信息必刷卷01（南通专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷01 数 学（南通专用） 考情速递 中考·新动向：试题更注重对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析等核心素养的考查，减少机械计算题，增加实际情境问题；以南通市的社会资源后社会热点为背景设计问题，这是近几年南通市中考的一大特点，例如2024年南通市中考第22题南通地铁1号线为背景设计的一道概率问题。近几年新定义问题与阅读材料问题作为压轴题，考查学生“现学现用”综合能力，例如2023年，2022年的关于函数的新定义问题和2024年关于综合与实践的关于几何图形性质的探究问题。 中考·新情境：近几年南通市中考数学试题中新增加或新出现的问题主要有两大类：数学与其他学科融合的问题，例如2024年南通市中考数学第16题，2023年第14题，2022年的第15题等都是数学与物理的融合问题；数学试题与中国古代数学文化相结合的问题越来越多，例如2022年第13题《九章算术》买羊问题，2023年第16题《九章算术》中的勾股数问题；2024年的第8题“赵爽弦图”问题。 命题·大预测：通过分析近几年全国各地的中考数学试题的变化趋势可以发现，现在的中考数学试题已经与我们的生活和社会密不可分，我们可以大致预测2025年中考数学试题可能有以下的几个趋势和变化：注重以传统文化或数学文化为背景命题；注重数学与其他学科知识的融合；压轴题依然要注重两种情形：一是新定义问题，二是以综合实践为主题的几何图形性质的动手实验和综合探究问题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．剪纸艺术起源于人民的社会生活蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识、生活理想和审美情趣．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．截止年月日，电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．“学而不思则罔，思而不学则殆”源自《论语·为政》，是孔子倡导的一种读书与学习的方法．如图，将“学而不思则罔”六个字写在正方体的展开图上，折叠成正方体后，与“思”字相对的面上的字是（   ） A．学 B．而 C．则 D．罔 第4题 第5题 5．如图是某型垃圾清运车示意图，折线是其尾箱舱门，舱门可绕点A逆时针旋转打开，打开过程中大小始终保持不变，，当开启角达到最大时，，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 6．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 7．下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　） A．的值随着值的增大而减小 B．函数图象与轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第一、二、四象限 8．在等腰中，，点D在上，点E在上且，连接，将沿翻折到的内部，得到，连接．则（   ） A． B． C． D． 第8题 第9题 9．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形的对角线的中点为圆心，为半径作，切于点，并交于点，若，则该圆的半径为（   ）． A． B． C． D． 10．直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，且始终满足，则直线必过的定点为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11．计算： ． 12．计算： ． 13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值 ． 14．如图、点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线（）与直线相交于C、D两点，若．则的面积是 ． 第14题 第15题 15．如图，在中，，弦，以为圆心，以为半径画圆弧交于另一点，则由两条圆弧所围成的月亮形阴影部分的面积 ． 16．如图，下左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，如图为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若，，，则点C到水平线l的距离为 ． 第16题 第17题 17．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AD、BC交于点O，则sin∠AOB＝ ． 18．已知在等腰中，，将绕点A旋转至，若，那么 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19． (1) 计算： (2)解不等式组：． 20．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节全球热映，以中华神话为内核的精良制作引发观影热潮，首周票房突破20亿，据2025年3月15日《人民日报》报道，影片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）超150.19亿元，票房成绩进入全球票房榜前5！某影院为了了解本市观众对影片的喜爱程度，随机调查名国内观众，根据统计的评分（满分10分）结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为________，图①中的值为________； (2)求统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数； (3)该影院单日观看影片人数达到1700人次，若这些观影的人都参加本次测试，请估计影片的喜爱程度评分为10分的人数． 21．如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得四边形为矩形．（不需要证明） 22．甲骨文因镌刻、书写于龟甲与兽骨上而得名，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．酷爱中国古代文字研究的李洋和孙怡同学制作了如图所示的4张卡片（这4张卡片分别用字母A、B、C、D表示，正面文字依次是牛、鸡、猴、龙，这4张卡片除正面内容不同外，其余均相同）用来玩游戏，现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，李洋从中随机抽取一张，记下卡片正面上的字，放回并洗匀后，孙怡再从中随机抽取一张． (1)李洋抽取的卡片正面文字是“龙”的概率为_______； (2)请用列表法或画树状图的方法求李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的概率． 23．如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； 24．汉字是中华文化的重要载体和鲜明标志，是中华民族的形成和发展重要的纽带，为进一步加强中小学规范汉字书写，九年级（1）班需要购买一部分字帖供同学们参考使用．班长李飞来到文具店，发现有A，B两种型号字帖供顾客选择．以下是两人的对话： 李飞：您好，我一共有480元钱，打算购买这两种字帖，它们的单价分别是多少啊？ 店员：A型号字贴的单价比B型号字贴的单价贵5元，你花400元买B型号字贴的本数与花480元买A型号字贴的本数相同．现店里推出答题优惠活动，答对即可享九折优惠． (1)请根据两人的对话信息，求出A，B两种型号字帖的单价． (2)若李飞答对了问题，则他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各多少本？ 25．【问题发现】 （1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，则与的数量关系是______，请说明理由． 【类比探究】 （2）若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形，”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段上时，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）若将“正方形和正方形改成“菱形和菱形，且菱形菱形，如图3，平分，点P在射线上，在射线上截取，使得，连接，当时，直接写出的长． 26．若函数“”图象上存在一点向左平移个单位长度，正好落在函数“”图象上，则称函数“”是函数“”的“遥感函数”，这个点（平移后的点）称为函数“”关于函数“”的“遥感点”． (1)点是函数“”：关于函数“”：的“遥感点”，求函数“”的解析式； (2)函数“”：是函数“”：的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，函数“”：关于函数“”：有两个不同的“遥感点”，设它们为，．当为等边三角形时，求的面积； (3)函数“”：（其中为常数，且）的顶点恰为函数“”关于函数“”：的“遥感点”．设抛物线与函数“”：的交点为，，抛物线顶点为．当四边形为矩形时，求函数“”的解析式． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷01 数 学（南通专用） 考情速递 中考·新动向：试题更注重对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析等核心素养的考查，减少机械计算题，增加实际情境问题；以南通市的社会资源后社会热点为背景设计问题，这是近几年南通市中考的一大特点，例如2024年南通市中考第22题南通地铁1号线为背景设计的一道概率问题。近几年新定义问题与阅读材料问题作为压轴题，考查学生“现学现用”综合能力，例如2023年，2022年的关于函数的新定义问题和2024年关于综合与实践的关于几何图形性质的探究问题。 中考·新情境：近几年南通市中考数学试题中新增加或新出现的问题主要有两大类：数学与其他学科融合的问题，例如2024年南通市中考数学第16题，2023年第14题，2022年的第15题等都是数学与物理的融合问题；数学试题与中国古代数学文化相结合的问题越来越多，例如2022年第13题《九章算术》买羊问题，2023年第16题《九章算术》中的勾股数问题；2024年的第8题“赵爽弦图”问题。 命题·大预测：通过分析近几年全国各地的中考数学试题的变化趋势可以发现，现在的中考数学试题已经与我们的生活和社会密不可分，我们可以大致预测2025年中考数学试题可能有以下的几个趋势和变化：注重以传统文化或数学文化为背景命题；注重数学与其他学科知识的融合；压轴题依然要注重两种情形：一是新定义问题，二是以综合实践为主题的几何图形性质的动手实验和综合探究问题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的分类、化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的分类，求一个数的绝对值，化简多重符号，有理数的乘方运算，根据相关知识点和运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是负数，符合题意； B、，是正数，不是负数，不符合题意； C、，是正数，不是负数，不符合题意； D、，是正数，不是负数，不符合题意； 故选A． 2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．剪纸艺术起源于人民的社会生活蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识、生活理想和审美情趣．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 3．截止年月日，电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先把亿转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：． 4．“学而不思则罔，思而不学则殆”源自《论语·为政》，是孔子倡导的一种读书与学习的方法．如图，将“学而不思则罔”六个字写在正方体的展开图上，折叠成正方体后，与“思”字相对的面上的字是（   ） A．学 B．而 C．则 D．罔 【答案】A 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“相间、Z端是对面”，即可解答． 【详解】解：由题意得，与“思”字相对的面上的字是“学”， 故选：A． 5．如图是某型垃圾清运车示意图，折线是其尾箱舱门，舱门可绕点A逆时针旋转打开，打开过程中大小始终保持不变，，当开启角达到最大时，，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，作，，得出，根据平行线的性质求出即可． 【详解】解：作，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 6．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】C 【知识点】矩形的判定定理理解、添一个条件使四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键．根据菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，逐项判断即可． 【详解】解：A．有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B．有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C．菱形的对边本身相等，（3）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； D．有一个角是直角的菱形是矩形，则（4）处可填，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 7．下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　） A．的值随着值的增大而减小 B．函数图象与轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质．根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、，的值随着值的增大而增大，本选项不符合题意； B、当时，，函数图象与轴的交点坐标为，本选项不符合题意； C、当时，，且，则当时，，本选项符合题意； D、，，函数图象经过第一、三、四象限，本选项不符合题意； 故选：C． 8．在等腰中，，点D在上，点E在上且，连接，将沿翻折到的内部，得到，连接．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、折叠的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形的方法是解题关键．设，则，，利用勾股定理可得，再连接，交于点，过点作于点，根据折叠的性质可得垂直平分，，利用三角形的面积公式可得的长，从而可得的长，利用勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式可得的长，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，， ∴， 如图，连接，交于点，过点作于点， 由折叠的性质得：垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故选：C． 9．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形的对角线的中点为圆心，为半径作，切于点，并交于点，若，则该圆的半径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】根据圆的切线的性质可得，设该圆的半径为，可求，过作于，过作于，则四边形是矩形，可求，计算求解的长，进而可得，，通过解直角三角形即可求解． 【详解】解：是的切线， ， 设该圆的半径为， ， ， ，， ， ， 过作于，过作于，如图所示： 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ，， ， 解得， 该圆的半径为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质，正多边形和圆等知识的综合运用，根据题意构造直角三角形运用三角函数求解是解决问题的关键． 10．直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，且始终满足，则直线必过的定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、求一次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、已知两点坐标求两点距离 【分析】设直线与抛物线的交点的坐标为，的坐标为，联立，得，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，则，同理可得，进而可得，即，解得，则，由此即可得出直线必过的定点． 【详解】解：设直线与抛物线的交点的坐标为，的坐标为， 联立， 得：， ，， ， 同理可得：， ， ， ， 解得：， ， 当时，， 直线必过的定点为， 故选：． 二、（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， 先根据二次根式的乘法法则计算，再根据二次根式的加减法法则计算即可. 【详解】解：原式. 故答案为：. 12．计算： ． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母的分式加法法则进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值 ． 【答案】2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得m的取值范围，再根据范围得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 且， 的最小整数值为2． 故答案为：2． 14．如图、点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线（）与直线相交于C、D两点，若．则的面积是 ． 【答案】9 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据题意，设，，，根据，得，，从而确定，，继而得到的面积是解答即可． 本题考查了中点坐标公式，反比例函数的性质，三角形面积的表示法，熟练掌握中点坐标公式，反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵双曲线（）与直线相交于C、D两点， 不妨设，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴的面积是． 故答案为：9． 15．如图，在中，，弦，以为圆心，以为半径画圆弧交于另一点，则由两条圆弧所围成的月亮形阴影部分的面积 ． 【答案】 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了扇形面积，直角所对的弦是直角；连接，，，，根据题意得出为的直径，，进而根据，即可求解． 【详解】解：连接，，，，如图， 弧的度数为， ， ， 又以为圆心，以为半径画圆弧交于另一点，即， ， ， 所以为的直径． 而， ∴，， ∴ 故答案为：． 16．如图，下左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，如图为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若，，，则点C到水平线l的距离为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解三角形，熟练利用三角函数解三角形是解题的关键． 延长交l于点H，连接，证明，进而得到，再利用三角函数解和即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交l于点H，连接， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 17．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AD、BC交于点O，则sin∠AOB＝ ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】构造直角三角形BCE，使顶点E在格点上，一个锐角∠CBE正好等于∠AOB，求出sin∠CBE即可. 【详解】解：如图， 由图可知，，， ∴， 而，，，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题的关键构造格点直角三角形. 18．已知在等腰中，，将绕点A旋转至，若，那么 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，分绕点A顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 当绕点A逆时针旋转至时，如图， 则：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作，作，交于点， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； 当绕点A顺时针旋转至时，如图， 同理可知：为等边三角形， ∴， 过点作，作，则：，， ∴，， 设，同法可得：，， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题12分）计算： (1) (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查分式的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先将括号内的进行通分，把除法转换为乘法后进行约分化简即可得到答案；； （2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共解集即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为：． 20．（本题10分）国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节全球热映，以中华神话为内核的精良制作引发观影热潮，首周票房突破20亿，据2025年3月15日《人民日报》报道，影片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）超150.19亿元，票房成绩进入全球票房榜前5！某影院为了了解本市观众对影片的喜爱程度，随机调查名国内观众，根据统计的评分（满分10分）结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为________，图①中的值为________； (2)求统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数； (3)该影院单日观看影片人数达到1700人次，若这些观影的人都参加本次测试，请估计影片的喜爱程度评分为10分的人数． 【答案】(1)50，6 (2)统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为9.16分 (3)估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求一组数据的平均数 【分析】本题考查扇形统计图与条形统计图，加权平均数，用样本估计总体； （1）将评分为9分的人数除以其百分比，即可求出a的值；将评分为7分的人数除以a的值，即可求出m的值； （2）根据加权平均数的计算方法计算即可； （3）将观影人数1700乘以评分为10分的百分比计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即． 故答案为：50；6 （2）解：根据条形统计图，得 ∴这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为分． （3）解：∵在所抽取的样本中，对影片的喜爱程度评分为10分的占， ∴根据样本数据，估计该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱 程度评分为10分的占，有（人）， ∴估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人． 21．（本题10分）如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得四边形为矩形．（不需要证明） 【答案】(1)见解析； (2)（答案不唯一）． 【知识点】利用平行四边形的性质证明、添一条件使四边形是矩形、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，则，再证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：添加（答案不唯一），理由如下： 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为矩形． 22．（本题10分）甲骨文因镌刻、书写于龟甲与兽骨上而得名，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．酷爱中国古代文字研究的李洋和孙怡同学制作了如图所示的4张卡片（这4张卡片分别用字母A、B、C、D表示，正面文字依次是牛、鸡、猴、龙，这4张卡片除正面内容不同外，其余均相同）用来玩游戏，现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，李洋从中随机抽取一张，记下卡片正面上的字，放回并洗匀后，孙怡再从中随机抽取一张． (1)李洋抽取的卡片正面文字是“龙”的概率为_______； (2)请用列表法或画树状图的方法求李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查列表法或画树状图的方法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图的方法是关键． （1）共有4种结果，抽到“龙”的有一种，根据概率公式计算即可； （2）列表法或画树状图的方法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：共有4张卡片，抽到“龙”的有一种结果， ∴正面文字是“龙”的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的结果有9种， （李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”）． 23．（本题10分）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．    (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，再根据可得，再根据对顶角相等和三角形内角和结合，即可求得，从而证得是的切线； （2）根据题意得出，则，根据直径所对的圆周角为，证得，得出，等量代换得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，又是的直径， ∴是的切线； （2）解：等腰三角形，理由如下： ∵，是的直径， ∴，， ∴， ∵，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了切线的判定，对顶角相等，三角形内角和，平行线判定和性质，直径所对的圆周角为，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．（本题12分）汉字是中华文化的重要载体和鲜明标志，是中华民族的形成和发展重要的纽带，为进一步加强中小学规范汉字书写，九年级（1）班需要购买一部分字帖供同学们参考使用．班长李飞来到文具店，发现有A，B两种型号字帖供顾客选择．以下是两人的对话： 李飞：您好，我一共有480元钱，打算购买这两种字帖，它们的单价分别是多少啊？ 店员：A型号字贴的单价比B型号字贴的单价贵5元，你花400元买B型号字贴的本数与花480元买A型号字贴的本数相同．现店里推出答题优惠活动，答对即可享九折优惠． (1)请根据两人的对话信息，求出A，B两种型号字帖的单价． (2)若李飞答对了问题，则他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各多少本？ 【答案】(1)B型号字贴的单价为25元，则A型号字贴的单价为30元； (2)他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各9本． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． （1）设B型号字贴的单价为x元，则A型号字贴的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各y本，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B型号字贴的单价为x元，则A型号字贴的单价为元 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解 ∴（元） ∴B型号字贴的单价为25元，则A型号字贴的单价为30元； （2）设他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各y本 根据题意得， 解得 ∵y是正整数 ∴y的最大值为9 ∴他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各9本． 25．（本题13分）【问题发现】 （1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，则与的数量关系是______，请说明理由． 【类比探究】 （2）若将“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形，”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段上时，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）若将“正方形和正方形改成“菱形和菱形，且菱形菱形，如图3，平分，点P在射线上，在射线上截取，使得，连接，当时，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）或． 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）可证明，从而，进一步得出结论； （2）作于，可依次求得，，，解直角三角形求得，，可证明，从而，从而得出； （3）分为两种情形：当在上时，连接，交于，作，交的延长线于，可证得，，从而得出，从而，可推出，从而，从而得出，设，，可求得，从而，从而得出，根据勾股定理得，得出，进而得出结果；当在的延长线上时，同样方法得出结果． 【详解】解：（1）四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 故答案为：； （2）如图2，作于，     四边形是矩形， ， ，， ， 由得，， ， ， 在中，，， ， ， 矩形矩形， ，， ， ， ， ； （3）如图3，当在上时，连接，交于，作，交的延长线于， 四边形是菱形， ，， 菱形菱形， ，，， ， ， 平分， ， ； ，， ， ， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ， 设，， 如图4，过I作于M，      ∵，，， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ∴； 如图5，当在的延长线上时，      由上可知：， ， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，构造直角三角形． 26．（本题13分）若函数“”图象上存在一点向左平移个单位长度，正好落在函数“”图象上，则称函数“”是函数“”的“遥感函数”，这个点（平移后的点）称为函数“”关于函数“”的“遥感点”． (1)点是函数“”：关于函数“”：的“遥感点”，求函数“”的解析式； (2)函数“”：是函数“”：的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，函数“”：关于函数“”：有两个不同的“遥感点”，设它们为，．当为等边三角形时，求的面积； (3)函数“”：（其中为常数，且）的顶点恰为函数“”关于函数“”：的“遥感点”．设抛物线与函数“”：的交点为，，抛物线顶点为．当四边形为矩形时，求函数“”的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意，把点代入函数“”： 得，，则得到平移前的点的坐标为，再代入函数“”： ，即可求解； （2）由新定义可得， 函数“”：，即，函数“”：；再分情况：如图，当时，此时不符合题意；如图，当时，此时不符合题意；当时，如图，再进一步结合反比例函数，等边三角形的性质，勾股定理求解即可； （3）如图，求解，，设，，可得，，而，，由，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：把点代入函数“”： 得，， ∴平移前的点的坐标为， 把代入函数“”： 得，， ∴函数“”的解析式为； （2）解：∵函数“”：是函数“”：的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”， ∴，且向左平移2个单位得到， ∴函数“”：，即， ∴函数“”：； 如图，当时， 此时不符合题意； 如图，当时， 此时不符合题意； 当时，如图， ∵， ∴，整理得：， 设， ∵等边三角形，反比例函数都关于直线对称， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵是的根， ∴，即， ∴， ∵不符合题意， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴等边三角形的面积为：； （3）解：如图， ∵抛物线， ∴顶点横坐标为，纵坐标为， ∴， 同理：（其中为常数，且）的顶点的坐标为： ， 设，， ∵当时， ∴， ∴，， 而 ， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴，经检验符合题意； ∴， ∴， 解得：， ∴直线“”的解析式为． 33 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷01（南通专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C A A C C C C C 二、（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11． 12． 13．2 14． 9 15． 16． 17． 18． 三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题12分） 【答案】(1) 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为：． 20．（本题10分） 【答案】(1)50，6 (2)统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为9.16分 (3)估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人 【详解】（1）解：， ， 即． 故答案为：50；6 （2）解：根据条形统计图，得 ∴这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为分． （3）解：∵在所抽取的样本中，对影片的喜爱程度评分为10分的占， ∴根据样本数据，估计该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱 程度评分为10分的占，有（人）， ∴估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人． 21．（本题10分） 【答案】(1)见解析； (2)（答案不唯一）． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：添加（答案不唯一），理由如下： 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为矩形． 22．（本题10分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：共有4张卡片，抽到“龙”的有一种结果， ∴正面文字是“龙”的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的结果有9种， （李洋和孙怡所抽取的卡片正面都不是“牛”）． 23．（本题10分） 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，又是的直径， ∴是的切线； （2）解：等腰三角形，理由如下： ∵，是的直径， ∴，， ∴， ∵，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴是等腰三角形． 24．（本题12分） 【答案】(1)B型号字贴的单价为25元，则A型号字贴的单价为30元； (2)他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各9本． 【详解】（1）解：设B型号字贴的单价为x元，则A型号字贴的单价为元 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解 ∴（元） ∴B型号字贴的单价为25元，则A型号字贴的单价为30元； （2）设他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各y本 根据题意得， 解得 ∵y是正整数 ∴y的最大值为9 ∴他利用手中的钱最多能买到相同数量的这两种字帖各9本． 25．（本题13分） 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）或． 【详解】解：（1）四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 故答案为：； （2）如图2，作于，     四边形是矩形， ， ，， ， 由得，， ， ， 在中，，， ， ， 矩形矩形， ，， ， ， ， ； （3）如图3，当在上时，连接，交于，作，交的延长线于， 四边形是菱形， ，， 菱形菱形， ，，， ， ， 平分， ， ； ，， ， ， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ， 设，， 如图4，过I作于M，      ∵，，， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ∴； 如图5，当在的延长线上时，      由上可知：， ， ∴； 综上所述：或． 26．（本题13分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：把点代入函数“”： 得，， ∴平移前的点的坐标为， 把代入函数“”： 得，， ∴函数“”的解析式为； （2）解：∵函数“”：是函数“”：的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”， ∴，且向左平移2个单位得到， ∴函数“”：，即， ∴函数“”：； 如图，当时， 此时不符合题意； 如图，当时， 此时不符合题意； 当时，如图， ∵， ∴，整理得：， 设， ∵等边三角形，反比例函数都关于直线对称， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵是的根， ∴，即， ∴， ∵不符合题意， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴等边三角形的面积为：； （3）解：如图， ∵抛物线， ∴顶点横坐标为，纵坐标为， ∴， 同理：（其中为常数，且）的顶点的坐标为： ， 设，， ∵当时， ∴， ∴，， 而 ， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴，经检验符合题意； ∴， ∴， 解得：， ∴直线“”的解析式为． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$