第5章 第3节 角-【创新教程】2025年小升初数学暑假衔接教材一本通

衔接教材一本通 数学 第三节角 衔接思维导图 厘清小初知识衔接点，明确目标 角的分类、性质和等量关系 了解角的分类 余角和补角的概念、性质 锐角、直角、纯角、平角和 知识点 直角和余角的关系、平角和 周角的特点及倍数关系 学 级 补角的关系 用“东偏南”“多少度” 方位角 等描述位置 小初衔接探究 萃取小初知识精华，温故知新 衔强回质 终边 B 1.角的概念：由一点引出的两条射线 0<Q 始边 所组成的图形叫做角。 3.平角、周角 2.角的大小与两条边张开的大小有 射线OA绕点O旋转，当终止位置OB 关，但是与两边的长短无关。 和起始位置OA成一条直线时，所成的角叫 3.角的符号表示：∠。（注意与小于符 做平角。当起始射线OA又回到起始位置 号的区别) 时，所成的角叫做周角。 4.角的测量：把量角器放在角的上面， 4.角的表示方法 使量角器的中心和角的顶点重合，0°刻度线 和角的一边重合，角的另一边所对的刻度 表示方法 图示 记法 适用范围 就是角的度数。（注意是内刻度线还是外 刻度线) 任何情况 衔报新知 用三个大 ∠AOB 都适用， 一、角的概念及表示方法 写字母表 或 表示顶点 1.有公共端点的两条射 B 示 ∠BOA 的字母写 终边 线组成的图形叫做角，这个 在中间 公共端点是角的顶点，这两0△ 始边 条射线是角的两条边，如图 以某一点 所示，点O是角的顶点，OA,OB是角的两 为顶点的 条边。 用一个大 写字母表 角只有一 2.角也可以看作由一条射线绕着它的 ∠O 个时，可 端点旋转而形成的图形，把起始位置的射 示 以用顶点 线叫始边，终止位置的射线叫终边，如图所 示，图中的角可以看作射线OA绕着点O 表示角 旋转到OB而形成的。 0K(<((< 初中新知探究 第二篇 用阿拉伯 任何情况 2 数字表示 都适用 图1 用希腊字 任何情况 母表示 都适用 图2 图3 二、角的单位及角度制 四、角平分线 1.度量仪器：量角器。 一般地，从一个角的顶点出发，把这个 2.度量单位：度、分、秒。 角分成两个相等的角的射线，叫做这个角 把一个周角360等分，每一份都是1度的 的平分线。类似地，还有角的三等分线，如 角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1 图，如果∠AOB=∠BOC=∠COD= 分的角，记作1'；把1分的角60等分，每一份 叫做1秒的角，记作1”。即1°=60,1'=60”， 号∠A0D,那么OB,OC是∠A0D的三等 r-(r-( 分线。 三、角的有关运算 1.角的比较方法 (1)度量法：比较角的大小，可先用量 0 角器分别量出每个角的度数，然后按照度 五、余角和补角 数来比较角的大小。 R 1.余角：如果两个角的和等于90°（直 R 1129 角 55o 角)，就说这两个角互为余角，即其中每一 Q 角 个角是另一个角的余角。 (2)叠合法：把两角叠合在一起比较大 2.余角的性质：同角（等角）的余角相等。 小，用这种方法比较两个角的大小，一定要 3.补角：如果两个角的和等于180°（平 使两个角的顶点及一边重合，另一边落在 角)，就说这两个角互为补角，即其中一个 重合这条边的同旁。 角是另一个角的补角。 A(E) 4.补角的性质：同角（等角）的补角相等。 六、方位角 (D) B (F (D) (D) (F) 方位角是以正北、正南方向为基准，描 ∠ABC=∠EDF ∠ABC<∠EDF ∠ABC>∠EDF 述物体运动方向的角。如图，射线OA, 2.角的和与差 OB,OC的方向可分别表示为：北偏东60°， 角与线段相同，可以用和与差表示角 的关系。如图1，设有两个角∠1和∠2 南偏东15°，北偏西45°。 北 (∠1>∠2)，把∠2移到∠1上，使它们的 顶点重合，一边重合。当∠2在∠1的外部 时（如图2），它们的另两边所成的角∠ABC 是它们的和。记作∠ABC=∠1十∠2；当 ∠2在∠1的内部时（如图3），它们的另两 边所成的角∠DEF是它们的差，记作 ∠DEF=∠1-∠2。 南 >>>)61 衔接教材一本通 数学 衔强典 题型三时针和分针夹角的求解方法 例3 小明每天下午5：20放学，此时钟面 题型二 角的计数方法 例1 如图，O是直线AB上一点，图中小 上时针和分针的夹角是 于180°的角共有 11121 10 8 65C A.7个 B.9个 [解析]钟面上时针12小时转360度，1 C.8个 D.10个 [解析]以OA为边分别与射线OC, 小时转30度，1分钟转0.5度；分针1小 OD,OE形成3个角，以OC为边分别与 时转360度，1分钟转6度。如图， 射线OD,OE,OB形成3个角，以OD为 边分别与射线OE,OB形成2个角，以 ∠AOC=30°，∠BOC表示时针在20分 OE为边与OB形成1个角，共可形成3 钟内转动的角度，∠B0C=0.5°×20=10°， +3+2+1=9(个)角。 [答案]B 所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=40°。 题型三角平分线的应用 [答案]40 例2（北京中考）如图，直线AB,CD交于 题型四 “与余角和补角有关的计算 点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD= 76°，则∠BOM等于 例4 (1)已知∠A=50°，则它的余角为 A.40° B.50° B D C.130° D.140° A.38 B.104 C.142 D.144° (2)(江西中考)一个角的度数为20°，则 [解析] 因为射线OM平分∠AOC,且 它的补角的度数为 ∠BOD=76,所以∠AOM=7∠A0C= [解析]（①）∠A的余角等于90°-50°=40。 3∠B0D=号×76°=38，所以∠BOM= (2)互补的两个角的和为180°，所以它的 180°-∠A0M=180°-38°=142°。 补角的度数为180°-20°=160°。 [答案]C [答案](1)A(2)160 衔接过关金题 检验小初知识衔接，夯基提能 衔接训练 1.如图，给出下列说法：①∠ECG和∠C是 同一个角；②∠OGF和∠DGB是同一个 角；③∠DOF和∠EOG是同一个角：④ A.1个 B.2个 ∠ABC和∠ACB不是同一个角。其中 C.3个 D.4个 正确的有 () 62K(《((《< 初中新知探究 第二篇 2.如图，小于平角的角共有 7.如图，用三个大写字母表示所标记的各角。 A (1)∠1可以表示为 A.11个 B.12个 (2)∠2可以表示为 C.14个 D.15个 (3)∠3可以表示为 3.如图，∠AOB=120°，射 B 8.(1)3219'+1653'16"= 线OC是∠AOB内部任 (2)180°-126°43'12= (3)53°25′28"×5= 意一条射线，OD,OE分 (4)41°36′÷3= 别是∠AOC,∠BOC的平分线，下列叙述 9.如图，OB是∠AOC的平分线， 正确的是 A.∠DOE的度数不能确定 ∠C0D=3∠B0D,∠C0D=17,则 B.∠AOD=∠EOC ∠AOD的度数是 C.∠AOD+∠BOE=60° D.∠BOE=2∠COD 4.如果∠a+∠3=90°，∠Y+∠3=90°，那 么∠a与∠y的关系是 ( ) 10.如图，已知∠AOB= A.相等 B.互补 90°，∠EOF=60°，OE C.互余 D无法确定 平分∠AOB,OF平分 5.如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°， ∠BOC,求∠COB和 且∠1=∠3，那么∠2与∠4的关系是 ∠AOC的度数。 ( A.相等 B.互补 C.互余 D无法确定 6.如图，OB,OC是 D ∠AOD内的任意两 B 条射线，OM平分 ∠AOB,ON平分 ∠COD,若∠MON=a,∠BOC=3,则 表示∠AOD的式子为 ( A.2a-B B.a-3 C.a+B D.2a >>)》》>63 衔接教材一本通 数学 11.已知∠a与∠B互余，∠a与∠y互补， (2)商场B、学校A、公园C、停车场P分 ∠p与∠y的和等于周角的，求∠a+ 别在小明家的什么方向？ ∠B+∠y的度数。 12.如图是小明家O和学校A所在地的简单 地图。已知OA=2cm,OB=2.5cm,OP =4cm,C为OP的中点，回答下列问 题： (3)若学校距离小明家400m,那么商场 B商场 和停车场分别距离小明家多远？ A学校 北 →东 60人45° 小明家0 30- C公园 P停车场 (1)图中到小明家距离相等的地方有哪些？ 64(<<(《< 初中新知探究 第二篇 13.如图，某轮船上午8时在A处，测得灯 (2)量出轮船在B处时，离灯塔S的距 塔S在北偏东30°的方向上，向东行驶 离，并求出它的实际距离。 至中午12时时，该轮船在B处测得灯 塔S在北偏西60°的方向上。已知轮船 的航行速度为20km/h. 北 北 西一 东 cm 南 南 (1)在图中画出灯塔S的位置； 数学趣味故事 茶壶盖为什么都是圆的？ 我们学习过几何图形，知道在周长相等的情况下，圆的面积是所有几何图形中最大 的，我们无论从哪个角度把茶壶盖放下去都正好合适，而且圆的直径、半径都相等，茶壶盖 在茶壶上不容易掉下去。 除此之外，和其他几何图形相比，面积相等时，圆形、椭圆形的体积最大。这就是说， 圆形的茶壶相比其他一些形状的茶壶容量大，装水多。而且方形的茶壶盖很容易把角碰 )掉，不够安全。 茶壶盖之所以都是圆的，除了它利用了数学的“魔法”，还因为它符合大众的审美观， 使用起来很方便。因此，即使市场上也有一些其他形状的盖子，却没法代替它的地位. 生活中还有很多物体都是圆形的，比如花朵也是圆的，这样光合作用强，有助于花朵 的生长。你还能找出生活中其他圆形的物体，并说说它为什么是圆形的吗？ >>)>>)65衔接教材一本通 数学 2.分析：设该队获胜x场，则负了(6一x)场，根据 15.解：(1)C表示的数为6，BC=4, 总分=3×获胜场数十1×负了的场数，即可得 ∴.OB=6-4=2,B点表示2。 出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论。 AB=12,.A0=12-2=10, 解析：设该队获胜x场，则负了(6一x)场， ∴.A点表示-10。 根据题意得：3x十(6一x)=12, (2)①由题意得：AP=6t,CQ=3t,如图所示： 解得：x=3。 A M P 0 B Q N C 答：该队获胜3场。 故选B。 3.城中有75户人家。 M为AP中点，AM=号AP=3, ∴.在数轴上点M表示的数是一10十3t, 第五章 第一节 :点N在CQ上，CN=}CQCN= 衔接训练 ∴在数轴上点N表示的数是6一t; 1.A2.B3.A4.C5.D6.D7.A ②由题意得，AP=6t,CQ=3t,分两种情况： 8.711 1)当点P在点O的左侧，点Q在点O的右侧 9.(1)F(2)A(3)A 时，OP=10-6t,OQ=6-3t, 10.(1)面与面相交得到线 (2)点动成线 (3)线 O为PQ的中点，∴.OP=OQ, 动成面(4)面动成体 10-61=6-3,解得：4=号， 11.11 12.解析：(1)所填数据如表所示： 当1=青秒时，0为PQ的中点： 正方体 8 6 12 ⅱ)当P在点O的右侧，点Q在点O的左侧 正八面体 6 8 12 时，OP=6t-10,OQ=3t-6, O为PQ的中点，.OP=OQ, 正十二面体 20 12 30 61-10=31-6,解得：4=台， (2)因为4十4-6=2,8+6-12=2,6+8-12 =2,20+12-30=2,12+20-30=2, 此时AP=8<10, 所以V+F-E=2。 =号不合题意，合去， (3)由V+F-E=2,得196+F-294=2,所以 F=294十2一196=100，所以这个多面体的面 综上所迷：当1=专秒时，0为PQ的中点。 数为100。 第三节 衔接中考 1.C2.C 衔接训练 3.解析：观察柱体A和柱体B的表面，可知数字 1.C2.C3.C4.A5.A6.A “一2”和数字“11”，数字“一3”和数字“9”，数字 7.(1)∠COD(或∠DOC)(2)∠BOC(或∠COB) “一5”和数字“8”分别在每一枚般子相对的 (3)∠AOB(或∠BOA)8.(1)4912'16 面上。 (2)531648”(3)267720”(4)13529.85 所以柱体A的表面（不含底面）点数之和为（一3 10.解析：因为∠AOB=90°，OE平分∠AOB, +8-5+11-2)+(-2+9-3+11)+(8-5+ 所以∠B0E=号∠A0B=45, 11-2)=36。 因为∠EOF=60°， 柱体B的表面（不含底面）点数之和为（一2十8 所以∠BOF=∠EOF-∠BOE=15 +9-3-5)+(11-3-2+9)+(8-3-5+9) 因为OF平分∠BOC,所以∠BOC=2∠BOF =31。 =30°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°。 第二节 「∠a+∠B=90°， 衔接训练 J∠a+∠y=180°， 1.D2.C3.A4.D5.D6.D7.B8.D 11.解析：由题意，得 9.C10.(1)上外(2)AE CD F(3)3 ∠p+∠y-号×360， 直线AC,直线AB,直线AE11.1.5cm 三式相加，得2∠a十2∠B+2∠Y=390°，故∠a 12.两点之间，线段最短13.B14.(1)10种 +∠B+∠y=195°， (2)20种 所以∠a十∠B十∠y的度数为195°。 参考答案 12.解析：(1)题图中到小明家距离相等的地方是 ,AB=4,BD=2, A与C,即学校和公园。 ∴.AD=AB+BD=6, (2)商场B在小明家的北偏西30°方向；学校A .AE=3,∴.BE=AB-AE=1. 在小明家的北偏东45°方向；公园C、停车场P 如图2，点D在线段AB上， 在小明家的南偏东60°方向。 上上 AED B M (3)因为学校距离小明家400m,在地图上OA 图2 =2cm,所以比例尺为1：20000。 AB=4,BD=2, 所以商场距离小明家2.5×20000÷100 .AD=AB-BD=2,∴.AE=1, -500(m),停车场距离小明家4×20000÷100 ∴BE=AB-AE=3. =800(m)。 综上所述，BE的长为1或3。 13.解：(1)灯塔S的位置如图所示： 21.解：(1)设两只蜗牛相向而行，经过x秒相遇， 北 必 依题意有(2十1)x=5-(-4), 30 解得x=3 609 -4+2×3=-4+6=2. 东 2 cm B 答：两只蜗牛相向而行，经过3秒相遇，此时对 应点上的数是2。 (2)设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后 南 南 蜗牛甲能追上蜗牛乙，依题意有 (2)量出B到S的距离为1.73cm由题意，可 (2-1)y=5-(-4), 知A到B的实际距离为20×4=80(km)。 解得y=9。 图中AB=2cm,所以图中的比例尺为 答：两只蜗牛都向正方向而行，经过9秒后蜗 1:4000000,所以B处离灯塔的实际距离为 牛甲能追上蜗牛乙。 1.73×4000000÷100÷1000-69.2(km)。 22.解：(1)200×0.9=180（元）， 衔接测试（一） 答：按活动规定实际付款180元。 1.A2.D3.B4.B5.A6.C7.A8.D (2).500×0.9=450(元)， 9.D10.C11.B12.D 490>450, 13.614.154°15.-116.5n+2 ∴.第2次购物超过500元， 17.(1)-4(2)1 设第2次购物商品的总价是工元，依题意有 18.解：(1)原式=3a-4a十3b+2a-4b 500×0.9+(x-500)×0.8=490, =a-b; 解得x=550, (2)原式=5x2y-5xy2-8x2y+4xy 550-490=60(元)。 =-3x2y-xy2, 答：第2次购物节约了60元钱。 当x=一2，y=3时， (3)200+550=750(元)， 500×0.9+(750-500)×0.8 原式=-36+18=-18. =450+200 19.解：(1)移项合并得：4x=8, =650(元)， 解得：x=2; ,180+490=670>650, (2)去分母得：6x一3x-9=6一2x十4， 小丽将这两次购得的商品合为一次购买更 移项合并得：5.x=19, 省钱。 解得：x=3.8。 20.解：(1)如图所示： 衔接测试（二） 1.D2.A3.B4.B5.C6.D7.A8.C A D B D'M 9.A10.A11.C12.B (2)E为线段AD的中点，AE= 2AD. 13.36°14.915.69°16.(-1)6- a" 分两种情况： 17.(1)-35.84(2)-6 如图1，点D在线段AB的延长线上。 18.(1)解：5(3a2b-ab2)-(ab+3a2b) EB DM =15a2b-5ab2-ab2-3a2b 图1 =12a2b-6ab. >>>>>>83