信息必刷卷02（徐州专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷02（徐州专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A C D D D C 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 0 10. 11．8 12． 13． 14． 24 15．16 16．12 17．或 18． 三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 20．（本题8分） 【答案】（1）；（2）无解 【详解】解：（1） ①②，得， 解得， 把代入①，得， 原方程的解为． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组无解． 21．（本题7分） 【答案】(1)20 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：（人）， ∴一共调查了20人； （2）解：∴组人数为：（人）， ∴组女生有：（人）； 由扇形统计图可知：组的百分比为， ∴组人数为：（人）， ∴组男生有：（人）； 补全图形如下： （3）解：用表示名男生，用表示两名女生，列表如下： A B C D E A B C D E 共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种， ∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 22．（本题8分） 【答案】(1)30元，60元 (2)3210元 【详解】（1）解：设A种玩偶价格为x元，则B种玩偶价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：A种玩偶价格为30元，则B种玩偶价格为元． （2）解：设购买A种玩偶y件，则购买B种玩偶件． 根据题意，得， 解得， 设此次购进的费用为W元，根据题意，得 ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∵y是正整数， 故y最大正整数是53， ∴当时，W值最小，且最小值为， 答：此次购进至少要花3210元． 23．（本题8分） 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴ 即是等边三角形， 则． 24．（本题10分） 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【详解】（1）解：把点代入反比例函数解析式和一次函数的解析式中可得： ，， 解得，，； （2）解：由（1）知， ∴点，点， ∴点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上， ∴由（1）知两函数图象交点坐标为， ∴当，的取值范围是． （3）解：由（1）知直线的解析式为， 联立方程组得，， 整理得，， ∵直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点， ∴， 解得，， ∴反比例函数的解析式为； ∵与轴交于点， ∴令，则 ∴， 联立方程组， 解得，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 25．（本题8分） 【答案】 【详解】解：如图所示： ∵夹角为，帆与航行方向的夹角为， ∴， ∵与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力以分解为两个力与， ∴，， ∴在中， 则， 解得， 则， ∵在中，， ∴， 解得． 答：推动帆船前行的动力的值为． 26．（本题9分） 【答案】(1)图见详解；(2)图见详解 【详解】（1）解：取格点，使得，连接，再连接，然后连接，交于一点O，连接并延长交于点E，得，点E即为所求； 理由：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （2）解：如图，取格点、，连接、，交于点，作射线交于点．点即为所求； 取格点、，连接，交于点，点即为所求作的． 理由：在和中， ， ， ， ， ， 由网格特点可知，四边形是矩形， 是对角线的中点，即， ， ， ， ， ， 点即为求作的点； 由作法及图可知： 在中，，，， ，， 在中，，，， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ， 点即为求作的点． 27．（本题10分） 【答案】(1)， (2) (3)①有1个实数根；②1.2 【详解】（1）解：由图可知该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴与x轴的另一个交点为， ∴关于x的方程的解为，； （2）解：设，则此抛物线的对称轴为直线， ∵关于x的方程有两个实数根m，n，且， 的图象与x轴有两个不同交点，如图： ∵， ∴时，；时，，     ∴且， ∴； （3）解：①∵， ∴， 令，，画出大致图象如下， ∴的图象与的图象有一个交点， ∴方程有1个实数根； ②由图象可知：直线与函数的图象交点的横坐标t就是方程的解， 由图象可知：当时，当时． 当时，，，，当时，，，， ∴．     当时，，，，当时，，，， ∴． 当时，，，， ∴．     当时，，，， ∴， ∴，故方程的近似解为1.2． 28．（本题10分） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析 【详解】证明：（1）是的中位线， 且． 又绕点D按逆时针方向旋转得到 ． （2）由题意可知：，，． 作，则且， 又， ． 根据外角定理 ， ， ． 又，是的中位线， ， ， ， ， ， ． （3）存在点使得． ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点M， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的垂直平分线， 过点D作，交于点P，连接，， ∴， ∴根据三线合一得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过点P作于点N，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点N是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴当点G与点P重合时，满足． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（徐州专用） 考情速递 中考·新动向：近几年徐州中考数学试题增加了古代文化或数学文化、跨学科问题、半开放性问题以及新定义问题等，以便能更好的与当前的新高考靠近，考查学生的综合分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学核心素养。 中考·新情境：通过近5年的徐州市中考数学试题分析可以发现，在命题时越来越注重与生活情境的密切结合，更好的突出数学是来源于生活，服务于我们的生活，把方程的问题、函数的问题，统计与概率的问题，甚至尺规作图的问题都设定某一实际生活背景之中，让学生能感受到数学的价值所在。 近几年的数学试题中还突出了关于动手操作数学实验的问题，通过动手实验，探究图形的性质，呼应了新课标要求的“做中学”的要求，以提高学生的实验能力和分析能力。 命题·大预测：通过分析近几年的中考数学试题的变化，我们可以大致预测2025年中考数学试题可能有以下的几个趋势：关于古代文化或数学文化问题依然会有所涉及；动手操作实验问题；跨学科类问题；阅读和新定义类问题；方程、函数、不等式与社会热点问题或生活背景相结合等问题考查学生的数学建模能力。因此要多关注生活和社会中新出现的事物与所学数学知识的关系。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】 解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法及积的乘方，完全平方公式及合并同类项等知识，属于基础知识，务必掌握；根据以上知识，逐项计算即可作出判断． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．江油市非物质文化遗产有江油肥肠、重华烟火架、铁索飞渡、青林口高抬戏等．小聪和小颖商定从“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”四种中各随机选择一种，用于宣传江油的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，设“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”分别用表示，画树状图展示所有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键． 【详解】解：设“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”分别用表示， 画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种的结果数为种， ∴两人恰好选中同一种的概率为， 故选：． 4．三个等圆按如图所示的方式摆放，若再添加一个等圆，使所得图形是中心对称图形，则这个等圆的位置可以是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、旋转180度后两部分不重合，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、旋转180度后两部分不重合，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、旋转180度后两部分重合，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、旋转180度后两部分不重合，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 5．近年来中国高铁发展迅速， 下图是中国高铁营运里 增长率折线统计图程增长率折线统计图． 依据图中信息，下列说法错误的是（    ） A．2020年中国高铁营运里程增长率最大 B．2023年中国高铁营运里程增长率比2022年高 C．2020年至2024年，中国高铁营运里程逐年增长 D．2021年到2022年中国高铁营运里程下降 【答案】D 【知识点】折线统计图 【分析】本题考查折线统计图，根据折线统计图表示各年的增长率可判断，正确提炼出有效信息是解题的关键． 【详解】解：A、2020年中国高铁营运里程增长率最大，故A选项正确； B、2023年中国高铁营运里程增长率比2022年高，故B选项正确； C、2020年至2024年，中国高铁营运里程增长率都为正数，故营运里程逐年增长，故C选项正确； D、2021年到2022年中国高铁营运里程增长，故D错误， 故选：D． 6．如图为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于，；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图)、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形的外角定理和直角三角形的性质，以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得，再由三角形的外角可得答案． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． 7．估计的值在数轴上最可能表示的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，估算无理数．先化简二次根式，计算乘法，再估算结果得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴式子的值在数轴上最可能表示的点是D， 故选：D． 8．如图，在矩形中，，平分交于点，交于点，过作于点，交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，利用一元二次方程解几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质，并灵活应用． 根据条件先证明出四边形是正方形，再根据给出边的数量关系假设出未知数，利用相似三角形的性质，找出对应边成比例，列出一元二次方程，然后求出的长度，最后求出所需边的长度，进而求出角的正弦值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， 平分， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 设，，则，， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， 解得， ， 整理得， 解得或（舍去）， ， 在中，由勾股定理得， 根据三角形等面积法可得， 在中，由勾股定理得， 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂进行计算即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 10．东风是中国最先进的陆基洲际导弹，射程可达14000000米，可携带10枚分导式核弹头，可覆盖全球目标，命中精度在200米以内，将14000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 11．已知，是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的根，先将带入方程得到，再根据根于系数的关系得到，代入求值即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，即，， ， 故答案为：． 12．已知函数，当时，y的最大值是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴当时，最大为； 故答案为：． 13．如图，在中，，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形是求解的关键．根据为直径，得出，根据，得出，，根据勾股定理求出，由切线得出，证明，证明，根据等积法求出结果即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案是：． 14．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两矩形面积相等（如图①，）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，如图②，M是矩形的对角线上的点，且，过点M作分别交于点E、F，连接，若，，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】24 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题主要考查矩形与三角形，熟练掌握矩形的判定和性质定理，材料中的推论，平行线分线段成比例，三角形面积公式，为解答本题的关键． 根据矩形的性质及材料，三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点M作，交于G，交于H， ∵矩形中， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：24． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则的面积为 ． 【答案】16 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，涉及面积的求解，正确求出交点坐标是解题的关键． 先求出，再求出反比例函数解析式，与一次函数解析式联立求得，然后利用求解即可． 【详解】解：将代入得， 解得：， ∴ 将代入得， ∴反比例函数解析式为：， ∴， 解得：或 ∴， 记直线与轴交于点，如图： 当，， ∴， ∴， 故答案为：16． 16．如图，正五边形的两条对角线与相交于点P，若，则四边形的周长为 ． 【答案】12 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了正多边形的内角和问题，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和问题等知识点，证明出四边形是菱形是解题的关键． 先根据正五边形求出每个内角度数，以及得到，再导角证明四边形是平行四边形，继而可证明其为菱形，则周长即可求解． 【详解】解：∵正五边形， ∴，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形周长为， 故答案为：12． 17．如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】二次函数图象的平移、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】， 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为， 当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 18．定义：连接平面内的一点与的边上的各点的所有线段中，最短的线段的长度为点到的距离，记为，当点点在边上时，规定，若是边长为2的等边三角形，则满足的所有点覆盖的图形的面积是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、求扇形面积 【分析】本题考查了新定义，等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式等知识，理解新定义是解答本题的关键． 作于点H，根据勾股定理求出，由题意可知，满足的所有点覆盖的图形包含的内部、三角形外部的三个长为2，宽为1的矩形和三个半径为1，圆心角为的扇形，据此求解即可． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴，． 如图，作于点H， 则， ∴． 由题意可知，满足的所有点覆盖的图形包含的内部、三角形外部的三个长为2，宽为1的矩形和三个半径为1，圆心角为的扇形， ∴所有点覆盖的图形的面积是． 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的混合运算、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项，即可求解； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2） 20．（本题8分）（1）解方程组 （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）无解 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握各自求解基本步骤是解题的关键． （1）根据加减消元法进行求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ①②，得， 解得， 把代入①，得， 原方程的解为． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组无解． 21．（本题7分）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准2022年版》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了______名学生； (2)补全上面的条形统计图和扇形统计图； (3)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)20 (2)见解析 (3) 【知识点】画条形统计图、由扇形统计图求总量、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）利用组人数除以所占的百分比求出总数即可； （2）总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数，1减去其它项所占的百分比，求出D项所占的百分比即可，再补全图形即可； （3）利用列表法求出概率即可． 【详解】（1）解：（人）， ∴一共调查了20人； （2）解：∴组人数为：（人）， ∴组女生有：（人）； 由扇形统计图可知：组的百分比为， ∴组人数为：（人）， ∴组男生有：（人）； 补全图形如下： （3）解：用表示名男生，用表示两名女生，列表如下： A B C D E A B C D E 共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种， ∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 22．（本题8分）据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 【答案】(1)30元，60元 (2)3210元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】（1）设A种玩偶价格为x元，则B种玩偶价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设购买A种玩偶y件，则购买B种玩偶件．根据题意，得，解不等式即可． 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：设A种玩偶价格为x元，则B种玩偶价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：A种玩偶价格为30元，则B种玩偶价格为元． （2）解：设购买A种玩偶y件，则购买B种玩偶件． 根据题意，得， 解得， 设此次购进的费用为W元，根据题意，得 ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∵y是正整数， 故y最大正整数是53， ∴当时，W值最小，且最小值为， 答：此次购进至少要花3210元． 23．（本题8分）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）根据全等三角形的性质得，结合平行线的性质得，则，即是等边三角形，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴ 即是等边三角形， 则． 24．（本题10分）如图1，反比例函数（）的图象过点，直线：与轴交于点． (1)求和的值． (2)点，点均在第一象限，且满足，直接写出的取值范围． (3)如图2，若直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点．连接，，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合运用，正确运用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． （1）把点代入反比例函数解析式和一次函数的解析式中可求出和的值， （2）先判断出点，点分别在反比例函数和直线上，得出交点坐标，根据可得结论． （3）联立和，根据直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点求出，求出C点和B点的坐标，根据两点间距离公式求出，，从而可得结论． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数解析式和一次函数的解析式中可得： ，， 解得，，； （2）解：由（1）知， ∴点，点， ∴点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上， ∴由（1）知两函数图象交点坐标为， ∴当，的取值范围是． （3）解：由（1）知直线的解析式为， 联立方程组得，， 整理得，， ∵直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点， ∴， 解得，， ∴反比例函数的解析式为； ∵与轴交于点， ∴令，则 ∴， 联立方程组， 解得，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 25．（本题8分）帆船是一种古老的水上交通工具，已有5000多年的历史．它主要依靠自然风力航行．如图是帆船逆风航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力F为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先运算得出，再结合代入数值计算得，再运算得出，结合，代入数值计算得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵夹角为，帆与航行方向的夹角为， ∴， ∵与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力以分解为两个力与， ∴，， ∴在中， 则， 解得， 则， ∵在中，， ∴， 解得． 答：推动帆船前行的动力的值为． 26．（本题9分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三点是格点，点在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（每个任务画线不超过3条） (1)在图1中，画，再在上画点，使得； (2)在图2中，在线段上画点，使；在线段上画点，使． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、无刻度直尺作图 【分析】（1）根据平行四边形的性质，取格点，使得，连接，再连接，然后连接，交于一点O，连接并延长交于点E，得，点E即为所求； （2）取格点、，连接、，交于点，作射线交于点．点即为所求；取格点、，连接，交于点，点即为所求作的． 【详解】（1）解：取格点，使得，连接，再连接，然后连接，交于一点O，连接并延长交于点E，得，点E即为所求； 理由：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （2）解：如图，取格点、，连接、，交于点，作射线交于点．点即为所求； 取格点、，连接，交于点，点即为所求作的． 理由：在和中， ， ， ， ， ， 由网格特点可知，四边形是矩形， 是对角线的中点，即， ， ， ， ， ， 点即为求作的点； 由作法及图可知： 在中，，，， ，， 在中，，，， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ， 点即为求作的点． 27．（本题10分）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非．”这里一语成偈，道出了“数”和“形”不可分割的特点．仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题： (1)如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于x的方程的解为________； (2)已知关于x的方程有两个实数根m，n，且，若，求k的取值范围； (3)已知方程． ①直接回答此方程有几个实数根； ②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分！） 【友情提示：图2已给出函数的图象】 【答案】(1)， (2) (3)①有1个实数根；②1.2 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由图象可得出该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得出与x轴的另一个交点为，即得出其相关一元二次方程的解； （2）根据二次函数解析式可得出其对称轴为直线，根据该方程的两个实数根为m，n，且，，画出其大致图象，即可的解； （3）①由，得出，令，，画出大致图象，即得出方程有1个实数根； ②由图象法确定方程的近似根即可． 【详解】（1）解：由图可知该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴与x轴的另一个交点为， ∴关于x的方程的解为，； （2）解：设，则此抛物线的对称轴为直线， ∵关于x的方程有两个实数根m，n，且， 的图象与x轴有两个不同交点，如图： ∵， ∴时，；时，，     ∴且， ∴； （3）解：①∵， ∴， 令，，画出大致图象如下， ∴的图象与的图象有一个交点， ∴方程有1个实数根； ②由图象可知：直线与函数的图象交点的横坐标t就是方程的解， 由图象可知：当时，当时． 当时，，，，当时，，，， ∴．     当时，，，，当时，，，， ∴． 当时，，，， ∴．     当时，，，， ∴， ∴，故方程的近似解为1.2． 28．（本题10分）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明； （2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明； （3）通过解直角三角形得到，，过点C作于点M，易证，得到，即可求得，进而，从而点M是的中点，过点D作，交于点P，连接，，，根据三线合一得，证明，即可求的，过点P作于点N，则四边形是矩形，得到，因此点N是的中点，进而，再证，得到，根据，即可推出，因此当点G与点P重合时，满足． 【详解】证明：（1）是的中位线， 且． 又绕点D按逆时针方向旋转得到 ． （2）由题意可知：，，． 作，则且， 又， ． 根据外角定理 ， ， ． 又，是的中位线， ， ， ， ， ， ． （3）存在点使得． ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点M， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的垂直平分线， 过点D作，交于点P，连接，， ∴， ∴根据三线合一得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过点P作于点N，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点N是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴当点G与点P重合时，满足． 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（徐州专用） 考情速递 中考·新动向：近几年徐州中考数学试题增加了古代文化或数学文化、跨学科问题、半开放性问题以及新定义问题等，以便能更好的与当前的新高考靠近，考查学生的综合分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学核心素养。 中考·新情境：通过近5年的徐州市中考数学试题分析可以发现，在命题时越来越注重与生活情境的密切结合，更好的突出数学是来源于生活，服务于我们的生活，把方程的问题、函数的问题，统计与概率的问题，甚至尺规作图的问题都设定某一实际生活背景之中，让学生能感受到数学的价值所在。 近几年的数学试题中还突出了关于动手操作数学实验的问题，通过动手实验，探究图形的性质，呼应了新课标要求的“做中学”的要求，以提高学生的实验能力和分析能力。 命题·大预测：通过分析近几年的中考数学试题的变化，我们可以大致预测2025年中考数学试题可能有以下的几个趋势：关于古代文化或数学文化问题依然会有所涉及；动手操作实验问题；跨学科类问题；阅读和新定义类问题；方程、函数、不等式与社会热点问题或生活背景相结合等问题考查学生的数学建模能力。因此要多关注生活和社会中新出现的事物与所学数学知识的关系。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．徐州市非物质文化遗产有“徐州剪纸”、“徐州香包”、“徐州面塑”、“徐州风筝”等．小徐和小州两人商定从“徐州剪纸”、“徐州香包”、“徐州面塑”、“徐州风筝”四种中各随机选择一种，用于宣传徐州市的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是（   ） 徐州剪纸 徐州香包 徐州面塑 徐州风筝 A． B． C． D． 4．三个等圆按如图所示的方式摆放，若再添加一个等圆，使所得图形是中心对称图形，则这个等圆的位置可以是（    ） A．B． C．D． 5．近年来中国高铁发展迅速， 下图是中国高铁营运里程增长率折线统计图程增长率折线统计图． 依据图中信息，下列说法错误的是（    ） A．2020年中国高铁营运里程增长率最大 B．2023年中国高铁营运里程增长率比2022年高 C．2020年至2024年，中国高铁营运里程逐年增长 D．2021年到2022年中国高铁营运里程下降 6．如图为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于，；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第6题 第8题 7．估计的值在数轴上最可能表示的点是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，平分交于点，交于点，过作于点，交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．计算： ． 10．东风是中国最先进的陆基洲际导弹，射程可达14000000米，可携带10枚分导式核弹头，可覆盖全球目标，命中精度在200米以内，将14000000用科学记数法表示为 ． 11．已知，是一元二次方程的两根，则的值为 ． 12．已知函数，当时，y的最大值是 ． 13．如图，在中，，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为 ． 第13题 第14题 14．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两矩形面积相等（如图①，）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，如图②，M是矩形的对角线上的点，且，过点M作分别交于点E、F，连接，若，，则图中阴影部分的面积和为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则的面积为 ． 第15题 第16题 16．如图，正五边形的两条对角线与相交于点P，若，则四边形的周长为 ． 17．如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 ． 第17题 18．定义：连接平面内的一点与的边上的各点的所有线段中，最短的线段的长度为点到的距离，记为，当点点在边上时，规定，若是边长为2的等边三角形，则满足的所有点覆盖的图形的面积是 ． 三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）计算： (1)； (2)． 20．（本题8分）（1）解方程组 （2）解不等式组： 21．（本题7分）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准2022年版》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了______名学生； (2)补全上面的条形统计图和扇形统计图； (3)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 22．（本题8分）据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 23．（本题8分）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．（本题10分）如图1，反比例函数（）的图象过点，直线：与轴交于点． (1)求和的值． (2)点，点均在第一象限，且满足，直接写出的取值范围． (3)如图2，若直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点．连接，，求证：． 25．（本题8分）帆船是一种古老的水上交通工具，已有5000多年的历史．它主要依靠自然风力航行．如图是帆船逆风航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力F为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（精确到．参考数据：，，，，，） 26．（本题9分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三点是格点，点在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（每个任务画线不超过3条） (1)在图1中，画，再在上画点，使得； (2)在图2中，在线段上画点，使；在线段上画点，使． 27．（本题10分）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非．”这里一语成偈，道出了“数”和“形”不可分割的特点．仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题： (1)如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于x的方程的解为________； (2)已知关于x的方程有两个实数根m，n，且，若，求k的取值范围； (3)已知方程． ①直接回答此方程有几个实数根； ②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分！） 【友情提示：图2已给出函数的图象】 28．（本题10分）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$