A，结合基本不等式可判断B；设梯形ABNM，MNDC，ABDC的面积分别为，高分别为，根据和可解得，可判断C；利用，，根据相似比可得，即可判断D. 【详解】由梯形中位线性质可得. 因为梯形与梯形KLDC相似，所以，即, 当时，，A正确； 由基本不等式可知时，，B正确； 设梯形ABNM，MNDC，ABDC的面积分别为，高分别为， 则，即， 解得， 由题意可知，解得，C错误； 因为，所以， 所以，所以， 易知，所以，得，所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】本题关键是能灵活运用平行线分线段成比例，相似比，以及面积关系求出GH、KL、EF、MN，然后即可求解. 10. 已知，其中，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】令，求出函数的单调区间，结合已知可得，不妨设，解法一：记，设，，利用导数求出的范围即可. 解法二：由，两式相减，可得，令，令，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案. 解法三：令，利用导数求出函数的单调区间，再结合洛必达法则即可得解. 解法四：根据，两式相减得，再结合对数均值不等式即可得解. 【详解】令，则， 故当时，，单调递增， 当时，单调递减， ∵，，∴， 又，不妨设， 解法一：记，设，， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，， 则， 又因为，且在上单调递减， 所以，则，所以. 解法二：由，两式相减，可得， 令， 则，∴； 令，则， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，则，即， 所以. 解法三：令， 则， 记， 则在上恒成立， ∴在上单调递增， ∴，所以在上恒成立， ∴在上单调递增， 又由洛必达法则可知， ∴，∴. 解法四：∵，两式相减得， 由对数均值不等式，可得， 下列对数均值不等式右半部分：， 证明：不妨设，则上述不等式可化为， 即， 记，则不等式可化为时，， 令，则， 所以在上单调递减， 则， 所以时，，所以. 故选：CD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 11. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 3是函数的周期 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令求，再令可求得，可判断A；令可判断B；令求，分别令，，整理化简可得周期，可判断C；利用周期性求解即可判断D. 【详解】令，则，解得． 令，则，即． 又，所以，所以A错误． 令，则， 即，所以， 所以为奇函数，B正确． 令，则． 又， 所以，所以． 又，所以． 由，得， 则． 由，得． 又因为，所以． 又因为， 所以， 即． 用代替上式中的，得． 又， 所以，即， 所以3是函数的周期，所以C正确． 由，函数为奇函数，得， 所以． 又，所以， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点睛：本题的两个关键点：（1）根据函数方程合理赋值，找出；（2）建立与的相等关系，从而挖掘出函数的周期性． 三、填空题 12. 已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，求得的取值范围，由此列不等式，由此求得离心率的取值范围. 【详解】，即， ， 当且仅当时等号成立. ， 由于，所以当或时， 有最小值为， 所以，则，即， 即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点睛： 椭圆焦点和离心率的应用：通过利用椭圆的焦半径和离心率关系，结合椭圆上的点条件，推导出离心率的范围，这是解题的关键步骤. 不等式解的准确性：通过解不等式，得出离心率的范围，确保计算过程中的符号处理正确，是确保结论正确的关键. 13. 已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则______，______. 【答案】 ①. 1 ②. -2026 【解析】 【分析】通过条件可得是周期为4的函数，由为偶函数得，通过给赋值可计算出，利用函数的周期性可得结果. 【详解】由得，，， ∴，故是周期为的函数. ∵为偶函数，∴，∴， 令，得， 令，得. 在中，令，得， ∴. 令，得，故， 令，得，故. 由函数的周期性得， . 故答案为：1；-2026. 【点睛】方法点睛： ①若，则函数的周期； ②若，则函数的周期； ③若，则函数的周期； ④若，则函数的周期； ⑤若，则函数的周期. 14. 已知，，，则下列结论中正确的是______________. ①当时，； ②当时，有1个元素； ③若有2个元素，则； ④若有4个元素，则无整数解； 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、并集、交集的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①当时， ， 由令，解得， 由令，解得， 画出对应点集如下图所示，所以， 所以①正确. ②当时， ， 画出对应点集如下图所示， 圆的圆心为，半径为， 直线，即， 到的距离为， 所以圆与直线相切， 所以有个元素，所以②正确. 对于③，当时， ， 画出对应点集如下图所示， 半圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 此时有个元素，所以③错误. 对于④，若， 则 ， 此时直线与圆至多有个公共点，不符合题意. 若，则由③的分析可知有个元素， 综上所述，若有4个元素，则无整数解,所以④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 四、解答题 15. 已知函数. （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数有两个极值点，，且，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据题设运用导数知识分析求解； （2）借助题设条件将不等式进行等价转化，再构造函数运用导数知识分析推证. 【小问1详解】 函数的定义域为，则， 若在上单调递增， 则在上恒成立且等号不恒成立， 即上恒成立， 又在上单调递减， 所以，所以， 数的取值范围为. 【小问2详解】 ， 则， 依题意可得，是方程的两个不同的根， 于是，，，即， 又，则，， 要证， 只需证， 即证，， 因为，所以， 从而， 令，， 则， 设，则， 令，解得舍去， 由，得；由，得， 于是在上单调递增，在上单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减， 而，， 因此在上，，因此在上单调递增， 从而， 所以当时，成立， 所以原命题得证. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，再结合导函数正负得出函数的单调性即可得出最值证明即可. 16. 生命的诞生与流逝是一个永恒的话题，就某种细胞而言，由该种细胞的一个个体进行分裂，分裂后成为新细胞而原细胞不复存在，多次分裂后，由该个细胞繁殖而来的全部细胞均死亡，我们称该细胞“灭绝”.现已知某种细胞有的概率分裂为个细胞（即死亡），...，有的概率分裂为个细胞.记事件：细胞最终灭绝，：细胞第一次分裂为个细胞.记该细胞第一次分裂后有个个体（分裂后的细胞互不影响），在概率论中，我们用的数学期望作为衡量生物灭绝可能性的依据，如果，则在理论上细胞就不会灭绝；相反，如果，则理论上我们认为细胞在足够多代的繁殖后会灭绝，而这两种情况在生物界中都是普遍存在的. （1）直接写出的数学期望. （2）用只含和的概率式表示并证明该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根. （3）若某种细胞发生基因突变，当时. （ⅰ）若当其分裂为两个细胞后，有一个细胞具有与原细胞相同的活力，而另一细胞则在此后丧失分裂为两个的能力（即只有可能分裂成个或个），求证：该细胞的灭绝是必然事件. （ⅱ）受某种辐射污染，若当其分裂为两个细胞后分裂生成的两个细胞此后均丧失分裂为个的能力，并等可能分裂为个或个细胞.我们称为“泛滥型细胞”，已知：，求出一个该种泛滥型细胞经过次分裂，得到个细胞的概率. 【答案】（1） （2），，证明见解析 （3）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）对于求随机变量的数学期望，根据数学期望的定义，是各个取值与其对应概率乘积的和. （2）在求事件A的概率表示时，需要用到全概率公式.对于证明灭绝概率是方程的根，要根据条件逐步推导. （3）对于证明细胞灭绝是必然事件，要根据新的分裂规则求出新的数学期望并判断.求经过n次分裂得到3个细胞的概率，需要根据分裂规则建立递推关系求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 则：， ，由于分裂后细胞相互独立， . ， 所以：. 若能取到中的所有数，则令：，有：， 为该方程的一个实根，.， 由于的每一项在上均单调递增，故单调递增，. 由于，则：①当时，单调递减，，，故在，只有唯一零点， 这是原方程的最小正实根，符合的实际意义； ②当时，，故唯一使， 此时在单调递减，在单调递增且. 所以在有两个零点与，其中：.由于， 故，故，此时也取到原方程的最小正实根，符合的实际意义. 综上：该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根. 【小问3详解】 （ⅰ）由（2）可知：若一个细胞失去分裂为两个的能力，则灭绝概率， 故对该细胞母体：， ，解得：，该细胞的灭绝是必然事件. （ⅱ）由条件：， ， . 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解时，读懂题目，利用全概率的知识求解；二是求解的最值时，根据解析式的特点，利用导数和数列知识来求解. 17. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）设函数，当时，若，证明：. 【答案】（1）； （2）证明如下： 当时，， 则.令，则. 令，得在上单调递增； ，得在上单调递减.则. 则，，当且仅当时取等号. 得在R上单调递增，而，， 则不妨设. 令，其中. 则.令，. 则，得在上单调递增， 则，得在上单调递增， 有，即时，. 因，则， 又，则，又注意到在R上单调递增， 则. 【解析】 【分析】（1）利用导数可得即切线斜率，又切线过点，据此可得答案； （2）由题，，通过研究函数的最值情况，可得在R上单调递增，又由，，可设.则， 故证明当时，即可. 【小问1详解】 当时，，则. 因，得切线过点，斜率为1. 则在处的切线方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题涉及求函数在一点上的切线及双变量问题，难度较大. （1）问较为基础；（2）双变量问题，关键在于消元，本题在得知单调性后， 结合，将证明转化为证明: 当时，. 18. 把正整数1，2，3，…，n按任意顺序排成一行，得到数列，称数列为1，2，3，…，n的生成数列． （1）若是1，2，3，…，8的生成数列，记，数列所有项的和为S，求S所有可能取值的和； （2）若是1，2，3，…，10的生成数列，记，若数列中的最小项为T． ①证明：； ②求T的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②17 【解析】 【分析】（1）先把用表示，再求出的最值，写出可能的结果并求和即可； （2）①反证法，求和，找矛盾得到假设不成立，进而得证原命题；②结合①中的范围和为正整数，对给出假设值，根据条件举出符合题意的例子，即可得到最大的. 【小问1详解】 因为是1，2，3，…，8的生成数列，且， 所以的所有项的和为： ， ，， 所以S所有可能的取值为57，58，59，…，69，故其和为． 【小问2详解】 ①假设，因为， 所以，所以，又，所以， 同理有， 所以，所以，又，所以， ，与已知矛盾，所以假设不成立，故． ②由①，又为正整数，假设， 由， 得，所以， 又， 所以，，同理可得，， 记的各项依次为1，6，10，2，7，8，3，9，5，4， 则的各项依次为17，18，19，17，18，20，17，18，满足题意，假设可以成立， 所以T的最大值为17． 【点睛】关键点点睛：本题属于新高考新定义题型，需要紧扣题目定义提取出我们熟识的知识点.其中（2）①关键在于利用反证法，找矛盾，反推原命题成立；②中取特值再验证的方法，比较巧妙，开拓了学生的思维. 19. 阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题： 知识卡片1： 一般地，如果两数在区间上的图象连续不断，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点（，2，…，n），作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数的图象连续不断且恒有，那么定积分表示由直线，，和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积. 知识卡片2： 一般地，如果在区间上的图象连续不断，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式.例如，如图所示，对于函数（），从几何上看，定积分的值为由直线，，和曲线所围成的区域即曲边梯形的面积，根据微积分基本定理可得. （1）求下列定积分： ① ； ② ； ③ ； ④ . （2）已知，计算： ①； ② （3）当，时，有如下表达式：.计算： 【答案】（1）答案见解析 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据微积分基本定理及定积分的定义计算可得； （2）①将两边对求导，再令即可得解；②根据及微积分基本定理计算可得； （3）将已知式子两边同时积分得，即可得解. 【小问1详解】 ； ； 令，，则， 所以表示以坐标原点为圆心，半径为的圆在第一象限部分及点，， 所以表示直线，，和曲线围成的区域的面积， 则； 因为，. 【小问2详解】 ①因为， 两边对求导可得， 令可得； ②因为， 又， ，， ，， ，， ，， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以， 其中， ， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解所给定义，会求被积函数的原函数，以及微积分基本定理的灵活应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第一中学2024-2025学年度第二学期高三期中考试数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1. 定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，其中，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为 A. B. C. D. 4. 已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 对个正整数用k种颜色染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，设k的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 如图所示，四边形ABDC为梯形，其中，O为对角线的交点.有4条线段（GH、KL、EF、MN）夹在两底之间.GH表示平行于两底且于他们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行与两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的有（    ） A. 若，则. B. ， C. ， D. ，. 10. 已知，其中，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 3是函数的周期 D. 三、填空题 12. 已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________. 13. 已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则______，______. 14. 已知，，，则下列结论中正确的是______________. ①当时，； ②当时，有1个元素； ③若有2个元素，则； ④若有4个元素，则无整数解； 四、解答题 15. 已知函数. （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数有两个极值点，，且，求证：. 16. 生命的诞生与流逝是一个永恒的话题，就某种细胞而言，由该种细胞的一个个体进行分裂，分裂后成为新细胞而原细胞不复存在，多次分裂后，由该个细胞繁殖而来的全部细胞均死亡，我们称该细胞“灭绝”.现已知某种细胞有的概率分裂为个细胞（即死亡），...，有的概率分裂为个细胞.记事件：细胞最终灭绝，：细胞第一次分裂为个细胞.记该细胞第一次分裂后有个个体（分裂后的细胞互不影响），在概率论中，我们用的数学期望作为衡量生物灭绝可能性的依据，如果，则在理论上细胞就不会灭绝；相反，如果，则理论上我们认为细胞在足够多代的繁殖后会灭绝，而这两种情况在生物界中都是普遍存在的. （1）直接写出的数学期望. （2）用只含和的概率式表示并证明该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根. （3）若某种细胞发生基因突变，当时. （ⅰ）若当其分裂为两个细胞后，有一个细胞具有与原细胞相同的活力，而另一细胞则在此后丧失分裂为两个的能力（即只有可能分裂成个或个），求证：该细胞的灭绝是必然事件. （ⅱ）受某种辐射污染，若当其分裂为两个细胞后分裂生成的两个细胞此后均丧失分裂为个的能力，并等可能分裂为个或个细胞.我们称为“泛滥型细胞”，已知：，求出一个该种泛滥型细胞经过次分裂，得到个细胞的概率. 17. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）设函数，当时，若，证明：. 18. 把正整数1，2，3，…，n按任意顺序排成一行，得到数列，称数列为1，2，3，…，n的生成数列． （1）若是1，2，3，…，8的生成数列，记，数列所有项的和为S，求S所有可能取值的和； （2）若是1，2，3，…，10的生成数列，记，若数列中的最小项为T． ①证明：； ②求T的最大值． 19. 阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题： 知识卡片1： 一般地，如果两数在区间上的图象连续不断，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点（，2，…，n），作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数的图象连续不断且恒有，那么定积分表示由直线，，和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积. 知识卡片2： 一般地，如果在区间上的图象连续不断，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式.例如，如图所示，对于函数（），从几何上看，定积分的值为由直线，，和曲线所围成的区域即曲边梯形的面积，根据微积分基本定理可得. （1）求下列定积分： ① ； ② ； ③ ； ④ . （2）已知，计算： ①； ② （3）当，时，有如下表达式：.计算： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $