11.3.1&11.3.2 平行直线与异面直线、直线与平面平行（4知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

11.3.1平行直线与异面直线 11.3.2直线与平面平行 课程标准 学习目标 （1）掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间直线平行性的传递性； （2）理解异面直线的概念并会判断两直线是否异面； （3）掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系； （4）学会用图形语言、符号语言表示线面之间的三种位置关系； （5）掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题. （1）能用空间平行线的传递性和等角定理解决一些简单的相关问题； （2）理解异面直线的定义，会判断两直线异面； （3）理解空间四边形并能解决与其相关的一些问题； （4）掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题； （5）利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题. 知识点01 平行直线与等角定理 1、空间平行线的传递性 （1）文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． （2）符号表述：a∥b，b∥c ⇒ a∥c. （3）性质应用：判断或证明空间中两条直线平行. 2、等角定理 （1）文字语言：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 （2）等角定理的两个推论 ①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； ②如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 （3）作用：判断和证明两个角相等或互补。 【即学即练1】（22-23高一下·湖北黄冈·月考）四面体ABCD中，E、F、G、H分别是各边AB、BD、DC、CA的中点，若，则是 形填四边形的形状 知识点02 异面直线与空间四边形 1、异面直线的概念：空间中既不平行也不相交的直线. 2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。 3、空间四边形：顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线． 【即学即练2】（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）如图所示，长方体中，给出以下判断，其中正确的是（    ） A．直线与相交 B．直线与是异面直线 C．直线与有公共点 D． 知识点03 空间直线与平面的判定定理 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行 2、符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 3、图形语言： 【即学即练3】（23-24高一下·广西南宁·期中）已知直线a，b和平面，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点04 空间直线与平面的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行． 2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 【即学即练3】（23-24高一下·河北沧州·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 【题型一：平行线的传递性与等角定理】 例1．（22-23高一下·甘肃庆阳·期中）已知，则 ． 变式1-1．（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）证明：和是异面直线． 变式1-2．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证:四边形EFGH是平行四边形. 变式1-3．（22-23高二上·上海·月考）如图，在正方体中，，分别是棱和的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求证：． 【方法技巧与总结】 1、空间两条直线平行的证明：①定义法，即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用平行线的传递性找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行. 2、等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，或者这两种情况都有可能. 【题型二：异面直线的判定问题】 例2．（22-23高一下·福建漳州·期末）如果两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 变式2-1．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）三棱柱中，、、分别是、、中点，则下列直线中与直线异面的直线为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 变式2-2．（23-24高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（    ）    A． B． C． D． 变式2-3．（23-24高一下·浙江·期中）已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判定或证明两条直线异面的思路 1、定义法：既不平行也不相交的两条直线为异面直线. 2、反证法——证明立体几何问题的一种重要方法. 3、与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面. 【题型三：线面平行的命题判断】 例3．（23-24高一下·全国·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．， D．，， 变式3-1．（22-23高一下·河南洛阳·期中）（多选）已知直线a，b，平面，则下列说法错误的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．a，b异面，且，，，，则 D．，，则 变式3-2．（22-23高一下·天津河东·期末）若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（    ） A．平面内不存在与a平行的直线 B．平面内所有直线与a相交 C．平面内所有直线与a异面 D．直线a与平面至少存在一个公共点 变式3-3．（23-24高一下·云南大理·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 【方法技巧与总结】 1、在使用线面平行判定定理时，必须确保直线不在平面内； 2、在使用线面平行性质定理时，需要考虑直线与平面交线的位置关系，以及直线与平面的交线是否平行. 【题型四：利用判定定理证明线面平行】 例4．（22-23高一下·辽宁锦州·月考）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是的中点.求证：平面. 变式4-1．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，求证：平面； 变式4-2．（22-23高一·山东济宁·月考）如图，在直三棱柱中，已知为的中点. 求证：平面. 变式4-3．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在三棱台中，，分别为的中点．求证：平面. 【方法技巧与总结】 利用判定定理证明线面平行的步骤： 找：在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线； 证：证明已知直线平行与找到（或作出）的直线； 结论：由判定定理得出结论。 上面的第一步“找”是证明的关键，其常用方法有利用三角形、梯形中位线的性质或利用平行四边形的性质等。 【题型五：利用性质定理证明线线平行】 例5．（22-23高一下·河南洛阳·月考）如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：. 变式5-1．（23-24高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，E是棱PC上一点，底面ABCD是正方形，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l.求证：l∥EF. 变式5-2．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：. 变式5-3．（22-23高二下·青海西宁·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：． 【方法技巧与总结】 应用线面平行的性质定理的关键点 应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面. 【题型六：线面平行中的动点探究问题】 例6．（22-23高一下·河南洛阳·期中）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（22-23高一下·安徽马鞍山·月考）如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别为线段上一点，若，且平面，则 . 变式6-2．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，已知E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试确定点M的位置． 变式6-3．（23-24高一下·全国·专题练习）在如图所示的圆柱中，分别是下底面圆，上底面圆的直径，是圆柱的母线，为圆上一点，为上一点，且平面. 求证：. 【方法技巧与总结】 探索性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，需要自己去探索，结合已知条件，进行观察、分析、比较和概括得出结论。常见的动点位置有中点、三等分点等，可以先假设存在，在进行推理论证。 一、单选题 1．（23-24高一下·广西南宁·月考）若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（    ） A． B．与相交 C． D．以上三种情况都有可能 2．（22-23高一下·天津·期中）已知，为直线，为平面，若，，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交或异面 C．异面 D．平行或异面 3．（22-23高一下·吉林辽源·月考）已知空间中两个角，的两边对应平行，且，则（    ） A． B． C． D．或 4．（22-23高一下·湖南益阳·期中）直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 5．（22-23高一下·海南海口·期中）已知a，b为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．，且 D．，， 6．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知正方体的棱的中点分别，则下列直线中，与平面和平面的交线平行的直线（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·湖北黄冈·月考）如图所示，棱柱的侧面是矩形，D是上的动点，若平面，则的值为（    ） A． B． C． D．1 8．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（    ） A．与互相平行 B．与是异面直线 C．与相交，其交点在直线上 D．与相交，且交点在直线上 二、多选题 9．（22-23高一下·浙江宁波·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．平行于同一直线的两条直线平行 B．平行于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两个平面平行 D．平行于同一平面的两个平面平行 10．（22-23高一下·安徽滁州·月考）表示不同的点，表示不同的直线，表示不同的平面，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（22-23高一下·河南郑州·月考）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（22-23高一下·安徽·月考）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为 . 13．（22-23高一下·四川成都·月考）已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的 条件.（填：“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分也不必要”） 14．（22-23高一下·江苏泰州·月考）正方体的棱长是，其中是中点，是中点，则过点的截面面积是 ． 四、解答题 15．（22-23高一下·新疆·期末）如图，空间四边形ABCD中，分别是的中点.求证：四边形是平行四边形. 16．（20-21高一上·宁夏·期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：BC∥AD； （2）求证：CE∥平面PAB． 17．（22-23高一下·云南曲靖·月考）如图，已知平面，平面，是边长为2的正三角形， 是的中点，且. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 18．（22-23高一下·河南·月考）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，E为与的交点． （1）证明：平面ACE； （2）设底面ABCD是边长为2的正方形，若三棱锥的体积为2，求棱的长． 19．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方体中，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3.1平行直线与异面直线 11.3.2直线与平面平行 课程标准 学习目标 （1）掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间直线平行性的传递性； （2）理解异面直线的概念并会判断两直线是否异面； （3）掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系； （4）学会用图形语言、符号语言表示线面之间的三种位置关系； （5）掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题. （1）能用空间平行线的传递性和等角定理解决一些简单的相关问题； （2）理解异面直线的定义，会判断两直线异面； （3）理解空间四边形并能解决与其相关的一些问题； （4）掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题； （5）利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题. 知识点01 平行直线与等角定理 1、空间平行线的传递性 （1）文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． （2）符号表述：a∥b，b∥c ⇒ a∥c. （3）性质应用：判断或证明空间中两条直线平行. 2、等角定理 （1）文字语言：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 （2）等角定理的两个推论 ①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； ②如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 （3）作用：判断和证明两个角相等或互补。 【即学即练1】（22-23高一下·湖北黄冈·月考）四面体ABCD中，E、F、G、H分别是各边AB、BD、DC、CA的中点，若，则是 形填四边形的形状 【答案】菱 【解析】依题意，E、F、G、H分别是各边AB、BD、DC、CA的中点， 所以， 所以，所以四边形是平行四边形，同理：， 又，，所以，所以四边形是菱形. 知识点02 异面直线与空间四边形 1、异面直线的概念：空间中既不平行也不相交的直线. 2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。 3、空间四边形：顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线． 【即学即练2】（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）如图所示，长方体中，给出以下判断，其中正确的是（    ） A．直线与相交 B．直线与是异面直线 C．直线与有公共点 D． 【答案】D 【解析】对于A，面，面，且B不在AC上， 根据异面直线的定义得，直线与是异面直线，故A选项错误； 对于B，，， 四边形为平行四边形， ，即直线与平行直线，故B选项错误； 对于C，面，面，， 根据异面直线的定义得，直线与是异面直线，故C选项错误； 对于D，，，四边形为平行四边形， ，故D选项正确；故选：D. 知识点03 空间直线与平面的判定定理 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行 2、符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 3、图形语言： 【即学即练3】（23-24高一下·广西南宁·期中）已知直线a，b和平面，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据线面平行的判定定理可得，若，则，即必要性成立， 若，则不一定成立，故充分性不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B 知识点04 空间直线与平面的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行． 2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 【即学即练3】（23-24高一下·河北沧州·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 【答案】B 【解析】对于A，若直线l上有无数个点不在平面内，则或l与相交，A错误； 对于B，直线与平面平行，则存在过直线的平面与平面相交，令交线为， 于是，显然在平面内有无数条直线与平行，这些直线都平行于，B正确； 对于C，若两条平行直线中的一条与一个平面平行， 则另一条也与这个平面平行或在这个平面内，C错误； 对于D，若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或是异面直线， 不会与平面内的任意一条直线都平行，D错误.故选：B 【题型一：平行线的传递性与等角定理】 例1．（22-23高一下·甘肃庆阳·期中）已知，则 ． 【答案】或 【解析】，由等角定理知，与相等或互补， 所以或. 变式1-1．（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）证明：和是异面直线． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析. 【解析】（1）因为已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 所以且，所以四边形为平行四边形. （2）反证法：假设和不是异面直线，则和平行或相交， 所以和可以确定一个平面，所以， 这与是空间四边形矛盾，故和是异面直线. 变式1-2．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证:四边形EFGH是平行四边形. 【答案】证明见解析 【解析】在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点， 所以EF∥AB，EF=AB，同理GH∥DC，GH=DC. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD，AB=CD， 所以EF∥GH，EF=GH， 所以四边形EFGH是平行四边形. 变式1-3．（22-23高二上·上海·月考）如图，在正方体中，，分别是棱和的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）∵为正方体．∴，且， 又，分别为棱，的中点，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴且． 又且，∴且， ∴四边形为平行四边形． （2）法一：由（1）知四边形为平行四边形，∴． 同理可得四边形为平行四边形，∴． ∵和方向相同，∴． 法二：由（1）知四边形为平行四边形，∴． 同理可得四边形为平行四边形，∴． 又∵，∴，∴． 【方法技巧与总结】 1、空间两条直线平行的证明：①定义法，即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用平行线的传递性找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行. 2、等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，或者这两种情况都有可能. 【题型二：异面直线的判定问题】 例2．（22-23高一下·福建漳州·期末）如果两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【解析】根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线与没有公共点， 那么与可能平行，也可能是异面直线.故选：D. 变式2-1．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）三棱柱中，、、分别是、、中点，则下列直线中与直线异面的直线为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【解析】如图，连接，则且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，故C错误； 又，，所以，所以、、、四点共线， 即直线与直线共面，故A错误； 显然直线与直线均包含于平面，故D错误； 因为，，， 又平面，所以直线与直线异面，故B正确.故选：B 变式2-2．（23-24高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线是异面直线的是， 其中，所以与共面、与共面、与共面．故选：C 变式2-3．（23-24高一下·浙江·期中）已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知，可得，而，所以，A错误； 平面，平面，， 所以与是异面直线，B正确； 因为，所以四点共面，C错误； ，D错误.故选：B 【方法技巧与总结】 判定或证明两条直线异面的思路 1、定义法：既不平行也不相交的两条直线为异面直线. 2、反证法——证明立体几何问题的一种重要方法. 3、与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面. 【题型三：线面平行的命题判断】 例3．（23-24高一下·全国·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】D 【解析】对于A，，，有可能，A错误； 对于B，，，有可能异面，B错误； 对于C，，，有可能，C错误； 对于D，由线面平行的判定定理可知D正确.故选：D. 变式3-1．（22-23高一下·河南洛阳·期中）（多选）已知直线a，b，平面，则下列说法错误的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．a，b异面，且，，，，则 D．，，则 【答案】ABD 【解析】对于A项，如图1，，平面，但是平面，故A错误； 对于B项，如图1，平面，但是平面，但是，故B错误； 对于C项，如图2，因为，根据线面平行的性质定理可知， 过直线，，，且，有. 因为，，所以. 因为，，，，，所以，故C项正确； 对于D项，如图1，平面，平面， 但是平面平面，故D项错误.故选：ABD. 变式3-2．（22-23高一下·天津河东·期末）若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（    ） A．平面内不存在与a平行的直线 B．平面内所有直线与a相交 C．平面内所有直线与a异面 D．直线a与平面至少存在一个公共点 【答案】D 【解析】由于直线a不平行于平面，所以直线a与平面相交或直线a在平面内， 直线a在平面内时，平面内存在与a平行的直线，故A错误； 直线a与平面相交时，平面内存在直线与a异面，故B错误； 直线a在平面内时，平面内存在与a平行的相交，故C错误； 直线a与平面相交或直线a在平面内，直线a与平面至少存在一个公共点,故D正确. 故选：D. 变式3-3．（23-24高一下·云南大理·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】D 【解析】对于A，若直线上有无数个点不在平面内，则与相交或平行，故A错误； 对于B，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，故B错误； 对于C，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条直线与这个平面平行或在这个平面内，故C错误； 对于D，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，故D正确. 故选：D. 【方法技巧与总结】 1、在使用线面平行判定定理时，必须确保直线不在平面内； 2、在使用线面平行性质定理时，需要考虑直线与平面交线的位置关系，以及直线与平面的交线是否平行. 【题型四：利用判定定理证明线面平行】 例4．（22-23高一下·辽宁锦州·月考）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：取中点，连， 因为是中点，所以， 因为在中，且， 因为是中点，所以， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. 变式4-1．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】取的中点，连接，， 根据题意可得，且，，可得 由三棱柱得性质知，所以，即， 则四边形是平行四边形，所以， 因为面，面，所以面． 变式4-2．（22-23高一·山东济宁·月考）如图，在直三棱柱中，已知为的中点. 求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】连接与交于点，则是的中点，连接OD，如图， 因为D是AB的中点，所以， 平面，平面，平面. 变式4-3．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，在三棱台中，，分别为的中点．求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，连接，， 设，连接. 在三棱台中，，为中点， 可得 所以四边形为平行四边形，所以为的中点． 又为的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 【方法技巧与总结】 利用判定定理证明线面平行的步骤： 找：在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线； 证：证明已知直线平行与找到（或作出）的直线； 结论：由判定定理得出结论。 上面的第一步“找”是证明的关键，其常用方法有利用三角形、梯形中位线的性质或利用平行四边形的性质等。 【题型五：利用性质定理证明线线平行】 例5．（22-23高一下·河南洛阳·月考）如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】∵四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面， ∴平面. 而平面平面，平面， ∴，∴. 变式5-1．（23-24高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，E是棱PC上一点，底面ABCD是正方形，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l.求证：l∥EF. 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵ 底面ABCD是正方形，∴AB∥CD. 又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴ AB∥平面PCD. 又A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，∴ AB∥EF. ∵ 平面PAB与平面PCD交于直线l，∴ AB∥l，∴ l∥EF. 变式5-2．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，四棱锥中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】因为平面，平面， 且平面平面，所以， 同理可证，因此. 变式5-3．（22-23高二下·青海西宁·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】连接交于点，连接， 因为ABCD是平行四边形，所以为中点， 又M是PC的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以 【方法技巧与总结】 应用线面平行的性质定理的关键点 应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面. 【题型六：线面平行中的动点探究问题】 例6．（22-23高一下·河南洛阳·期中）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接交于点，连接，则平面即为平面， 因为，平面，平面，所以， 因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分， 所以，， 所以且， 所以， 又，所以，所以.故选：C. 变式6-1．（22-23高一下·安徽马鞍山·月考）如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别为线段上一点，若，且平面，则 . 【答案】3∶1/3 【解析】如图，连接交于点，连接交于点， 由平面，可得， ，，为的中点， 作，， ，则 . 变式6-2．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，已知E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试确定点M的位置． 【答案】点M为线段PA上靠近点P的四等分点 【解析】如图，连接BD交AC于点O1，连接OM. 因为平面MEF，平面PAC，平面平面， 所以，所以. 在菱形ABCD中，因为E，F分别为边BC，CD的中点，所以. 又，所以，故， 即点M为线段PA上靠近点P的四等分点． 变式6-3．（23-24高一下·全国·专题练习）在如图所示的圆柱中，分别是下底面圆，上底面圆的直径，是圆柱的母线，为圆上一点，为上一点，且平面. 求证：. 【答案】证明见解析 【解析】如图所示，连接，， 因为为母线，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 因为平面，且，平面，所以平面平面． 又因为平面平面，平面平面，所以， 因为是的中点，所以是的中点，即． 【方法技巧与总结】 探索性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，需要自己去探索，结合已知条件，进行观察、分析、比较和概括得出结论。常见的动点位置有中点、三等分点等，可以先假设存在，在进行推理论证。 一、单选题 1．（23-24高一下·广西南宁·月考）若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（    ） A． B．与相交 C． D．以上三种情况都有可能 【答案】D 【解析】在长方体中，平面视为平面， 直线为直线a，点E，F分别为棱的中点， 如图， 显然有平面，当直线b为直线时，直线是异面直线，此时； 因，平面，平面，则， 当直线b为直线时，直线是异面直线，此时； 当直线b为直线时，直线是异面直线，此时与相交， 所以直线b与平面可能平行，可能相交，也可能在平面内.故选：D. 2．（22-23高一下·天津·期中）已知，为直线，为平面，若，，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交或异面 C．异面 D．平行或异面 【答案】D 【解析】因为，所以直线与平面没有公共点，又， 所以与没有公共点，即与的位置关系是平行或异面.故选：D. 3．（22-23高一下·吉林辽源·月考）已知空间中两个角，的两边对应平行，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由等角定理得：相等或互补，所以或，故选：D 4．（22-23高一下·湖南益阳·期中）直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 【答案】C 【解析】由推论1可知：，则，，过与确定一平面β， 由基本事实3可知：平面α与平面β有一交点，则有一条唯一的交线与a平行，设为b， 因为直线a∥平面α，，，所以a∥b.故选：C． 5．（22-23高一下·海南海口·期中）已知a，b为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．，且 D．，， 【答案】C 【解析】对于A中，若，，则直线与平行、相交或异面，所以A不符合题意； 对于B中，若，，则直线与平行或异面，所以B不符合题意； 对于C中，若，，根据线面平行的性质定理，可得， 所以“，且”是“”的充分条件，所以C符合题意； 对于D中，若，，，则直线与平行或异面，所以D不符合题意.故选：C. 6．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知正方体的棱的中点分别，则下列直线中，与平面和平面的交线平行的直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，连接， 而平面，平面，则平面平面， 作出平面和平面的交线如图所示： 另一方面：由正方形的性质可知分别是的中点， 从而，同理有， 对比选项可知与平面和平面的交线平行的直线.故选：A. 7．（22-23高一下·湖北黄冈·月考）如图所示，棱柱的侧面是矩形，D是上的动点，若平面，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】连接交于，连接， 因为平面，平面平面, 所以,又因为是的中点， 所以D是上的中点，即故选：B. 8．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（    ） A．与互相平行 B．与是异面直线 C．与相交，其交点在直线上 D．与相交，且交点在直线上 【答案】D 【解析】因为，，所以四边形是梯形， 所以与共面，且不平行，AB错误；则与相交， 对于C，因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C错； 对于D，若与平行，平面，平面， 则，又平面，且平面平面， 则，所以，与四边形是梯形矛盾，所以与不平行， 又平面，所以与相交，与不平行，平面， 所以与相交， 综上，与平面相交，且只有一个交点， 所以与相交，且交点在直线上，D正确.故选：D 二、多选题 9．（22-23高一下·浙江宁波·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．平行于同一直线的两条直线平行 B．平行于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两个平面平行 D．平行于同一平面的两个平面平行 【答案】AD 【解析】对于A：根据平行线的传递性可知平行于同一直线的两条直线平行，故A为真命题； 对于B：平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交或异面，故B为假命题； 对于C：平行于同一直线的两个平面的位置关系有：平行或相交，故C为假命题； 对于D：根据空间中面面的位置关系可知平行于同一平面的两个平面平行，故D为真命题；故选：AD. 10．（22-23高一下·安徽滁州·月考）表示不同的点，表示不同的直线，表示不同的平面，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】A：，则或相交，错； B：如下图，过作平面与与交于，又，则，，，则， 而，，则，所以，对； C：，则，但不一定成立，错； D：，则或异面，错.故选：ACD 11．（22-23高一下·河南郑州·月考）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A.在正方体中，易得， 又平面，平面，所以平面，同理可证平面， 又因为且都在面ACB内，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，故正确； B.如图所示： 易得，又平面，平面，所以平面， 又平面NCD与平面NMP相交，所以直线AB与平面NMP不平行，故错误； C.因为 ，所以平面NMP即为平面BNPM，显然直线AB与平面BNPM相交，故错误； D.如图所示： 易得，所以， 又平面，平面，所以平面，故正确，故选：AD 三、填空题 12．（22-23高一下·安徽·月考）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为 . 【答案】异面 【解析】如图得到正方体的直观图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为异面. 13．（22-23高一下·四川成都·月考）已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的 条件.（填：“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分也不必要”） 【答案】充要 【解析】，，则“” “”，反之也成立． ，，则“”是“”的充要条件． 14．（22-23高一下·江苏泰州·月考）正方体的棱长是，其中是中点，是中点，则过点的截面面积是 ． 【答案】 【解析】在上取使，连接并延长与的延长线交于点， 连交于，连接， 由正方体的性质可知，则五边形即为过点的截面， 由题可得，， 在中，， 由余弦定理得，所以， 所以平行四边形的面积为， 又由， 所以， 所以截面的面积为. 四、解答题 15．（22-23高一下·新疆·期末）如图，空间四边形ABCD中，分别是的中点.求证：四边形是平行四边形. 【答案】证明见解析 【解析】分别是的中点， ，，且， ∴四边形为平行四边形. 16．（20-21高一上·宁夏·期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：BC∥AD； （2）求证：CE∥平面PAB． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD． （2）取PA的中点F，连接EF，BF， ∵E是PD的中点，∴EF∥AD，， 又由（1）可得BC∥AD，且，∴BC∥EF，BC＝EF， ∴四边形BCEF是平行四边形，∴EC∥FB， ∵EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB，∴EC∥平面PAB． 17．（22-23高一下·云南曲靖·月考）如图，已知平面，平面，是边长为2的正三角形， 是的中点，且. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：取的中点G，连接，， 因为F，G分别是，的中点，所以，且， 又因为平面，平面，所以， 因为平面，且，，所以， 又因为四边形为直角梯形，且，可得， 所以，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）因为是边长为2的正三角形，是的中点， 可得， 又因为平面，所以三棱锥的高为， 所以. 18．（22-23高一下·河南·月考）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，E为与的交点． （1）证明：平面ACE； （2）设底面ABCD是边长为2的正方形，若三棱锥的体积为2，求棱的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】（1）在直四棱柱中，连接，与交于点，如图， 因为四边形为平行四边形，则为的中点， 又四边形为矩形，，则为的中点， 连接，则为的中位线，即， 又平面平面，所以平面. （2）直四棱柱的底面是正方形，连接，而为的中点， 则， 解得，所以棱的长为3. 19．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方体中，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 【解析】（1）连接， 分别为中点，， ，，四边形为平行四边形，，， 又平面，平面，平面. （2）假设在棱上存在点，使得平面， 延长交于，连接交于， ，为中点，为中点， ，，， 平面，平面，平面平面，， 又，四边形为平行四边形，， ； 当时，平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$