河南商丘市实验中学　2026～2027学年 九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026~2027学年商丘市实验九（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B B B A A D B 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） (A) (B) (C) (D) 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断：只含一个未知数、未知数的最高次数是2、且是整式方程． 【解答】解：： 是一元一次方程，不符合题意； ： 的分母含未知数，不是整式方程，不符合题意； ： 含两个未知数，不符合题意； ： 符合一元二次方程的定义，符合题意． 故选：D． 2．（3分）用配方法解一元二次方程 ，下列变形正确的是（　　） (A) (B) (C) (D) 【答案】 【分析】把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】解：，， 两边同加 得 ， 即 ． 故选：D． 3．（3分）下列一元二次方程中，有实数根的是（　　） (A) (B) (C) (D) 【答案】 【分析】分别计算判别式 ， 时方程有实数根． 【解答】解：：，无实数根； ：，无实数根； ：，有实数根； ：，无实数根． 故选：C． 4．（3分）若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 =（　　） (A) (B) (C) (D)−5 【答案】 【分析】利用根与系数的关系 ． 【解答】解：，， ． 故选：B． 5．（3分）要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，计划安排36场比赛，设比赛组织者邀请 支球队参赛，则 满足的关系式为（　　） (A) (B) (C) (D) 【答案】 【分析】单循环赛中每两支球队之间比赛1场， 支球队共比赛 场． 【解答】解： 支球队进行单循环比赛， 比赛总场数为 ， 由题意得 ． 故选：B． 6．（3分）关于抛物线 与 轴的公共点的情况，下列说法正确的是（　　） (A)有一个公共点 (B)有两个公共点 (C)没有公共点 (D)无法确定 【答案】 【分析】抛物线与 轴公共点的个数由 的符号决定． 【解答】解：令 ，得 ， ， 方程有两个不相等的实数根， 抛物线与 轴有两个公共点． 故选：B． 7．（3分）将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（　　） (A) (B) (C) (D) 【答案】 【分析】抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”． 【解答】解：将 向左平移2个单位长度得 ， 再向下平移1个单位长度得 ． 故选：A． 8．（3分）在同一平面直角坐标系内，一次函数 与二次函数 的图象可能是（　　） 【答案】 【分析】两条图象都经过点 ，且开口方向与直线斜率由同一个 决定． 【解答】解： 一次函数 与二次函数 中 ， 相同， 两图象都经过 轴上的点 ． 当 时，直线从左到右上升，抛物线开口向上， 此时抛物线的对称轴为 ，在 轴左侧， 符合； 当 时，直线从左到右下降，抛物线开口向下，，， 均不符合． 故选：A． 9．（3分）已知抛物线 如图所示，则下列结论正确的是（　　） (A) (B) (C) (D)（ 为任意实数） 【答案】 【分析】由图象读出开口方向与两根，用交点式写出解析式再判断． 【解答】解：由图象知抛物线开口向下，， 且与 轴交于点 ，， ， ，． ：，错误； ：，错误； ：，错误； ： 即 ， ，，即 ，恒成立，正确． 故选：D． 10．（3分）将抛物线 的图象位于直线 以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线 与此图象只有四个交点，则 的取值范围是（　　） (A) (B) (C) (D) 【答案】 【分析】先写出翻折后图象的分段解析式，再分别与直线联立，数交点个数． 【解答】解： 得 或 ， 翻折后的图象为 当 时，； 当 或 时，． ①当 时，由 得 ， ，即 时有两个交点； ②当 或 时，由 得 ， ，即 时有两根， 且当 时两根分别落在 与 内，恰有两个交点； 当 时，一根为 （在分界点上），此时只有三个交点； 当 时只有一个交点． 要有四个交点，需 ． 故选：B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．（3分）写出一个两根为 ， 的一元二次方程：　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】以 ， 为根可写出 ． 【解答】解： 方程的两根为 ，， ，即 （答案不唯一）． 故答案为：x²−3x+2=0（答案不唯一）． 12．（3分）若关于 的一元二次方程 有一个根是0，则 的值是 　　　　． 【答案】 【分析】把 代入得 ，再结合一元二次方程要求 ． 【解答】解： 方程有一个根是 ， ， 或 ． 该方程是一元二次方程，，即 ， ． 故答案为：−2． 13．（3分）已知点 ， 在二次函数 的图象上，则 与 的大小关系为 　　　　 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】开口向下时，点到对称轴的距离越大，函数值越小． 【解答】解： 抛物线的对称轴为直线 ，且开口向下， ，，， 点 离对称轴更远，． 故答案为：<． 14．（3分）如图，在一块长60m，宽50m的矩形广场上，规划出文创售卖区和顾客体验区．阴影部分为宽度相等的通道，中间三个高为 m 的矩形作为售卖区和体验区．若售卖区和体验区的总面积为 m，则通道的宽度为 　　　　 m． 【答案】 【分析】设通道宽为 m，用“总面积减去通道面积”列方程． 【解答】解：设通道的宽度为 m． 由题意，去掉了四周的通道后，中间部分的长为 m，宽为 m， 其中还要去掉一条水平的通道（长为 m，宽为 m）和一条竖直的通道（长为 m，宽为 m）， ， 整理得 ，解得 或 （不合题意，舍去）， 通道的宽度为 m． 故答案为：2． 15．（3分）已知二次函数 ，若当 时， 的最大值是3，则 的值为 　　　　． 【答案】 或 【分析】先求对称轴 ，再按 与 讨论最值位置． 【解答】解：， 抛物线的对称轴为直线 ． ①当 时，抛物线开口向上， 在 内， 最大值在端点处取得，，， ，即 ； ②当 时，抛物线开口向下， ，即 ． 综上所述， 或 ． 故答案为：3或−1． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（10分）解下列方程： （1）　　　　　　（2） 【答案】（1）；（2）， 【解答】解：（1），，， ， ， 即 ，； （2）原方程可化为 ， ，， 或 ， ，． 17．（9分）已知二次函数 ． （1）将该二次函数化为一般式，并分别写出其二次项、一次项和常数项； （2）写出该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1），二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ；（2） 【解答】解：（1）， 二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ； （2）， 该二次函数图象的顶点坐标为 ． 18．（9分）已知关于 的一元二次方程 ． （1）试说明：无论 取何值，此方程总有实数根； （2）若该方程有两个实数根 ，，且 ，求 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【证明】证明：（1）， 无论 取何值，此方程总有实数根． 【解答】解：（2）由根与系数的关系得 ，， ， ，即 ， ． 19．（9分）二次函数 的自变量 与函数值 的部分对应值如表． … −2 −1 0 1 2 3 4 … … 5 0 −3 −4 −3 0 … （1）抛物线的顶点坐标为 　　　　， 的值为 　　　　． （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． （3）结合图象，回答下列问题： ①当 时， 的取值范围是 　　　　． ②当 时， 的取值范围是 　　　　． 【答案】（1），；（3）①　② 【解答】解：（1）由表知 时 ，， 又把 ， 代入得 ， 解得 ，， ， 顶点坐标为 ； 当 时，． （2）图象是以 为顶点、开口向上、与 轴交于 ， 的抛物线（图略）． （3）①由图象知，当 时 ； ②当 时， 的最小值为顶点处的 ， 当 趋近 时 趋近 ，． 20．（9分）如图，学校准备在教学楼后面围出一块矩形的植物种植试验田，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的栅栏围成． （1）若围成的面积为 m，试求出试验田垂直于墙的边长和平行于墙的边长． （2）能围成面积为 m 的试验田吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）垂直于墙的边长为 m，平行于墙的边长为 m；（2）不能 【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为 m，则平行于墙的边长为 m． 由题意得 ，整理得 ， 解得 ，． 当 时，，不合题意，舍去； 当 时，，符合题意． 试验田垂直于墙的边长为 m，平行于墙的边长为 m． （2）不能．理由：由 得 ， ， 该方程没有实数根， 不能围成面积为 m 的试验田． 21．（9分）发石车是一种古代攻城器械．如图，发石车位于点 处，其前方有一堵防御墙，其防御墙的竖直截面为矩形 ，墙厚 为2m，发石车与防御墙的距离 为28m，防御墙的高 为6m．以点 为原点，水平方向为 轴方向，建立平面直角坐标系，将投掷的石块看作一个点，其飞行路线近似看作抛物线 ．若投掷的石块在空中飞行的最大高度为10m，石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【答案】能飞越防御墙，理由见解析 【解答】解： 石块飞行的最大高度为 m， ，即抛物线为 ． 石块从点 处抛出，， 解得 ， ． 由题意知防御墙位于 与 之间， 当 时，； 当 时，． 石块在防御墙处的飞行高度都大于墙高 m， 石块能飞越防御墙． 22．（10分）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率得到提升，该零件4月份生产了100个，6月份生产了144个． 素材2 该工厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上每个的售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； 任务2 当零件的售价定为多少时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】任务1：%；任务2：售价定为 元时利润最大，最大利润为 元 【解答】解：任务1：设月平均增长率为 ， 由题意得 ，， ， ，%）， 该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为 %． 任务2：设售价上涨 元，则每个零件的利润为 元，月销售量为 个， 设月销售利润为 元，则 ， ， 当 时， 有最大值， ， 此时售价为 （元）． 当零件的售价定为 元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为 元． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）若点 是直线 下方抛物线上的一个动点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标； （3）在该抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 是以 为一条直角边的直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）最大值为 ，此时 ；（3）存在， 或 【解答】解：（1） 抛物线与 轴交于 ，， 设 ， 把 代入得 ，解得 ， ． （2）设直线 的解析式为 ， 把 ， 代入得 ， ，． 设 （）， 平行于 轴， 点 的纵坐标与 相同， 由 得 ， ，， ， ， 当 时取最大值， 最大值为 ， 此时 ． （3）存在．， 对称轴为直线 ， 设 ． 直线 的斜率为 ， ①当 时，， ，解得 ，即 ； ②当 时，， ，解得 ，即 ． 综上所述，存在点 或 ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年商丘市实验九（上）第一次月考数学试卷 （范围 25.1～26.4）　 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） (A) (B) (C) (D) 2．（3分）用配方法解一元二次方程 ，下列变形正确的是（　　） (A) (B) (C) (D) 3．（3分）下列一元二次方程中，有实数根的是（　　） (A) (B) (C) (D) 4．（3分）若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 =（　　） (A) (B) (C) (D)−5 5．（3分）要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，计划安排36场比赛，设比赛组织者邀请 支球队参赛，则 满足的关系式为（　　） (A) (B) (C) (D) 6．（3分）关于抛物线 与 轴的公共点的情况，下列说法正确的是（　　） (A)有一个公共点 (B)有两个公共点 (C)没有公共点 (D)无法确定 7．（3分）将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（　　） (A) (B) (C) (D) 8．（3分）在同一平面直角坐标系内，一次函数 与二次函数 的图象可能是（　　） 9．（3分）已知抛物线 如图所示，则下列结论正确的是（　　） (A) (B) (C) (D)（ 为任意实数） 10．（3分）将抛物线 的图象位于直线 以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线 与此图象只有四个交点，则 的取值范围是（　　） (A) (B) (C) (D) 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．（3分）写出一个两根为 ， 的一元二次方程：　 　　　． 12．（3分）若关于 的一元二次方程 有一个根是0，则 的值是 　　　　． 13．（3分）已知点 ， 在二次函数 的图象上，则 与 的大小关系为 　　　　 （填“>”“<”或“=”）． 14．（3分）如图，在一块长60m，宽50m的矩形广场上，规划出文创售卖区和顾客体验区．阴影部分为宽度相等的通道，中间三个高为 m 的矩形作为售卖区和体验区．若售卖区和体验区的总面积为 m，则通道的宽度为 　　　　 m． 15．（3分）已知二次函数 ，若当 时， 的最大值是3，则 的值为 　　　　． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（10分）解下列方程： （1）　　　　　　 （2） 17．（9分）已知二次函数 ． （1）将该二次函数化为一般式，并分别写出其二次项、一次项和常数项； （2）写出该二次函数图象的顶点坐标． 18．（9分）已知关于 的一元二次方程 ． （1）试说明：无论 取何值，此方程总有实数根； （2）若该方程有两个实数根 ，，且 ，求 的值． 19．（9分）二次函数 的自变量 与函数值 的部分对应值如表． … −2 −1 0 1 2 3 4 … … 5 0 −3 −4 −3 0 … （1）抛物线的顶点坐标为 　　　　， 的值为 　　　　． （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． （3）结合图象，回答下列问题： ①当 时， 的取值范围是 　　　　． ②当 时， 的取值范围是 　　　　． 20．（9分）如图，学校准备在教学楼后面围出一块矩形的植物种植试验田，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的栅栏围成． （1）若围成的面积为 m，试求出试验田垂直于墙的边长和平行于墙的边长． （2）能围成面积为 m 的试验田吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21．（9分）发石车是一种古代攻城器械．如图，发石车位于点 处，其前方有一堵防御墙，其防御墙的竖直截面为矩形 ，墙厚 为2m，发石车与防御墙的距离 为28m，防御墙的高 为6m．以点 为原点，水平方向为 轴方向，建立平面直角坐标系，将投掷的石块看作一个点，其飞行路线近似看作抛物线 ．若投掷的石块在空中飞行的最大高度为10m，石块能否飞越防御墙？请说明理由． 22．（10分）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率得到提升，该零件4月份生产了100个，6月份生产了144个． 素材2 该工厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上每个的售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； 任务2 当零件的售价定为多少时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？ 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）若点 是直线 下方抛物线上的一个动点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标； （3）在该抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 是以 为一条直角边的直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $