第04讲 棱锥和棱台（2个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第04讲 棱锥和棱台 课程标准 学习目标 1．理解棱锥和棱台的定义和结构特征.(重点） 2．能在棱锥和棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系. 1.通过问题探究，理解棱锥、棱台的定义和结构特征 2.通过例题，学会在棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系． 知识点01棱锥 1、棱锥的定义：如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥。 2、棱锥的相关概念： （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 3、棱锥的表示：棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示. 4、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】如果棱锥的底面为正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 【即学即练1】（24-25高二·甘肃酒泉·期末）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 知识点02 棱台 1、棱台的定义：一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 2、棱台的相关概念： （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 3、棱台的高与侧面积 过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱台的高。 棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积。 4、棱台的分类 （1）按底面形状：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… （2）正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台，正棱台的上下底面的中心连线是棱台的高。 正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高。 【即学即练2】（2025高一下·全国·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 题型01 棱锥与棱台的判断 【典例1】（23-24高一下·天津·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）    A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥 C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，三棱台截去三棱锥后，剩余部分是（    ）    A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱柱 【变式2】（24-25高一·辽宁·期末）下列命题中正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．长方体是正四棱柱 D．四个面都是等边三角形的四面体是正四面体 【变式3】（24-25高一·全国·随堂练习）下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 题型02 棱锥的结构特征与分类 【典例2】（24-25高二·河北石家庄·期末）下列四个命题：①直平行六面体就是长方体；②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱；③有一个面是多边形、其余各面是三角形的几何体是棱锥；④底面是正方形的棱柱是正棱柱.其中正确的命题个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】（24-25高二上·辽宁·期中）十三棱锥的顶点的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·青海·期末）已知某棱锥有12个面，则该棱锥的棱的条数是（    ） A．12 B．18 C．22 D．36 【变式3】（24-25高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【变式4】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 题型03 棱台的结构特征与分类 【典例3】（24-25高一下·安徽·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）有下列四种叙述： ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； ④棱台的侧棱延长后必交于一点. 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．棱台的侧棱长都相等 B．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．棱台的两个底面相似 【变式3】（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【变式4】（23-24高一下·吉林长春·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 题型04 棱锥中的相关计算 【典例4】（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【变式1】（23-24高一下·天津·阶段练习）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（    ） A．27 B． C．9 D． 【变式3】（24-25高二上·北京·期中）一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 题型05 棱台中的相关计算 【典例5】（23-24高一下·四川·期末）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 【变式2】（23-24高一下·广东潮州·期末）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·福建莆田·期中）一个正四棱台的上、下底面边长及体积分别为，则正四棱台的斜高是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】（2024·陕西·模拟预测）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 题型06 棱锥、棱台中的截面问题 【典例6】（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【变式1】（2025·河南郑州·模拟预测）如果棱台的两底面积分别是，中截面的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三下·北京·阶段练习）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·四川内江·开学考试）一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式4】（24-25高二上·上海·课堂例题）正四棱台的上、下底面面积分别为1、4，过棱台高线的中点且与底面平行的截面面积等于 ． 题型07 展开图问题 【典例7】（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·河北·期末）如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【变式3】（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高一下·全国·随堂练习）若一个几何体的平面展开图如图所示．    （1）该几何体是 ； （2）该几何体中与“祝”字相对的是 ，与“你”字相对的是 ． 一、单选题 1．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 2．（2025高三上·江苏徐州·学业考试）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 3．（24-25高二上·北京·阶段练习）正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ） A．    是棱台 B．是圆台 C．   是棱锥 D．   不是棱柱 5．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为，高是，则该棱台的斜高为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 8．（2024·江西·模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 二、多选题 9．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） A．正四面体是正三棱锥. B．棱锥的侧面是全等的三角形. C．正三棱锥是正四面体. D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点. 10．（2024·河南郑州·模拟预测）下列说法中，错误的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥． 11．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）莱昂哈德•医拉是历史上最杰出的数学家之一，在数学许多分支上都可以见到以欧拉命名的常数，公式和定理．在拓扑学中，欧拉公式描述了凸多面体顶点数，棱数和面数之间的关系：记凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则．根据欧拉公式，判断下列说法正确的是（   ） 注：若多面体上任意两点的连线段都在该多面体内（含表面），则称该多面体为凸多面体 A．若某棱锥的棱数比顶点数多5，则该棱锥为六棱锥 B．存在7条棱的多面体 C．存在每个面都是五边形或六边形的凸多面体，且任意相邻两个面的边数都不同 D．若某凸多面体每个面都是边长为1的正方形或正五边形，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同，则面数的所有可能取值为6，7，12 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期中）棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为 . 13．（24-25高二上·上海奉贤·期中）正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，则该正三棱台的斜高为 ． 14．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．我们把平面四边形外的点连接顶点、、、构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为 ． 四、解答题 15．（24-25高一·全国·课后作业）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1，求： (1)求棱锥的侧棱长和斜高； (2)求棱锥的表面积. 16．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体： (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 17．（24-25高一·全国·课后作业）已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，求它的全面积. 18．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）如图，已知正四棱锥的底面是面积为4的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为3，为棱的中点，为底面正方形的中心．    (1)求四棱锥的高； (2)求四棱锥侧面三角形底面上的高． 19．（24-25高一下·宁夏银川·期中）正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 棱锥和棱台 课程标准 学习目标 1．理解棱锥和棱台的定义和结构特征.(重点） 2．能在棱锥和棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系. 1.通过问题探究，理解棱锥、棱台的定义和结构特征 2.通过例题，学会在棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系． 知识点01棱锥 1、棱锥的定义：如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥。 2、棱锥的相关概念： （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 3、棱锥的表示：棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示. 4、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】如果棱锥的底面为正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 【即学即练1】（24-25高二·甘肃酒泉·期末）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 【答案】C 【分析】根据棱锥的定义和几何结构，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，根据棱锥的几何结构，可得三棱锥有4个面是三角形    ，所以A正确； B中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧面都是三角形，所以B正确； C中，根据棱锥的定义，可得棱锥都没有两个互相平行的多边形面，所以C错误； D中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧棱交于一点，所以D正确. 故选：C. 知识点02 棱台 1、棱台的定义：一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 2、棱台的相关概念： （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 3、棱台的高与侧面积 过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱台的高。 棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积。 4、棱台的分类 （1）按底面形状：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… （2）正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台，正棱台的上下底面的中心连线是棱台的高。 正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高。 【即学即练2】（2025高一下·全国·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【分析】由棱锥的定义可判断A，由棱台的定义可判断BCD. 【详解】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，故A错误； 两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，故B错误，D正确； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误． 故选：D. 题型01 棱锥与棱台的判断 【典例1】（23-24高一下·天津·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）    A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥 C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱 【答案】D 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台、圆台的概念与几何特征即可判断. 【详解】对于A：①不是棱台，因为侧面不都是平行四边形，故A错误； 对于B：②不是圆台，因为上下底面不平行，故B错误； 对于C：④是棱柱，故C错误； 对于D：③是棱锥，④是棱柱，故D正确. 故选：D 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，三棱台截去三棱锥后，剩余部分是（    ）    A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱柱 【答案】B 【分析】根据棱锥的定义，结合图形，即可判断选项. 【详解】三棱台截去三棱锥后，剩下的部分是多面体，是以四边形为底面，点为顶点的四棱锥. 故选：B 【变式2】（24-25高一·辽宁·期末）下列命题中正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．长方体是正四棱柱 D．四个面都是等边三角形的四面体是正四面体 【答案】D 【分析】依据棱锥的定义判断选项A；依据棱台的定义判断选项B；依据正四棱柱的定义判断选项C；依据正四面体的定义判断选项D. 【详解】选项A：有一个面是多边形，其余各面是三角形，如果其余各面没有一个共同的顶点的几何体就不是棱锥.判断错误； 选项B：有两个面平行且相似，其余各面都是梯形，如果侧棱不相交于一点的多面体不是棱台.判断错误； 选项C：当长方体有一组相对面是正方形时是正四棱柱. 判断错误； 选项D：四个面都是等边三角形的四面体是正四面体.判断正确. 故选：D 【变式3】（24-25高一·全国·随堂练习）下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【答案】C 【分析】根据常见几何体的基本特征判断各选项即可. 【详解】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误. 故选：C. 题型02 棱锥的结构特征与分类 【典例2】（24-25高二·河北石家庄·期末）下列四个命题：①直平行六面体就是长方体；②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱；③有一个面是多边形、其余各面是三角形的几何体是棱锥；④底面是正方形的棱柱是正棱柱.其中正确的命题个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合相应几何体的结构特征逐一判断各个命题即可. 【详解】对于①，直平行六面体的底面是非矩形的平行四边形，该直平行六面体不是长方体，①错误； 对于②，有两个相邻的侧面都是矩形，则这两个矩形的公共边垂直于底面， 因此有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱，②正确； 对于③，由棱锥的定义知，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，③错误； 对于④，底面是正方形的斜棱柱不是正棱柱，④错误， 所以正确的命题个数是1. 故选：D 【变式1】（24-25高二上·辽宁·期中）十三棱锥的顶点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由棱锥的定义，即可得到结果. 【详解】十三棱锥的顶点的个数为. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·青海·期末）已知某棱锥有12个面，则该棱锥的棱的条数是（    ） A．12 B．18 C．22 D．36 【答案】C 【分析】由棱锥的结构特点即可判断。 【详解】因为棱锥有12个面， 所以该棱锥为十一棱锥，则该棱锥的棱的条数是22． 故选:C. 【变式3】（24-25高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【答案】B 【分析】根据棱锥的结构特征进行判断即可. 【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 四面体就是由四个三角形所围成的几何体， 因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． 故选：B. 【变式4】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 【答案】D 【分析】根据题意，结合正棱锥的定义和几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B中，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，所以B错误； 对于C中，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，所以C错误； 对于D中，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，所以D正确. 故选：D. 题型03 棱台的结构特征与分类 【典例3】（24-25高一下·安徽·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【分析】根据棱台的定义以及性质，即可得出答案. 【详解】对于A，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A错误； 对于B，C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，B，C错误；    对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确. 故选：D. 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）有下列四种叙述： ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； ④棱台的侧棱延长后必交于一点. 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据棱台的定义和结构特征可判断各项. 【详解】对于①：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，①错； 对于②：如图所示的几何体中，四边形和四边形均为矩形， 且，且平面平面， 且，，则该几何体满足②，但不是棱台，故②错误； 对于③：如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，②③错； 对于④：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，④正确. 故选：B 【变式2】（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．棱台的侧棱长都相等 B．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．棱台的两个底面相似 【答案】D 【分析】对于AD，根据棱台的定义判断，对于B，由棱锥的性质判断，对于C，由棱柱的性质判断. 【详解】由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等，而棱台的两个底面相似，所以不正确，正确； 若平面沿棱锥的高去截，则棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥，不正确； 棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，不正确， 故选：D 【变式3】（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】C 【分析】利用棱柱的定义判断ABC；利用棱台的定义判断D. 【详解】对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A错误； 对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D错误. 故选：C 【变式4】（23-24高一下·吉林长春·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 【答案】D 【分析】利用柱、锥、台的结构特征逐项判断即得. 【详解】对于A，在三棱锥中，， 三棱锥的底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形，此三棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面是非正方形的菱形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面菱形边长， 显然四个侧面都是正方形，而此几何体不是正方体，B错误； 对于C，若将两个全等的正棱台较大底面接合在一起，拼接而成的组合体， 满足有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体，但该几何体不是棱台，C错误； 对于D，在三棱锥中，底面，并且， 此三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确. 故选：D 题型04 棱锥中的相关计算 【典例4】（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【答案】A 【分析】由已知，利用勾股定理先求出侧棱长，再利用三角形的面积公式，即可求出表面积. 【详解】 如图，由已知，两两垂直，且， 为等边三角形，， 在中， 所以， 所以此棱锥的表面积是 . 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·天津·阶段练习）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四棱锥的结构特征分析可知斜高，进而可得侧面积. 【详解】如图： 正四棱锥的高PO，斜高PE， 底面边心距OE组成直角， 由题意可知：，则斜高， 所以该四棱锥的侧面积为. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（    ） A．27 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的侧面积． 【详解】由题意可知底面正三角形的中心到底面正三角形的边的距离为：， 所以正三棱锥的斜高为：， 所以这个正三棱锥的侧面积为：. 故选：. 【变式3】（24-25高二上·北京·期中）一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的，这个正棱锥可能是（   ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【答案】A 【分析】根据正棱锥性质分别求得正三棱锥、正四棱锥的侧棱长至少需是底面边长的倍数，即可得出结论. 【详解】设正三角形的边长为，由正三角形性质可得顶点到三角形中心的距离为， 因此正三棱锥的侧棱长要大于，即侧棱长大于底面边长的倍， 易知，因此可能是正三棱锥，即A正确； 设正方形的边长为，易知正方形对角线的一半为， 因此正四棱锥的侧棱长要大于，即侧棱长大于底面边长的倍， 易知，所以B错误； 以此类推可知正五棱锥、正六棱锥的侧棱长都大于底面边长的倍，即CD不合题意. 故选：A 题型05 棱台中的相关计算 【典例5】（23-24高一下·四川·期末）如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把棱台还原为棱锥，利用大小棱锥的相似比可求出棱台的高. 【详解】 如图1，将正三棱台还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长均为6， 如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高， 所以根据三棱锥的棱长均为6，三棱锥的棱长均为12， 可知相似比为，通过相似关系可知，三棱台的高也为； 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 【答案】C 【分析】先根据正四棱台的结构特点，求出斜高，在根据侧面积的计算方法求其侧面积. 【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为， 所以侧面梯形的斜高为， 所以棱台的侧面积为. 故选：C 【变式2】（23-24高一下·广东潮州·期末）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作平面，平面，侧棱. 【详解】连接，作平面，平面，， 因为为正四棱台，则在上， 因为上底面的边长为2，下底面的边长为4， ， 侧棱. 故选：B 【变式3】（23-24高一下·福建莆田·期中）一个正四棱台的上、下底面边长及体积分别为，则正四棱台的斜高是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据体积公式求出棱台的高，然后根据高可得斜高. 【详解】如图：由棱台的体积公式得， 可得正四棱台的高， 则正四棱台的斜高为. 故选：B. 【变式4】（2024·陕西·模拟预测）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】作出正四棱台的图形，设，利用该四棱台侧面的面积求得，进而利用勾股定理即可得解. 【详解】设，则. 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点， 则，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点， 易知为正四棱台的高，则， 所以. 故选：C. 题型06 棱锥、棱台中的截面问题 【典例6】（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得. 【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 【变式1】（2025·河南郑州·模拟预测）如果棱台的两底面积分别是，中截面的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设棱台的高为，棱台上底面截去的棱锥的高为，根据比例关系得到，，进而可得结果. 【详解】棱台可以看成是由与棱锥底面平行的平面截棱锥之后所得几何体， 设棱台的高为，棱台上底面截去的棱锥的高为， 因为棱台的两底面积分别是，不放令为上底面积，为下底面积， 则，， 所以，因此； 故选：D 【变式2】（24-25高三下·北京·阶段练习）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出底面正三角形的面积，再由过各侧棱中点的截面与底面相似，且相似比为，可求出过各侧棱中点的截面的面积． 【详解】三棱锥的底面是边长为的正三角形， 棱锥的底面面积， 过各侧棱中点的截面与底面相似，且相似比为， 过各侧棱中点的截面的面积． 故选：C． 【变式3】（24-25高二下·四川内江·开学考试）一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理，通过构造平行线确定截面，截面周长即为所求. 【详解】 如图，在平面内过点作，分别交于点，则，. 在平面内作交于点，在平面内作交于点，则，， ∴，故截面为平行四边形， ∴在木块表面画线的总长度为. 故选：B. 【变式4】（24-25高二上·上海·课堂例题）正四棱台的上、下底面面积分别为1、4，过棱台高线的中点且与底面平行的截面面积等于 ． 【答案】 【分析】根据正四棱台的结构特征知道正四棱台与底面平行的截面为正方形，计算面积即可. 【详解】根据在侧面上三条边组成梯形的上底，下底和中位线，得到梯形的中位线长度是． ∵正四棱台与底面平行的截面为正方形， ∴截面面积． 故答案为： 题型07 展开图问题 【典例7】（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将三棱锥的侧面沿着剪开，得到，即，即可得到答案. 【详解】将三棱锥的侧面沿着剪开，如图所示： 因为的周长的最小值为， 所以当四点共线时，的周长最小，即， 又因为，所以，即， 又因为三棱锥是正三棱锥， 所以，即侧棱SA，SC的夹角为. 故选：A 【变式1】（23-24高一下·河北·期末）如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用四棱锥的侧面展开图，由余弦定理求解，即可得，进而可求解. 【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为， 在中，， ， 所以，故，则. 故选：A 【变式2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    【变式3】（23-24高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将平面和平面展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案. 【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面， 连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值， 设，则， 又由得，则， 则有， 故， 则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是. 故选：C. 【变式4】（23-24高一下·全国·随堂练习）若一个几何体的平面展开图如图所示．    （1）该几何体是 ； （2）该几何体中与“祝”字相对的是 ，与“你”字相对的是 ． 【答案】 四棱台 前 程 【分析】还原几何体可得答案. 【详解】还原几何体如图：棱台的上底面为祝，下底面为前，左侧面为似， 右侧面为锦，前面为程，后面为你.    故答案为：①四棱台；②前；③程. 一、单选题 1．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 【答案】D 【分析】根据常见几何体的基本特征判断各选项即可. 【详解】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误； 对于D，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故D正确. 故选：D 2．（2025高三上·江苏徐州·学业考试）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【分析】根据锥体、柱体、台体等知识确定正确答案. 【详解】截去三棱锥，则剩余的部分是四棱锥. 故选：B 3．（24-25高二上·北京·阶段练习）正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设出底面边长，列出关于的不等式求解即可. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，正四棱锥的高为，侧棱长度为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 4．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ） A．    是棱台 B．是圆台 C．   是棱锥 D．   不是棱柱 【答案】C 【分析】利用空间几何体的结构特征判断. 【详解】A.不是由棱锥截来的，故不是棱台，故错误； B.不是圆锥截来的，故不是圆台，故错误； C.符合棱锥的结构特征，故正确； D.符合棱柱的结构特征，故错误. 故选：C 5．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为，高是，则该棱台的斜高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正棱台的性质确定侧面为等腰梯形，结合已知条件求斜高即可. 【详解】由题意，正棱台侧面为上下底边长分别为的等腰梯形，    所以棱台的斜高为. 故选：C 6．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥由展开，根据勾股定理进行求解即可. 【详解】设过点作截面与、侧棱分别交于、两点， 将三棱锥由展开，则，虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，然后回到点的最短距离， 由勾股定理可得．虫子爬行的最短距离． 故选：A    7．（2025高三·全国·专题练习）已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图象，结合图象利用勾股定理求解. 【详解】如图：正四棱锥的底面积为64，则， 又顶点在在底面上的射影是四边形的中心， 过点作于，连接， 则，又侧棱长为， 所以该四棱锥的高为. 故选：A. 8．（2024·江西·模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 【答案】A 【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可. 【详解】如图所示，设该正四棱台为，上下底面中心分别为， 分别取的中点，连接， 在平面内，作交于， 则，，， 显然四边形是矩形，则，， 所以， 在直角中，， 即该墩台的斜高约为9.1m. 故选：A 二、多选题 9．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） A．正四面体是正三棱锥. B．棱锥的侧面是全等的三角形. C．正三棱锥是正四面体. D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点. 【答案】AD 【分析】根据棱锥、棱台的有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，正四面体的四个面都是等边三角形，是正三棱锥，A选项正确. B选项，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，B选项错误. C选项，正三棱锥的侧棱长和底面棱长不一定相等， 所以正三棱锥不一定是正四面体，C选项错误. D选项，根据棱台的定义可知，延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，D选项正确. 故选：AD 10．（2024·河南郑州·模拟预测）下列说法中，错误的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥． 【答案】ABC 【分析】对于A，根据棱锥的定义分析判断，对于B，根据棱台的定义分析判断，对于C，根据正三棱锥的定义分析判断，对于D，根据正六棱锥的定义分析判断. 【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥， 而有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图，所以A错误， 对于B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得，而有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误， 对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为底面等边三角形的中心，所以C错误， 对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确， 故选：ABC 11．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）莱昂哈德•医拉是历史上最杰出的数学家之一，在数学许多分支上都可以见到以欧拉命名的常数，公式和定理．在拓扑学中，欧拉公式描述了凸多面体顶点数，棱数和面数之间的关系：记凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则．根据欧拉公式，判断下列说法正确的是（   ） 注：若多面体上任意两点的连线段都在该多面体内（含表面），则称该多面体为凸多面体 A．若某棱锥的棱数比顶点数多5，则该棱锥为六棱锥 B．存在7条棱的多面体 C．存在每个面都是五边形或六边形的凸多面体，且任意相邻两个面的边数都不同 D．若某凸多面体每个面都是边长为1的正方形或正五边形，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同，则面数的所有可能取值为6，7，12 【答案】AD 【分析】将选项代入公式计算推导可判断AB选项；C选项，假设存在，可设有x个五边形，y个六边形，根据多边形的特点计算顶点数，根据多边形内角和列出不等式求解可判断；D选项，从每个面都是正方形，每个面都是五边形，以及既有正方形又有五边形三个角度分别讨论，分别计算顶点数，棱数求解是否存在相应的面数可判断. 【详解】A选项：代入欧拉公式得，故为六棱锥，A正确； B选项：若，则，而V，，故，或，，无论哪种情况都无法形成多面体，B错误； C选项：任意相邻两个面的边数都不同，因此每个顶点至少连接4个面，设共有x个五边形，y个六边形，则（数遍每个五边形的5个顶点和每个六边形的6个顶点，则该多面体每个顶点都被至少数了4遍），考虑所有多边形的内角和，注意每个顶点所连接的内角之和小于，故，整理得无解，C错误； D选项：①若每个面都是正方形，则每个顶点连接3个面（正方形内角为90°），每条棱连接2个面，故，，代入得，此时为正方体， ②若每个面都是正五边形，则每个顶点连接3个面数（正五边形内角为108°）， 每条棱连接2个面，故，，代入得，此时为正十二面体， ③若即存在正方形又存在正五边形，则每个顶点连接3个面，每条棱连接2个面，设共有m个正方形，n个正五边形，则，，代入欧拉公式得， 因为每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同，故每个顶点要么连接2个正方形1个五边形，要么连接1个正方形2个五边形， （i）若每个顶点连接2个正方形1个五边形，则，，解得，，，此时为侧面为正方形的正五棱柱， （ii）若每个顶点连接1个正方形2个五边形，此时考虑某个五边形，其5条边每条边相连的面一定是五边形正方形间隔环形排列，而5是奇数，不可能； 因此符合题意的简单凸多面体的面数只可能为6，7，12，D正确. 故选：AD 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期中）棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为 . 【答案】5 【分析】设出截得的棱台的高，利用棱锥平行于底面的截面比例关系列式求解. 【详解】设截得的棱台的高为， 由棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积与底面积的比等于截得锥体的高与原锥体高的平方比， 得，解得， 所以截得的棱台的高为5. 故答案为：5 13．（24-25高二上·上海奉贤·期中）正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，则该正三棱台的斜高为 ． 【答案】/ 【分析】根据棱台的几何特点，结合已知数据，作出辅助线，解三角形即可. 【详解】取的中点分别为，连接，取上靠近的三等分点分别为， 连接，过作，垂足为，作图如下： 根据题意可得：，即为所求斜高； 易知四边形为平行四边形，故可得， 在△中，，在△中，， 在△中，，故. 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．我们把平面四边形外的点连接顶点、、、构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为 ． 【答案】 【分析】根据曲率的定义求解即可. 【详解】 由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和， 因为四棱锥有个顶点，个面，分别为个三角形和个四边形， 所以任意四棱锥的总曲率为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一·全国·课后作业）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1，求： (1)求棱锥的侧棱长和斜高； (2)求棱锥的表面积. 【答案】(1)侧棱长为3，斜高为 (2) 【分析】（1）设SO为正四棱锥S﹣ABCD的高，则SO＝1，作OM⊥BC，则M为BC 中点，连接OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM，由此能求出棱锥的侧棱长和斜高. （2）棱锥的表面积，由此能求出结果. 【详解】（1）设SO为正四棱锥S﹣ABCD的高，则SO＝1， 作OM⊥BC于M，则M为BC 中点， 连接OM，OB，则SO⊥OB，SO⊥OM， BC＝4，BM＝2，则OM＝2，OB＝， 在Rt△SOB中，， 在Rt△SOM中，， ∴棱锥的侧棱长为3，斜高为. （2）棱锥的表面积： . 16．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体： (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)6． 【分析】（1）作出展开图即可. （2）沿着侧棱DA把正三棱锥展开在一个平面内，利用两点间线段最短可求截面周长的最小值． 【详解】（1）展开图如下图所示．    （2）将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图， 线段的长为所求周长的最小值，取的中点，则， 又，可求得，则，即截面三角形周长的最小值为6．    17．（24-25高一·全国·课后作业）已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，求它的全面积. 【答案】 【解析】计算出正棱台的斜高，然后计算出正棱台的侧面积和底面积，相加即可得出该正四棱台的表面积. 【详解】斜高，， 又，，. 【点睛】本题考查正棱台表面积的计算，考查计算能力，属于基础题. 18．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）如图，已知正四棱锥的底面是面积为4的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为3，为棱的中点，为底面正方形的中心．    (1)求四棱锥的高； (2)求四棱锥侧面三角形底面上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的几何性质，利用勾股定理，结合正方形的性质对进行求解即可； （2）利用等腰三角形的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为是正四棱锥，且为底面正方形的中心， 所以底面，而底面， 因此， 因为是正方形，且面积为4， 所以该正方形的边长为2，， 在直角三角形中，； （2）因为侧面是全等的等腰三角形，且为棱的中点， 所以， 在直角三角形中，； 19．（24-25高一下·宁夏银川·期中）正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设分别为上，下底面的中心，分别取的中点，利用梯形求出斜高，从而求出表面积； （2）根据已知条件求出斜高, 再由直角梯形求出四棱台的高. 【详解】（1）如图，设分别为上，下底面的中心， 分别取的中点，连接，则为正四棱台的斜高， ， 则棱台的表面积. （2）两底面面积之和为， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$