专题18 代数式（竞赛培优测试）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题18 代数式综合测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知非零实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件得，，， 三式相加，得，即， 所以，，， 经检验，，是分式方程的解， 故 2．乘积等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：注意到所以 原式 ． 故选：D． 3．的值为（    ）． A．无理数 B．真分数 C．奇数 D．偶数 【答案】D 【详解】原式 ． 故选：D． 4．满足等式的正整数对的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】原式 ， 而，故，即． 又2003是质数，所以或故选B 5．已知，则的值等于（    ）． A． B．3 C． D．1 【答案】D 【详解】，同理可得，所以． 故选：D． 6．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， 所以 ． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．计算 ． 【答案】145． 【详解】 原式 ． 或者直接计算得结果． 8．计算 ，其中． 【答案】4 【详解】解：令则 原式 ． 故答案为：4． 9．计算 ． 【答案】 【详解】解：因为 ．            （*） 记， 则将中求和顺序反过来写有 ， 将两式对应项相加，并利用等式（*）得 ， 所以． 故答案为： 10． ． 【答案】 【详解】解:原式 ． 故答案为：． 11．若实数满足，则分式值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得方程组解出所以． 故答案为：． 12．已知，那么 ． 【答案】 【详解】解：因为，所以 ． 故答案为：． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题10分）比较两数与的大小 【答案】 【详解】解  设，则，于是 ， 所以． 14．（本题12分）已知有理数均不为0，且，设，试求代数式的值． 【答案】． 【详解】解：因均不为0，且，故中或两正一负，或两负一正，且，所以． 于是． 15．（本题12分）计算： ． 【答案】0． 【详解】解：令，则 原式 ． 16．（本题12分）若，则称是等差数列，叫的公差．证明： （1）；① （2）．② 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【详解】证明：（1）． （2）因为，故． 令， 又将和式中顺序反过来写有． 两式对应项相加，并利用得， 所以． 注：在②中令或，我们分别得到 ③ ④ 公式②、③、④在许多求和问题中要用到，应当记住这些公式． 17．（本题14分）若一个四位数的千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间隔四位数”，如，，，…等都是“间隔四位数”，若将一个“间隔四位数”的千位数字与个位数字交换位置，百位数字与十位数字交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“原间隔四位数的对应数”，如的对应数为，的对应数为． (1)任意写一个“间隔四位数”及它的“对应数”；猜想任意一个“间隔四位数”与它的“对应数”的差是否都能被整除？并说明理由； (2)一个“间隔四位数”的千位数字为，百位数字为（，且），若这个间隔四位数与它的对应数的差能被 整除，求这个“间隔四位数”． 【答案】(1)能，理由见详解； (2)或或或或或． 【分析】（1）分别用字母m、n代表数字表示出“间隔四位数”及它的“对应数”，作差除以 即可得到答案； （2）根据（1）的两数差的关系代入整除即可得到答案． 【详解】（1）解：设m、n分别代表个位与十位数字， 则“间隔四位数”为 ， “对应数”为， 两数差为： ∴， 即“间隔四位数”与它的“对应数”的差是能被整除； （2）解：由（1）得， “间隔四位数”与它的“对应数”的差是：， ， 当间隔四位数与它的对应数的差能被 整除， 即能被4整除， ∴ 或 ①当时， ∵，， ∴ ， 当时， ∵，， ∴ ，，，，， 综上所述“间隔四位数”可以是：或或或或或． 【点睛】本题考查因式分解和列代数式及整式的化简，理解题意的“间隔四位数”和“对应数”是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题18 代数式综合测试卷 一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知非零实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 2．乘积等于（    ）． A． B． C． D． 3．的值为（    ）． A．无理数 B．真分数 C．奇数 D．偶数 4．满足等式的正整数对的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知，则的值等于（    ）． A． B．3 C． D．1 6．设，则（    ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．计算 ． 8．计算 ，其中． 9．计算 ． 10． ． 11．若实数满足，则分式值为 ． 12．已知，那么 ． 三．解答题（共5小题，满分60分） 13．（本题10分）比较两数与的大小 14．（本题12分）已知有理数均不为0，且，设，试求代数式的值． 15．（本题12分）计算： ． 16．（本题12分）若，则称是等差数列，叫的公差．证明： （1）；① （2）．② 17．（本题14分）若一个四位数的千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间隔四位数”，如，，，…等都是“间隔四位数”，若将一个“间隔四位数”的千位数字与个位数字交换位置，百位数字与十位数字交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“原间隔四位数的对应数”，如的对应数为，的对应数为． (1)任意写一个“间隔四位数”及它的“对应数”；猜想任意一个“间隔四位数”与它的“对应数”的差是否都能被整除？并说明理由； (2)一个“间隔四位数”的千位数字为，百位数字为（，且），若这个间隔四位数与它的对应数的差能被 整除，求这个“间隔四位数”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$