精品解析：湖南省长沙市雅礼外国语学校2024-2025学年八年级上学期第三次月考数学试卷

2024年下学期八年级第三学月自主练习 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示的4组图形中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了成轴对称图形和成中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握这两个概念，并加以区分． 利用成轴对称图形和成中心对称图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A.选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； B. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； C. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； D. 选项图形是成轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】解：A. ，故不是最简分式，不符合题意； B. ，故是最简分式，符合题意； C. ，故不是最简分式，不符合题意； D. ，故不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 3. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，分式的化简，熟练掌握性质和化简是解题的关键． 根据分式的基本性质，变形计算解答即可． 【详解】解：A. ，无法再进行化简，分式变形错误，故不符合题意； B. ，无法再进行化简，分式变形错误，故不符合题意； C. ，分式变形错误，故不符合题意； D. ，分式变形正确，故符合题意； 故选：D． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则． 利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解： 故选：A． 5. 如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 【答案】B 【解析】 【分析】认真阅读作法，可得出，结论可得． 【详解】解：根据题意得：， ∴△ODM≌△CEN的依据是“”， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等． 6. 如图，在中，，是高，若，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据高定义求出，根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据直角三角形的两锐角互余求出，根据含角的直角三角形的性质得出，，再把代入求出即可． 【详解】解：∵是高， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 下列说法正确的是（　　） A. 周长相等的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 三个角对应相等的两个三角形全等 D. 三条边对应相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案． 【详解】A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C、判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故本选项错误； D、正确，符合判定方法SSS， 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS，ASA等，应该对每一种方法彻底理解真正掌握并能灵活运用．而满足SSA，AAA是不能判定两三角形是全等的． 8. 如图，点D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 先根据轴对称的性质得出，，再由，可得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 故选：B． 9. 如图，将两块大小相同的三角板（的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若交于点，交于点，交于点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①由得出对应角相等，利用角的和差即可得出结论； ②由得出对应角和对应边相等，进而可得； ③利用的直角三角形，求出另一个锐角，利用角的和差表示出，进而可求出答案； ④由和得出对应边相等，利用线段的和差即可得出结论． 【详解】解：①根据题意可知， ， ， 即，故①正确； ②根据题意可知， ， 又， ∴， 故②正确； ③在中， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∴， 故③正确； ④由和得， ， ∴， 即， 故④正确； 故选：D． 10. 设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ； ； ； ． 其中所有正确推断的序号是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据定义，分别计算等号的左边和等号的右边，即可判断，得出答案． 【详解】解：∵， 则，故正确； 则， ；故错误； 则， ，故正确； 则， ，故错误， 故正确的为． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 12. 代数式是完全平方式，m＝___________． 【答案】±4 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断就确定出m的值． 【详解】解：∵4x2+3mx+9是完全平方式， ∴3mx=±2×3•2x， 解得m=±4， 故答案为±4． 【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13. 如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F．过点F作于点E，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质及应用，熟练掌握等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求得，再由等边三角形的边长为4，得出的长． 【详解】解： ∵为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用三角形的外角及等腰三角形的性质表示出，求得的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形的外角定理得，， ， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知，，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，根据，，得到，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 联立，解得：， ∴； 故答案：7． 16. 已知实数a，b满足，则的值是__________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，代数式求值，先将已知条件变形为，然后根据非负数的性质求出a、b的值，最后代入要求的代数式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：20． 三、解答题（本题共9小题，共72分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分解因式． （1）先提取公因式，然后利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算以及代入求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先化简代数式，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 原式． 19. 已知．试说明不论为任何有意义值，的值均不变． 【答案】，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，因式分解，完全平方公式，平方差公式等知识点，解题的关键是熟练掌握三个公式和约分． 利用完全平方公式，平方差公式和提公因式法对分式的分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简即可． 【详解】解： 所以，不论为任何有意义的值，的值均不变． 20. 已知实数a、b满足，， （1）求代数式值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）28 （2）96 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可； （2）先将变形为，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， 由（1）得， ∴ ． 21. 如图，在中，． （1）在上找一点D，使得点D到A、B的距离相等；（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明） （2）若，求点D到的距离． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查作图-基本作图、线段垂直平分线性质、角平分线的性质、含30度角的直角三角形等知识点，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）用尺规作图作线段的垂直平分线，交于点D即可； （2）设线段的垂直平分线交于点E，则点D到的距离即为的长．由题意可得为的平分线，则．在中，可得，则，即，求出的长即可解答． 【小问1详解】 解：如图：点D即为所求． 【小问2详解】 解：设线段的垂直平分线交于点E，则点D到的距离即为的长． ∵， ∴． ∵点D到A、B的距离相等，即， ∴， ∴， ∴， ∴为的平分线， ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D到的距离为3． 22. 如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． 求证： （1）， （2）与的位置关系如何． 【答案】（1）证明见解析 （2）垂直 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及垂直定义、对顶角相等、三角形全等的判定定理、三角形全等的性质、三角形外角性质、垂直判定等知识、熟练掌握判定与性质是解本题的关键． （1）由垂直于，垂直于，利用垂直的定义得，由得对顶角相等得，所以．再由，，利用可得出与全等，由全等三角形的对应边相等可得出； （2）利用全等得出，再利用三角形的外角性质得到，又，利用等量代换可得出，即与垂直． 【小问1详解】 证明：，， ， 又， ， 在和中 ， ， （全等三角形的对应边相等）； 【小问2详解】 解：位置关系是， 理由如下： ， ， 又，， ， ． 23. 阅读下列解答过程，然后回答问题： 已知有一个因式，求k的值． 解：设另一个因式为，则 ．即 （对任意实数x成立） 由此得： ∴ （1）已知有一个因式，则另一个因式为_______________； （2）已知有一个因式，则m的值为________________； （3）已知多项式有一个因式，求k的值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】题目主要考查因式分解的利用，理解题意，设出因式，运用题目中的方法求解是解题关键． （1）利用题目中已知的方法求解即可； （2）利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可； （3）设另一个因式为，利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可． 【小问1详解】 解：设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， 解得：， 故答案为：； 【小问3详解】 设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， 解得：， ∴k的值为4． 24. 请阅读以下材料，解决问题． 我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即．但是，在复数体系中，如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（、为实数）的数就叫做复数，叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ； 若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为． 根据材料回答： （1）填空：① ； ②将（为实数）因式分解成两个复数的积： ； （2）若是的共轭复数，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）①；② （2）1 （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据题干所给新运算可直接进行求解；②根据平方差公式及题中所给新运算可进行求解； （2）根据题中所给共轭复数可进行求解； （3）由得出a、b的值，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：， ②； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， 又是的共轭复数， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∵或， ∵， 有2022个加数，， ∴， ∴当时，则． 当时，则． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题中所给的复数． 25. 在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； （3）如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）证，得，，再证为等边三角形，即可得出结论； （3）延长、交于，证，得，再证，得，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图2， 由（1）可知，， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ； 【小问3详解】 解：如图3，延长、交于， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期八年级第三学月自主练习 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示的4组图形中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 6. 如图，在中，，是高，若，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 下列说法正确是（　　） A. 周长相等的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 三个角对应相等的两个三角形全等 D. 三条边对应相等的两个三角形全等 8. 如图，点D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 不能确定 9. 如图，将两块大小相同的三角板（的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若交于点，交于点，交于点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ； ； ； ． 其中所有正确推断的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 12. 代数式是完全平方式，m＝___________． 13. 如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F．过点F作于点E，则的长为______． 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 15. 已知，，则__________． 16. 已知实数a，b满足，则的值是__________． 三、解答题（本题共9小题，共72分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 已知，求代数式的值． 19. 已知．试说明不论为任何有意义的值，的值均不变． 20. 已知实数a、b满足，， （1）求代数式值； （2）求代数式的值． 21. 如图，在中，． （1）在上找一点D，使得点D到A、B的距离相等；（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明） （2）若，求点D到的距离． 22. 如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． 求证： （1）， （2）与的位置关系如何． 23. 阅读下列解答过程，然后回答问题： 已知有一个因式，求k的值． 解：设另一个因式为，则 ．即 （对任意实数x成立） 由此得： ∴ （1）已知有一个因式，则另一个因式为_______________； （2）已知有一个因式，则m的值为________________； （3）已知多项式有一个因式，求k的值． 24 请阅读以下材料，解决问题． 我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即．但是，在复数体系中，如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（、为实数）的数就叫做复数，叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ； 若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为． 根据材料回答： （1）填空：① ； ②将（为实数）因式分解成两个复数的积： ； （2）若是的共轭复数，求的值； （3）已知，求的值． 25. 在等腰中，，点D是上一动点，点E在延长线上，且，平分交于点F，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； （3）如图3，当，时，取中点G，连结，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$