信息必刷卷04（无锡专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷04（无锡专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B C B A B C B D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11． 12． 13． 14． 10 15．12 16．10 17．24 18． 三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19．（本题8分） 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1） ； （2） . 20．（本题8分） 【答案】（1）；（2）无解，见解析． 【解析】（1） ∴ （2） 当时， ∴原方程无解． 21．（本题8分） 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴， ∴四边形为矩形． 22．（本题9分） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：共有4张卡片，抽到“龙”的有一种结果， ∴正面文字是“龙”的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的结果有9种， （李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”）． 23．（本题12分） 【答案】(1)82，78，20 (2)八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由见解析 (3)名 【解析】（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有； 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， 所以中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， ∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有， ∴， ∴； 故答案为：82，78，20； （2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78． （3）解：（名）． 答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名． 24．（本题9分） 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）解：如图所示，射线即为所求． （2）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵，， ∴的周长为． 25．（本题10分） 【答案】(1)该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元 (2) 【解析】（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元； （2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：(台)，则国外销售手机的数量为：台， 根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：(台)，国外销售手机的数量为：台， 由题意得：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：（负值舍去）， 则，故， 答：的值为． 26．（本题9分） 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：连接．如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，过点C作于点H， ∵是直径，的半径为3， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴． 27．（本题10分） 【答案】（1）；（2）；（3）的长为或 【解析】（1）解：，证明如下， 矩形， ， ， ，， ， ； （2）解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， ， ， ， ， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 28．（本题13分） 【答案】(1)，， (2) (3)见解析，定点的坐标 【解析】（1）解：令，则，解得， ，， 令，则， ； （2）解：设线段的中点为，如图， ，， ，， 线段绕点旋转得到对应线段， 与关于点对称， 点关于点对称， ，， 抛物线的对称轴为， ， ，解得， 把代入，得， ， ， ； （3）解：∵， ∴直线解析式为：， ∴平移后直线， 设直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，，， ∵直线与抛物线仅有一个公共点， ∴联立，整理得方程有两等根， ∴，， ∴，， 同理可得，， 联立直线与可得， 解得， 代入可得， ∵在直线上，即 ∴， 整理得， 联立与抛物线可得， 整理得 ∴， ∴代入得， 整理得， ∴直线解析式为， ∴当时，，即过定点， ∴直线经过定点，该定点的坐标． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷04 数 学（无锡专用） 考情速递 中考·新动向：近几年无锡中考数学改革，整张试卷题型结构稳定但能力要求提升，其试题更突出数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，越来越注重数学与生活，数学与社会，数学与文化的结合，例如试题中出现更多实际问题建模（如函数与几何结合的动态问题）用以考查学生的数学发现问题、分析问题和解决问题的能力。改革后，中国古代文化或古代数学文化为背景的试题，几乎成为了一个必有的内容。例如2024年第7题，2023年的第16题，改革前是没有的。中考试题中对尺规作图方面的考查是一直雷打不动的，近5年都是在第24题，分值也几乎没有太大的变化。有关动手操作折叠问题和动点问题也是很稳定的一种题型，几乎每年都有。可以说“基础和能力并重，稳定和创新并重”，是目前无锡市中考数学的两大趋势。 中考·新考法：无锡市自从中考改革后，注重了对中国传统文化和数学文化的渗透；去年出现了“新定义”的问题，逐步向新高考看齐。 命题·大预测：通过近五年的尤其是中考改革前后的试题对比，可以发现今年中考的方向和趋势：对只考查基础知识的题目数量可能会有所减少，对数学文化和数学核心素养的考查题目数量相应的会有所提升。命题中会更多地结合当前社会的热点问题，生活中新出现的事物建立试题背景，比如人工智能，春节档电影，台海趋势，新兴科技等，与方程，函数，不等式相结合，甚至对尺规作图的问题也会设置一定的生活背景或文化背景。另外动点问题和折叠操作折纸问题一直是中考数学中必不可少的问题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。） 1．下列各数中，与2025互为相反数的是（    ） A． B． C． D．2025 2．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．了解湖北省中学生的视力和用眼卫生情况，采用全面调查 B．检查“神舟十八号”载人飞船上某种零部件，采用抽样调查 C．掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件 D．买一张体育彩票，中一等奖是不可能事件 5．由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，要使它的主视图与左视图不变，则最多需要拿走的小正方体的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？设大和尚人，小和尚人，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成．为各多边形顶点，已知正六边形的边长为1，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 第7题 第8题 第9题 8．如图，四边形是平行四边形，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在等边三角形中，，当直角三角板的角的顶点在上移动时，斜边始终经过边的中点，设直角三角板的另一直角边与相交于点，设，，么与之间的函数图象大致是（　　） A．B．C． D． 10．定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标相等的点称为“完美点”．设抛物线与y轴相交于点M，将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线．若抛物线L上的完美点也在抛物线上，则下列结论中：①抛物线L上的完美点是或；②a的值是或；③存在某条定直线l，与抛物线交于点A，使得平行于x轴．正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．化简的结果是 ． 12．据教育部教育考试院官方微信消息，2024年全国高考报名人数达到13420000人，13420000这个数用科学记数法表示为 ． 13．正六边形和正五边形的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则的度数为 ． 第13题 第15题 14．直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 15．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则 米． 16．如图1，在正方形中，，以B为圆心，为半径作弧，F为弧上一动点，作矩形，E、G在正方形的边上，设，矩形的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，点P的坐标为，则 ． 第16题 第17题 17．如图，直线l：与 反 比 例 函 数的 图 象 交 于 点A， 与 x 轴交于点B， 将 线 段 绕 点B逆时针旋转至线段，若点C恰好也在反比例函数图象上，则k的值为 · 18．如图，正方形和正方形，将正方形绕着点旋转，连接，点恰好落在上时，连接交于点．若，则的长为 ． 第18题 三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19．（本题8分）（1）计算：      （2）化简；． 20．（本题8分）（1）解不等式：； （2）解方程： 21．（本题8分）如图，在中，对角线与相交于点O，过点O作一条直线分别交，于点E、F． (1)求证：； (2)已知，连结，．求证：四边形为矩形． 22．（本题9分）甲骨文因镌刻、书写于龟甲与兽骨上而得名，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．酷爱中国古代文字研究的李洋和孙怡同学制作了如图所示的4张卡片（这4张卡片分别用字母A、B、C、D表示，正面文字依次是牛、鸡、猴、龙，这4张卡片除正面内容不同外，其余均相同）用来玩游戏，现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，李洋从中随机抽取一张，记下卡片正面上的字，放回并洗匀后，孙怡再从中随机抽取一张． (1)李洋抽取的卡片正面文字是“龙”的概率为_______； (2)请用列表法或画树状图的方法求李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的概率． 23．（本题12分）某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高?请说明理由 (写出一条理由即可)； (3)该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名? 24．（本题9分）如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母） (2)若，，求的周长． 25．（本题10分）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 26．（本题9分）如图，点C在以为直径的上，的半径为3，，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F． (1)求证：为的切线； (2)若直线与交于点G，连接，求的面积． 27．（本题10分）综合与实践课上，伍老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动. 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点. 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为.延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠.使点的对应点落在上，折痕与交于点. 【初步发现】 （1）探究图（2）中和的位置关系 【深入探究】 （2）勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点与点D重合，按步骤折叠后发现，点，，共线.请你帮他们求出的值. 【拓展延伸】 （3）奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点），且第二步折叠中，折痕与交于点，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）.请你解决：当为直角三角形时，直接写出的长. 28．（本题13分）如图1，抛物线交轴于点，（点在点的左边），交轴于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图2，连接，点在抛物线对称轴上，将线段绕点旋转得到对应线段，若线段的中点恰好在抛物线上，求点的坐标； (3)如图3，将直线向上平移2个单位长度得到直线，点在直线上，过点画两条不平行于轴的直线，，直线与抛物线仅有一个公共点，直线与抛物线仅有一个公共点，求证：直线经过定点，并求该定点的坐标． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷04 数 学（无锡专用） 考情速递 中考·新动向：近几年无锡中考数学改革，整张试卷题型结构稳定但能力要求提升，其试题更突出数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，越来越注重数学与生活，数学与社会，数学与文化的结合，例如试题中出现更多实际问题建模（如函数与几何结合的动态问题）用以考查学生的数学发现问题、分析问题和解决问题的能力。改革后，中国古代文化或古代数学文化为背景的试题，几乎成为了一个必有的内容。例如2024年第7题，2023年的第16题，改革前是没有的。中考试题中对尺规作图方面的考查是一直雷打不动的，近5年都是在第24题，分值也几乎没有太大的变化。有关动手操作折叠问题和动点问题也是很稳定的一种题型，几乎每年都有。可以说“基础和能力并重，稳定和创新并重”，是目前无锡市中考数学的两大趋势。 中考·新考法：无锡市自从中考改革后，注重了对中国传统文化和数学文化的渗透；去年出现了“新定义”的问题，逐步向新高考看齐。 命题·大预测：通过近五年的尤其是中考改革前后的试题对比，可以发现今年中考的方向和趋势：对只考查基础知识的题目数量可能会有所减少，对数学文化和数学核心素养的考查题目数量相应的会有所提升。命题中会更多地结合当前社会的热点问题，生活中新出现的事物建立试题背景，比如人工智能，春节档电影，台海趋势，新兴科技等，与方程，函数，不等式相结合，甚至对尺规作图的问题也会设置一定的生活背景或文化背景。另外动点问题和折叠操作折纸问题一直是中考数学中必不可少的问题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。） 1．下列各数中，与2025互为相反数的是（    ） A． B． C． D．2025 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：与2025互为相反数的是， 故选：A． 2．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有无意义，及分式的值为0， 根据分式的分子等于0时，分式的值为0，可得分式的分子，再根据分式的分母等于0时，分式无意义得出分母即可. 【详解】解：当时，，可知分式的分子中含有因式； 当时，分式无意义，可知分式的分母中含有因式， 所以y代表的分式可能是. 故选：B. 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，根据相关知识点逐个计算后判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算正确，符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．下列说法正确的是（   ） A．了解湖北省中学生的视力和用眼卫生情况，采用全面调查 B．检查“神舟十八号”载人飞船上某种零部件，采用抽样调查 C．掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件 D．买一张体育彩票，中一等奖是不可能事件 【答案】C 【知识点】判断全面调查与抽样调查、事件的分类 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，事件的分类，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据以上知识逐一分析即可． 【详解】解：A、了解湖北省中学生的视力和用眼卫生情况，采用抽样调查，说法不符合要求； B、检查“神舟十八号”载人飞船上某种零部件，采用全面调查，说法不符合要求； C、掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件，原说法正确，符合要求； D、买一张体育彩票，中一等奖是随机事件，说法不符合要求； 故选C． 5．由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，要使它的主视图与左视图不变，则最多需要拿走的小正方体的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】本题考查了几何体的三视图，由几何体的主视图与左视图可以得到要组成该几何体最少需要小正方体5个，底层3个，第二层2个，从而得出结果． 【详解】解：由几何体的主视图与左视图可知想要组成该几何体最少需要小正方体5个，底层3个，第二层2个， 则由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，最多需要拿走的小正方体的个数为个， 故选：B． 6．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？设大和尚人，小和尚人，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．分别利用有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，分别得出方程即可． 【详解】解：设大和尚人，小和尚人， 则可以列方程组： ． 故选：A． 7．如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成．为各多边形顶点，已知正六边形的边长为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形的内角问题、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】如图，连接、，，，过作于点，先证明、、、共线，再求出，，，利用勾股定理得，从而四边形是菱形，是等边三角形，进而得，，于是即可得解． 【详解】解：如图，连接、，，，过作于点， 由正六边形的性质得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，即点、、共线， 同理：点、、共线， ∴、、、共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 同理：， ∴，， ∴， 同理可得， ∴四边形是菱形，是等边三角形， ∵， ∴，， ∴四边形的面积为． 故选∶． 8．如图，四边形是平行四边形，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确的个数为（　　）     A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质证明、举反例 【分析】对于①，根据平行线及等腰三角形的性质即得答案； 对于②，根据三角形内角和等于及平行线的性质，即可得到答案； 对于③，通过举反例，即可判断结论错误； 对于④，根据等腰三角形三线合一性质及线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即平分， 所以①正确； 设与相交于点G， ， ， ， ， ， ， 即平分， 所以②正确； 取，则， ， 即， ， ， ， 所以③错误； ，， ， ， 所以④正确； 所以正确结论的个数为为3． 故选：C． 9．如图，在等边三角形中，，当直角三角板的角的顶点在上移动时，斜边始终经过边的中点，设直角三角板的另一直角边与相交于点，设，，么与之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了动点函数问题、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，，证明，得出，由此即可得． 【详解】解：∵为等边三角形，，，为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 10．定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标相等的点称为“完美点”．设抛物线与y轴相交于点M，将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线．若抛物线L上的完美点也在抛物线上，则下列结论中：①抛物线L上的完美点是或；②a的值是或；③存在某条定直线l，与抛物线交于点A，使得平行于x轴．正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的变换，理解并掌握“完美点”的定义，是解题的关键．令，得到，求出的值判断①，求出的解析式，将完美点代入，求出的值判断②，求出点坐标，得到轴时，直线为，根据抛物线的解析式，得到抛物线恒过，进而得到存在定直线交抛物线交于点A，使平行于x轴，判断③． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：， ∴抛物线L上的完美点是或；故①正确； ∵将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线L上的完美点也在抛物线上， ∴当在直线上时，，解得：； 当在直线上时，，解得：， ∴或；故②正确； ∵， ∴当时，， ∴， ∵轴，则：直线为， ∵， ∴当时， ， ∴抛物线恒过点， ∴存在定直线交抛物线交于点A，使平行于x轴；故③正确； 故选D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】此题主要考查分式化简，约分至最简形式是解题的关键．此题涉及的知识点是分式的化简，根据约分要求进行计算可得结果． 【详解】解：． 故答案为：． 12．据教育部教育考试院官方微信消息，2024年全国高考报名人数达到13420000人，13420000这个数用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．据此即可求解． 【详解】解：13420000＝1.342×107． 故答案为：1.342×107． 13．正六边形和正五边形的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键； 根据正五边形和正六边形性质得出各外角度数，进而可得答案． 【详解】解：在正六边形和正五边形中， ， ， ， 故答案为：． 14．直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【答案】10 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键． 先根据点是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点是双曲线上的点， ， ∵直线与双曲线交于点两点， 即两点关于原点对称． ， ， 故答案为：10． 15．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则 米． 【答案】12 【知识点】两直线平行同位角相等、相似三角形实际应用、平行投影 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，平行线的性质，证明是解题的关键．根据平行投影得，可得，易证，最后根据相似三角行的性质可知即可求解． 【详解】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 米 故答案为：12． 16．如图1，在正方形中，，以B为圆心，为半径作弧，F为弧上一动点，作矩形，E、G在正方形的边上，设，矩形的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，点P的坐标为，则 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长、圆的基本概念辨析 【分析】先证明四边形，四边形都是矩形，结合以B为圆心，为半径作弧，F为弧上一动点，得，，，，因为点P的坐标为，即，解得或，即可作答． 【详解】解：延长，交于点H，连接，如图， 四边形为矩形，四边形为正方形， ，， 四边形，四边形都是矩形， ，， ， ， 以B为圆心，为半径作弧，F为弧上一动点， ， ， ， 点P的坐标为， ， ， 或， 经检验，是原方程的根，不合题意，舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，圆的基本性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 17．如图，直线l：与 反 比 例 函 数的 图 象 交 于 点A， 与 x 轴交于点B， 将 线 段 绕 点B逆时针旋转至线段，若点C恰好也在反比例函数图象上，则k的值为 · 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】设，求解，过作轴于，过作轴于，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵直线l：与 反 比 例 函 数的 图 象 交 于 点A， 与 x 轴交于点B， 设， 当时，则， ∴， 过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵在上， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数与一次函数的综合应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 18．如图，正方形和正方形，将正方形绕着点旋转，连接，点恰好落在上时，连接交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据正方形的性质，可判定，得到，在中由勾股定理可得正方形的边长为，设交于点，交于点，，，解得，，则，，如图所示，过点作于点，交于点，则，，，，解得，，，，，则，由，即，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴正方形的边长为， ∴，， 设交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， 如图所示，过点作于点，交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴，即，整理得，， 解得，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴，则， ∵，且 ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，全等三形的判定和性质等知识的综合运用，掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的计算是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19．（本题8分）（1）计算：      （2）化简；． 【答案】（1）（2） 【知识点】实数的混合运算、整式四则混合运算、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先乘方，求立方根，再利用特殊角的三角函数值计算即可； （2）先进行括号内计算，再计算除法即可. 【详解】解：（1） ； （2） . 20．（本题8分）（1）解不等式：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2）无解，见解析． 【知识点】解分式方程、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）运用不等式的性质求解； （2）运用等式的基本性质求解，注意验根． 【详解】（1） ∴ （2） 当时， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查一元一次不等式的求解、分式方程的求解；注意去分母时，不要漏乘不含分母的项，分式方程需要验根． 21．（本题8分）如图，在中，对角线与相交于点O，过点O作一条直线分别交，于点E、F． (1)求证：； (2)已知，连结，．求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明，然后由矩形的判定即可得出结论． 本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴， ∴四边形为矩形． 22．（本题9分）甲骨文因镌刻、书写于龟甲与兽骨上而得名，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．酷爱中国古代文字研究的李洋和孙怡同学制作了如图所示的4张卡片（这4张卡片分别用字母A、B、C、D表示，正面文字依次是牛、鸡、猴、龙，这4张卡片除正面内容不同外，其余均相同）用来玩游戏，现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，李洋从中随机抽取一张，记下卡片正面上的字，放回并洗匀后，孙怡再从中随机抽取一张． (1)李洋抽取的卡片正面文字是“龙”的概率为_______； (2)请用列表法或画树状图的方法求李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查列表法或画树状图的方法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图的方法是关键． （1）共有4种结果，抽到“龙”的有一种，根据概率公式计算即可； （2）列表法或画树状图的方法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：共有4张卡片，抽到“龙”的有一种结果， ∴正面文字是“龙”的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的结果有9种， （李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”）． 23．（本题12分）某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高?请说明理由 (写出一条理由即可)； (3)该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名? 【答案】(1)82，78，20 (2)八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由见解析 (3)名 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、利用合适的统计量做决策 【分析】本题考查的是从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体； （1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值； （2）从中位数或众数的角度出发可得答案； （3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可. 【详解】（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有； 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， 所以中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， ∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有， ∴， ∴； 故答案为：82，78，20； （2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78． （3）解：（名）． 答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名． 24．（本题9分）如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母） (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据等边对等角证明、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质，角平分线的定义，掌握角平分线的尺规作图是解题关键． （1）根据角平分线的尺规作图画出图形即可； （2）通过等腰三角形的性质结合角平分线的定义得，将、代入计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求． （2）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵，， ∴的周长为． 25．（本题10分）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 【答案】(1)该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元 (2) 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了销售的应用问题，涉及到一元二次方程、一元一次方程应用等知识，弄清题意，找出数量关系是解决问题的关键． （1）根据(国外的售价成本)销售的数量国内的6倍，列方程解出即可； （2）根据第二个星期国外的销售总额国内的销售总额元，利用换元法解方程可解答． 【详解】（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元； （2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：(台)，则国外销售手机的数量为：台， 根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：(台)，国外销售手机的数量为：台， 由题意得：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：（负值舍去）， 则，故， 答：的值为． 26．（本题9分）如图，点C在以为直径的上，的半径为3，，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F． (1)求证：为的切线； (2)若直线与交于点G，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，如图，先根据垂径定理，利用得到，再证明，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）过点C作于点H，利用勾股定理求出、，利用面积法求出，证明，推出，由此求出、，再根据可得答案． 【详解】（1）证明：连接．如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，过点C作于点H， ∵是直径，的半径为3， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 27．（本题10分）综合与实践课上，伍老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动. 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点. 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为.延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠.使点的对应点落在上，折痕与交于点. 【初步发现】 （1）探究图（2）中和的位置关系 【深入探究】 （2）勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点与点D重合，按步骤折叠后发现，点，，共线.请你帮他们求出的值. 【拓展延伸】 （3）奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点），且第二步折叠中，折痕与交于点，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）.请你解决：当为直角三角形时，直接写出的长. 【答案】（1）；（2）；（3）的长为或 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【详解】（1）解：，证明如下， 矩形， ， ， ，， ， ； （2）解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， ， ， ， ， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，是一道综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 28．（本题13分）如图1，抛物线交轴于点，（点在点的左边），交轴于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图2，连接，点在抛物线对称轴上，将线段绕点旋转得到对应线段，若线段的中点恰好在抛物线上，求点的坐标； (3)如图3，将直线向上平移2个单位长度得到直线，点在直线上，过点画两条不平行于轴的直线，，直线与抛物线仅有一个公共点，直线与抛物线仅有一个公共点，求证：直线经过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析，定点的坐标 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、根据中心对称的性质求面积、长度、角度、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及二次函数与一元二次方程，抛物线与坐标轴交点坐标，中心对称等知识点； （1）令，解一元二次方程，点的坐标可求，令，求出的值即可求出点的坐标； （2）先求出线段的中点坐标，再根据中心对称的性质求出点的坐标，最后求出点的坐标； （3）先求出直线平移后直线，设直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，，，分别把三条直线与抛物线联立，然后消元计算即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， ，， 令，则， ； （2）解：设线段的中点为，如图， ，， ，， 线段绕点旋转得到对应线段， 与关于点对称， 点关于点对称， ，， 抛物线的对称轴为， ， ，解得， 把代入，得， ， ， ； （3）解：∵， ∴直线解析式为：， ∴平移后直线， 设直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，，， ∵直线与抛物线仅有一个公共点， ∴联立，整理得方程有两等根， ∴，， ∴，， 同理可得，， 联立直线与可得， 解得， 代入可得， ∵在直线上，即 ∴， 整理得， 联立与抛物线可得， 整理得 ∴， ∴代入得， 整理得， ∴直线解析式为， ∴当时，，即过定点， ∴直线经过定点，该定点的坐标． 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$