重点专题3.4 二项分布，超几何分布，高尔顿板模型【7大题型】- 【重难点突破】2024-2025学年高二下学期·人教A版·热点题型专练

【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 专题3-4 二项分布，超几何分布，高尔顿板模型 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】n重伯努利试验 【题型2】 利用二项分布求分布列 【题型3】二项分布的均值与方差 【题型4】超几何分布 模块二 综合提升 【题型5】二项分布与超几何分布的综合应用 【题型6】高尔顿板模型 【题型7】二项分布的随机变量概率最大问题 课后巩固 题型汇编 知识梳理与常考题型 基础知识梳理 一、二项分布 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 二、超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． ②均值： 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 模块一 重点题型梳理 【题型1】n重伯努利试验 重伯努利试验概率求法步骤：①依据重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为重伯努利试验；②判断所求事件是否需要分拆；③就每个事件依据重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件加法公式(或独立事件概率乘法公式)计算. 典型例题 【例题1】袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 【例题2】重复抛掷一枚质地均匀、点数为1到6的骰子，若抛掷5次恰好出现3次1点的概率为，则 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是，乙赢的概率是，则甲以获胜的概率是 ． 【巩固练习2】某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为.若每轮射击中命中目标得1分，未命中目标得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为 . 【巩固练习3】甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】甲、乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用4局3胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为 【题型2】 利用二项分布求分布列 基础知识 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 典型例题 【例题1】一个箱子中装有4个黑球，2个白球，小球除颜色外其他都相同，每次从箱子中随机取出一个球，取出4个黑球即停止. (1)若从箱子中不放回地取球，求恰好第5次停止的概率； (2)若从箱子中有放回地取球，记5次之内（含5次）取到黑球的次数为，求的分布列. 【例题2】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是，进入达人秀决赛的概率均是，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响． (1)求甲两个比赛都进入决赛的概率； (2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为．求随机变量的概率分布 【例题3】（23-24高二下·广东·期中）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表： 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． (1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； (2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为，求的分布列． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的概率为，向右移动的概率为 (1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在处的概率; (2)记质点3秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列. 【巩固练习2】某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”.从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据. 时间t/min ［0,12） ［12,24） ［24,36） ［36,48） ［48,60） ［60,72］ 人数 6 30 35 19 6 4 (1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率； (2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数； (3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 【巩固练习3】已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的概率为，向右移动的概率为 (1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在处的概率; (2)记质点3秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列. 【题型3】二项分布的均值与方差 基础知识 若服从二项分布，则 典型例题 【例题1】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·江西南昌·期末）小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（   ） 注：设X，Y为两个随机变量，则有. A．5 B．6 C．7 D．8 【例题3】（23-24高二下·重庆·期中）已知离散型随机变量服从二项分布，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2025·山东青岛·一模）为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. (1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 【巩固练习3】（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表抽到的二等品件数，则 ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：，则 ． 【题型4】超几何分布 基础知识 判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽样；③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 典型例题 【例题1】（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. (1)求取出的3个球中有2个白球的概率；(2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【例题2】（23-24高二下·青海海东·期中）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为. (1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； (2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列. 【例题3】（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 巩固练习 题型 【巩固练习1】从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）某学校计划开设人工智能课程，为了解学生对人工智能是否感兴趣，随机从该校男生和女生中各抽取100人进行调查，调查结果显示，对人工智能感兴趣的男生比女生多20人，且从样本中随机抽取1人，在抽取的1人对人工智能感兴趣的条件下，该人是男生的概率为． (1)完成下列答题卡中的表格； 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 合计 (2)从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行采访，用随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望． 【巩固练习3】（23-24高二下·广东梅州·阶段练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列；(3)设表示取到的粽子的种类，求的分布列. 模块二 综合提升 【题型5】二项分布与超几何分布的综合应用 解题技巧 超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布. 典型例题 【例题1】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 【例题2】（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）某流水线生产一批A产品，按质量标准分为一等品、二等品、三等品，共三个等级．现从该批产品中随机抽取100件，其中一等品有80件，二等品有10件，三等品有10件． (1)若根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若将100件产品中各等级的频率视为概率，从流水线上任取5件产品，记这5件产品中一等品的数量为Y，求Y的数学期望与方差． 【例题3】（23-24高二下·重庆·期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 巩固练习 题型 【巩固练习1】从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 【巩固练习2】（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？请说明理由. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产． (1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了次，求随机变量的分布列与期望； (2)设每件新产品为次品的概率都为，且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为，问取何值时，最大． 【题型6】高尔顿板模型 典型例题 【例题1】（23-24高二下·河南·期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（    ） A． B．2，1 C．3，1 D． 【例题2】（24-25高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知展开式前三项的二项式系数和为22． (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中；格子从左到右分别编号为0，1，2，，用表示小球最后落入格子的号码，求的分布列以及均值与方差． 【巩固练习1】（24-25高三上·湖北·期中）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高二下·福建三明·期中）在图1杨辉三角和图2高尔顿板模型中，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率，第三个缝隙落下的概率是，小球从第行第个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（高二下·江苏常州·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有层小木块，小球从通道口落下，第一次与第层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过次与小木块碰撞，最后掉入编号为、、、的球槽内.例如小球要掉入号球槽，则在次碰撞中有次向右次向左滚下.    (1)如图1，进行一次高尔顿板试验，试比较小球落入号球槽、号球槽的概率大小； (2)小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少至层，且小球在下落的过程中与小木块碰撞一次时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过次碰撞后，最后掉入编号为、、、的球槽内.小明准备利用改进后的高尔顿板进行盈利性“抽奖”活动，只需付费元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中.你觉得小明能盈利吗？请说明理由. 【题型7】二项分布的随机变量概率最大问题 二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 典型例题 【例题1】（23-24高二下·四川攀枝花·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．5.6 B．6.4 C．7.2 D．8 【例题2】（多选）（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知随机变量服从二项分布，，下列判断正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．的最大值为 【例题3】随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. (1)求同学甲第二天选择套餐的概率； (2)证明：数列为等比数列； (3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择A类套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择A类套餐的概率，求取最大值时对应的的值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ． 【巩固练习2】（23-24高二下·重庆·期末）某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【巩固练习3】（23-24高二下·西藏拉萨·期末）在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖. (1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 课后巩固 1. 甲从装有除颜色外都相同的3个黑球和m个白球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸出黑球的个数为X，若，则 ． 2. 小明上学途中共有n个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为， 记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，且小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为， 则n= ， E()= . 3. （高二下·广东湛江·期中）袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求； (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列；(2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列． 4. （23-24高二下·江苏南京·期末）(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数（例如1010101010），已知出现“0”的概率为，出现“1”的概率为，记，则当程序运行一次时（    ） A．X服从二项分布 B． C． D． 5. （高二下·河南郑州·阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是 ． 6. （23-24高二下·山东枣庄·期末）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入 号格子的概率最大. 7. 某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为，且每道题答对与否互不影响. (1)分别求小张，小王答对题目数的分布列； (2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求的取值范围. 8. （23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. (1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； (2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 专题3-4 二项分布，超几何分布，高尔顿板模型 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】n重伯努利试验 【题型2】 利用二项分布求分布列 【题型3】二项分布的均值与方差 【题型4】超几何分布 模块二 综合提升 【题型5】二项分布与超几何分布的综合应用 【题型6】高尔顿板模型 【题型7】二项分布的随机变量概率最大问题 课后巩固 题型汇编 知识梳理与常考题型 基础知识梳理 一、二项分布 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 二、超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． ②均值： 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 模块一 重点题型梳理 【题型1】n重伯努利试验 重伯努利试验概率求法步骤：①依据重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为重伯努利试验；②判断所求事件是否需要分拆；③就每个事件依据重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件加法公式(或独立事件概率乘法公式)计算. 典型例题 【例题1】袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，表示前次中取到次红球，第次取到红球，所以， 故选：B. 【例题2】重复抛掷一枚质地均匀、点数为1到6的骰子，若抛掷5次恰好出现3次1点的概率为，则 ． 【答案】250 【详解】依题意，每次出现1点的概率为， 则抛掷5次恰好出现3次1点的概率为， 所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是，乙赢的概率是，则甲以获胜的概率是 ． 【答案】 【详解】甲以获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜， 甲以获胜的概率是． 故答案为：. 【巩固练习2】某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为.若每轮射击中命中目标得1分，未命中目标得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为 . 【答案】 【详解】解：进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为： . 【巩固练习3】甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利时前3局胜2局第4局胜共有种情况，所以甲通过4局比赛获得胜利的概率是 【巩固练习4】甲、乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用4局3胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为 【答案】 【详解】由题意知，若比赛只有3局，3局都是乙胜的概率为， 若比赛有4局，前3局乙胜2局，第4局乙胜的概率， 所以乙战胜甲的概率为． 【题型2】 利用二项分布求分布列 基础知识 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 典型例题 【例题1】一个箱子中装有4个黑球，2个白球，小球除颜色外其他都相同，每次从箱子中随机取出一个球，取出4个黑球即停止. (1)若从箱子中不放回地取球，求恰好第5次停止的概率； (2)若从箱子中有放回地取球，记5次之内（含5次）取到黑球的次数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）依题意，5次取球中最后一次必为黑球，可先考虑从2个白球中取出1个，再在前4次取球顺序中确定1个序号， 最后进行全排即得方法数为：，而总的方法数为，故恰好第5次停止的概率为. （2）随机变量的取值为. ， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 故. 【例题1】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是，进入达人秀决赛的概率均是，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响． (1)求甲两个比赛都进入决赛的概率； (2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为．求随机变量的概率分布 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据题意分别求出甲进入校园歌手大赛决赛和进入达人秀决赛的概率，再由独立事件的乘法公式求解即可. （2）根据题意先求出的所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解. 【详解】（1）设“甲进入校园歌手大赛决赛”为事件，“甲进入达人秀决赛”为事件， 则， 因为每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响， 所以事件和事件相互独立， 所以甲两个比赛都进入决赛的概率为. 故甲两个比赛都进入决赛的概率为. （2）的可能取值为，所以 ， ， ， ， 故随机变量的分布列为： 所以. 【例题3】（23-24高二下·广东·期中）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表： 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． (1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； (2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件，“回答正确”为事件，利用全概率公式求出，再由条件概率公式计算可得； （2）由（1）可得，根据二项分布的概率公式求出相应的概率，即可得到分布列. 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件，“回答正确”为事件， 由测试结果知，，，， 所以． 记“测试的个问题都回答正确”为事件，“测试的个问题中恰有个存在语法错误”为事件， 则， ， 所以． （2）由（1）可得，则的可能取值为，，，， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的概率为，向右移动的概率为 (1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在处的概率; (2)记质点3秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【详解】（1）记质点2 秒后所在位置对应的实数为非负数为事件A，记2秒后质点在处的概率为事件B， 则，， 故所求的概率为； （2）的可能取值为：，，1， 则， ， ， 分布列如下： X 1 3 P 【巩固练习2】某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”.从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据. 时间t/min ［0,12） ［12,24） ［24,36） ［36,48） ［48,60） ［60,72］ 人数 6 30 35 19 6 4 (1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率； (2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数； (3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量X，求X的分布列. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）由表格数据可知，学生每日使用手机的时间小于共有人，故所求概率. （2）设中位数为，由表格数据知，使用手机的时间小于的频率为， 使用手机的时间小于的频率为，故， 所以，解得， 即估计该校所有学生每日使用手机的时间的中位数为. （3）由题可得学生每日使用手机的时间在内的概率为， 则， 所以，， ，， 所以X的分布列为 0 1 2 3 【巩固练习3】已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的概率为，向右移动的概率为 (1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在处的概率; (2)记质点3秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【详解】（1）记质点2 秒后所在位置对应的实数为非负数为事件A，记2秒后质点在处的概率为事件B， 则，， 故所求的概率为； （2）的可能取值为：，，1， 则， ， ， 分布列如下： X 1 3 P 【题型3】二项分布的均值与方差 基础知识 若服从二项分布，则 典型例题 【例题1】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求. 【详解】设小明投中次数为，则由题意可知， 则，， 因为投中一次得2分，没投中得0分，所以， 则，. 【例题2】（24-25高二上·江西南昌·期末）小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（   ） 注：设X，Y为两个随机变量，则有. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望性质直接计算即可. 【详解】服从二项分布，. 同理，， . 【例题3】（23-24高二下·重庆·期中）已知离散型随机变量服从二项分布，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的均值和方差性质建立方程，然后根据基本不等式求解最大值即可. 【详解】离散型随机变量服从二项分布， 所以有， 所以，即， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】根据随机变量，且，根据二项分布的性质， 可得，计算得，故A正确； 根据二项分布的期望和方差公式，可得，，故B正确，C错误； 由二项分布可知，故D错误. 【巩固练习2】（2025·山东青岛·一模）为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. (1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 【答案】(1) (2)期望为，方差为 【分析】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时，利用全概率公式可求出的值，再利用条件概率公式可求得的值； （2）分析可知，，利用二项分布的期望和方差公式即可得解. 【详解】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时， 则，，，， 由全概率公式可得， 由条件概率公式可得. 因此，在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，则此人为男生的概率为. （2）从该地区的高中生中随机抽取人，该生日均运动时间大于小时的概率为， 由题意可知，所以，，. 【巩固练习3】（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表抽到的二等品件数，则 ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：，则 ． 【答案】 196 【分析】由题意可得，然后利用二项分布的方差公式及性质求解即可. 【详解】因为一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，其中X表示抽到的二等品件数， 所以抽到二等品的件数符合二项分布，即， 所以， 因为检测费用Y元与二等品件数X满足：， 所以 【题型4】超几何分布 基础知识 判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽样；③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 典型例题 【例题1】（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 【例题2】（23-24高二下·青海海东·期中）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为. (1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； (2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列. 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）先根据古典概率概率公式结合组合数的运算求得，然后再利用古典概型求得所求事件的概率即可； （2）先求出随机变量的可能取值，然后计算对应的概率值，写出分布列即可. 【详解】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有， 故全是大集团的概率是， 整理得到，解得， 若2个全是大集团，共有（种）情况， 若2个全是小集团，共有（种）情况， 故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为； （2）由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2，3， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 【例题3】（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【答案】(1)， (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）先根据已知列方程算出，进一步可得； （2）根据古典概型概率计算公式即可求解； （3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式. 【详解】（1）由题意得  解得. 由，得解得. （2）所求的概率为 . （3）由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 均值为， 方差为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设得分为，根据题意可以取，，. 则，， ， 则分布列为： 4 3 2 所以得分期望为. 【巩固练习2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）某学校计划开设人工智能课程，为了解学生对人工智能是否感兴趣，随机从该校男生和女生中各抽取100人进行调查，调查结果显示，对人工智能感兴趣的男生比女生多20人，且从样本中随机抽取1人，在抽取的1人对人工智能感兴趣的条件下，该人是男生的概率为． (1)完成下列答题卡中的表格； 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 合计 (2)从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行采访，用随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)表格见解析 (2)分布列见解析， 【分析】（1）设对人工智能感兴趣的男生人数为，即可得到感兴趣与不感兴趣的人生，再由古典概型的概率公式求出，即可完成表格； （2）首先求出男、女被抽到的人数，依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【详解】（1）设对人工智能感兴趣的男生人数为，则不感兴趣的男生有人， 感兴趣的女生有人，不感兴趣的女生有人， 所以感兴趣的共有人，不感兴趣的共有人． 因为从样本中随机抽取1人，在抽取的1人对人工智能感兴趣的条件下， 该人是男生的概率为，所以，解得． 所以表格完成如下： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 80 20 100 女生 60 40 100 合计 140 60 200 （2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人， 其中男生人，女生人， 所以的可能取值为、、、． 所以；；；． 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 【巩固练习3】（23-24高二下·广东梅州·阶段练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列； (3)设表示取到的粽子的种类，求的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据组合数公式和古典概型概率公式，即可求解； （2）根据超几何概率公式，列式求解； （3）根据题意，结合互斥事件，对立事件概率公式，即可求解. 【详解】（1）令表示事件“三种粽子各取到1个”，则； （2）的所有可能值为， 且 综上知，的分布列为 1 2 3 （3）由题意知的所有可能值为，且，. 综上知，的分布列为 1 2 3 模块二 综合提升 【题型5】二项分布与超几何分布的综合应用 解题技巧 超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布. 典型例题 【例题1】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 【答案】ACD 【分析】利用二项分布、超几何分布的意义判断BC；求出的所有可能值的概率即可判断AD作答. 【详解】随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，， 因此随机变量X服从超几何分布，B错误，C正确； ，，， ，，A正确； ，D正确. 故选：ACD 【例题2】（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）某流水线生产一批A产品，按质量标准分为一等品、二等品、三等品，共三个等级．现从该批产品中随机抽取100件，其中一等品有80件，二等品有10件，三等品有10件． (1)若根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若将100件产品中各等级的频率视为概率，从流水线上任取5件产品，记这5件产品中一等品的数量为Y，求Y的数学期望与方差． 【答案】(1)分布列见解析，， (2) 【分析】（1）先根据分层抽样的定义，按比例求出所抽的10件产品中一等品､二等品､三等品的件数分别为8，1，1件，则的可能取值为1，2，3，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列与数学期望； （2）先求出取出是一等品的概率，则由题意可知服从二项分布，然后利用二项分布的期望和方差公式可求出的数学期望与方差． 【详解】（1）由题意可知抽取的10件产品中一等品有件，二等品有件，三等品有件， 所以的可能取值为1，2，3，则 ， ， ， 所以的分布列如下表 1 2 3 所以 （2）由题意得从这100件产品中取出1件是一等品的概率为， 则由题意可知， 所以 【例题3】（23-24高二下·重庆·期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3),. 【分析】（1）依题意，运用古典概率公式即可求得其概率； （2）根据题意得到的可能值为0，1，2，3，利用超几何分布概率公式求得相关概率，列出分布列，计算出数学期望即可； （3）由分析可得，随机变量，利用二项分布概率的相关公式即可求得数学期望和方差. 【详解】（1）因这100个脐橙中一级果有40个，则从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率为； （2）按照比例分配的分层随机抽样，所抽取的10个脐橙中，分别是二级果，一级果，特级果的个数依次为3个，4个，3个， 再抽取3个脐橙中特级果的个数的可能值为0，1，2，3， 则；；；. 则X的分布列为： 0 1 2 3 则； （3）依题，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个脐橙，是二级果的个数满足， 于是Y的期望是,Y的方差为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1)分布列见解析，期望为1.2 (2)分布列见解析，1.2 【详解】（1）由题意知，的值为 ， ， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 . （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，且. . 的分布列为： 0 1 2 3 . 【巩固练习2】（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？请说明理由. 【答案】(1)0.1； (2)（i）490；（ii）应该对余下的产品作检验，理由见解析. 【分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；方法二：根据所求式子特征，利用基本不等式求最值，并根据等号成立条件求. （2）由（1）得，在解（i）的时候，先求剩余180件产品中不合格产品的期望，再根据变量之间的关系，求得总费用的期望；在解（ii）的时候，通过比较两个期望的大小，得到结果. 【详解】（1）方法一（通性通法）利用导数求最值 20件产品中恰有2件不合格品的概率为. 因此. 令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的最大值点为； 方法二（最优解）均值不等式 由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为. ， 当且仅当，即取等号， 故即为所求. （2）由（1）知，. （i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知， 即，且, 所以. （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于，故应该对余下的产品作检验. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产． (1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了次，求随机变量的分布列与期望； (2)设每件新产品为次品的概率都为，且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为，问取何值时，最大． 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)时，取得最大值 【分析】(1)根据X的取值分别为2，3，4，求得X的分布列，进而求期望即可； (2)根据题意求出的表达式，再求导数，判断出单调性即可求极值得解. 【详解】（1）根据题意可知X的取值可能为2，3，4， 则，， ， 则的分布列为： 2 3 4 所以. （2）由题意可得，， ， 令，解得， 因为当时，，所以为单调增函数， 因为时，，所以为单调减函数， 所以当时，取得最大值. 【题型6】高尔顿板模型 典型例题 【例题1】（23-24高二下·河南·期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（    ） A． B．2，1 C．3，1 D． 【答案】C 【分析】利用二项分布的概率公式及离散型随机变量的期望公式、方差公式一一计算即可. 【详解】白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为， 则向左的次数服从二项分布. 因为，， 所以， . 【例题2】（24-25高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的公式可判断CD选项． 【详解】设“向右下落”，则“向左下落”，， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确 【例题3】（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知展开式前三项的二项式系数和为22． (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中；格子从左到右分别编号为0，1，2，，用表示小球最后落入格子的号码，求的分布列以及均值与方差． 【答案】(1)；常数项为60 (2)分布列见解析；期望为， 【分析】（1）根据题意列出方程求得的值，写出二项展开式的通项公式，赋值求常数项即得； （2）由题意，分析得出变量，写出分布列，并根据均值和方差公式计算即得. 【详解】（1）依题意有：，即：， 解得：，或（舍去） 由通项公式可得：，， 令，解得：， 所以展开式的常数项为； （2）依题意有， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 ，． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三上·湖北·期中）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，由二项分布的性质计算概率即可. 【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍. 所以向左下落的概率为，向右下落的概率为， 则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置， 故此时概率为：. 【巩固练习2】（23-24高二下·福建三明·期中）在图1杨辉三角和图2高尔顿板模型中，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率，第三个缝隙落下的概率是，小球从第行第个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式，计算取各个值的概率即可判断作答． 【详解】小球落下要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 小球从第6行第个缝隙落下，则6次碰撞有次向右， 则小球从第6行第个缝隙落下的概率为， 于是得， ， ，， 所以A、B、D不可能，C可能． 【巩固练习3】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可． 【分析】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 【巩固练习4】（高二下·江苏常州·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有层小木块，小球从通道口落下，第一次与第层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过次与小木块碰撞，最后掉入编号为、、、的球槽内.例如小球要掉入号球槽，则在次碰撞中有次向右次向左滚下.    (1)如图1，进行一次高尔顿板试验，试比较小球落入号球槽、号球槽的概率大小； (2)小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少至层，且小球在下落的过程中与小木块碰撞一次时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过次碰撞后，最后掉入编号为、、、的球槽内.小明准备利用改进后的高尔顿板进行盈利性“抽奖”活动，只需付费元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中.你觉得小明能盈利吗？请说明理由. 【答案】(1)小球落入号球槽的概率小于小球落入号球槽的概率. (2)小明能盈利，理由见解析 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式分别求出小球落入号球槽、号球槽的概率，比较大小后可得出结论； （2）设小球落入的球槽编号为，计算出在不同取值下的概率，根据可求出的值，将与进行大小比较可得出结论. 【详解】（1）解：小球落入号球槽的概率， 小球落入号球槽的概率，则， 据此可得小球落入号球槽的概率小于小球落入号球槽的概率. （2）解：设小球落入的球槽编号为，则的可能取值为、、、、， 则，， ，， ， 因为， 所以，， 据此可知，小明能盈利. 【题型7】二项分布的随机变量概率最大问题 二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 典型例题 【例题1】（23-24高二下·四川攀枝花·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．5.6 B．6.4 C．7.2 D．8 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此，所以. 【例题2】（多选）（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知随机变量服从二项分布，，下列判断正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据二项分布的期望方差公式判断A、C，根据二项分布的概率公式判断B，由，令，利用导数求出函数的最大值，即可判断D. 【详解】因为， 由，解得，所以，故A正确． ，故B正确． 由，解得或，所以或，故C错误． ， 设函数， 则． 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以的最大值为，故D正确． 【例题3】随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. (1)求同学甲第二天选择套餐的概率； (2)证明：数列为等比数列； (3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择A类套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择A类套餐的概率，求取最大值时对应的的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)33 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合全概率公式可得，结合等比数列的定义分析证明； （3）根据题意分析可得，结合二项分布的概率公式列式求解. 【详解】（1）设“第1天选择B套餐”，“第2天选择B套餐”， 则“第1天不选择B套餐”. 根据题意可知：. 由全概率公式可得. （2）设“第天选择B套餐”，则， 根据题意. 由全概率公式可得 ， 整理得，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （3）第二天选择A类套餐的概率 由题意可得：同学甲第二天选择A类套餐的概率为，则不选择A类套餐的概率为， 所以，则， 当取最大值时，则， 即，解得， 且，所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ． 【答案】7 【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出，再利用不等式法求概率的最大值. 【详解】依题意，得解得， 故，所以． 当最大时， 即 即整理得 解得，而，因此． 【巩固练习2】（23-24高二下·重庆·期末）某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的概率公式结合不等式组法求解即可. 【详解】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率， 则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 【巩固练习3】（23-24高二下·西藏拉萨·期末）在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖. (1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 【答案】(1)分布列见解析， (2)2枚 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求出各种情况概率，列出的分布列，并求； （2）运用二项分布的概率公式，假设最大，则，解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，可取0，1，2，3，4. ， ， ， ，… ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）每一轮获得纪念章的概率为， 每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布， 设10轮答题获得纪念章的数量为，则， ，. 由， 得， 解得，又，得，则获得2枚纪念章的概率最大. 课后巩固 1. 甲从装有除颜色外都相同的3个黑球和m个白球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸出黑球的个数为X，若，则 ． 【答案】 【详解】甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次， 记摸得黑球个数为，则， ∵，∴，∴， ∴. 2. 小明上学途中共有n个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为， 记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，且小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为， 则n= ， E()= . 【答案】 【详解】由题设，遇到次红灯的概率为，又， 所以，则，显然且， 当时，；当时，；当时，； 所以. 又，由二项分布期望的求法可得. 3. （高二下·广东湛江·期中）袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求； (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析. 【分析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列． （2）不放回抽样时，取到的黑球个数Y可能的取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列． 【详解】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3， 每次抽到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）不放回抽样时，取到的黑球个数Y可能的取值为0，1，2， ， 故Y的分布列为： Y 0 1 2 P 4. （23-24高二下·江苏南京·期末）(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数（例如1010101010），已知出现“0”的概率为，出现“1”的概率为，记，则当程序运行一次时（    ） A．X服从二项分布 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据二项分布的定义可判断A的正误，利用二项分布可判断B的正误，利用公式计算出的期望和方差后可判断CD的正误. 【详解】由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0，1且每个数位上的数字互不影响， 故X的可能取值有，且的取值表示1出现的次数， 由二项分布的定义可得：，故A正确. 故，故B错误； 因为，所以，， 故C正确，D错误． 5. （高二下·河南郑州·阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是 ． ①；②； ③；④． 【答案】②③④ 【分析】先记，根据已知条件可得；再根据对称性和二项分布的概率公式可得出X的所有可能取值的概率；最后利用随机变量的均值公式即可求解. 【详解】由题意可知：X的所有可能取值为：1，2，3，4，5， 6；小球在下落过程中共碰撞五次；小球最后落入格子的号码等于小球发生碰撞后向右落下的次数加1. 用表示事件“碰撞后向右落下”，Y表示小球发生碰撞后向右落下的次数. 则，， 由对称性可知：； ； ； 则. 故答案为：②③④ 6. （23-24高二下·山东枣庄·期末）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入 号格子的概率最大. 【答案】 【分析】利用次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件即可求解. 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为， 设小球掉入号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又为整数， ， 则小球落入8号格子的概率最大. 7. 某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为，且每道题答对与否互不影响. (1)分别求小张，小王答对题目数的分布列； (2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）设小张答对的题目数为，可知随机变量服从超几何分布，的取值分别为1，2，3，4. 有，， ，， 故小张答对的题目数的分布列为 X 1 2 3 4 P 设小王答对的题目数为，可知随机变量服从二项分布，的取值分别为0，1，2，3，4， 有， ， ， ， . 故小王答对的题目数的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P （2）由（1）可知， 而，所以， 若预测小张答对的题目数多于小王答对的题目数， 则，即，可得. 8. （23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. (1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； (2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)答案见解析 (2)60 【分析】（1）方案一就两次独立重复试验，求抽一次中奖后，按二项分布求解即可；方案二的所有可能取值为0，1，2，注意计算第二次的时候数量较少，按照分步计数原理作乘即可. （2）由（1）知方案二抽奖中奖2次的概率为，中奖2次的人数服从二项分布，则，通过单调性找最值即可. 【详解】（1）方案一：设中奖次数为，若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖， 则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布， 即，所以的数学期望为， 方差为； 方案二：设中奖次数为，若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 中奖次数的所有可能取值为0，1，2，则， ，， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为， 方差， ，，两种方案中奖次数的期望相同，但方案一的方差较小，中奖的波动性小， 稳定性较好，故从中奖的数字特征角度来看，顾客甲选方案一较好. （2）每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为，则300位顾客按照方案二抽奖， 其中中奖2次的人数， 恰有人中奖2次的概率为，，， 令，解得， 于是，当时，； 当时，，故当时，最大， 所以300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大. 5 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 1 / 22 专题 3-4 二项分布，超几何分布，高尔顿板模型 模块一 重点题型梳理 【题型 1】n重伯努利试验 【题型 2】 利用二项分布求分布列 【题型 3】二项分布的均值与方差 【题型 4】超几何分布 模块二 综合提升 【题型 5】二项分布与超几何分布的综合应用 【题型 6】高尔顿板模型 【题型 7】二项分布的随机变量概率最大问题 课后巩固 基础知识梳理 一、二项分布 1. n 次独立重复试验 在相同条件下重复做的 n次试验称为 n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率是 p，此时称随机变量 X服从二项分布，记作 ( )X B n p～ , ，并称 p为成功概率. 在 n次独立重复试验中，事件 A恰好发生 k次的概率为 ( ) C (1 ) 0 ), , 2( 1 k k n k n kk p p nP X    ， , ②均值和方差：     )1(E X np D X np p= ， = - 总览 题型·解读 题型汇编 知识梳理与常考题型 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 2 / 22 二、超几何分布 ①定义：在含有M件次品的 N件产品中，任取 n件，其中恰有 X件次品，则 ( ) k n k M N M n N C C C P X k  = = ， k=0，1，2，…，m，其中 m=min{M，n}，且n N M N ， ，n，M，N∈N*，即如果随机变量 X的分 布列具有下表形式 X 0 1 … m P 0 0n M N M n N C C C   1 1n M N M n N C C C   … m n m M N M n N C C C   则称随机变量 X服从超几何分布． ②均值：   nM E X N = 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件 发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事 件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 模块一 重点题型梳理 【题型 1】n重伯努利试验 n 重伯努利试验概率求法步骤：①依据n 重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为n 重伯努利试验； ②判断所求事件是否需要分拆；③就每个事件依据n 重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事 件加法公式(或独立事件概率乘法公式)计算. 【例题 1】袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红 球出现 10 次时停止，设停止时共取了次球，则  12P   等于（ ） A． 10 2 10 12 3 5 C 8 8             B． 9 2 9 11 3 5 3 C 8 8 8             C． 9 2 9 11 5 3 C 8 8             D． 9 2 9 11 3 5 C 8 8             典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 3 / 22 【例题 2】重复抛掷一枚质地均匀、点数为 1 到 6 的骰子，若抛掷 5 次恰好出现 3 次 1 点的概率为 56 n ， 则 n＝ ． 【巩固练习 1】甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5 局 3 胜制，每局甲赢的概率是 2 3 ，乙赢的概率是 1 3 ，则甲以3:1获胜的概率是 ． 【巩固练习 2】某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为 2 3 .若每轮射击 中命中目标得 1 分，未命中目标得 0 分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得 分不小于 3 分的概率为 . 【巩固练习 3】甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为 2 3 ， 比赛没有和局的情况，比赛采用 5 局 3 胜制，则甲通过 4 局比赛获得胜利的概率是（ ） A． 32 81 B． 8 27 C． 16 81 D． 1 2 【巩固练习 4】甲、乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率是 1 3 ，各局比赛是相互独立的， 采用 4 局 3 胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为 【题型 2】 利用二项分布求分布列 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必 有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n 次； 2.当 X 服从二项分布时,应弄清  ,X B n p～ 中的试验次数n 与成功概率 .p 【例题 1】一个箱子中装有 4 个黑球，2 个白球，小球除颜色外其他都相同，每次从箱子中随机取出 一个球，取出 4 个黑球即停止. (1)若从箱子中不放回地取球，求恰好第 5 次停止的概率； (2)若从箱子中有放回地取球，记 5 次之内（含 5 次）取到黑球的次数为 X ，求 X 的分布列. 巩固练习 题型 基础知识 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 4 / 22 【例题 2】（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大 赛和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大 赛决赛的概率均是 3 4 ，进入达人秀决赛的概率均是 1 3 ，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决 赛互不影响． (1)求甲两个比赛都进入决赛的概率； (2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为 X ．求随机变量 X 的概率分布 【例题 3】（23-24 高二下·广东·期中）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科 技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测 试阶段，共测试了 1000 个问题，测试结果如下表： 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概 率，解决下列问题． (1)测试 2 个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的 2 个问题中恰有 1 个问题存在语法错误 的概率； (2)现输入 3 个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为 X ，求 X 的分布列． 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 5 / 22 【巩固练习 1】已知数轴上有一质点，从原点开始每隔 1 秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左 移动的概率为 1 3 ，向右移动的概率为 2 . 3 (1)已知质点 2 秒后所在位置对应的实数为非负数，求 2 秒后该质点在 0x  处的概率; (2)记质点 3 秒后所在位置对应的实数为 X，求 X的分布列. 【巩固练习 2】某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”.从该校学生中随机选 取了 100 名学生，调查得到如下表所示的统计数据. 时间 t/min ［0,12） ［12,24） ［24,36） ［36,48） ［48,60） ［60,72］ 人数 6 30 35 19 6 4 (1)从该校任选 1 名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于 36min 的概率； (2)估计该校所有学生每日使用手机的时间 t的中位数； (3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选 3 人，记这 3 人每日使用手机的时间在 48,72 的人数 为随机变量 X，求 X的分布列和数学期望  E X . 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 6 / 22 【巩固练习 3】已知数轴上有一质点，从原点开始每隔 1 秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左 移动的概率为 1 3 ，向右移动的概率为 2 . 3 (1)已知质点 2 秒后所在位置对应的实数为非负数，求 2 秒后该质点在 0x  处的概率; (2)记质点 3 秒后所在位置对应的实数为 X，求 X的分布列. 【题型 3】二项分布的均值与方差 若 X 服从二项分布  ,X B n p～ ，则     )1(E X np D X np p= ， = - 【例题 1】（23-24 高二下·北京海淀·期末）小明投篮 3 次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不 影响，若投中一次得 2 分，没投中得 0 分，总得分为 X ，则（ ） A．   2.4E X  B．   4.8E X  C．   0.48D X  D．   0.96D X  【例题 2】（24-25 高二上·江西南昌·期末）小明参加户外植树活动，种植了 A，B两种树苗各 5 棵，A 种树苗的成活率为 0.8，B种树苗的成活率为 0.6，记 A，B两种树苗最终成活的棵数分别为 1X ， 2X ， 则  1 2E X X （ ） 注：设 X，Y为两个随机变量，则有  E X Y EX EY   . A．5 B．6 C．7 D．8 【例题 3】（23-24 高二下·重庆·期中）已知离散型随机变量 X 服从二项分布  ,X B n p ，且    9,E X D X t  ，则 pt的最大值为（ ） A． 9 16 B． 4 9 C． 9 4 D． 16 9 基础知识 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 7 / 22 【巩固练习 1】（多选）随机变量  5,X B p ，且   31 1 32 P X   ，则（ ） A． 1 2 p  B．   5 2 E X  C．   3 2 D X  D．   1 2 4 P X   【巩固练习 2】（2025·山东青岛·一模）为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调 查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占40%，女生中有65%的人日均运动 时间大于1小时，男生中有90%的人日均运动时间大于1小时. (1)在被调查的学生中任选1人，若此人日均运动时间大于1小时，求此人为男生的概率； (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取4人，求日均运动时间大于1小时的人数的期望 和方差. 【巩固练习 3】（24-25 高二下·吉林长春·阶段练习）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次 随机取一件，有放回地抽取 100 次．X表抽到的二等品件数，则  D X  ；若将抽出的产品送往 专门的检测部门检测，且检测费用 Y元与二等品件数 X满足： 10 300Y X  ，则  D Y  ． 【题型 4】超几何分布 判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽 样；③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数 , ,N n M 的值；②根据超 几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 巩固练习 题型 基础知识 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 8 / 22 【例题 1】（24-25 高二上·江西南昌·期末）袋中装有 12 个大小相同的球，其中红球 2 个，黄球 3 个， 白球 7 个，从中随机取出 3 个球. (1)求取出的 3 个球中有 2 个白球的概率；(2)设 X表示取到的红球个数，求 X的分布列与数学期望. 【例题 2】（23-24 高二下·青海海东·期中）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用 ,A B两种套 餐的集团用户进行调查，准备从本市  *n nN 个人数超过 1000 的大集团和 3 个人数低于 200 的小 集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取 2 个集团，全是大集团的概率为 5 14 . (1)在取出的 2 个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； (2)若一次抽取 3 个集团，假设取出大集团的个数为 X ，求 X 的分布列. 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 9 / 22 【例题 3】（23-24 高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有 10 名同学，成员构成如下表所 示.表中部分数据不清楚，只知道从这 10 名同学中随机抽取 1 名同学，该名同学的专业为数学的概 率为 2 5 . 性别 中文 数学 英语 体育 男 a b 1 1 女 1 1 1 1 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求 a、b 的值； (2)求选出的 3 名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设Y 为选出的 3 名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量Y 的分布列、均值及方差. 【巩固练习 1】从装有6 个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出1个红球 得 2分，每取出1个白球得1分. 按照规则从容器中任意抽取 2个球，所得分数的期望为（ ） A． 5 2 B．3 C． 10 3 D． 7 2 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 10 / 22 【巩固练习 2】（23-24 高二下·广东佛山·阶段练习）某学校计划开设人工智能课程，为了解学生对人 工智能是否感兴趣，随机从该校男生和女生中各抽取 100 人进行调查，调查结果显示，对人工智能 感兴趣的男生比女生多 20人，且从样本中随机抽取 1人，在抽取的 1人对人工智能感兴趣的条件下， 该人是男生的概率为 4 7 ． (1)完成下列答题卡中的表格； 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 合计 (2)从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取 7 人，再从这 7 人中随机 抽取 3 人进行采访，用随机变量 X 表示抽到的 3 人中女生的人数，求 X 的分布列和数学期望． 【巩固练习 3】（23-24 高二下·广东梅州·阶段练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取 3 个. (1)求三种粽子各取到 1 个的概率； (2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列；(3)设Y 表示取到的粽子的种类，求Y 的分布列. 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 11 / 22 模块二 综合提升 【题型 5】二项分布与超几何分布的综合应用 超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率 求解有截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个 非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别 这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数 M的足够多的产品中，任意抽取 n件(由于产品件数 N无限多， 无放回与有放回无区别，故可看作 n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布. 【例题 1】（多选）（23-24 高二上·全国·课后作业）在一个袋中装有质地、大小均一样的 6 个黑球，4 个白球，现从中任取 4 个小球，设取出的 4 个小球中白球的个数为 X，则下列结论正确的是（ ） A． 3 ( 2) 7 P X   B．随机变量 X 服从二项分布 C．随机变量 X 服从超几何分布 D． 8 ( ) 5 E X  【例题 2】（24-25 高二下·吉林长春·阶段练习）某流水线生产一批 A产品，按质量标准分为一等品、 二等品、三等品，共三个等级．现从该批产品中随机抽取 100 件，其中一等品有 80 件，二等品有 10 件，三等品有 10 件． (1)若根据产品等级，按分层抽样的方法从这 100 件产品中抽取 10 件，再从这 10 件产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中一等品的数量为 X，求 X的分布列与数学期望； (2)若将 100 件产品中各等级的频率视为概率，从流水线上任取 5 件产品，记这 5 件产品中一等品的 数量为 Y，求 Y的数学期望与方差． 解题技巧 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 12 / 22 【例题 3】（23-24 高二下·重庆·期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐 橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多 爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了 100 个，按质量（单位：g ）将它们分类如下：质量在[300,400)的为二级果，质量在[400,500)的为一级 果，质量在[500,600]的为特级果，个数分别为 30 个，40 个，30 个． (1)从这 100 个脐橙中任取 2 个，求 2 个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取 10 个脐橙进行检测， 再从 10 个脐橙中抽取 3 个脐橙作进一步检测，这 3 个脐橙中特级果的个数为 X，求 X的分布列和数 学期望； (3)若这批脐橙的质量都在[300,600]内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取 4 个，求 4 个脐橙中二 级果的个数 Y的期望与方差． 【巩固练习 1】从 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二孩政策 的态度，某市选取 70 后作为调查对象，随机调查了 10 人，其中打算生二胎的有 4 人，不打算生二 胎的有 6 人. (1)从这 10 人中随机抽取 3 人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这 10 人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市 70 后中随机抽取 3 人， 记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 13 / 22 【巩固练习 2】（23-24 高二下·广东东莞·阶段练习）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一 箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产 品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品 的概率都为 (0 1)p p  ，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为  f p ，求  f p 的最大值点 0p ； (2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 0p 作为 p 的值.已知每件 产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费 用. （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ，求  E X ； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？请说明 理由. 【巩固练习 3】（23-24 高二下·广东珠海·阶段练习）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某 企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产． (1)现从试产的新产品中取出了 5 件产品，其中恰有 2 件次品，但不能确定哪 2 件是次品，需对 5 件 产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪 2 件是次品时即终止检验，记终止时一共检验 了 X 次，求随机变量 X 的分布列与期望； (2)设每件新产品为次品的概率都为 (0 1)p p  ，且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的 新产品中随机抽取 50 件，其中恰有 2 件次品”的概率为  f p ，问 p 取何值时，  f p 最大． 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 14 / 22 【题型 6】高尔顿板模型 【例题 1】（23-24 高二下·河南·期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点 表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从 入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中， 首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子， 如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃 球落入格子的编号为 X ，则随机变量 X 的期望与方差分别为（ ） A． 1 2, 2 B．2，1 C．3，1 D． 1 3, 2 【例题 2】（24-25 高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干 排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃， 将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入 底部的格子中，格子从左到右分别编号为0,1,2,3,4,5用 X 表示小球落入格子的号码，则下面计算错 误的是（ ） A．   1 0 32 P X   B．   1 5 64 P X   C．   5 2 E X  D．   5 4 D X  典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 15 / 22 【例题 3】（23-24 高二下·广东肇庆·阶段练习）已知 1 2 n x x       展开式前三项的二项式系数和．．．．．．为 22． (1)求 n的值并求展开式中的常数项； (2)如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉， 小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中， 每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中；格子从左到右分别编号为 0，1，2，   ，n用 X 表示小球最后落入格子的号码，求 X 的分布列以及均值与方差． 【巩固练习 1】（24-25 高三上·湖北·期中）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现 象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等， 上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的 下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔 顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率 为向右下落的概率的 2 倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的 5 个不同位置.若一个 小球从正上方落下，经过 5 层钉板最终落到 4 号位置的概率是（ ） A． 8 81 B． 16 81 C． 24 81 D． 32 81 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 16 / 22 【巩固练习 2】（23-24 高二下·福建三明·期中）在图 1 杨辉三角和图 2 高尔顿板模型中，在一块木板 上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔 顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方 的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第 1 行的第一个缝隙落下的概率是 1 2 ，第二个缝隙落下的概 率是 1 2 ；从第 2 行第一个缝隙落下的概率是 1 4 ，第二个缝隙落下的概率 1 2 ，第三个缝隙落下的概率 是 1 4 ，小球从第n行第m 个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第 6 行某个缝隙 落下的概率可能为（ ） A． 7 64 B． 5 8 C． 3 32 D． 5 32 【巩固练习 3】（23-24 高二下·广东中山·阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若 干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻 璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落 入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1、 2、3、 4、5，用 X 表示小球落入格子的号码，则 下列不正确的是（ ） A．   1 2 4 P X   B．    3P X k P X    1,2,3,4,5k  C．   2E X  D．   1D X  【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 17 / 22 【巩固练习 4】（高二下·江苏常州·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现 象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的 空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程 中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图 1 所示 的高尔顿板有7 层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以 1 2 的概率向 左或向右滚下，依次经过6 次与小木块碰撞，最后掉入编号为1、2、 、7 的球槽内.例如小球要掉 入3号球槽，则在6 次碰撞中有 2次向右4次向左滚下. (1)如图 1，进行一次高尔顿板试验，试比较小球落入3号球槽、4号球槽的概率大小； (2)小明改进了高尔顿板（如图 2），首先将小木块减少至5层，且小球在下落的过程中与小木块碰撞 一次时，有 1 3 的概率向左， 2 3 的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、 、 5的球槽内.小明准备利用改进后的高尔顿板进行盈利性“抽奖”活动，只需付费2元就可以玩一次游 戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中 8 2n   .你觉得小明能盈利吗？请说明理由. 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 18 / 22 【题型 7】二项分布的随机变量概率最大问题 二项分布的概率为 (1 ) , 0,1,2, k k n k k nP C p p k n     ，这个是数列的最值问题. 1 1 1 1 (1 ) ( 1) (1 ) ( 1) ( 1) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n k n k k k k k n k k n P C p p n k p k p n p k n p k P C p p k p k p k p                         . 分析：当 pnk )1(  时， 1k kP P  ， kP 随 k 值的增加而增加； 当 pnk )1(  时， 1k kP P  ， kP 随 k 值的增加而减少. 如果 pn )1(  为正整数，当 pnk )1(  时， 1k kP P  ，此时这两项概率均为最大值. 如果 pn )1(  为非整数，而 k 取 pn )1(  的整数部分，则 kP 是唯一的最大值. 【例题 1】（23-24 高二下·四川攀枝花·期末）某人在n次射击中击中目标的次数为 X ，且  ,0.8X B n ， 记   , 0,1,2, ,kP P X k k n   ，若 7P 是唯一的最大值，则  E X 的值为（ ） A．5.6 B．6.4 C．7.2 D．8 【例题 2】（多选）（23-24 高二下·湖南长沙·期中）已知随机变量 X 服从二项分布  4,B p ，  0,1p ， 下列判断正确的是（ ） A．若   1E X  ，则   3 4 D X  B．     4 0 1P X p   C．若   3 4 D X  ，则   1E X  D．  2P X  的最大值为 3 8 【例题 3】随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园 文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念. 郴州市某中学食堂每天都会提供 A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计 分析发现：学生第一天选择 A套餐的概率为 2 3 ，选择 B 套餐的概率为 1 3 .而前一天选择了 A套餐的学 生第二天选择 A套餐的概率为 1 4 ，选择 B 套餐的概率为 3 4 ；前一天选择 B 套餐的学生第二天选择 A 套餐的概率为 1 2 ，选择 B 套餐的概率也是 1 2 ，如此往复.记同学甲第n天选择 B 套餐的概率为 nP . (1)求同学甲第二天选择 B 套餐的概率； (2)证明：数列 3 5 nP       为等比数列； (3)从该校所有学生中随机抽取 100 名学生统计第二天选择 A类套餐的人数 X ，用  P X k 表示这 100 名学生中恰有 k 名学生选择 A类套餐的概率，求  P X k 取最大值时对应的 k 的值. 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 19 / 22 【巩固练习 1】（24-25 高二上·河南南阳·期末）某人在n次射击中击中目标的次数为 X ，且  ,X B n p ， 已知    6.4, 1.28E X D X  ，则当  P X r 取最大值时， r  ． 【巩固练习 2】（23-24 高二下·重庆·期末）某学校在假期组织 30 位学生前往北京､上海､广州､深圳､ 杭州､苏州､成都､重庆 8 个城市参加研学活动.每个学生可自由选择 8 个城市中的任意 1 个（不要求 每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（ ）个 学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【巩固练习 3】（23-24 高二下·西藏拉萨·期末）在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市 人民检察院于 12 日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检 爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮 答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行 第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为 2 3 ，第二组每道题答对 的概率均为 1 3 ，两组题至少答对 3 题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表 队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、 拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖. (1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为 X ，请写出 X 的分布列，并求  E X ； (2)若吴科同学进行了 10 轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 巩固练习 题型 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 20 / 22 课后巩固 1. 甲从装有除颜色外都相同的 3 个黑球和 m个白球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取 3 次， 记摸出黑球的个数为 X，若   3 2 E X  ，则  2P X   ． 2. 小明上学途中共有 n个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为 1 3 ， 记某次小明上学途中遇到 红灯的次数为，且小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为 8 27 ， 则 n= ， E( )= . 3. （高二下·广东湛江·期中）袋中有 8 个白球，2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地 连续抽取 3 次，每次取 1 个球，求； (1)有放回抽样时，取到黑球的次数 X的分布列；(2)不放回抽样时，取到黑球的个数 Y的分布列． 4. （23-24 高二下·江苏南京·期末）(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数 1 2 3 10A a aa a （例如 1010101010），已知  1,2, ,10ka k  出现“0”的概率为 1 4 ，出现“1”的概率 为 3 4 ，记 2 4 6 8 10    X a a a a a ，则当程序运行一次时（ ） A．X 服从二项分布 B．   3 1 1024  P X C．   15 4 E X  D．   15 4 D X 5. （高二下·河南郑州·阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行 但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小 球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入 底部的格子中，格子从左到右分别编号为 1，2，3，……，6，用 X表示小球落入格子的号码， 则下面结论中正确的序号是 ． 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 21 / 22 6. （23-24 高二下·山东枣庄·期末）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着 10 排相互平 行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放 入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为 1 4 ，向右下落的概率为 3 4 ， 最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为 0，1，2，…，10，则小球落入 号格子 的概率最大. 7. 某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从 10 道题中一次性抽出 4 道作答.小张有 7 道题 能答对，3 道不能答对；小王每道答对的概率均为 (0 1)p p  ，且每道题答对与否互不影响. (1)分别求小张，小王答对题目数的分布列； (2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求 p 的取值范围. 【重难点突破】2024-2025 学年高二下学期热点题型专练（新高考） 22 / 22 8. （23-24 高二下·湖北武汉·阶段练习）某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放 8 个大小相同的小球，其中红球 4 个，白球 4 个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出 两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选 一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. (1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； (2)已知有 300 位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖 2 次的人数为多少的概率最大？