信息必刷卷03（无锡专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷03（无锡专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A B A A B C D D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11． 12． 13． 14． 10 15． 16．/ 17． 18． 三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19．（本题8分） 【答案】（1）2    （2） 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．（本题8分） 【答案】（1）， （2） 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ∴，； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 21．（本题8分） 【答案】(1)选择小明同学的说法，见解析 (2)18 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【详解】（1）解：选择小明同学的说法，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； 解：选择小颖同学的说法，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平行四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 22．（本题9分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：共有五个钥匙扣，云云抽到哪吒造型（A）的概率即为； （2）根据题意列表如下： 云云 珍珍 A B C D E A B C D E 由表可得，一共有20种等可能的结果，其中云云和珍珍有一人抽到A的有8种结果， 云云和珍珍有一人抽到A的概率． 23．（本题12分） 【答案】(1)抽样调查，50； (2)14，； (3)见解析 (4)104名 【详解】（1）解：本次调查采用的方式是抽样调查，样本容量是：； 故答案为：抽样调查，50； （2）解：成绩在这一组的共有16名，成绩在这一组的有50（名）， 这组学生人数所占的百分比为； 故答案为：14，； （3）解：补全频数分布直方图如下： （4）解：（名）， 答：该校七年级学生达到优秀的大约有104名． 24．（本题9分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：如图1：线段即为所求． （2）解：如图1：点G即为所求． （3）解：如图2：即为所求． （4）解：如图：点E即为所求． 25．（本题10分） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图1，连接并延长交于点G，连接， ∵是直径， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 是半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，过点C作交的延长线于点Q， ∵，， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴.，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴，，由， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（本题9分） 【答案】（1）当长为时，画出的图的半径为；（2），的最大值为；（3）不能，理由见解析，细绳最少减小，可作出一个半径为的圆． 【详解】解：（1）如图，过点作，则四边形为矩形， ， ∴，， ∴， 由题意知，， 又∵ ∴在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴当长为时，画出的图的半径为； （2）∵，圆的半径， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴即， 当时，的值随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，则取得最大值为： ； （3）目前的绳长不能作出一个半径为的圆，理由如下： 当时，， 解得：， ∵， ∴不能作出一个半径为的圆， 由题意可知，为了使细绳减小最少，当时，应最大， ∴当时，最大，则取最大， ∴， ∴， ∴细绳最少减小， 即细绳最少减小，可作出一个半径为的圆． 27．（本题10分） 【答案】（）平行四边形；（），证明见解析；（） 【详解】（）解：如图， 由旋转得，，， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （）解：，证明如下： 如图，过点作交于点，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当点在点右侧时，如图， 由（）可知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，如图， 同理可得， ∴， ∴； 综上，的长为． 28．（本题13分） 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）∵ ， ∴； （2）∵点P在直线上，点P的横坐标为m， ∴， ∵，线段与抛物线L只有一个交点， ∴，， 设，画出图象， 由图象看出，不等式的解集为：； （3）①把代入， 得， 解得，， ∴， ∵“互反点”在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴“互反点”的坐标为； ②∵：，且与关于直线：对称， ∴：， 联立， 得， 解得或， ∴时，与直线有交点， 联立 ， 得， 即， ∴， 当，时，与直线有交点， 当时，与直线无交点， ∴当时，，两部分组成的图象与直线恰有2个交点； 当时，，两部分组成的图象与直线恰有2个交点． 故，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（无锡专用） 考情速递 中考·新动向：近几年无锡中考数学改革，整张试卷题型结构稳定但能力要求提升，其试题更突出数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，越来越注重数学与生活，数学与社会，数学与文化的结合，例如试题中出现更多实际问题建模（如函数与几何结合的动态问题）用以考查学生的数学发现问题、分析问题和解决问题的能力。改革后，中国古代文化或古代数学文化为背景的试题，几乎成为了一个必有的内容。例如2024年第7题，2023年的第16题，改革前是没有的。中考试题中对尺规作图方面的考查是一直雷打不动的，近5年都是在第24题，分值也几乎没有太大的变化。有关动手操作折叠问题和动点问题也是很稳定的一种题型，几乎每年都有。可以说“基础和能力并重，稳定和创新并重”，是目前无锡市中考数学的两大趋势。 中考·新考法：无锡市自从中考改革后，注重了对中国传统文化和数学文化的渗透；去年出现了“新定义”的问题，逐步向新高考看齐。 命题·大预测：通过近五年的尤其是中考改革前后的试题对比，可以发现今年中考的方向和趋势：对只考查基础知识的题目数量可能会有所减少，对数学文化和数学核心素养的考查题目数量相应的会有所提升。命题中会更多地结合当前社会的热点问题，生活中新出现的事物建立试题背景，比如人工智能，春节档电影，台海趋势，新兴科技等，与方程，函数，不等式相结合，甚至对尺规作图的问题也会设置一定的生活背景或文化背景。另外动点问题和折叠操作折纸问题一直是中考数学中必不可少的问题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。） 1．下列算式中，计算结果是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、化简绝对值、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算法则，熟练掌握基本运算法则是关键． 利用有理数的混合运算法则计算．将各个选项中的式子可以计算出正确的结果，即可得出答案． 【详解】A．，结果是正数，故该选项不符合题意； B．，结果是正数，故该选项不符合题意； C．，结果是正数，故该选项不符合题意； D．，结果是负数，故该选项符合题意； 故选：D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，二次根式的加法计算，幂的乘方计算和完全平方公式，根据对应的计算法则求出每个选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.如图为部分“卦”的符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义；理解定义：“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．” 是解题的关键． 【详解】A.既是轴对称图形，又是中心对称图形．故符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形．故不合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形．故不合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形．故不合题意； 故选：A． 4．“五铢钱”（如图所示）是我国古代的一种铜制货币，某古币爱好者收藏了7枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：g）分别为．这组数据的中位数和众数分别为（   ） A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4 【答案】B 【知识点】求中位数、求众数 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．本题考查了求众数和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：将从小到大排列为：3.3，3.3，3.4，3.4，3.5， 3.5，3.5 其中3.5出现的次数最多，则众数为3.5， 中位数为：． 故选B． 5．《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也：甍、层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其主视图为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查三视图，解题的关键是理解三视图的定义，根据主视图是从前面看到的图形求解即可． 【详解】根据题意得，其主视图为： ． 故选：A． 6．如图，在由边长为1的菱形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点），已知每个菱形中较小的内角为60°，则的长为（    ） A．π B．π C．π D．π 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、求弧长 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理以及弧长公式（为弧长，为圆心角度数，为半径）的应用，解题的关键是求出圆心角的度数和半径的长度． 先通过菱形的性质求出圆心角的度数，再利用勾股定理求出半径，最后代入弧长公式计算的长． 【详解】如图，标记格点M，F，易知格点为所在圆的圆心， 补全，连接， ，易知点在上， ∴． 过点作于点， 则 的长为． 故选：A 7．如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A．2α B．45°+α C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明 【分析】证明，则，得到，，证明，进一步得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 8．如图，反比例函数的图象经过两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】利用点的坐标求出反比例函数和一次函数的解析式，通过解析式求出交点的坐标，再利用相似三角形的判定与性质得，则可求出点纵坐标，进而求出相关三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：将代入得， ， 反比例函数的解析式为， 将代入得， ， ∴点坐标为， 假设直线的解析式为，将两点坐标代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点坐标为， 连接，如图， ， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ， ∴点纵坐标为4， ∴， ， ， ， 故选：C． 9．点P是矩形内一点，Q是边上的任意一点，连接、、、，已知，下列结论不正确的是（   ） A．若，则的最小值是10 B．若，则 C．的最小值为20 D．若，则的最小值为 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 根据矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定的性质逐项判断即可． 【详解】解：①如图： 若 则， ， ， ， 的最小值是10，A正确； ②如图： 若， 则， 则，， 同理可得， 那么， 即B、P、D三点共线，BP是直角斜边上的高， ， 根据面积公式可得，B项正确； ③因为， 故当点P是矩形两对角线的交点时，的值最小， 则， 所以的最小值为，C项正确； ④如图： 若，则 P在上， 四边形是矩形，， ． 根据三角形面积公式 则， 解得， 作点关于的对称点，连接，， 此时， 根据两点之间线段最短，当共线且时，的值最小，即的长， 在和中， ，， ， ， ， ， 的最小值为，D项错误． 故选：D． 10．定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标相等的点称为“完美点”．设抛物线与y轴相交于点M，将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线．若抛物线L上的完美点也在抛物线上，则下列结论中：①抛物线L上的完美点是或；②a的值是或；③存在某条定直线l，与抛物线交于点A，使得平行于x轴．正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的变换，理解并掌握“完美点”的定义，是解题的关键．令，得到，求出的值判断①，求出的解析式，将完美点代入，求出的值判断②，求出点坐标，得到轴时，直线为，根据抛物线的解析式，得到抛物线恒过，进而得到存在定直线交抛物线交于点A，使平行于x轴，判断③． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：， ∴抛物线L上的完美点是或；故①正确； ∵将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线L上的完美点也在抛物线上， ∴当在直线上时，，解得：； 当在直线上时，，解得：， ∴或；故②正确； ∵， ∴当时，， ∴， ∵轴，则：直线为， ∵， ∴当时， ， ∴抛物线恒过点， ∴存在定直线交抛物线交于点A，使平行于x轴；故③正确； 故选D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．已知某绿色植物细胞的直径约为0.0009米，数据0.0009用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数据0.0009用科学记数法表示为． 故答案为： 13．如图，在正八边形中，连接，交于点P，则的度数为 ． 【答案】/135度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的内角和、平行线的性质、三角形内角和定理，由题意可得出，，由平行线的性质可得，结合对顶角相等得出，计算即可得解． 【详解】解：∵为正八边形， ∴， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．若，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、等式的性质2 【分析】本题考查了完全平方公式，等式的性质，整体代入思想，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 先由得，再通过，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ， 故答案为：． 15．已知反比例函数，当时，的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，反比例函数在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，结合，函数y的最小值之为，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数 ∴反比例函数在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大 ∵当时，函数y的最小值之为， ∴， 解得， 故答案为：． 16．如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接并延长，交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】三线合一、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，取的中点，连接，可得为的中位线，即得，，即可由得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接，则， ∵点，分别是，的中点，，， ∴，为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，在矩形中，，点M、N分别为边上的点，过矩形的对称中心O，且．若点G、H分别在边上，且将矩形的面积四等分，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了矩形的性质，中心对称图形的性质，根据题意求出，根据中心对称的性质可得点为的中点，，由将矩形的面积四等分，得到，即可得到，进而求出，设，则，由即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，则， ∵， ∴， 矩形是中心对称图形，过矩形的对称中心O， ∴，点为的中点， ∴， ∵将矩形的面积四等分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 连接，证明是等腰直角三角形，则有，，求出，然后证明点是外接圆的上的一个动点，故有当点共线时，的长最小，则的面积最小，过点作于点，则四边形是矩形，则有，再由面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴在中，， 连接，由题意可知是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴点是外接圆的上的一个动点， 作的外接圆，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作于点， 当点共线时，的长最小，则的面积最小， 当点共线时，， ∴， ∴是等边三角形，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小面积为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19．（本题8分）（1）计算：      （2）化简；． 【答案】（1）2    （2） 【知识点】实数的混合运算、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算： （1）去绝对值，化简二次根式，计算零指数幂，再进行加减运算即可得到结果； （2）前项利用平方差公式分解因式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．（本题8分）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【答案】（1）， （2） 【知识点】解一元二次方程——配方法、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ∴，； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 21．（本题8分）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，连接，，使，． (1)上面是小明和小颖两位同学的对话，请选择其中一位同学的说法，并证明； (2)在（1）的条件下，若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)选择小明同学的说法，见解析 (2)18 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质证明即可； （2）根据直角三角形的性质，平行四边形的性质和面积公式解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：选择小明同学的说法，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； 解：选择小颖同学的说法，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平行四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 22．（本题9分）随着电影《哪吒2》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．如图，小文收集了A、B、C、D、E五个钥匙扣，其中A为哪吒造型，她想让好友云云和珍珍分别选一件作为礼物．每件都很精美，一时之间不知如何选择，于是她用抓阄的方式来确定礼物的归属，将分别写有A、B、C、D、E的五张纸片（上面的字母分别代表对应的钥匙扣），折叠成外表完全一样的纸团，搅匀，她先让云云从这5个纸团中随机抽取一个，不放回，搅匀后，再让珍珍从剩下的4个纸团中随机抽取一个． (1)云云抽到哪吒造型（A）的概率是_______； (2)利用画树状图或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了利用画树状图或列表法求随机事件的概率，正确列表或树状图是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）利用列表法把所有可能出现的结果列举出来，进而求出云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率． 【详解】（1）解：共有五个钥匙扣，云云抽到哪吒造型（A）的概率即为； （2）根据题意列表如下： 云云 珍珍 A B C D E A B C D E 由表可得，一共有20种等可能的结果，其中云云和珍珍有一人抽到A的有8种结果， 云云和珍珍有一人抽到A的概率． 23．（本题12分）某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息： a.学生成绩的统计图如图（数据分为五组：，，，，） b.在这一组成绩的是80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89 c.成绩不低于90分为优秀 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查采用的方式是 （选填“全面调查”或“抽样调查”），样本容量是 ； (2)这组有 名同学，这组学生人数所占的百分比为 ； (3)补全频数分布直方图； (4)若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数． 【答案】(1)抽样调查，50； (2)14，； (3)见解析 (4)104名 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、判断全面调查与抽样调查、由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图的信息关联，利用样本估计总体等知识，注重数形结合，加强条形统计图、扇形统计图的数据关联，是解答本题的关键． （1）根据抽样调查和全面调查的定义可知本次调查采用的方式是抽样调查，用“”的频数除以对应的百分比可得样本容量； （2）用总人数减去其它组的人数即可得组的人数，用组学生人数除以总人数即可得所占的百分比； （3）根据题意可得“”和“”的频数，进而补全频数分布直方图； （4）用总人数乘样本中达到优秀的人数比例即可． 【详解】（1）解：本次调查采用的方式是抽样调查，样本容量是：； 故答案为：抽样调查，50； （2）解：成绩在这一组的共有16名，成绩在这一组的有50（名）， 这组学生人数所占的百分比为； 故答案为：14，； （3）解：补全频数分布直方图如下： （4）解：（名）， 答：该校七年级学生达到优秀的大约有104名． 24．（本题9分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条． (1)在图1中，画出的高； (2)在（1）的基础上，在上画点，连接，使； (3)在图2中，画； (4)在（3）的基础上，在上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】画三角形的高、利用平行四边形的性质求解、正切的概念辨析、格点作图题 【分析】本题主要考查了格点作图、相似三角形的判定与性质、正切的定义、平行四边形的定义等知识点，理解相关知识成为解题的关键． （1）根据垂直的定义以及格点的特点即可解答： （2）根据正切的定义、格点的特点以及（1）的作图即可解答； （3）根据平行四边形的定义作图即可； （4）根据格点的特点构造相似三角形求出相关线段的长度，然后运用勾股定理求解发现作法，然后作图即可． 【详解】（1）解：如图1：线段即为所求． （2）解：如图1：点G即为所求． （3）解：如图2：即为所求． （4）解：如图：点E即为所求． 25．（本题10分）已知点A，P，B，C在上，，点D在的延长线上，连接． (1)如图1，若，求证：是的切线； (2)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）连接并延长交于点G，连接，可得，根据得到，利用角度转换即可解答； （2）过点C作交的延长线于点Q，根据，可得，即可证明，利用相似三角形的性质可得，设，则，根据解直角三角形和勾股定理列方程，再证明，即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，连接并延长交于点G，连接， ∵是直径， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 是半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，过点C作交的延长线于点Q， ∵，， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴.，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴，，由， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（本题9分）如图是某兴趣小组自制的画圆工具的侧面示意图． 【工具组成】一个装满细沙并直立于水平面的圆柱铁桶，截面示意图为矩形，桶高．两根直木棍分别长和，木棍EF直立于水平面，木棍沿桶壁插在桶内．用一条长的细绳连接P，E并拉直． 【工具使用】移动木棍，使点F绕点C旋转一周画圆．经多次操作发现，为使木棍能稳定直立于细沙中，需满足． 问题1：当长为多少时，画出的圆的半径为？ 问题2：设为x，画出的圆的半径为r，求r关于x的函数表达式与r的最大值． 问题3：以下是两位组员的对话，请根据对话解决问题． 【答案】（1）当长为时，画出的图的半径为；（2），的最大值为；（3）不能，理由见解析，细绳最少减小，可作出一个半径为的圆． 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了勾股定理，圆的基本知识，求一次函数解析式，掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作，先求解出，根据勾股定理求出，即可求解； （2），圆的半径，则，，在中， ，则，可得，得解； （3）当时，则，解得：，不在则可判断，由题意可知，为了使细绳减小最少，当时，应最大，当时，最大，则取最大，则，求得，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作，则四边形为矩形， ， ∴，， ∴， 由题意知，， 又∵ ∴在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴当长为时，画出的图的半径为； （2）∵，圆的半径， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴即， 当时，的值随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，则取得最大值为： ； （3）目前的绳长不能作出一个半径为的圆，理由如下： 当时，， 解得：， ∵， ∴不能作出一个半径为的圆， 由题意可知，为了使细绳减小最少，当时，应最大， ∴当时，最大，则取最大， ∴， ∴， ∴细绳最少减小， 即细绳最少减小，可作出一个半径为的圆． 27．（本题10分）综合与探究 如图，在中，，，是直线上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到． 【操作判断】 （）如图，当点与点重合时，连接，根据题意，在图中画出，图中四边形的形状是______． 【问题探究】 （）当点与点都不重合时，连接，试猜想与的位置关系，并利用图证明你的猜想． 【拓展延伸】 （）当点与点都不重合时，若，，求的长． 【答案】（）平行四边形；（），证明见解析；（） 【知识点】等边对等角、证明四边形是平行四边形、利用矩形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（）由旋转可得，，进而可得，，即可求解； （）证明四边形是矩形即可求证； （）分点在点右侧和左侧两种情况，分别画出图形解答即可求解． 【详解】（）解：如图， 由旋转得，，， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （）解：，证明如下： 如图，过点作交于点，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当点在点右侧时，如图， 由（）可知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，如图， 同理可得， ∴， ∴； 综上，的长为． 28．（本题13分）如图，抛物线，M为抛物线的顶点，点P是直线上一动点，且点P的横坐标为m． (1)求点M的坐标（用含m的式子表示）； (2)连接，当线段与抛物线L只有一个交点时，求m的取值范围； (3)将抛物线上横、纵坐标互为相反数的点定义为这个抛物线上的“互反点”．若点． ①求抛物线L的解析式，并判断抛物线上是否有“互反点”，若有，求出“互反点”的坐标．若没有，请说明理由； ②若点为x轴上的动点，过Q作直线轴，将抛物线的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）配方得，得顶点； （2）求出，根据，线段与抛物线L只有一个交点，得到，设，画出其图象，由图象得出； （3）①代入，求得，得到，与联立解得，得“互反点”的坐标为；②根据与关于直线对称，得：，由，解得或，得时，与直线有交点，由，，得，得时，与直线有交点，时，与直线无交点，得到当或时，，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”． 【详解】（1）∵ ， ∴； （2）∵点P在直线上，点P的横坐标为m， ∴， ∵，线段与抛物线L只有一个交点， ∴，， 设，画出图象， 由图象看出，不等式的解集为：； （3）①把代入， 得， 解得，， ∴， ∵“互反点”在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴“互反点”的坐标为； ②∵：，且与关于直线：对称， ∴：， 联立， 得， 解得或， ∴时，与直线有交点， 联立 ， 得， 即， ∴， 当，时，与直线有交点， 当时，与直线无交点， ∴当时，，两部分组成的图象与直线恰有2个交点； 当时，，两部分组成的图象与直线恰有2个交点． 故，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，或． 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（无锡专用） 考情速递 中考·新动向：近几年无锡中考数学改革，整张试卷题型结构稳定但能力要求提升，其试题更突出数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，越来越注重数学与生活，数学与社会，数学与文化的结合，例如试题中出现更多实际问题建模（如函数与几何结合的动态问题）用以考查学生的数学发现问题、分析问题和解决问题的能力。改革后，中国古代文化或古代数学文化为背景的试题，几乎成为了一个必有的内容。例如2024年第7题，2023年的第16题，改革前是没有的。中考试题中对尺规作图方面的考查是一直雷打不动的，近5年都是在第24题，分值也几乎没有太大的变化。有关动手操作折叠问题和动点问题也是很稳定的一种题型，几乎每年都有。可以说“基础和能力并重，稳定和创新并重”，是目前无锡市中考数学的两大趋势。 中考·新考法：无锡市自从中考改革后，注重了对中国传统文化和数学文化的渗透；去年出现了“新定义”的问题，逐步向新高考看齐。 命题·大预测：通过近五年的尤其是中考改革前后的试题对比，可以发现今年中考的方向和趋势：对只考查基础知识的题目数量可能会有所减少，对数学文化和数学核心素养的考查题目数量相应的会有所提升。命题中会更多地结合当前社会的热点问题，生活中新出现的事物建立试题背景，比如人工智能，春节档电影，台海趋势，新兴科技等，与方程，函数，不等式相结合，甚至对尺规作图的问题也会设置一定的生活背景或文化背景。另外动点问题和折叠操作折纸问题一直是中考数学中必不可少的问题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。） 1．下列算式中，计算结果是负数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.如图为部分“卦”的符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．“五铢钱”（如图所示）是我国古代的一种铜制货币，某古币爱好者收藏了7枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：g）分别为．这组数据的中位数和众数分别为（   ） A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4 第4题 第5题 5．《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也：甍、层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其主视图为（   ） A．B． C． D． 6．如图，在由边长为1的菱形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点），已知每个菱形中较小的内角为60°，则的长为（    ） A．π B．π C．π D．π 7．如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A．2α B．45°+α C． D． 第7题 第8题 8．如图，反比例函数的图象经过两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 9．点P是矩形内一点，Q是边上的任意一点，连接、、、，已知，下列结论不正确的是（   ） A．若，则的最小值是10 B．若，则 C．的最小值为20 D．若，则的最小值为 10．定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标相等的点称为“完美点”．设抛物线与y轴相交于点M，将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线．若抛物线L上的完美点也在抛物线上，则下列结论中：①抛物线L上的完美点是或；②a的值是或；③存在某条定直线l，与抛物线交于点A，使得平行于x轴．正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．因式分解： ． 12．已知某绿色植物细胞的直径约为0.0009米，数据0.0009用科学记数法表示为 ． 13．如图，在正八边形中，连接，交于点P，则的度数为 ． 第13题 第16题 14．若，则的值是 ． 15．已知反比例函数，当时，的最小值为，则的值为 ． 16．如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接并延长，交于点，则的长为 ． 17．如图，在矩形中，，点M、N分别为边上的点，过矩形的对称中心O，且．若点G、H分别在边上，且将矩形的面积四等分，则的长为 ． 第17题 第18题 18．如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为 ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19．（本题8分）（1）计算：      （2）化简；． 20．（本题8分）（1）解方程：； （2）解不等式组． 21．（本题8分）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，连接，，使，． (1)上面是小明和小颖两位同学的对话，请选择其中一位同学的说法，并证明； (2)在（1）的条件下，若，，求平行四边形的面积． 22．（本题9分）随着电影《哪吒2》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．如图，小文收集了A、B、C、D、E五个钥匙扣，其中A为哪吒造型，她想让好友云云和珍珍分别选一件作为礼物．每件都很精美，一时之间不知如何选择，于是她用抓阄的方式来确定礼物的归属，将分别写有A、B、C、D、E的五张纸片（上面的字母分别代表对应的钥匙扣），折叠成外表完全一样的纸团，搅匀，她先让云云从这5个纸团中随机抽取一个，不放回，搅匀后，再让珍珍从剩下的4个纸团中随机抽取一个． (1)云云抽到哪吒造型（A）的概率是_______； (2)利用画树状图或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率． 23．（本题12分）某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息： a.学生成绩的统计图如图（数据分为五组：，，，，） b.在这一组成绩的是80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89 c.成绩不低于90分为优秀 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查采用的方式是 （选填“全面调查”或“抽样调查”），样本容量是 ； (2)这组有 名同学，这组学生人数所占的百分比为 ； (3)补全频数分布直方图； (4)若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数． 24．（本题9分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条． (1)在图1中，画出的高； (2)在（1）的基础上，在上画点，连接，使； (3)在图2中，画； (4)在（3）的基础上，在上画点，使． 25．（本题10分）已知点A，P，B，C在上，，点D在的延长线上，连接． (1)如图1，若，求证：是的切线； (2)如图2，若，，，，求的长． 26．（本题9分）如图是某兴趣小组自制的画圆工具的侧面示意图． 【工具组成】一个装满细沙并直立于水平面的圆柱铁桶，截面示意图为矩形，桶高．两根直木棍分别长和，木棍EF直立于水平面，木棍沿桶壁插在桶内．用一条长的细绳连接P，E并拉直． 【工具使用】移动木棍，使点F绕点C旋转一周画圆．经多次操作发现，为使木棍能稳定直立于细沙中，需满足． 问题1：当长为多少时，画出的圆的半径为？ 问题2：设为x，画出的圆的半径为r，求r关于x的函数表达式与r的最大值． 问题3：以下是两位组员的对话，请根据对话解决问题． 27．（本题10分）综合与探究 如图，在中，，，是直线上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到． 【操作判断】 （）如图，当点与点重合时，连接，根据题意，在图中画出，图中四边形的形状是______． 【问题探究】 （）当点与点都不重合时，连接，试猜想与的位置关系，并利用图证明你的猜想． 【拓展延伸】 （）当点与点都不重合时，若，，求的长． 28．（本题13分）如图，抛物线，M为抛物线的顶点，点P是直线上一动点，且点P的横坐标为m． (1)求点M的坐标（用含m的式子表示）； (2)连接，当线段与抛物线L只有一个交点时，求m的取值范围； (3)将抛物线上横、纵坐标互为相反数的点定义为这个抛物线上的“互反点”．若点． ①求抛物线L的解析式，并判断抛物线上是否有“互反点”，若有，求出“互反点”的坐标．若没有，请说明理由； ②若点为x轴上的动点，过Q作直线轴，将抛物线的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出n的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$