重庆市沙坪坝区重庆市南开中学校2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

南开中学2024-2025学年度第二学期初2027届半期质量监测 数 学 试 题 一 、选择题 (本大题共12个小题，每小题3分，共36分)在每个小题的下面，都给出了 代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡对应的方框涂黑. 1. 计算(x²)³ 的 结 果 是 ( △ ) A.x⁵ B.x⁶ C.x⁷ D.x⁸ 2. 成语是中国民族传统文化的重要组成部分，学习成语，可以帮助我们更好地理解和传承中华文化.下 列成语所描述的事件中，属于必然事件的是(▲) A. 拔苗助长 B. 守株待兔 C. 画饼充饥 D. 旭日东升 3. 若A(a³-2b)=a⁵ -2a²b, 则代数式A 为( ▲ ) A.a B.a² C.ab² D.a²b 4. 如图，将一块含45°的三角板和一块直尺放在一起，若∠2=65°,则∠的度数为(▲) A.20° B.25° C.30° D.35° 4题图 5题图 5. 网课已经成为学习的一种方式，小南在上网课时把手机放在如图所示的一个支架上面，就能非常方便 地支起手机，该支架采用了三角形结构，这样设计的原理是(▲) A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形具有稳定性 6. 下列运算正确的是(▲) A.(a-2b)(a+2b)=a²-2b² B.(a+b)²=a²+b² C.(-a-b)²=a²+2ab+b² D.(a²)³÷a⁵=1 7. 木工师傅要把两根长分别为30cm,50cm 的木条钉成三角形木架，第三根木条不能选取的长度是(▲) A.20cm B.30cm C.40cm D.50cm 初2027届半期数学试题 第1页共8页 8. 若关于x的二次三项式x²-(k-2)x+16 是一个完全平方式，那么常数k 的 值 是 ( ▲ ) A.-6 B.6 C.10 或 - 6 D.±6 9. 如图，点F、A、D、C在同一直线上，FA=DC,AB//DE, 添加一个条件，仍不能判断△ABC≌△DEF 的 是 ( ▲ ) A.BC//EF B.AB=DE C.BC=EF D. ∠B=∠E 9题图 11题图 10 . 下列说法正确的是(▲) A. 三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部 B. 三角形的三条高都在三角形内部 C. 全等三角形的中线相等 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 11. 折纸起源于中国，不仅是一种手工技艺，更是承载历史记忆与文化密码的载体、如图，四边形ABCD 为一张长方形纸片，点E、F 分别为AB、CD 边上一点，小南将这张纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B、C 分别落在点M、N 的 位 置 ，BC 的对应边MN 与CD 交于点G, 若∠BEF=α, 则∠FGN 的 度 数 为 ( ▲ ) A. B. C. D.2α-90° 12. 关 于x 的多项式， A=8x³-12x²+6x-1=a(x-1)³+b(x-1)²+c(x-1)+d,B=x²+ex+f ( 其 中a, b,c,d,e,f 均为常数),下列说法中正确的有(▲) ①当B 能 被(x-3) 整除时，3e+f=-9; ②当多项式A 与 B 的乘积中不含x⁴ 项时， ③a+b+c=26. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 初2027届半期数学试题 第2页共8页 学科网（北京）股份有限公司 二 、填空题 (本大题共12个小题，每题3分，共36分)请将每小题的答案直接填在答题卡 对应的横线上. 13.“墙角数枝梅，凌寒独自开”,某品种的梅花花粉直径为0.000032米，数据0.000032用科学记数法表 示为 ▲ _ 14. 一个三角形三个内角的度数之比是5:3:1,那么这个三角形最大内角的度数是 _ 15. 若a*=8,a=9, 则a*+V=_ ▲ 16. 在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、黄、绿、蓝四种颜色的小球.已知袋中有 红球4个，绿球23个，蓝球7个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是,则袋中黄球有 个. 17. 已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数为 ▲ _ 18. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座 学科网（北京）股份有限公司 高度忽略不计)如图所示，其中AD⊥DE,BC//DE. 此时∠BAD的度数为 ▲ _ 18题图 19. 如图，直线AB、CD 相交于点G,EG⊥GC,GF 经使用发现，当∠ABC=126° 时，台灯光线最佳， 19题图 平分∠EGB, 若∠FGC:∠CGB=1:3, 则∠AGD的度数为 ▲ _ 20. 已知a²+b²-2a+4b+5=0, 则代数式(a+b)²的值为_ _ 21.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C,D 均落在格点上，则∠BCD+∠ACD 的度数为 _ · 22. 如图，在△ABC 中 ，CD 是△ABC 的中线，E 是BC 上的一点，连接AE 交 CD 于点F, 若AF=3EF, 记△AFC 的面积为S₁, 四边形BEFD 的面积为S₂, 则 的值为 _ 21题图 初2027届半期数学试题 第3页北9西 22题图 23. 如图，在△ ABC 中，∠ B=68°,△ABC 的高线 AD,CE 相交于点 F, 点 M 、N 分别在DA和EC 的延长线上，AG 、CG 分别平分∠CAM和∠ACN, AH 、CH 分别平分∠CAG和∠ACG, 则∠H=. ▲ _ · 24. 一个四位自然数M (各数位上的数字均不为0),若个位数字与十位数 字的平方和等于它千位数字与百位数字顺次组成的两位数，则称这个四位 数为“美丽平方和数". 比如：1714,满足1²+4²=17,则1714为“美丽 平方和数”;比如：1234,由于3²+4²=25≠12,则1234不是“美丽平方 和数”.如果一个“美丽平方和数”M 的千位数字为a, 百位数字为b, 十位数 23题图 字为c, 个位数字为 记 , 当F(M),G(M) 均为整 数时，满足条件的M 的最小值是 ▲ _ 三 、计算题 (本大题共3个小题，25、26题每小题5分，27题8分，共28分)解答时每小 题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 25. 计算： (1) (2)2a⁴·a²-(a²)³+(3a⁴)²÷3a² 26. 化简： (1)(x-2y)(2x+y)-3x(x-y) (2)(a+2b-3c)(2b+3c+a) 27. 先化简，再求值： [(2x-y)²+(2x-y)(y+2x)-2x(x-3y)]÷2x, 其中x=2,y=-1. 初2027届半期数学试题 第4页共8页 四 、解 答 题 ( 本 大 题 共 5 个 小 题 ， 2 8 题 8 分 ， 2 9 - 3 1 题 每 题 1 0 分 ， 3 2 题 1 2 分 ， 共 5 0 分 ) 解 答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线),请将解答 过程书写在答题卡中对应的位置上 . 28. 如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°, 点 D 为 AB 边上一点，点E,F 为 BC 边上两点，连接DE. (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点F 作直线FG//DE 交 AC 于 点G, 连接EG; (保留作图痕 迹，不写作法和结论) (2)在(1)所作的图形中，小南同学发现，若∠EGF+∠ADE=180°, 则EG⊥AC. 请完成下面的推导 过程 . 证明：∵ FG//DE ( 已 知 ) ∴∠EGF=∠DEG(__ ① ∵∠EGF+∠ADE=180° (已知) ∴∠DEG+∠ADE=180° (等量代换) ∴AB//EG( ② ③ (两直线平行，同位角相等) ∵∠A=90° (已知) ∴∠EGC=90° (等量代换) ∴ ④ (垂直的定义) 初2027届半期数学试题 第5页共8页 29. 南开讲坛既是南开学子探索学术的窗口，亦是点燃创新火种的殿堂.在这里，前沿知识与人文情怀交融， 激发着南开学子对未知的渴望与探索的勇气.为了解同学们的兴趣爱好，学校随机抽取了部分同学最喜 欢的讲座类别进行调查(被调查的每名学生只选择其中一种),并对调查结果进行收集、整理、描述、分 析，下面给出部分信息： ( 其 它 ) ( 20 % 体育 ) ( 科 技 36 ) ( 人文 术 20% )最喜欢的讲座类别频数(人数)统计表 最喜欢的讲座类别扇形统计图 类别 频数(人数) 科技 a 人文 40 艺术 20 体育 40 其它 b 请根据图表中提供的信息回答下列问题： (1)a= ▲ ,b= ▲ ,在扇形统计图中，“体育”所在扇形的圆心角度数为 ▲ ; (2)若该校共有3600名学生，请估计喜欢的讲座类别为艺术和体育的共有多少名； (3)随着AI ·NK 教育大模型的启动，下一期的南开讲坛主题为人工智能.每个班有12个去现场的名额， 老师准备随机选取去现场的学生. 已知学生小开的班上共有学生50名，求小开能被选中去现场参加下一 期南开讲坛的概率. 30. 如图，已知B、E、C、F 在同一条直线上， BE=CF,AB=DE 且 AB//DE,AC 与 DE 交于点G. (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)若∠B=35°,∠F=65°, 求 ∠EGC 的度数 . 初2027届半期数学试题 第6页共8页 学科网（北京）股份有限公司 31. 在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系.如图1,是--个 面积为(2a+b)²的图形，同时此图形中有4个边长为a 的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分 别为a 和b 的长方形，从而可以得到乘法公式(2a+b)²=4a²+4ab+b² . 初2027届半期数学试题 第7页共8页 学科网（北京）股份有限公司 图1 图2 图3 (1)如图2,若2a+b=6,4a²+b²=24, 则图中阴影部分的面积为 ; (2)若(2025-)(2y-4043)=2, 求代数式4(2025-v)²+(2y-4043)² 的值； (3)观察图3, ①从图3中得到(a+2b+c)²=_ ▲ ; ②根据得到的结论，解决问题： 已 知 a+2b+c=5,a²+4b²+c²=13, , 求 代 数 式 4a²b²+a²c²+4b²c² 的值. 32. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°;AB=AC, 点 E 为 AC 上一点，连接 BE, 过点C 作 交 BE延长线于点D, 连接AD, 过 点A 作 AG⊥AD交 BE 于点G. (1)求证：AG=AD; (2)如图2,连接CG, 取 CG 中点H, 连接AH 并延长AH 至点K,使得 HK=AH, 连接 CK,求证：BD=2AH; (3)如图3,将△ABE 沿 BE 折叠至△A'BE, 连接CA', 将CA '绕点C 逆时针旋转45°至CM, 连接AM 交A'B 所在直线于点F, 当 AM 取得最小值时，直接写出∠A'FM 的度数. ( 图1 )图3 M 备用图 初2027届半期数学试题 第8页共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$