专题19 一元一次方程（竞赛培优讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题19 一元一次方程 真题重现 （2024七年级上·浙江宁波·竞赛）解方程：，则 ． 【分析】本题考查解一元一次方程，正确将方程变形是解方程的关键．把方程变形为，得到，即可求出x的值． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 考点突破 一、解含参的一元一次方程 【学霸笔记】 系数含字母的一元一次方程可以化为的形式，当字母的取值范围未给出时，则要分类讨论解的情况，当时，方程有唯一解；当时，方程有无数个解；当时，方程无解. 系数含字母的方程可以根据已知条件讨论解的个数，如解分别是正数、负数时需要满足的条件是什么等. 【典例】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程有无穷多个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确理解方程有无穷多个解的条件是关键．方程有无穷多个解，则方程变形成一般形式以后一次项系数与常数项应该都等于，即可求得，的值，进而即可求解． 【详解】解：该方程整理，得， 根据题意，得， 解得， 所以． 故选：C． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）要使关于的方程的解为整数，则整数的取值有 个． 二、解含有绝对值的方程 【学霸笔记】 解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下： （1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次方程，即和； （2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下： ①求出各个临界点； ②根据未知数的取值范围进行分类讨论； ③去绝对值符号，化为一般方程求解. 【典例】（九年级·全国·竞赛）当时，方程的解是 ． 【答案】 【详解】若，则方程为，无解；若，则方程，即，解得．又，所以． 故应填 【巩固】（九年级·全国·竞赛）满足方程的所有x的和为 三、用一元一次方程解决销售问题 【学霸笔记】 销售问题中常见的等量关系： ①利润=售价-进价； ②； ③售价=进价×（1+利润率）. 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）苏同学在“新希望杯”竞赛中荣获全国一等奖，为表示鼓励，妈妈准备给她买手机和学习机各一部，共需元，到商场后苏同学发现，原打算购买的手机现在降价了，而学习机提价了，因此总价钱比原来提高了． (1)购买的手机和学习机原来的单价分别是多少？ (2)商场促销员告诉她，若手机和学习机都买的话，可以打折，那么打折后，手机和学习机一共多少钱？ 【答案】(1)手机原来的单价为元，学习机原来的单价为元 (2)元 【分析】（）根据题意列出方程，解方程即可求解； （）用总价钱即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设手机的单价为元，则学习机的单价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：手机原来的单价为元，学习机原来的单价为元； （2）解：（元）． 答：打折后，手机和学习机共元． 【巩固】 （2024七年级·全国·竞赛）某厂生产三种不同型号的电脑，出厂价分别为甲种2000元，乙种2500元，丙种3000元． (1)某商场同时购进该厂两种不同型号的电脑共50台，用去万元，请你分析下该商场的购买方案； (2)若商场销售一台甲种电脑盈利120元，销售一台乙种电脑盈利200元，销售一台丙种电脑盈利300元．在（1）中的购买方案中，哪种方案盈利最多？ (3)若商场准备用12万元（用完）同时购进三种不同型号的电脑共50台，共有多少种购买方案？盈利最多的方案是哪个？ 四、用一元一次方程解决工程问题 【学霸笔记】 工程问题中的等量关系： ①工作总量=工作时间×工作效率； ②工作总量往往表示为“1”； ③工作总量=各个部分的工作量之和. 【典例】 （2024七年级·全国·竞赛）一个蓄水池中有两个进水管甲、乙和一个排水管丙．单独打开甲进水管，6小时可将空水池注满；单独打开乙进水管，8小时可将空水池注满；单独打开丙排水管，9小时可将满池水排空．如果先将甲、乙两个进水管同时打开2小时，然后再打开丙排水管，那么要将空水池注满总共所需的时间为 小时． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设打开丙管后x小时可注满水池．等量关系为：甲注水量+乙注水量丙排水量． 据此列出方程并解答． 【详解】解：设打开丙管后x小时可注满水池， 由题意得，， ， ∴， ∴， 解得．    答：打开丙管后小时可注满水池． 故答案为：． 【巩固】 （2024七年级·全国·竞赛）某车间全体工人要完成甲、乙两项任务，甲任务的工作量是乙任务工作量的倍．已知每个工人都投入了工作，上午做甲任务的人数是做乙任务人数的5倍，下午做甲、乙两项任务的人数相同．―天下来，甲任务已完成，乙任务还需6名工人再做一天才能完成，若上午和下午的工作时间相同，且每个工人的工作效率相同，求该车间工人的总人数． 五、用一元一次方程解决行程问题 【典例】 （2024七年级·全国·竞赛）希希从甲地出发前往乙地，望望从乙地出发前往甲地，他们沿同一条线路相向而行，希希骑自行车，望望步行．两人距离甲地米处第一次相遇，希希继续骑车到丙地后发现忘带了东西，于是以原速的倍返回甲地，在距离甲地米处追上望望（第二次相遇，追及相遇）．希希到达甲地拿到东西后，仍然以提速后的速度立即沿原线路前往乙地（在甲地拿东西所耗时间忽略不计），在距离甲地米处第三次与望望相遇，最后两人同时到达目的地．求乙、丙两地之间的距离． 【答案】乙、丙两地之间的距离为米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用—行程问题，熟练掌握列方程解决实际问题的一般步骤是解题的关键，根据题意所给的信息，先设未知量，然后找等量关系，列出方程，最后计算即可求解． 【详解】解：根据题意可得：在第二次和第三次相遇之间， 希希走了（米）， 望望走了（米）， 则希希提速后的速度是望望速度的倍； 在第三次相遇与到达目的地之间， 望望走了米，希希走了（米）， 甲、乙两地相距（米）， 在第一次相遇和第二次相遇之间，望望走了（米），设第一次相遇点距离丙地米，则，， 解之得：（米）， ∴甲、丙两地相距（米）， ∴乙、丙两地相距（米）， 答：乙、丙两地之间的距离为（米）． 【巩固】 （2024七年级·全国·竞赛）有12名志愿者要从武汉市市区赶往外的天河机场赴四川灾区援建，飞机还有3个小时便要起飞，但他们只有一辆准载4名乘客（不含驾驶员）的小汽车可以使用．已知小汽车的行驶速度是每小时，且是匀速的． (1)若这些志愿者步行速度是每小时，且也是匀速的．为了赶时间，大家决定用小汽车送上一批志愿者的同时，其余志愿者由市区向飞机场步行，待小汽车将志愿者送达飞机场后，再返回接送下一批志愿者，往返三次，能使这12名志愿者按时乘上飞机吗？若能，则最后4名志愿者到达机场时离飞机起飞还有多长时间？若不能，请说明理由． (2)你还有比这更节省时间的方案吗？若有，请写出你认为的最佳方案（只写方案，不必计算）． 模拟演练 1．有一个运算程序如图所示，如果输出值，那么输入值（    ）． A． B．8 C．或8 D．不存在 2．某商场举行促销活动，有两种优惠办法：第一种，顾客所购买商品一律按9折算；第二种，采取“满一百元送十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客消费每满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送10元购物券，满200元就送20元购物券，依此类推……现有两位顾客甲和乙，甲顾客选择第一种优惠办法，共付费10000元；乙顾客选择第二种优惠办法，第一次就付了10000元购物，并用所得购物券继续购物．按所享受的折扣算，谁享受的折扣更优惠？（精确到十分位）（    ）． A．甲、乙折扣一样 B．甲 C．乙 D．无法比较 3．解方程：，则 ． 4．若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 5．如图，已知线段上有七个点、、、、、、，其中，点、、、分别是、、、的中点，若，则 ． 6．在如图所示的方格中填入21个不同的正整数，每个小空格填一个数，使得每行（每列）三个相邻的数中，中间的数为左、右（上、下）两个数的平均数，则阴影部分的空格填入的数为 ．    7．解方程： (1)； (2)． 8．已知关于的方程的解都是正整数，求整数的值． 9．某同学为了测量学校围墙边一棵树的高度，他在旁边地面上竖直立着一根长的竹竿，竹竿在阳光下的影子长为1米，同一时刻，这棵树的影子一部分在地上，一部分在围墙上，他测得这棵树在地面上的影子长为6米，在围墙上的影子长为，那么这棵树的高度为多少米？ 10．贝贝6年后上大学，预计那时上完大学四年的费用需要20万元，因此贝贝的父亲现在就开始了教育储蓄，下面有三种储蓄方式，各种储蓄方式的利率如下表： 存期 一年 二年 三年 五年 利率 （1）存入一个五年期和一个一年期； （2）存两个三年期，先存入一个三年期，三年后将本息和自动转存下一个三年期； （3）存六个一年期，先存入一个一年期，一年后将本息和自动转存下一个一年期，直至六年期满； 比较以上三种储蓄方式，你认为采用哪种储蓄方式能让现在存入的本金最少？所需本金最少是多少？（用四舍五入法精确到百元） 11．根据活动的需要，甲、乙两个班的班干部分别到超市去买苹果，苹果的价格如下表所示： 苹果的数量 不超过30千克 30千克以上但不超过50千克 50千克以上 苹果的价格 12元/千克 10元/千克 8元/千克 甲班分两次共购买苹果70千克，共付756元钱；乙班一次性购买苹果70千克． (1)乙班比甲班少付多少元钱？ (2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ 12．已知是内部的一条射线，、分别为、上的点，线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在、内部旋转时，总有，求的值． (3)知识迁移，如图③，是线段上的一点，点从点出发在线段上向点运动，点从点出发在线段上向点运动，点、的速度比是，在运动过程中始终有，求___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题19 一元一次方程 真题重现 （2024七年级上·浙江宁波·竞赛）解方程：，则 ． 【分析】本题考查解一元一次方程，正确将方程变形是解方程的关键．把方程变形为，得到，即可求出x的值． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 考点突破 一、解含参的一元一次方程 【学霸笔记】 系数含字母的一元一次方程可以化为的形式，当字母的取值范围未给出时，则要分类讨论解的情况，当时，方程有唯一解；当时，方程有无数个解；当时，方程无解. 系数含字母的方程可以根据已知条件讨论解的个数，如解分别是正数、负数时需要满足的条件是什么等. 【典例】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程有无穷多个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确理解方程有无穷多个解的条件是关键．方程有无穷多个解，则方程变形成一般形式以后一次项系数与常数项应该都等于，即可求得，的值，进而即可求解． 【详解】解：该方程整理，得， 根据题意，得， 解得， 所以． 故选：C． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）要使关于的方程的解为整数，则整数的取值有 个． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解、分式为整数的条件等知识，先将方程的解表示出来，通过条件进行计算即可，表示出方程的解是解题的关键． 【详解】原方程可化为，要想得到整数解，则的绝对值必须是2013的约数，共有 ，，，，，，， 故答案为：． 二、解含有绝对值的方程 【学霸笔记】 解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下： （1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次方程，即和； （2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下： ①求出各个临界点； ②根据未知数的取值范围进行分类讨论； ③去绝对值符号，化为一般方程求解. 【典例】（九年级·全国·竞赛）当时，方程的解是 ． 【答案】 【详解】若，则方程为，无解；若，则方程，即，解得．又，所以． 故应填 【巩固】（九年级·全国·竞赛）满足方程的所有x的和为 【答案】4012 【详解】解  由得 ， 即， 所以， 即或（舍去）． 由得， 所以原方程有两个解： ， 所以．故填4012． 三、用一元一次方程解决销售问题 【学霸笔记】 销售问题中常见的等量关系： ①利润=售价-进价； ②； ③售价=进价×（1+利润率）. 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）苏同学在“新希望杯”竞赛中荣获全国一等奖，为表示鼓励，妈妈准备给她买手机和学习机各一部，共需元，到商场后苏同学发现，原打算购买的手机现在降价了，而学习机提价了，因此总价钱比原来提高了． (1)购买的手机和学习机原来的单价分别是多少？ (2)商场促销员告诉她，若手机和学习机都买的话，可以打折，那么打折后，手机和学习机一共多少钱？ 【答案】(1)手机原来的单价为元，学习机原来的单价为元 (2)元 【分析】（）根据题意列出方程，解方程即可求解； （）用总价钱即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设手机的单价为元，则学习机的单价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：手机原来的单价为元，学习机原来的单价为元； （2）解：（元）． 答：打折后，手机和学习机共元． 【巩固】 （2024七年级·全国·竞赛）某厂生产三种不同型号的电脑，出厂价分别为甲种2000元，乙种2500元，丙种3000元． (1)某商场同时购进该厂两种不同型号的电脑共50台，用去万元，请你分析下该商场的购买方案； (2)若商场销售一台甲种电脑盈利120元，销售一台乙种电脑盈利200元，销售一台丙种电脑盈利300元．在（1）中的购买方案中，哪种方案盈利最多？ (3)若商场准备用12万元（用完）同时购进三种不同型号的电脑共50台，共有多少种购买方案？盈利最多的方案是哪个？ 【答案】(1)方案一：购买甲种20台，乙种30台；方案二：甲种35台，丙种15台 (2)方案二盈利最多 (3)19种；购买甲种29台，乙种2台，丙种19台获利最多 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式求值、二元一次方程组的应用等知识点，理清数量关系以及分类讨论是解题的关键． （1）分购买甲乙，乙丙，甲丙三种情况，分别根据等量关系“两种电视的台数和=50台，买两种电视花去的费用=11.5万元”列一元一次方程求解判断即可； （2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案即可 ； （3）设购买甲种台，乙种台，丙种台，然后根据等量关系“两种电视的台数和=50台，买两种电视花去的费用=12万元”列三元一次方程组，然后用一个未知数表示出另外两个未知数，然后求出取值范围即可确定方案的种数，最后确定盈利最多的方案即可． 【详解】（1）解：方案一：购买甲、乙两种，设甲种台，则乙种为台，依题意有 ，解得，即购买甲种20台，乙种30台； 方案二：购买甲、丙两种，设甲种台，则丙种为台，依题意有，解得，即购买甲种35台，丙种15台． 方案三：购买乙、丙两种，设乙种台，则丙种为台，依题意有，．不符合题意，舍去． （2）解：方案一盈利：（元）， 方案二盈利：（元）， 所以方案二盈利最多． （3）解：设购买甲种台，乙种台，丙种台， 则，即， 得，即，则，共19种方案． 盈利为， 所以当时，盈利最多，此时． 答：共有19种购买方案，盈利最多的方案是购买甲种29台，乙种2台，丙种19台 四、用一元一次方程解决工程问题 【学霸笔记】 工程问题中的等量关系： ①工作总量=工作时间×工作效率； ②工作总量往往表示为“1”； ③工作总量=各个部分的工作量之和. 【典例】 （2024七年级·全国·竞赛）一个蓄水池中有两个进水管甲、乙和一个排水管丙．单独打开甲进水管，6小时可将空水池注满；单独打开乙进水管，8小时可将空水池注满；单独打开丙排水管，9小时可将满池水排空．如果先将甲、乙两个进水管同时打开2小时，然后再打开丙排水管，那么要将空水池注满总共所需的时间为 小时． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设打开丙管后x小时可注满水池．等量关系为：甲注水量+乙注水量丙排水量． 据此列出方程并解答． 【详解】解：设打开丙管后x小时可注满水池， 由题意得，， ， ∴， ∴， 解得．    答：打开丙管后小时可注满水池． 故答案为：． 【巩固】 （2024七年级·全国·竞赛）某车间全体工人要完成甲、乙两项任务，甲任务的工作量是乙任务工作量的倍．已知每个工人都投入了工作，上午做甲任务的人数是做乙任务人数的5倍，下午做甲、乙两项任务的人数相同．―天下来，甲任务已完成，乙任务还需6名工人再做一天才能完成，若上午和下午的工作时间相同，且每个工人的工作效率相同，求该车间工人的总人数． 【答案】54名 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有人，每个工人一天的工作效率为2，表示出甲、乙的工作量，根据“甲任务的工作量是乙任务工作量的倍”列出方程求解，即可解题． 【详解】解：设共有人，每个工人一天的工作效率为2， 则， 解得， 有， 答：该车间共有54名工人． 五、用一元一次方程解决行程问题 【典例】 （2024七年级·全国·竞赛）希希从甲地出发前往乙地，望望从乙地出发前往甲地，他们沿同一条线路相向而行，希希骑自行车，望望步行．两人距离甲地米处第一次相遇，希希继续骑车到丙地后发现忘带了东西，于是以原速的倍返回甲地，在距离甲地米处追上望望（第二次相遇，追及相遇）．希希到达甲地拿到东西后，仍然以提速后的速度立即沿原线路前往乙地（在甲地拿东西所耗时间忽略不计），在距离甲地米处第三次与望望相遇，最后两人同时到达目的地．求乙、丙两地之间的距离． 【答案】乙、丙两地之间的距离为米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用—行程问题，熟练掌握列方程解决实际问题的一般步骤是解题的关键，根据题意所给的信息，先设未知量，然后找等量关系，列出方程，最后计算即可求解． 【详解】解：根据题意可得：在第二次和第三次相遇之间， 希希走了（米）， 望望走了（米）， 则希希提速后的速度是望望速度的倍； 在第三次相遇与到达目的地之间， 望望走了米，希希走了（米）， 甲、乙两地相距（米）， 在第一次相遇和第二次相遇之间，望望走了（米），设第一次相遇点距离丙地米，则，， 解之得：（米）， ∴甲、丙两地相距（米）， ∴乙、丙两地相距（米）， 答：乙、丙两地之间的距离为（米）． 【巩固】 （2024七年级·全国·竞赛）有12名志愿者要从武汉市市区赶往外的天河机场赴四川灾区援建，飞机还有3个小时便要起飞，但他们只有一辆准载4名乘客（不含驾驶员）的小汽车可以使用．已知小汽车的行驶速度是每小时，且是匀速的． (1)若这些志愿者步行速度是每小时，且也是匀速的．为了赶时间，大家决定用小汽车送上一批志愿者的同时，其余志愿者由市区向飞机场步行，待小汽车将志愿者送达飞机场后，再返回接送下一批志愿者，往返三次，能使这12名志愿者按时乘上飞机吗？若能，则最后4名志愿者到达机场时离飞机起飞还有多长时间？若不能，请说明理由． (2)你还有比这更节省时间的方案吗？若有，请写出你认为的最佳方案（只写方案，不必计算）． 【答案】(1)小时 (2)有，先把4名志愿者送到途中某处，让他们步行到机场，马上返回又接4名志愿者追上先坐车的4名志愿者，让他们一起步行到机场，马上返回接最后4名志愿者，恰使这12名志愿者同时到达机场 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设小汽车送第一批志愿者到飞机场，返回时遇到步行的8人共用小时，小汽车送第二批志愿者到飞机场，返回时遇到步行的4人共用小时，根据题意，列出方程，求出的值，进一步求出小汽车再次到达机场所用的时间，用总时间减去所用时间即可； （2）先把4名志愿者送到途中某处，让他们步行到机场，马上返回又接4名志愿者追上先坐车的4名志愿者，让他们一起步行到机场，马上返回接最后4名志愿者，恰使这12名志愿者同时到达机场． 【详解】（1）设小汽车送第一批志愿者到飞机场，返回时遇到步行的8人共用小时， 由题意，得：，解得：； 此时步行的8人距离飞机场（千米）． 设小汽车送第二批志愿者到飞机场，返回时遇到步行的4人共用小时， 则解得：． 此时，最后4名志愿者距离飞机场（千米）， 小汽车再到飞机场需（小时）． 这样共需（小时），（小时）， ∴这12名志愿者都能按时乘上飞机，最后4名志愿者到机场时离飞机起飞还有小时． （2）有，先把4名志愿者送到途中某处，让他们步行到机场，马上返回又接4名志愿者追上先坐车的4名志愿者，让他们一起步行到机场，马上返回接最后4名志愿者，恰使这12名志愿者同时到达机场． 模拟演练 1．有一个运算程序如图所示，如果输出值，那么输入值（    ）． A． B．8 C．或8 D．不存在 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值的应用，解此题的关键是理解题意，难度不大，主要培养学生的分类讨论能力和计算能力．分类讨论：当和当时，将分别代入所对应的代数式，求出x的值，再判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：，不合题意； 当时，， 解得：，不合题意， ∴输入值x不存在． 故选：D． 2．某商场举行促销活动，有两种优惠办法：第一种，顾客所购买商品一律按9折算；第二种，采取“满一百元送十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客消费每满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送10元购物券，满200元就送20元购物券，依此类推……现有两位顾客甲和乙，甲顾客选择第一种优惠办法，共付费10000元；乙顾客选择第二种优惠办法，第一次就付了10000元购物，并用所得购物券继续购物．按所享受的折扣算，谁享受的折扣更优惠？（精确到十分位）（    ）． A．甲、乙折扣一样 B．甲 C．乙 D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程与实际问题，计算第二种优惠享受的折扣是解题的关键．按照题中给出的优惠办法，计算出第二种折扣，与第一种进行比较即可． 【详解】解：甲顾客选择第一种优惠办法，享受9折优惠； 乙顾客选择第二种优惠办法，第一次付了10000元，赠送的购物券金额为， 1000元赠送的购物券金额为，100元赠送的购物券金额为，因而用10000元购买的商品的价值是（元）， ， ， 甲、乙折扣一样． 故选：． 3．解方程：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据方程左边式子特点，先提取原方程变形为：，再把括号里变形为：，再提取，去小括号，整理得，根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解： ， 提取，得， 即， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 4．若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 5．如图，已知线段上有七个点、、、、、、，其中，点、、、分别是、、、的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】设，则，，，由M，N分别是，的中点可知有，，再由列出方程，求出x的值，进一步计算即可得出结论．本题考查的是两点间的距离，解答此题的关键是利用各线段比值及中点关系建立起关于x的方程，求出未知数的值． 【详解】解：设，则，，， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， 由题意得，， 即， ∴， 线段的长度． 故答案为：． 6．在如图所示的方格中填入21个不同的正整数，每个小空格填一个数，使得每行（每列）三个相邻的数中，中间的数为左、右（上、下）两个数的平均数，则阴影部分的空格填入的数为 ．    【答案】21 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，求平均数的计算方法，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键，根据题意设未知数列式即可求解． 【详解】解：设第一行从左到右依次为、、、，则先填入一部分可得39的左、右两个空格中分别为、， ∴， 解得， ∴其他空格中所有的数，如图所示：    故答案为：21． 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值方程等知识点，熟练掌握一元一次方程的解法并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）将方程化为，各部分分别通分并相加，将方程变形为，于是得解； （2）分类讨论：当时；当时；当时；分别求解即可． 掌握解法，能将方程转化为一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 综上所述：或或． 8．已知关于的方程的解都是正整数，求整数的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次方程，整除，用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确，当原方程为一元二次方程时，十字相乘得出，进而解方程，即可求解． 【详解】解：当时，原方程为，所以，符合题意； 当时，原方程为，所以，不符合题意； 当时，原方程化为， 解得，． 为整数， ，均为正整数根， ，，，， 解得：，，， ，，，，， 解得：，，，， 综上所述，，，时，原方程的根都为正整数． 9．某同学为了测量学校围墙边一棵树的高度，他在旁边地面上竖直立着一根长的竹竿，竹竿在阳光下的影子长为1米，同一时刻，这棵树的影子一部分在地上，一部分在围墙上，他测得这棵树在地面上的影子长为6米，在围墙上的影子长为，那么这棵树的高度为多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、平行投影、以及比例的性质，设这棵树的高度为x米，再减去围墙上的影子长度，剩余树的长度与地面影子的比即与竹竿的长度与影子的比相同，即可解题． 【详解】解：，， 设这棵树的高度为x米，则，解得（米）， 答：这棵树的高度为米． 10．贝贝6年后上大学，预计那时上完大学四年的费用需要20万元，因此贝贝的父亲现在就开始了教育储蓄，下面有三种储蓄方式，各种储蓄方式的利率如下表： 存期 一年 二年 三年 五年 利率 （1）存入一个五年期和一个一年期； （2）存两个三年期，先存入一个三年期，三年后将本息和自动转存下一个三年期； （3）存六个一年期，先存入一个一年期，一年后将本息和自动转存下一个一年期，直至六年期满； 比较以上三种储蓄方式，你认为采用哪种储蓄方式能让现在存入的本金最少？所需本金最少是多少？（用四舍五入法精确到百元） 【答案】存入一个五年期和一个一年期的本金最少，所需本金最少是万元. 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、利率问题的等知识点，根据利率分别列出一元一次方程是解题的关键； 分别运用一元一次方程求出（1）（2）（3）的本金，然后比较即可解答． 【详解】解：（1）设存入一个五年期和一个一年期所需的本金是x万元，依题意得： ，解得（万元）． （2）设存入两个三年期所需的本金为y万元， ，解得（万元）． （3）设存入六个一年期所需的本金为z万元， ，解得（万元）． 答：存入一个五年期和一个一年期的本金最少，所需本金最少是万元． 11．根据活动的需要，甲、乙两个班的班干部分别到超市去买苹果，苹果的价格如下表所示： 苹果的数量 不超过30千克 30千克以上但不超过50千克 50千克以上 苹果的价格 12元/千克 10元/千克 8元/千克 甲班分两次共购买苹果70千克，共付756元钱；乙班一次性购买苹果70千克． (1)乙班比甲班少付多少元钱？ (2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ 【答案】(1)196元 (2)甲班第一次购买苹果千克，第二次购买苹果千克，或第一次购买苹果千克，第二次购买苹果千克． 【分析】本题考查有理数混合运算及一元一次方程的应用． （1）先根据计算乙班的钱数，用甲班钱数减去乙班钱数即可得答案； （2）设一次购买千克，则另一次购买苹果的数量为，分和两种情况，根据共付756元钱列方程求出的值，取符合题意的解即可得答案． 【详解】（1）解：乙班买苹果付款为（元）， 比甲班少付（元）． （2）解：∵，，， ∴甲班两次购买的苹果的价格不同，且有一次购买苹果的数量不超过千克，设为千克，则另一次购买苹果的数量为千克， 若，则， 解得：，，满足条件； 若，则， 解得：，不满足的条件， 综上，甲班第一次购买苹果千克，第二次购买苹果千克，或第一次购买苹果千克，第二次购买苹果千． 12．已知是内部的一条射线，、分别为、上的点，线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在、内部旋转时，总有，求的值． (3)知识迁移，如图③，是线段上的一点，点从点出发在线段上向点运动，点从点出发在线段上向点运动，点、的速度比是，在运动过程中始终有，求___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的计算，两点间的距离，解方程等知识点， （1）先求出、，再表示出、，然后相加并根据，计算即可得解； （2）设旋转时间为t，表示出，然后列方程求解得到，再整理即可得解； （3）设运动时间为t，表示出，再列出方程求解得，进而即可得解； 熟练掌握其性质并能正确读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：设旋转时间为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设运动时间为，N点速度为v，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$