第08讲 平行直线与异面直线（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第08讲 平行直线与异面直线 课程标准 学习目标 1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质，借助空间平行线性质，理解空间等角定理，并会应用其解决相关问题． 2.理解异面直线的概念，会判断两条直线是否异面． 3.了解空间四边形的定义，会应用空间平行线的性质解决判断空间中四边形的形状问题. 1.能用空间平行线的传递性和等角定理解决一些简单的相关问题； 2.理解异面直线的定义，会判断两直线异面； 3.理解空间四边形并能解决与其相关的一些问题； 知识点01平行直线与等角定理 1、空间平行线的传递性 （1）文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． （2）符号表述：a∥b，b∥c ⇒ a∥c. （3）性质应用：判断或证明空间中两条直线平行. 2、等角定理 （1）文字语言：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 （2）等角定理的两个推论 ①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； ②如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 （3）作用：判断和证明两个角相等或互补。 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　　) A．30°　　B．150°　　C．30°或150°　　D．大小无法确定 【答案】C　 【解析】当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝30°；当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相反时，∠B′A′C′＝150°. 知识点02 异面直线 1、异面直线的概念：空间中既不平行也不相交的直线. 2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）判断下列说法是否正确： （1）没有公共点的两条直线是异面直线 （2）直线a在平面α内，直线b在平面β内，则直线a，b是异面直线. 【答案】（1）错误，没有公共点的两条直线也可能是平行直线． （2）错误，异面直线是不同在任何一个平面内的直线． 知识点03 空间四边形 1.定义：顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形， 其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线． 2．表示：用表示顶点的4个字母表示，如图所示为空间四边形ABCD，这个空间四边形的边为AB，BC，CD，DA，对角线为AC，BD. 空间四边形可以看成由四面体的4条棱构成的图形． 【即学即练3】如图，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是（       ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都可能 【答案】A 【解析】 【分析】 根据中位线的性质证明四边形即可. 【详解】 连接，易得分别为的中位线， 故，，故. 故选：A 题型01 空间平行线的传递性 【典例1】（24-25高一下·重庆·期中）下列结论中正确的是（       ） ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间中直线间的位置关系逐项进行判断即可. 【详解】 ①错误，两条直线可以异面； ②正确，平行的传递性； ③错误，和另一条直线可以相交也可以异面； ④正确，平行的传递性. 故选：B. 【变式1】（24-25高一·辽宁·阶段训练）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（       ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【解析】 【分析】 由E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，结合正方体的结构特征，即可求解. 【详解】 由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1， 因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条. 故选：B. 【变式2】（2025·全国·高一专题练习）已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【答案】A 【解析】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选：A. 【变式3】（24-25高一·江苏·课后作业）（2025·全国·高一课时练习）如图，把一张长方形的纸对折两次，然后打开，得到三条折痕，，，则下列结论正确的是（ ） A． B．，且与相交 C．，且与相交 D．，，两两相交 【答案】A 【解析】因为长方形的对边都是互相平行的，连续左右对折两次后， 长方形上得到三条折痕，，， 这三条折痕中每两条折痕又互相平行，所以三条折痕互相平行，故选：A 【变式4】（24-25高二上·山西太原·阶段练习）直线平面，平面内有无数条直线交于一点，那么这无数条直线中与直线平行的（ ） A．至少有一条 B．至多有一条 C．有且只有一条 D．不可能有 【答案】B 【解析】假设有两条直线与平行，根据基本事实4可知， 这与已知相交矛盾，故至多有一条直线，故选：B 题型02 等角定理及应用 【典例2】（24-25高一下·福建·训练）给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确； 对于③，如图所示， BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边， 但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误． 所以正确的命题有1个．故选：B 【变式1】（24-25高一下·全国·课前预习）如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是（    ） A．这两个角相等 B．这两个角互补 C．这两个角所在的两个平面平行 D．这两个角所在的两个平面平行或重合 【答案】D 【分析】根据等角定理结合面面平行的判定定理分析判断即可 【详解】若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补； 若这两个角分别在两个平面，则由面面平行的判定定理可知，这两个角所在的两个平面平行， 若两个角在同一个平面，则这两个角所在的两个平面重合. 故选：D 【变式2】（23-24高二·上海·课堂例题）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【答案】B 【分析】根据等角定理进行判断. 【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况： （1）三组角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）三组角中有一组对应角互补，如，，， 又，则，所以，此时两个三角形相似； （3）三组角中有两组对应角互补，如，，， 由，则，这与矛盾，故这种情况不会出现. （4）三组对应角都互补，即，，， 这与，矛盾，所以该情况也不会出现. 综上可知，两个三角形相似. 故选：B 【变式4】（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【答案】D 【分析】依题意画出图形，即可判断. 【详解】如图， ，，与的方向相同， 但是与不平行， 如图，，，与的方向相同， 此时且方向相同， 故与不一定平行，故D正确. 故选：D 【变式5】（23-24高二下·江苏·期中）在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助等角定理与中位线的性质构造辅助线，可得与直线和夹角相等的角，借助正四面体的性质得出对应边长，结合余弦定理计算即可得解. 【详解】连接，取中点，连接， 由为，故，故直线和夹角等于直线和夹角， ，， ， 则， 故线和夹角的余弦值为. 题型03 异面直线 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 【答案】C 【分析】举反例，排除ABD，结合异面直线定义证明C正确. 【详解】对于A，当点位于位置时，直线与直线相交，故A错误； 对于D，当点位于位置时，直线与直线相交，故D错误； 对于B，当点位于的中点时，如图， 因为四边形为平行四边形，所以也为的中点， 因为，所以四点共面，所以与共面，故B错误； 对于C，直线平面，直线平面， 点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，故C正确； 故选：C. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面，则可能平行，如图， 也可能相交，如图， 也可能与异面，如图， 故选：D. 【变式3】（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知为异面直线，平面平面，则（    ） A．与都相交 B．与中至少一条相交 C．与都不相交 D．至多与中的一条相交 【答案】B 【分析】由已知得直线与共面于平面，与共面于平面，如果与平行，则与必相交；直线不能与，都不相交，否则；直线可以同时与，都相交，但是交点不重合． 【详解】对于A：因为已知，为异面直线，平面，平面，， 所以直线与共面于平面，与共面于平面， 如果与平行，则与必相交；如果与平行与必相交，故排除A； 对于B：直线不能与，都不相交，否则与，分别平行， 进而，与、为异面直线相矛盾，再结合A得到B正确 对于C：直线不能与，都不相交，否则与，分别平行， 进而，与、为异面直线相矛盾，由此能排除选项C； 对于D：如果与不平行只有相交，同理，与不平行必相交， 所以得直线可以同时与，都相交，但是交点不重合，由此能排除选项D； 故选：B． 【变式4】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【分析】根据空间中线线的位置关系判断即可. 【详解】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 【变式5】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）证明：和是异面直线． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析. 【解析】（1）因为已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 所以且，所以四边形为平行四边形. （2）反证法：假设和不是异面直线，则和平行或相交， 所以和可以确定一个平面，所以， 这与是空间四边形矛盾，故和是异面直线. 题型04 空间四边形相关问题 【典例4】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）空间四边形中，已知，设E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形是（    ）． A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平行公理推理判断即得. 【详解】由分别为中点，得，同理， 则，四边形是平行四边形， 由分别为中点，得，而，则， 所以是菱形. 故选：D 【变式1】（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【答案】D 【分析】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【详解】 对于AB， 因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确； 同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确； 由A，B选项得点在平面内，也在平面内， 对于CD， 由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线， 故D不正确， 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·上海·单元测试）如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（　　） A．EF与GH互相平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 【答案】D 【分析】根据题意，由线面的平行关系，即可得到结果. 【详解】因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝， 所以，且. 因为点E，H分别是边AB，AD的中点， 所以，且， 所以，且， 所以EF与GH相交，设其交点为M， 则平面ABC，同理平面ACD. 又平面平面， 所以M在直线AC上． 故选:D. 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，，，则下列结论中不正确的是（    ）    A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH一定不是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 【答案】D 【分析】由线段对应成比例可得线线平行，由平行线的传递性即可结合长度关系求解. 【详解】连接BD．因为，，所以，且，，且． 若，则，四边形EFGH是平行四边形； 若，则，但，四边形EFGH是梯形． 故选:D．    一、单选题 1.和直线都平行的直线的位置关系是（　　） A．相交 B．异面 C．平行 D．平行、相交或异面 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用平行公理，即可得到答案． 【详解】 由平行公理，可知平行与同一直线的两直线是平行的，所以和直线都平行的直线的位置关系是平行，故选． 2.如图所示，若分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有（       ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据异面直线的定义即可判断. 【详解】 ①中，， ③中，设分别为中点，连接， 则 在三棱柱中， 所以且，故必相交， 对于②设分别为棱中点， 平面平面平面， 所以直线是异面直线； 对于④，同理②可得直线是异面直线. 故选：C. 3.（2025·高一课时练习）两等角的一组对应边平行，则（ ） A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边垂直 D．以上都不对 【答案】D 【解析】两个等角的一组对应边平行，另一组边可以具有各种位置关系， 并不能确定是哪一种关系，故选：D 4.（24-25·全国·高一专题练习）已知三条直线，，满足且，则与（ ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【答案】B 【解析】若且，根据空间直线垂直的定义， 可得，不平行，有可能共面，也有可能异面.故选：B. 5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（     ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】C 【解析】 【分析】 连接AD1，CD1，AC，根据E，F分别为AD1，CD1的中点，由三角形的中位线定理和平行关系的传递性判断. 【详解】 如图， 连接AD1，CD1，AC， 因为E，F分别为AD1，CD1的中点， 由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC， 所以EF∥GH. 故选：C 6.（2024·全国·高一专题练习）已知，，，则与两边方向相同的等于（ ） A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对 【答案】A 【解析】因，，又与两边方向相同， 所以.故选：A 7．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例，排除ADC，结合异面直线定义证明C正确. 【详解】对于A，当点位于位置时，证明与直线相交，A错误； 对于D，当点位于位置时，证明与直线相交，D错误； 对于B，当点位于的中点时，如图， 因为四边形为平行四边形， 所以也为的中点， 因为，所以四点共面， 所以与共面，B错误； 对于C，直线平面，直线平面， 点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，C正确； 故选：C. 二、多选题 8.（2025·全国·高一假期作业）（多选）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ） A．平行于同一条直线的两条直线必平行 B．垂直于同一条直线的两条直线必平行 C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【答案】AC 【解析】根据线线平行具有传递性可知A正确； 空间中垂直于同一条直线的两条直线， 位置关系可能是异面、相交、平行，故B错误； 根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补可知C正确； 如图，且， 则但和的关系不确定，故D错误.故选：AC 9．（24-25高一上·湖南娄底·期中）若直线l与平面α相交，则下列结论正确的是（   ） A．平面α内存在无数条直线和直线l异面； B．平面α内任意直线都和直线l不平行； C．平面α内有且仅有一条直线和直线l相交； D．平面α内任意直线都与直线l相交. 【答案】AB 【分析】根据直线与平面的位置关系进行逐一分析判断． 【详解】因为直线l与平面α相交，所以平面α内的直线与直线l的关系相交或异面， 对于A:平面α内存在无数条直线和直线l异面，故A正确； 对于B:平面α内任意直线都和直线l不平行，故B正确； 对于C:平面α内有无数条直线和直线l相交，故C错误； 对于D:平面α内任意直线都与直线l相交或异面，故D错误. 故答案为：AB. 10．（23-24高一下·黑龙江·期中）下面四个命题中，正确的为（    ） A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 【答案】BD 【分析】举例说明判断A；利用平面基本事实判断B；利用等角定理判断C；利用反证法判断D. 【详解】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，故A错误； 对于B，所在平面与平面相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，故B正确； 对于C，一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线,则这两角相等或互补，故C错误； 对于D，因为四个点不共面，假设其中任意三点共线， 由平面公理2的推论可得此四点共面，与已知矛盾，所以假设错误，故D正确. 故选：BD. 11．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 【答案】BC 【分析】由由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断四边形形状判断A，D. 【详解】由三角形中位线的性质知，，，， 所以，所以四边形为平行四边形，但不能确定是否为菱形或矩形，故AD不正确． 在中中位线定理得同理在中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，所以B正确; 在中，由中位线定理得 所以, 所以由等角定理可知，，,, 所以，所以C正确; 故选：BC． 三、填空题 12.（24-25高一下·安徽·月考）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为 . 【答案】异面 【解析】如图得到正方体的直观图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为异面. 四、证明题 13.（2025·全国·高一专题练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、CD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 【答案】证明见解析 【解析】∵E、H分别是AB、CD的中点，则， 又∵F、G分别是BC、CD上的点，且， 则，∴， 故直线EH与直线FG平行． 14.（2025·全国·高一专题练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形． 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图所示： 连接AC，由正方体的性质可知：AA′=CC′，AA′CC′， ∴四边形AA′C′C为平行四边形， ∴A′C′=AC．A′C′AC， 又∵M，N分别是CD，AD的中点， ∴MN∥AC，且MN＝AC， ∴MN∥A′C′且MN≠A′C′． ∴四边形MNA′C′是梯形． 15.（2025·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析 【解析】（1）因为正方体中，F，G分别是棱，的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以 （2）因为正方体中，E，G分别是棱，的中点， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 由（1）知： 由图形可知：均为锐角，所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 平行直线与异面直线 课程标准 学习目标 1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质，借助空间平行线性质，理解空间等角定理，并会应用其解决相关问题． 2.理解异面直线的概念，会判断两条直线是否异面． 3.了解空间四边形的定义，会应用空间平行线的性质解决判断空间中四边形的形状问题. 1.能用空间平行线的传递性和等角定理解决一些简单的相关问题； 2.理解异面直线的定义，会判断两直线异面； 3.理解空间四边形并能解决与其相关的一些问题； 知识点01平行直线与等角定理 1、空间平行线的传递性 （1）文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． （2）符号表述：a∥b，b∥c ⇒ a∥c. （3）性质应用：判断或证明空间中两条直线平行. 2、等角定理 （1）文字语言：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 （2）等角定理的两个推论 ①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； ②如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 （3）作用：判断和证明两个角相等或互补。 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　　) A．30°　　B．150°　　C．30°或150°　　D．大小无法确定 知识点02 异面直线 1、异面直线的概念：空间中既不平行也不相交的直线. 2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）判断下列说法是否正确： （1）没有公共点的两条直线是异面直线 （2）直线a在平面α内，直线b在平面β内，则直线a，b是异面直线. 知识点03 空间四边形 1.定义：顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形， 其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线． 2．表示：用表示顶点的4个字母表示，如图所示为空间四边形ABCD，这个空间四边形的边为AB，BC，CD，DA，对角线为AC，BD. 空间四边形可以看成由四面体的4条棱构成的图形． 【即学即练3】如图，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是（       ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都可能 题型01 空间平行线的传递性 【典例1】（24-25高一下·重庆·期中）下列结论中正确的是（       ） ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【变式1】（24-25高一·辽宁·阶段训练）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（       ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【变式2】（2025·全国·高一专题练习）已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【变式3】（24-25高一·江苏·课后作业）（2025·全国·高一课时练习）如图，把一张长方形的纸对折两次，然后打开，得到三条折痕，，，则下列结论正确的是（ ） A． B．，且与相交 C．，且与相交 D．，，两两相交 【变式4】（24-25高二上·山西太原·阶段练习）直线平面，平面内有无数条直线交于一点，那么这无数条直线中与直线平行的（ ） A．至少有一条 B．至多有一条 C．有且只有一条 D．不可能有 题型02 等角定理及应用 【典例2】（24-25高一下·福建·训练）给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】（24-25高一下·全国·课前预习）如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是（    ） A．这两个角相等 B．这两个角互补 C．这两个角所在的两个平面平行 D．这两个角所在的两个平面平行或重合 【变式2】（23-24高二·上海·课堂例题）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【变式4】（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【变式5】（23-24高二下·江苏·期中）在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 题型03 异面直线 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 【变式3】（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知为异面直线，平面平面，则（    ） A．与都相交 B．与中至少一条相交 C．与都不相交 D．至多与中的一条相交 【变式4】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【变式5】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）证明：和是异面直线． 题型04 空间四边形相关问题 【典例4】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）空间四边形中，已知，设E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形是（    ）． A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．菱形 【变式1】（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【变式2】（23-24高二上·上海·单元测试）如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（　　） A．EF与GH互相平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，，，则下列结论中不正确的是（    ）    A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH一定不是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形    一、单选题 1.和直线都平行的直线的位置关系是（　　） A．相交 B．异面 C．平行 D．平行、相交或异面 2.如图所示，若分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有（       ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 3.（2025·高一课时练习）两等角的一组对应边平行，则（ ） A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边垂直 D．以上都不对 4.（24-25·全国·高一专题练习）已知三条直线，，满足且，则与（ ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（     ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 6.（2024·全国·高一专题练习）已知，，，则与两边方向相同的等于（ ） A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对 7．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8.（2025·全国·高一假期作业）（多选）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ） A．平行于同一条直线的两条直线必平行 B．垂直于同一条直线的两条直线必平行 C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 9．（24-25高一上·湖南娄底·期中）若直线l与平面α相交，则下列结论正确的是（   ） A．平面α内存在无数条直线和直线l异面； B．平面α内任意直线都和直线l不平行； C．平面α内有且仅有一条直线和直线l相交； D．平面α内任意直线都与直线l相交. 10．（23-24高一下·黑龙江·期中）下面四个命题中，正确的为（    ） A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 11．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 三、填空题 12.（24-25高一下·安徽·月考）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为 . 四、证明题 13.（2025·全国·高一专题练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、CD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 14.（2025·全国·高一专题练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形． 15.（2025·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点．求证： （1）； （2）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$