第01讲 复数的概念（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第01讲 复数的概念 课程标准 学习目标 1．通过方程的解，认识复数； 2．理解复数的代数表示及相关概念； 3．理解两个复数相等的含义。 1．了解复数的概念，能类比有理数扩充到实数系的过程和方法，通过方程的解认识复数； 2．能描述复数代数表示式的结构特征，正确判断复数的实部、虚部 3．知道复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系。 知识点01 复数的概念 1、虚数单位：一般地，为了使得方程有解，人们规定的平方等于，即，并称为虚数单位. 2、复数的定义：一般地，当与都是实数时，称为复数. 3、复数的表示：复数一般用小写字母表示，即，其中称为的实部，称为的虚部，分别记作，. 4、复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此. 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 【即学即练1】（2025高二上·黑龙江·学业考试）在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用复数的运算性质求解即可. 【详解】由复数运算性质得，故A正确. 故选：A 知识点02 复数的分类 1、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数.特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数.这样，复数可以分类如下： 2、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 【即学即练2】（24-25高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由各数集的含义可得 【详解】为自然数集，为整数集，因为整数集包含自然数集与负整数集，所以； 为整数集，为有理数集，因为有理数集包含整数集和小数集，所以 为有理数集，为实数集，因为实数集包含有理数集与无理数集，所以 为实数集，复数集，因为复数集包含实数集和虚数集，所以， 综上，所以， 故选：A. 知识点03 复数相等 1、复数相等的概念：两个复数与，如果实部与虚部对应相等，那么我们就说这两个复数相等，记作 2、复数相等的充要条件：如果都是实数，那么。特别的，当都是实数时，的充要条件是且 【注意】两个复数不一定能比大小 （1）根据复数相等的定义，知在，两式中，只要有一个不成立，那么； （2）若两个复数都全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则她们必须都是实数（即虚部均为0）； （3）若两个复数不全是实数，则不能比较大小。 【即学即练3】（24-25高一下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数相等即可求解. 【详解】由，化简得 所以. 故选：C 题型01 复数的基本概念 【典例1】（24-25高二下·陕西咸阳·期中）设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案. 【详解】复数的实部与虚部互为相反数， ，解得：， 故选：A. 【变式1】（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故选：D. 【变式2】（24-25高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【答案】B 【分析】根据复数的概念求解. 【详解】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误； 的虚部为，B正确，D错误. 故选：B. 【变式3】（24-25高一下·陕西西安·期中）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若复数满足，则是实数 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算即可判断AB，根据虚数的性质即可判断C，利用待定系数法，结合复数的分类即可求解D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，两个虚数不能比较大小，故C错误； 对于D，设，则，，则，解得，故是虚数，故D错误； 故选：B 【变式4】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数a等于（　　） A．-3 B．3 C．-1 D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数的相关概念直接列式计算作答. 【详解】复数的实部为1，复数的虚部为-a，则-a =1，解得， 所以实数a等于-1. 故选：C 题型02 复数的分类 【典例2】（24-25高一下·全国·随堂练习）若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义即可列关系求解. 【详解】由于为纯虚数， 所以且， 解得， 故选：C 【变式1】（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】解：是纯虚数， 则，解得． 故选：B． 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念分析判断即可. 【详解】当时，复数，为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，得或． 所以“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件． 故选：A． 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）“”是“是纯虚数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 【答案】D 【分析】依题意得，即可求解． 【详解】解：是纯虚数， 则，得， 则“”是“是纯虚数”的充要条件， 故选：D 【变式4】（23-24高一下·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数分类可得其虚部为0，可得. 【详解】根据题意可得其虚部为，解得. 故选：C 题型03 复数相等及应用 【典例3】（24-25高一·全国·课后作业）若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数相等可得，，进而即得. 【详解】因为， 所以，，即，， 所以． 故选：D． 【变式1】（24-25高一下·广东江门·期末）实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】由复数相等的条件列出式子，即可求解 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 故选：A 【变式2】（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可． 【详解】由，得，解得． 故答案为：1． 【变式3】（23-24高一下·福建龙岩·期末）若虚数i是方程的一个根，则 . 【答案】1 【分析】把i代入方程，化简方程，利用相等复数的概念得到p、q的值，即可求解. 【详解】因为i是方程的一个根， 所以，即， 得，解得， 所以. 故答案为：1 【变式4】（24-25高一下·山西阳泉·期末）已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围. 【详解】复数，且， 所以，则 因为，所以，当时，，当时， 所以的取值范围是. 故选：B. 题型04 复数的综合问题 【典例4】（2025高一全国专题训练）欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 则虚部为．故选：C． 【变式1】已知复数，，若，则实数 . 【答案】或 【解析】若，则，又， 则，解得或. 【变式2】（23-24高一下·全国·专题练习）已知，为的一个内角．若不论为何值，总存在使得是实数，求实数的取值范围． 【答案】. 【解析】∵是实数，，，∴，即恒成立． 又，，， ∴，∴， ∴当时，不论为何值，总存在使得是实数， 故的取值范围为. 【变式3】已知复数，其中. （1）若且，求的值； （2）若，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，所以，解得， 因为，所以， 当时，，不符合条件，当时，满足，综上，. （2）若，则， 所以，即， 所以，即，解得， 又因为，所以. 1．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知复数，则的虚部为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据虚部的概念即可得到答案. 【详解】因为，则其虚部为. 故选：A. 2．（2024高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【详解】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的概念得出的值即可. 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 4．（24-25高一下·全国·随堂练习）若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义即可列关系求解. 【详解】由于为纯虚数， 所以且， 解得， 故选：C 5．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【答案】C 【分析】利用复数实部、虚部的定义逐项判断得解. 【详解】复数的实部为1，虚部为，ABD错误，C正确. 故选：C 6．（23-24高一下·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数分类可得其虚部为0，可得. 【详解】根据题意可得其虚部为，解得. 故选：C 7．（多选）（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 8．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可. （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可. （3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可. 【详解】（1）若z是实数，则，解得或． （2）若z是虚数，则，解得且． （3）若z是纯虚数，则解得． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 复数的概念 课程标准 学习目标 1．通过方程的解，认识复数； 2．理解复数的代数表示及相关概念； 3．理解两个复数相等的含义。 1．了解复数的概念，能类比有理数扩充到实数系的过程和方法，通过方程的解认识复数； 2．能描述复数代数表示式的结构特征，正确判断复数的实部、虚部 3．知道复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系。 知识点01 复数的概念 1、虚数单位：一般地，为了使得方程有解，人们规定的平方等于，即，并称为虚数单位. 2、复数的定义：一般地，当与都是实数时，称为复数. 3、复数的表示：复数一般用小写字母表示，即，其中称为的实部，称为的虚部，分别记作，. 4、复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此. 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 【即学即练1】（2025高二上·黑龙江·学业考试）在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 知识点02 复数的分类 1、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数.特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数.这样，复数可以分类如下： 2、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 【即学即练2】（24-25高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 知识点03 复数相等 1、复数相等的概念：两个复数与，如果实部与虚部对应相等，那么我们就说这两个复数相等，记作 2、复数相等的充要条件：如果都是实数，那么。特别的，当都是实数时，的充要条件是且 【注意】两个复数不一定能比大小 （1）根据复数相等的定义，知在，两式中，只要有一个不成立，那么； （2）若两个复数都全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则她们必须都是实数（即虚部均为0）； （3）若两个复数不全是实数，则不能比较大小。 【即学即练3】（24-25高一下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型01 复数的基本概念 【典例1】（24-25高二下·陕西咸阳·期中）设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（    ） A．5 B． C．3 D． 【变式1】（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【变式3】（24-25高一下·陕西西安·期中）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若复数满足，则是实数 【变式4】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数a等于（　　） A．-3 B．3 C．-1 D．1 题型02 复数的分类 【典例2】（24-25高一下·全国·随堂练习）若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式1】（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）“”是“是纯虚数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 【变式4】（23-24高一下·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 题型03 复数相等及应用 【典例3】（24-25高一·全国·课后作业）若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·广东江门·期末）实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 【变式2】（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 ． 【变式3】（23-24高一下·福建龙岩·期末）若虚数i是方程的一个根，则 . 【变式4】（24-25高一下·山西阳泉·期末）已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 复数的综合问题 【典例4】（2025高一全国专题训练）欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知复数，，若，则实数 . 【变式2】（23-24高一下·全国·专题练习）已知，为的一个内角．若不论为何值，总存在使得是实数，求实数的取值范围． 【变式3】已知复数，其中. （1）若且，求的值； （2）若，求. 1．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知复数，则的虚部为（    ） A． B．1 C． D．3 2．（2024高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·全国·随堂练习）若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 6．（23-24高一下·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 7．（多选）（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 8．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$