第06讲 祖暅原理与几何体的体积（2个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第06讲 祖暅原理与几何体的体积 课程标准 学习目标 1.熟记柱、锥、台和球的体积计算公式； 2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积.． 1.理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解祖暅原理，将空间问题转化为平面问题； 2.知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简单的实际问题. 知识点01祖暅原理 1、祖暅原理的内容：幂势既同，则积不容异。 2、祖暅原理的含义：加在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等。 3、应用：等地面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为(　　) A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 知识点02 柱、锥、台、球的体积公式 名称 体积 柱体 锥体 台体 球 其中,分别表示上、下底面的面积，表示高，表示球的半径。 【即学即练2】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（    ） A． B． C． D． 题型01 柱体体积的有关计算 【典例1】（24-25高三上·浙江金华·期末）以边长为1的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B．4 C． D． 【变式2】（24-25高三上·广东·期末）某地采用如图所示的直四棱柱形交通减速带，其底面为梯形，接触地面的表面宽40（单位；厘米），平行于地面的表面宽10，且距离地面高度为10．某路面要铺设总长为300的交通减速带，则该减速带的体积（不考虑表面凹槽）为（   ） A．立方厘米 B．立方厘米 C．立方厘米 D．立方厘米 【变式3】（23-24高一下·天津河西·期中）已知正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式4】（23-24高一下·陕西西安·期中）一个长方形容器中盛有水，侧面为正方形，且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于 ． 题型02 锥体体积的有关计算 【典例2】（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，若，则该四棱锥的体积为（    ）    A．48 B．18 C．16 D．8 【变式2】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式3】（24-25高二上·贵州·期中）已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2024·安徽合肥·三模）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 题型03 台体体积的有关计算 【典例3】（24-25高三下·山东青岛·开学考试）《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（   ） A． B． C．100 D．140 【变式1】（2024·广东·模拟预测）现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·浙江·期中）已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·江苏·阶段练习）若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 题型04 球体体积的有关计算 【典例4】（24-25高一下·全国·期末）一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知球的半径为，且该球的表面积与体积的数值之比为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【变式3】（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知球的表面积为，则该球的体积是（    ）cm³ A．64π B．144π C．288π D．216π 【变式4】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式5】（24-25高三下·山西·阶段练习）已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 题型05 组合体的体积问题 【典例5】（24-25高三上·河南·开学考试）如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·湖南张家界·期末）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（    ） （参考数据：，，，）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·安徽阜阳·期末）如图所示，三棱台的体积为，，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分几何体的体积为 . 【变式3】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）如图，在直角梯形中，，在梯形内，挖去一个以为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 【变式4】（23-24高一下·广东云浮·期中）如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成．已知球的半径为，长方体的长､宽和高分别为，正四棱台的上､下底面边长和高分别为．    (1)求下部分正四棱台的侧面积； (2)求奖杯的体积．（结果取整数，取3） 题型06 几何体的内切球问题 【典例6】（2025·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁·一模）圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 . 【变式4】（24-25高二下·四川南充·阶段练习）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 题型07 几何体的外接球问题 【典例7】（23-24高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三下·浙江·阶段练习）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽黄山·一模）已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型08 祖暅原理的应用 【典例8】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积是 ． 【变式1】（23-24高一下·云南曲靖·期中）祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    【变式2】（23-24高一下·贵州黔西·期末）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ． 【变式3】（23-24高一下·浙江·期中）祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高.意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图是一个半径为的球体，平面与球相交，截面为圆，延长，交球于点，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）. (1)若圆锥DB的侧面展开图扇形的圆心角为，求圆锥DB的表面积和体积； (2)如图平面上方与球体之间的部分叫球冠，若，请你利用祖暅原理求球冠的体积. 一、单选题 1．（2025高二下·福建·学业考试）圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东威海·期末）有一个正四棱台形状的油槽，最多装油，已知它的两底面边长分别为和，则它的深度为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北衡水·三模）艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江西吉安·期末）某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下底面半径和母线长分别为，，（单位：m），且该石墩所用材料混凝土的密度约为， 则该圆台石墩的质量约为（取3）（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二上·北京·学业考试）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 6．（24-25高一·山东·期末）在中，，，以BC所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南开封·二模）已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏镇江·三模）一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三下·重庆·阶段练习）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为4的正方体中，，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面.关于该几何体，下列说法正确的是（    ） A．当时，该几何体是一个半正多面体 B．若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为 C．若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为 D．该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体 10．（23-24高一下·甘肃·期末）我国古代数学名著《九章算术商功》中记载了一些特殊几何体，如长方、堑堵、阳马、鳖臑等．并对这些几何体作了详细记载．如图长方体，按平面斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑，已知长方体中中，，，按以上操作得到鳖臑，则关于该鳖臑下列说法正确的是（    ） A．三棱锥由三个直角三角形和一个锐角三角形组成的四面体 B．三棱锥由四个直角三角形组成的四面体 C．该鳖臑的最长棱长 D．该鳖臑的体积为4 11．（2025·云南昆明·模拟预测）“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值．南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积．其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为的正方体的八分之一，图3是以底面边长为的正方体的一个底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（    ） A．若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形 B．图2中阴影部分的面积为 C．“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为 D．由棱长为的正方体截得的“牟合方盖”体积为 三、填空题 12．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ． 13．（23-24高一下·江西九江·期末）如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为 . 14．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 16．（2024高三·全国·专题练习）已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： (1)正三棱锥的表面积； (2)正三棱锥内切球的表面积与体积． 17．（24-25高一下·浙江·阶段练习）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 18．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 19．（24-25高一·全国·假期作业）我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 祖暅原理与几何体的体积 课程标准 学习目标 1.熟记柱、锥、台和球的体积计算公式； 2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积.． 1.理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解祖暅原理，将空间问题转化为平面问题； 2.知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简单的实际问题. 知识点01祖暅原理 1、祖暅原理的内容：幂势既同，则积不容异。 2、祖暅原理的含义：加在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等。 3、应用：等地面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为(　　) A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【详解】设截面与底面的距离为，则①中截面内圆半径为，则截面圆环的面积为；②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；③中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为，所以①④中截面的面积相等，故选D． 知识点02 柱、锥、台、球的体积公式 名称 体积 柱体 锥体 台体 球 其中,分别表示上、下底面的面积，表示高，表示球的半径。 【即学即练2】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用棱台的体积公式计算得解. 【详解】正三棱台的上底面积，下底面积， 所以此三棱台的体积. 故选：B 题型01 柱体体积的有关计算 【典例1】（24-25高三上·浙江金华·期末）以边长为1的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱体体积公式计算即可. 【详解】以边长为1的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体是圆柱体. 并且是底面半径和高都是正方形边长的圆柱体，即，， 根据圆柱体体积公式：，可得圆柱体体积为. 故选：B. 【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据三棱棱柱体积的计算公式直接计算，判断选项. 【详解】, 故选:A 【变式2】（24-25高三上·广东·期末）某地采用如图所示的直四棱柱形交通减速带，其底面为梯形，接触地面的表面宽40（单位；厘米），平行于地面的表面宽10，且距离地面高度为10．某路面要铺设总长为300的交通减速带，则该减速带的体积（不考虑表面凹槽）为（   ） A．立方厘米 B．立方厘米 C．立方厘米 D．立方厘米 【答案】B 【分析】先由题中条件，计算梯形底面的面积，再由棱柱体积公式，即可求出结果. 【详解】计算梯形底面的面积：，由于铺设长度为300，故立方厘米． 故选：B 【变式3】（23-24高一下·天津河西·期中）已知正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据棱柱的体积公式计算可得. 【详解】因为正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为， 则， 所以，解得. 故选：C 【变式4】（23-24高一下·陕西西安·期中）一个长方形容器中盛有水，侧面为正方形，且．如图，当面水平放置时，水面的高度恰好为，那么将面水平放置时，水面的高度等于 ． 【答案】4 【分析】利用等体积法，转化求解水的高度即可． 【详解】设正方形的边长为，则当面水平放置时，水的体积为， 当面水平放置时，设水面高度为，则，解得， 故答案为：4． 题型02 锥体体积的有关计算 【典例2】（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先依次求出圆锥的半径、高，然后结合圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为， 则，解得，圆锥的高为， 则此圆锥体积为. 故选：B. 【变式1】（24-25高一下·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，若，则该四棱锥的体积为（    ）    A．48 B．18 C．16 D．8 【答案】C 【分析】由棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】由题意可得：该四棱锥的体积为， 故选：C. 【变式2】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用直观图和原图面积关系求出底面积，结合正三棱锥体积公式建立方程，求解高即可. 【详解】设底面三角形面积为，三棱锥的高为， 由直观图的性质得，解得， 因为正三棱锥的体积为，所以，解得，故A正确. 故选：A 【变式3】（24-25高二上·贵州·期中）已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆锥的高，再求出母线，然后计算侧面积. 【详解】设圆锥的高为，则母线长. 根据已知条件有，得，所以. 故圆锥的侧面积. 故选：A. 【变式4】（2024·安徽合肥·三模）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径，结合侧面展开图可知底面半径与高，进而可得体积. 【详解】设圆锥的底面圆半径为， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得， 又侧面展开图是半径为的半圆，即圆锥的母线长为， 则圆锥的高， 所以该圆锥的体积为， 故选：D． 题型03 台体体积的有关计算 【典例3】（24-25高三下·山东青岛·开学考试）《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（   ） A． B． C．100 D．140 【答案】B 【分析】由棱台体积公式可得答案. 【详解】由题可得上底面积为，下底面积为，高为， 则棱台体积为：. 故选：B 【变式1】（2024·广东·模拟预测）现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，水库的最大蓄水量等于正四棱台的体积，进而用台体的面积公式即可求解. 【详解】根据题意画出图形，如图所示，其中且. 由，可得， 又且，可得是长方形，则， 所以，， 则，正四棱台的高，下底面的面积，上底面的面积. 于是正四棱台的体积. 故该水库的最大蓄水量为. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·浙江·期中）已知圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用圆台的性质，求得圆台的高，结合圆台的体积公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆台的上，下底面的半径长分别为2，3，母线长2， 设圆台的高为，可得， 所以圆台的体积为. 故选：B. 【变式3】（23-24高一下·江苏·阶段练习）若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正六棱台的性质求得上下底面，再利用棱台的体积公式计算即可. 【详解】设正六棱台上、下底面的面积分别为、， 因为，，高为， 所以，， 所以该棱台的体积 . 故选：C. 【变式4】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 【答案】D 【分析】结合圆锥体积公式，利用液体的体积相等可求答案. 【详解】因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为， 当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的， 所以液面的半径为1，此时液体的体积为， 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥， 设圆锥的底面半径为，高为，则有，即， .此时液体的体积为， 由，得，所以. 故选：D. 题型04 球体体积的有关计算 【典例4】（24-25高一下·全国·期末）一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理结合给定条件得到球的半径，再求解体积即可. 【详解】 如图，设截面圆的圆心为，由题意可知，圆面的直径为6，则， 又，所以球的半径， 所以球的体积， 故选：C. 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用球的体积公式即可求解. 【详解】设大铁球的半径为，则有 ，解得． 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知球的半径为，且该球的表面积与体积的数值之比为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据球的表面积公式和体积公式得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或0（舍去）. 故选：A. 【变式3】（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知球的表面积为，则该球的体积是（    ）cm³ A．64π B．144π C．288π D．216π 【答案】C 【分析】先求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则， 所以球的体积为. 故选：C 【变式4】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 球的体积. 故选：A 【变式5】（24-25高三下·山西·阶段练习）已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用弧长公式用圆锥底面圆半径表示其母线，再利用球与圆锥体积公式列式计算. 【详解】设球的半径和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为， 由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，得，则， 所以球的体积与圆锥的体积之比为. 故选：C 题型05 组合体的体积问题 【典例5】（24-25高三上·河南·开学考试）如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱和圆台的侧面积和体积公式求解即可. 【详解】设圆柱和圆台的高为，圆台的母线为，则. 瓶子的侧面积，解得. 瓶子的体积. 故选：A 【变式1】（23-24高一下·湖南张家界·期末）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（    ） （参考数据：，，，）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得半球的半径、圆柱的底面半径和母线长以及圆台的两底面半径和高，再分别利用球、圆柱、圆台的体积公式即可求出结果. 【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示： 因为半球的半径为，圆柱的底面半径为，母线长为，圆台的两底面半径分别为和，高为， 所以， ， ， 所以浮空艇的体积为： ， 故选：A.    【变式2】（24-25高二上·安徽阜阳·期末）如图所示，三棱台的体积为，，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分几何体的体积为 . 【答案】 【分析】设的面积为，三棱台的高为，可知，利用台体的体积公式可求得的值，再利用台体和锥体的体积公式可求得结果. 【详解】设的面积为，三棱台的高为， 易知，且，则， 则，可得， ， 所以，沿平面截去三棱锥， 则剩余的部分几何体的体积为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）如图，在直角梯形中，，在梯形内，挖去一个以为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 【答案】； 【分析】先作辅助线，再应用球及圆台的表面积及体积公式计算求解即可. 【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面，侧面和一半球面组成.在直角梯形中，过点作，垂足为， 在中，， 所以，，， 所以形成的几何体的表面积为. 因为圆台的体积， 半球的体积， 所以所求几何体的体积为. 【变式4】（23-24高一下·广东云浮·期中）如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成．已知球的半径为，长方体的长､宽和高分别为，正四棱台的上､下底面边长和高分别为．    (1)求下部分正四棱台的侧面积； (2)求奖杯的体积．（结果取整数，取3） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出斜率，再由梯形面积公式计算可得； （2）根据球、柱体、台体的体积公式计算可得. 【详解】（1）因为正四棱台的上、下底面边长和高分别为，，， 则该四棱台的斜高为， 所以正四棱台的侧面积为； （2）因为， ，， 所以这个奖杯的体积. 所以这个奖杯的体积约为. 题型06 几何体的内切球问题 【典例6】（2025·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 【变式1】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出轴截面，根据列方程求解即可. 【详解】画出圆锥的轴截面如图    设内切球的球心为，半径为， 则，， 所以， 又， 即， 解得， 故选：B. 【变式2】（2025·辽宁·一模）圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积. 【详解】如图，    则该几何体的轴截面如下：    所以，， ∵与圆相切，点为切点， ∴， 过点作与点， ∴，∴，则， 即球的半径，∴这个球的表面积， 故选：D. 【变式3】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出正四棱锥内切球半径即可求得球的表面积. 【详解】底面边长为2cm，高为的正四棱锥的斜高， 因此该四棱锥的表面积， 依题意，制作的球体零件表面积最大时，该球为正四棱锥的内切球，设其半径为， 则，解得，该球的表面积为. 故答案为： 【变式4】（24-25高二下·四川南充·阶段练习）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 【答案】 【分析】设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为，连接，由已知条件求出，然后根据可求出，从而可求出三棱锥的内切球的表面积. 【详解】由题意得， 设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为， 连接，则点在上，且， ， 因为平面，平面，所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积为 . 故答案为：. 题型07 几何体的外接球问题 【典例7】（23-24高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直三棱柱的外接球球心为上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，求出半径，再算面积即可. 【详解】因为，，则为直角三角形， 和的外心分别为斜边的中点， 连接，取的中点， 则为三棱柱外接球的球心， 其外接圆半径为， 则半径， 则外接球的表面积为. 故选：C 【变式1】（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为正三棱锥的侧面积为，则，可得， 所以，，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 【变式2】（24-25高三下·浙江·阶段练习）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，设外接球半径为，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积. 【详解】如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 【变式3】（2025·安徽黄山·一模）已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造如图所示的长方体，易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，可得，结合球的表面积计算公式即可. 【详解】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为， 易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 则， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 题型08 祖暅原理的应用 【典例8】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积是 ． 【答案】 【分析】根据圆柱与圆锥的体积公式，结合题意，可得答案. 【详解】∵，，， ∴， ∴． 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·云南曲靖·期中）祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    【答案】 【分析】由题意，从而得到椭球的体积为，再代入数据求解即可. 【详解】因为总有圆所以，半椭球的体积等于， 故椭球的体积为，所以该椭环体积是. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·贵州黔西·期末）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ． 【答案】7 【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果. 【详解】由题意可知：正四棱台的体积为， 根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7. 故答案为：7. 【变式3】（23-24高一下·浙江·期中）祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高.意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图是一个半径为的球体，平面与球相交，截面为圆，延长，交球于点，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）. (1)若圆锥DB的侧面展开图扇形的圆心角为，求圆锥DB的表面积和体积； (2)如图平面上方与球体之间的部分叫球冠，若，请你利用祖暅原理求球冠的体积. 【答案】(1)表面积为，体积为 (2) 【分析】（1）利用圆心角等于弧长除以半径来计算，再结合直角三角形中的三角函数定义，即可计算得到，从而去求圆锥的高和母线长，最后利用表面积和体积公式即可求出结果； （2）利用祖暅原理，利用半球的体积与底面半径和高都等于球的半径的圆柱里面挖掉一个圆锥的体积相等，再利用球冠对应的部分体积转化到圆柱减去圆台的体积计算即可. 【详解】（1）设，则， 由圆锥DB的侧面展开图扇形的圆心角为，则， 又因为，则， 又因为，所以， 而，所以， ， 则，即， 则 所以圆锥表面积：， 圆锥体积：. （2）如右图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥, 取同一高度的截面.令球冠截面半径为，面积为圆锥截面半径为， 面积为，， ， 所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等. . 一、单选题 1．（2025高二下·福建·学业考试）圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式计算即得. 【详解】圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积. 故选：D 2．（23-24高一下·山东威海·期末）有一个正四棱台形状的油槽，最多装油，已知它的两底面边长分别为和，则它的深度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将数据统一单位，代入棱台体积计算公式，计算结果后再换算成即得. 【详解】因，而，设棱台的深度为， 由棱台的体积公式可得，，解得. 故选：B. 3．（2024·河北衡水·三模）艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，由题意可得，可求，由圆锥的体积公式可求体积. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，则底面圆的面积为， 侧面面积为，由题意知， 所以，解得， 因此该圆锥的高， 故该圆锥的体积． 故选：C． 4．（24-25高三上·江西吉安·期末）某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下底面半径和母线长分别为，，（单位：m），且该石墩所用材料混凝土的密度约为， 则该圆台石墩的质量约为（取3）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先求圆台的高，利用圆台体积公式计算，借助于混凝土密度即可求得圆台石墩的质量. 【详解】 由题意可得，，，因此该圆台石墩的高为， 故该圆台形石墩的体积约为， 故该圆台石墩的质量约为 故选：A 5．（2024高二上·北京·学业考试）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积. 【详解】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 6．（24-25高一·山东·期末）在中，，，以BC所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得该几何体由两个底面重合的圆锥组成，其中圆锥的底面半径为2，高为，进而即得. 【详解】∵在中，，， ∴，边上的高为2， 由题可知该几何体由两个底面重合的圆锥组成，其中圆锥的底面半径为2，高为， 所以该几何体的体积为． 故选：A. 7．（2025·河南开封·二模）已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 8．（2024·江苏镇江·三模）一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到圆台和半球的体积，即可求解． 【详解】，， 剩余部分几何体的体积为． 故选:C 二、多选题 9．（24-25高三下·重庆·阶段练习）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为4的正方体中，，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面.关于该几何体，下列说法正确的是（    ） A．当时，该几何体是一个半正多面体 B．若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为 C．若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为 D．该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体 【答案】BCD 【分析】根据半正多面体的定义，结合棱柱和棱锥的体积公式逐一判断即可. 【详解】选项A：当时，，但，不满足正多边形条件，故A错误； 选项B：如图1，因为棱长为4的正方体中，，，…，，所以，， 当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，，，解得，故B正确； 选项C，如图2，当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，， 所以，体积为，故C正确； 选项D，当时，如图3所示，此半正多面体是由正方形与正六边形围成， 此时几何体也是半正多面体，故D正确， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解半正多面体的定义. 10．（23-24高一下·甘肃·期末）我国古代数学名著《九章算术商功》中记载了一些特殊几何体，如长方、堑堵、阳马、鳖臑等．并对这些几何体作了详细记载．如图长方体，按平面斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑，已知长方体中中，，，按以上操作得到鳖臑，则关于该鳖臑下列说法正确的是（    ） A．三棱锥由三个直角三角形和一个锐角三角形组成的四面体 B．三棱锥由四个直角三角形组成的四面体 C．该鳖臑的最长棱长 D．该鳖臑的体积为4 【答案】BCD 【分析】把三棱锥还原到长方体中，再逐项分析判断即可． 【详解】如图，把三棱锥还原到长方体中， 则，， 所以A错误，B正确； 该鳖臑的最长棱长就是长方体的体对角线，所以C正确． 该鳖臑的体积为，所以D正确． 故选：BCD． 11．（2025·云南昆明·模拟预测）“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值．南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积．其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为的正方体的八分之一，图3是以底面边长为的正方体的一个底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（    ） A．若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形 B．图2中阴影部分的面积为 C．“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为 D．由棱长为的正方体截得的“牟合方盖”体积为 【答案】BCD 【分析】根据“牟盒方盖”的定义、祖暅原理及几何体的体积公式计算可得. 【详解】由于牟盒方盖可以由两个直径相等且相互垂直的圆柱体相交得到的， 故只要用水平面去截它们，那么所得的截面为正方形，故A错误； 根据祖暅原理，图2中正方体与“牟合方盖”的八分之一之间空隙的截面面积与图3中正四棱锥中阴影部分的面积相等，故B正确； 由于牟盒方盖可以由两个直径相等且相互垂直的圆柱体相交得到的，存在内切球，且只要用水平面去截它们， 那么所得的正方形和圆，也是相切在一起的，对于直径为的球和高为的牟合方盖来说， 使用同一高度处的水平面来截它们，所得的截面积之比正好总是相切的圆和正方形的面积之比，也就是，故C正确； 由图中正方体与牟合方盖的八分之一之间空隙的体积与正四棱锥体的体积相等； 而正四棱锥体的体积为． 所以八分之一牟合方盖的体积等于正方体的体积减去正四棱锥的体积， 从而得到整个牟合方盖的体积为，故D正确 故选：BCD． 三、填空题 12．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可求得体积. 【详解】如图所示， 由正四棱台可知且，，，四边形为等腰梯形， 取上底下底的中心平面，过作，垂足为，， 且，，， 所以， 所以， 故答案为： 13．（23-24高一下·江西九江·期末）如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为 . 【答案】40 【分析】利用割补法求解几何体体积； 【详解】依题意，将该“四角反棱台”还原成长方体，知该几何体为长方体截取 四个相同大小的四棱锥，如图.则该几何体体积为 . 故答案为：40. 14．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，由正三角形性质求出圆柱底面圆半径，利用锥体体积公式求出圆柱的高，再利用圆柱及外接球的结构特征求出球半径即可. 【详解】由圆的内接正的边长为3，得圆的半径， ，三棱锥的高即圆柱的高， 由，解得，圆柱的两底面圆是其外接球的两个截面小圆， 由这两个截面小圆平行且全等，得该球球心到截面小圆距离，则球半径， 所以圆柱的外接球的体积为. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【分析】先确定旋转体的形状，再利用圆柱和圆锥的表面积公式与体积公式求解即可. 【详解】在梯形中，，， ，，， 如图，作， 由题意得四边形是矩形，故， ，， ，． 由于以为轴将梯形旋转一周后形成的几何体 为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱母线长，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径． 圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， 圆柱的底面积，圆锥的底面积， 组合体上底面积， 旋转体的表面积． 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积． 设圆柱体体积为，圆锥体体积为， ，， ． 16．（2024高三·全国·专题练习）已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： (1)正三棱锥的表面积； (2)正三棱锥内切球的表面积与体积． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据正三棱锥棱长与锥体的高关系求出锥体的表面积； （2）根据等体积法求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积和体积. 【详解】（1）由题意，如图所示． 底面三角形中心到AC的距离， 则正棱锥侧面的斜高为．    ． 故． （2）设正三棱锥的内切球球心为， 联结、、、， 而点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径， ． 又， ，解得． ， ． 17．（24-25高一下·浙江·阶段练习）如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 【答案】(1) (2)（元） 【分析】（1）利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解； （2）求出该模型的表面积，进而可得出答案. 【详解】（1）设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线为10cm， 则， ； （2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. ， 故总费用为（元）. 18．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以.    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.    19．（24-25高一·全国·假期作业）我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)94毫米 【分析】（1）盆的形状不同，接到的雨水存在差异. （2）根据台体的体积公式求容积. （3）台体的容积除以盆口面积即可. 【详解】（1）因为器形不同，所以不能直接用盆里的水深来代替平地水深. （2）根据题意，该盆可以视作圆台，故作出该圆台的轴截面，如图， 根据题意得：寸，寸，寸，寸． （立方寸）. （3）由（2）知寸，即水面的半径为10寸， 所以盆中水的体积为（立方寸） 因为平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积，所以平地降雨量为寸． 再根据1寸约为现代的31.2毫米计算可得：（毫米） 故折算到现代的雨量约为94毫米． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$