精品解析：四川省眉山车城中学2025届高三下期4月月考数学试题

四川省眉山车城中学2025届高三下期4月月考数学试题 命题人：潘文良 审题人：游书照 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据指数函数性质求解集合，再确定集合的范围，最后根据交集的定义求出. 【详解】因为函数在R上单调递增，，，，，，且，所以集合. 集合，由于指数函数的值域是，所以集合. 那么. 故选：B. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出、的值，即可求得双曲线的渐近线方程. 【详解】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 3. 若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】， ， 所以， 故选：C. 4. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 D. 在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据辅助角公式，化简函数的解析式，根据周期求，利用代入法判断选项. 【详解】因为. 因为函数的最小正周期为，且，所以，故A错误； 因为，所以， 所以是函数的一条对称轴，不是函数的对称中心.故B错误； 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数，不是奇函数，故C错误； 当时，，因为在递增，由复合函数单调性法则知在区间上单调递增，故D正确. 故选：D 5. 已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间，该物质的能量由减少到，则再经过时间，该物质的能量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的能量为，则，则题意可得，进而计算，可得结论. 【详解】设的能量为，则，又经过时间，该物质的能量由减少到， 所以，所以， 则再经过时间时，该物质的能量为. 故选：C. 6. 已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算可求概率. 【详解】设事件为这个人患流感，分别表示这个人来自A，B，C三个地区， 由已知可得， 又， 由全概率公式可得 . 故选：C. 7. 如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体与均相切，则该9部分的体积和的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的特征，再应用二次函数值域结合球的体积公式计算求解. 【详解】设球体的半径为半径为，所以，即得， 又，所以开口向下，对称轴为， 所以， 该9部分的体积和为 . 故选：C. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性、单调性即可求解. 【详解】易知函数定义域为， 又，故为偶函数， 当时，，所以， 令，结合对勾函数在单调递增，在单调递增， 由复合函数的单调性可知：在上单调递增， 又在上单调递增， 故在上单调递增， 易知在上单调递增， 结合函数为偶函数， 所以由可得， 平方得：， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 数据的第百分位数为 B. 已知随机变量，若，则 C. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用百分位数的求法，直接求出第百分位数，即可求解；对于B，利用正态分布的对称性，结合条件，即可求解；对于C，根据条件，利用残差的定义，即可求解；对于D，根据条件，利用方差的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，将数据从小排到大得到， 又，数据的第百分位数为，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，所以选项B正确， 对于选项C，由题知，得到，所以选项C正确， 对于选项D，设，，，的平均数为，，，，的平均数为， 因为，则，又， ， 所以，故选D错误， 故选：BC. 10. 已知各项均不为零的数列，记点，且始终在直线上，若，则下列命题正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，，由等差数列通项公式可得数列通项公式，从而得解A；利用等差数列定义证明B；根据，利用放缩法和裂项相消发求和判断C；利用并项求和法判断D. 【详解】根据题意，始终在直线上，所以， 则数列为以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则，A正确； 由于，不是常数， 所以数列不是等差数列，B错误； 因为 ， 故C正确； ， 故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. ，使得为单调函数 C. 当时， D. ，的图象恒有对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导数，由根的情况判断A；取值确定单调性判断B；求出单调递增区间判断C；利用中心对称的意义判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，当时，，方程有两个不等实根，有两个极值点，A正确； 对于B，当时，，函数为增函数，B正确； 对于C，当时，令，解得或， 函数在上单调递增，又，因此，C错误； 对于D， ，因此的图象恒关于点对称，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合复数的运算法则，化简运算，即可得到答案. 【详解】由复数满足， 可得. 故答案为：. 13. 已知，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再由三角恒等变换可得，即可得答案. 【详解】解：因为， 即，解得， 所以 . 故答案为： 14. 已知点是椭圆：上的一点，，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，由题意得出是等腰三角形. 在中由余弦定理得到含a，c的齐次方程即可求解离心率. 【详解】设，，延长ON交于A，如图所示. 由题意知，O为的中点，∴点A为中点. 又，点N在的平分线上， ∴，∴是等腰三角形， ∴， 则，所以. 又，所以. 又在中，由余弦定理得， 即，即， 化简得：. 又，所以，所以，即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为的面积为.已知①；②，从这两个条件中任选一个，回答下列问题. （1）求角； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①，由正弦定理及两角和的正弦公式化解求解即可； 选②，根据平面向量的数量积的定义及三角形面积公式求解即可； （2）由余弦定理及基本不等式求解即可 【小问1详解】 选①，， 由正弦定理可得， ， ， 又. 选②，由可得：， 故有， 又. 【小问2详解】 由余弦定理得 . ，当且仅当时取等号 又有， . 16. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自 部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自 部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】（1）分布列： 0 1 2 数学期望为1 （2）（ⅰ）；（ⅱ）1100 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解； （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望． 【小问2详解】 （ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 17. 如图，在等腰梯形中，，，E是的中点，，将沿着翻折成. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 在梯形ABCD中，连接DE， 因为E是BC的中点，，所以， 又，所以四边形ABED是平行四边形， 同理可证四边形AECD也是平行四边形， 因为，所以四边形ABED是菱形，所以， 翻折后，有， ， 因为，平面，所以平面， 因为四边形AECD是平行四边形， 所以，所以平面； （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先证四边形ABED是菱形，可得，根据翻折前后不变的位置关系可证AE⊥平面，结合，即可得证； （2）先说明AE，，DM两两垂直，再以M为原点建系，利用向量法求面面角的余弦值即可； （3）假设线段上存在点P，使得平面，作出辅助线，得到A，M，P，Q四点共面，并证得四边形AMPQ为平行四边形，再根据线面平行的性质定理，推出P是的中点，得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，平面平面， 平面，，所以平面， 平面，所以， 由（1）知，，故AE，，DM两两垂直， 以M为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 易知平面的一个法向量为， 所以， 由图，平面与平面夹角为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 假设线段上存在点P，使得平面， 过点P作交于Q，连接MP，AQ，如图所示， 所以，即A，M，P，Q四点共面， 因为平面，平面AMPQ，平面平面， 所以，所以四边形AMPQ为平行四边形， 所以，所以P是的中点， 故在线段上存在点P，使得平面，且. 18. 已知双曲线过点，渐近线方程为. （1）求的方程； （2）已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：设直线的方程为，令，得. 同理可得，. 因为为中点，所以，即. 又因为点都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线过的点以及渐近线方程列出方程组求解双曲线方程； （2）（i）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （ii）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上。 【小问1详解】 由题意，得，则①， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②解得故的方程为. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在. 设直线的方程为，与联立得. 设，由题意，得解得. （i）解：因为为中点，所以. 由，得. 又，解得，所以直线的斜率为. （ii）略 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 参数法：参数解决定点问题的思路： ①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件找到k过定点的曲线之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 19. 已知函数，，． （1）过原点作直线l与，的图象均相切，求实数k的值； （2）令， （ⅰ）讨论的极值点个数； （ⅱ）若为的极小值点，为的零点，求证：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）时，有一个极值点， 当时，无极值点， 当时，有两个极值点， （ⅱ）证明如下： 由（i）知，时，有一个负的极小值点，设为， 又在递减，在单调递增，即为的极小值点也是最小值点， 所以又，即， 所以，故无零点，不满足题意， 当时，有两个正数极值点，不妨设极大值点为，极小值点为， 由（i）可知， 在单调递增，在单调递减， ， 故时，，即在无零点， 先证明时，， 记（），则，，， 令，则， 当时，此时单调递增， 故，故单调递增， 故， 故单调递增， 则 ， 故时，， 所以， 又，故使得故有唯一的零点. 又， 所以， 令， ， 当单调递增，当单调递减，所以，故， 所以 即在上为单调递增函数，故， ，又在为单调递增函数，所以， 综上：若为的极小值点，为的零点时，恒有. 【解析】 【分析】（1）设出切点，根据点斜式求解直线方程即可求解， （2）（ⅰ）对进行讨论，即可根据导数的正负，结合函数单调性以及极值的定义求解， （ii）根据（i）的结论，利用导数证明时，，以及，根据极值点的定义，结合零点存在性定理得零点，即可求解. 【小问1详解】 设的切点为，又， 则， 由于过原点，所以，可得，所以切线的斜率为， 设的切点为故. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意有所以 令 当时，单调递增，此时无极值点， 当时，，则为单调递增函数，且， 故存在使得，所以在递减，在单调递增，故有一个极值点， 当时，令得，且为单调递增函数， 所以在递减，在单调递增， 故， 当，，则为单调递增函数，无极值点， 时，，当时，， 故，使得， 所以在单调递增，在单调递减，故有两个极值点， 综上可得时，有一个极值点，当时，无极值点，当时，有两个极值点， （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省眉山车城中学2025届高三下期4月月考数学试题 命题人：潘文良 审题人：游书照 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 D. 在区间上单调递增 5. 已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间，该物质的能量由减少到，则再经过时间，该物质的能量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体与均相切，则该9部分的体积和的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 数据的第百分位数为 B. 已知随机变量，若，则 C. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，则 10. 已知各项均不为零的数列，记点，且始终在直线上，若，则下列命题正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. ，使得为单调函数 C. 当时， D. ，的图象恒有对称中心 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则________． 13. 已知，则的值为__________． 14. 已知点是椭圆：上的一点，，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，，则的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为的面积为.已知①；②，从这两个条件中任选一个，回答下列问题. （1）求角； （2）若，求周长的取值范围. 16. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自 部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自 部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润-其他成本和费用）． 17. 如图，在等腰梯形中，，，E是的中点，，将沿着翻折成. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 已知双曲线过点，渐近线方程为. （1）求的方程； （2）已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 19. 已知函数，，． （1）过原点作直线l与，的图象均相切，求实数k的值； （2）令， （ⅰ）讨论的极值点个数； （ⅱ）若为的极小值点，为的零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $