热点必刷题07 圆综合解答题压轴60题（8类题型60题）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（辽宁专用）

热点必刷题07 圆综合解答题压轴60题 圆中切线的判定与性质综合 2 圆中弧长问题 21 圆中面积问题 34 圆与三角函数综合 49 圆与相似综合 72 圆中线段长度问题 95 圆的创新探究问题 117 圆中尺规作图 124 圆中切线的判定与性质综合 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，，是的直径，切线与延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形的相关性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由切线的性质得，再结合是的直径，得，再结合等边对等角，即可作答． （2）由圆周角定理得，，，运用勾股定理以及角的余弦性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：是的切线， ， ， 是的直径， ， ， ， ． ． （2）解：连接， ， ． 是直径， ， 同理，， 在中，， ，， ， ， 由（1），， ， 在中，， ， 半径． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，是的外接圆，且．连接交延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)的半径为 【分析】（1）连接，证明，由角的等量代换即可证明，可得结论； （2）连接，延长交于点M，证明，在中，，代入计算即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 证明：连接，    ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线． （2）解：如图，连接，延长交于点M，    ∵，， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴ 解得，． 即的半径为． 【点睛】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握圆的有关性质是解题的关键． 3．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，交于点H，过点E作的切线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理、圆的切线的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解答的关键． （1）连接，利用圆周角定理推出，则，再利用切线的性质得到，进而利用平行线的判定可得结论； （2）连接，证明，得到，进而求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴，则， ∵与相切于点E， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，则， ∴，即的半径为． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图1，是直径，点C在上，连接，过点A作的切线交延长线于点D，点E在上，连接，且，连接交线段于点F (1)求证：； (2)如图2，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）由是的切线可求是的切线，由是直径可求，由圆周角定理可证，从而可证； （2）先求出，在中，根据勾股定理求出，证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出半径的长． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴． ∵是直径， ∴ ∴ 在中，根据勾股定理得 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 5．（2024·辽宁朝阳·一模）如图，在中，是的直径，是上一点，D在直径的延长线上，且，过点作交的延长线于点，交于点G，连接、，点F在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，利用直角所对的圆周角是直角和等边对等角的性质，得出，再利用三角形内角和定理和等边对等角的性质，推出，即可证明结论； （2）根据同弧所对的圆周角相等，得出，再结合等角的余角相等，推出，进而得到，由勾股定理，得，再利用勾股定理列方程去，求出，即可得出的半径． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 的半径为5． 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，内接于，延长直径到D，使，过圆心O作的平行线交的延长线于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，，由圆周角定理得，进而得到，即可得出结论， （2）根据平行线分线段成比例定理得到，设，则，，在中，利用勾股定理求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∴，解得（负值舍去）， ∴，即的半径为3． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，掌握圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，切线的判定与性质以及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 7．（2024·辽宁沈阳·零模）如图，四边形是的内接四边形，连接，且经过点O，，过点D的直线与的延长线交于点P，且．    (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用圆周角定理，得到，，连接，易得：，推出，进而得到，得到，即可得证； （2）根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而得到，过点作于点，得到，根据平行，得到，利用，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形，经过点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， 连接，则：，    ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， 又为半径， ∴是的切线． （2）解：由（1）知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形，    ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查切线的证明，圆周角定理，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，构造直角三角形，是解题的关键． 8．（2024·辽宁·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点H，过点C作直线分别与，的延长线交于点E，F，且． (1)求证：是的切线． (2)如果， ①求的长． ②求的面积． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)①；② 【分析】（1）连接、，根据垂径定理得到平分弦，平分，即有，再根据，证得，即有，则有，即可得，即有，则问题得证； （2）①利用勾股定理求出、、，在中，，在中，，即可得到，则问题得解； ②过F点作，交的延长线于点P，先证，再证明，即可求出，则的面积可求． 【详解】（1）连接、，如图_2 ∵是的直径， ∴，， ∵， ∴平分弦，平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）①∵，， ∴在（1）的结论中有，， ∴在中，， 同理利用勾股定理，可求得，， ∴，，即， 在中，， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴， ②过F点作，交的延长线于点P，如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴， 故的面积为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．利用相似三角形的性质是解题的难点． 圆中弧长问题 9．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，然后证明，由，得到，即可证明； （2）先证明，则可求，则，可证明为等边三角形，则，可求，那么，则半径，再由弧长公式求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 10．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：与相切； (2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由是的直径可得，进而可得，再根据圆周角定理可得，进而可证，，即可证明与相切； （2）连接，，先证是等边三角形，推出，再根据圆周角定理证明，进而可得，再根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，   是的直径， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：如图，连接，，   ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ，是的直径， ， ． 即的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键． 11．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的直径，垂直与过点C的切线，交与于D，连接． (1)求证：平分； (2)若的半径为2，，求劣弧的长度． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】(1)连接，利用切线的性质可得，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用平行线和角分线的判定可证平分，即可解答； (2)连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可证，然后利用相似三角形的性质可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而可得，进而可得是等边三角形，最后利用弧长公式进行计算即可解答 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴劣弧的长度π， ∴劣弧的长度为． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定以及性质．解直角三角形，切线的性质，弧长的计算，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. 12．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论； （2）如图：连接，有圆周角定理可得，再解直角三角形可得，进而得到，然后说明，最后根据弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接    ∵， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∴。 ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图：连接 ∵是的直径， ∴, 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键． 13．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形内接于，为直径，点E在的延长线上，的延长线交于点F，，．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）连接，，利用圆内接四边形的性质，平行线的性质，圆周角定理证明． （2）运用勾股定理，三角函数，计算，圆的半径，套用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，    ∵四边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：在中，设， ∵，， ∴． 由勾股定理，得． 解得． ∴． ∵， ∴． ∴的长为． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形性质，切线的证明，勾股定理，余弦函数，弧长公式，熟练掌握切线的证明，勾股定理，余弦函数，弧长公式是解题的关键． 14．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，连接，，经过点，交的延长线于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质得出，根据半径相等得出，则，根据，得出，则，进而证明，即可得证； （2）根据题意得出，，进而根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 的长为 【点睛】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，解直角三角形，求弧长，熟练掌握以上知识是解题的关键． 圆中面积问题 15．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D，过圆心O作交于点E，连接． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）如图，连接，，根据圆周角定理得到，证出四边形为正方形，根据正方形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：如图，连接， ， ，， ，， 四边形为正方形， ， ∴， ， ， ， 图中阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，圆周角定理，扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 16．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点 (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论； （2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 与相切； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． 17．（2025·辽宁阜新·一模）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切；理由见解析 (2) 【分析】（1）过点B作，证明，得到，即可证明与相切； （2）先证明是等边三角形，根据三线合一得到，求出，再利用，求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 过点B作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴点F在上， ∴与相切； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线． 18．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线； （2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵沿直线翻折得到， ∴，， ∵是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴于点C， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键． 19．（2024·辽宁·模拟预测）如图，正方形内接于，，点E为弧上一点，连接与边相交于点F，与相交于点G． (1)若，求的长； (2)若，求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过D作于点H，根据圆周角定理及正方形的性质得到，解直角三角形得到，设，，利用勾股定理求出，进而得到，解直角三角形即可； （2）连接，过点G作于M．证明是等边三角形，求出．进而得到．求出，．设，，求出，在求出 ，即可求解． 【详解】（1）解：过D作于点H， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，． 在和中， ， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴，． 在中， ， ∴， ∴． （2）解：如图2，连接，过点G作于M． ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵正方形，， ∴，， ∴． ∴． ∴， ∴． 在中， ∵， ∴． 设，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质，圆周角定理以及圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理，解直角三角形，勾股骨定理，正确作出辅助线是解题的关键． 20．（2024·辽宁丹东·二模）如图，在中，，以为直径的⊙O分别与、交于点D、E，过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可； （2）连接，，过O作于M，求出、的长和的度数，分别求出和扇形的面积，即可求出答案； 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点O， ∴是的切线． （2）连接，过O作于M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定以及性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，正确作出辅佐线是解题的关键． 圆与三角函数综合 21．（2025·辽宁大连·一模）如图1，是的直径，交于点，直线分别交的延长线于点，交于点， (1)求证：是的切线； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点，若求的半径长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等量代换，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质定理，并灵活应用． （1）根据圆周角的性质定理，直径所对的圆周角是直角，等量代换即可证明是的切线； （2）利用直径定理和切线定理得出，根据相似三角形的性质得出的长度，假设出半径，利用勾股定理列出方程，即可求出结果． 【详解】（1）证明： ． ． ， ． 为直径， ． ． ． ． 为直径， 是切线． （2）解：连接， 为直径， ． ． 由（1）得， ． ． ， ． ． ， ． ． 在中，， ． ． 设， ． 在中， ． ． ∴的半径长为． 22．（2025·辽宁·一模）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，过C作的切线，分别交的延长线于点E，F． (1)求证：； (2)若点G为上一点且位于下方，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，可得，然后根据等边对等角证明，再由切线的性质得到，再由平行线的性质即可求证； （2）先由圆周角定理得到，连接，则，解中，，则，证明，解中， 求得，再由即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 点C是的中点， ， ， ， ， 切于C， ， ， ； （2）解：、都是所对的圆周角， 连接， 是直径， ， 在中，， ， ， ， 点C是的中点， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 23．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，经过，两点，交于点，的延长线交于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接．根据等腰直角三角形的性质可得，由圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，即可得证； （2）过点作于点，根据正切的定义求出，根据勾股定理求出，最后再由正切的定义计算即可得解． 【详解】（1）证明：连接． ，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∵为的半径， 为的切线． （2）解：过点作于点， 为等腰直角三角形，，， ， 在中， ， ， 在中， ， ． 在中， ， 设半径为， ， ． 24．（2024·辽宁盘锦·一模）如图，在中，，以为直径作交于点．过点作，垂足为，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)线段的长为16． 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及其推论、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质得到； （2）连接，，根据余弦的定义求出，进而求出，根据平行线分线段成比例定理得到，得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ∴， ，是半径， ， 是的切线； （2）解：连接，， 为的直径， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ， 为的直径， ， ， ∴， ∴， ， ． 25．（2024·辽宁大连·模拟预测）中，，O为上一点，以O为圆心，为半径的圆与相切于点D．    (1)求证：平分； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质和平行线的判定和性质证明即可； （2）设交于F，连接，根据圆周角定理推论得到，由（1）得，根据相似三角形的性质得到，得到，由圆内接四边形性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）连接，    ∵切⊙O于D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）设交于F，连接， ∵为的直径， ∴， 由（1）得， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴．    26．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由为的直径得，由三线合一得，然后根据圆周角定理即可证明结论成立； （2）连接，设，则，通过证明求出x的值，根据勾股定理求出的长，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）∵为的直径， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接，    设，则， ∵A、D、E、B四点共圆， ∴， 而， ∴， ∵为公共角， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及锐角三角函数等知识，熟练运用相似三角形的判定与性质求线段长度是解题的关键． 27．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，为的直径，于O，D在上，连接，延长与的延长线交于E，F在上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等： （1）连接，由得，根据等腰三角形的性质由得到，于是有，则可根据切线的判定定理得到是的切线； （2）连接，利用圆周角定理，可得，从而得到，可证得，根据相似的性质得 ，再在中，根据正切的定义得到，于是可计算出，即可求解． 【详解】（1） 证明：连接，如图： ∵， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴是的切线；    （2） 解：连接，如图： ∵为的直径， ∴， ， ∵， ， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 28．（2024·辽宁·模拟预测）如图，以的边为直径作，分别交，于点，，点在上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，先证明，再证明，从而可得结论； （2）如图，连接，证明，可得，在中，，设，则，求解，利用勾股定理可得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）如图，连接， ∵， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 29．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由题意可知，可知，易证得，可知，由，易知，进而可证得结论； （2）由角平分线的性质可知，可得，进而可求得，，，，由，可证得，可知，进而可得，求得，即为的半径． 【详解】（1）证明：连接，    由题意可知， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：过点作，      ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 可得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查切线的证明，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 圆与相似综合 30．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，已知是的直径，弦与交于点F，延长至点D，连接，，，，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知结合圆周角定理求得，再证明，即可证明结论成立； （2）证明，推出，再证明，推出，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 31．（2025·辽宁沈阳·零模）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 32．（2024·辽宁·模拟预测）如图，，，，分别为上一点，连，，，，，垂直于于，，连并延长交于． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）延长交于点，交于点，如图，先由得到，则根据垂径定理得到，再根据等角的余角相等得到，接着根据圆周角定理得到，所以，从而得到结论； （2）先利用勾股定理计算出，再计算出，接着证明，然后利用相似比求出，从而得到的半径． 【详解】（1）证明：延长交于点，交于点，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ， ， ， 在中，， 为直径， ， ，， ∴， ，即， 解得， 的半径为 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质． 33．（2024·辽宁铁岭·一模）如图，，，是的内接三角形，是的直径，点 F 在上， 连接并延长，交于点 D， 连接， 作 垂足为 E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆综合应用，圆的基本性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，一般角的三角函数等； （1）由圆的基本性质得，，即可求证； （2）过点C做于点G，由勾股定理得，由三角函数得，，由相似三角形的性质得，即可求解； 掌握相似三角形的判定方法及性质，能用三角函数进行转化计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：为直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点C做于点G， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 34．（2024·辽宁锦州·模拟预测）如图，已知点P为外一点，点A为上一点，直线与的另一个交点为点B，是的直径，的平分线交于点D，连接并延长交直线于点M，连接． (1)求证：； (2)若，的直径为4，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）等腰三角形的性质可得，结合的平分线得即可求证； （2）连接由是的直径，得，由，的直径为4，可得结合（1）问可得，求出，根据同角的三角函数值相同即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 的平分线， ， ， ； （2）连接如图： 是的直径， ， 由（1）问可知 ， ，的直径为4， ， 中：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，三角形相似，三角函数等解题关键是熟记同角的三角函数值相同． 35．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，内接于，是直径，的平分线交于点，过作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)如图2，连接，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，首先证明垂直平分，结合，可证明，即可证明结论； （2）首先证明，结合相似三角形的性质可得，，进而可得，再证明为直角三角形，利用勾股定理解得的值即可． 【详解】（1）证明：如下图，连接交于点， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴为的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴在中，可有， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长是． 【点睛】本题主要考查了的切线的判定定理、在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 36．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，以为直径的交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若， ①求的半径的长； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】（1）根据题意连接，利用角度的转化即可得到本题答案； （2）①根据勾股定理及三角函数可以求出；②连接，利用勾股定理求出，再判定，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：连接 是的直径， ，则， 又是的中点， ． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴直线是的切线； （2）解：①在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴的半径长为； ②在中， ∴， 连接， ， ∵是的中点，是的中点， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查相似三角形判定及性质，勾股定理，切线的判定，三角函数的计算，掌握圆的基础知识是解题的关键． 37．（2024·辽宁本溪·模拟预测）如图，是外接圆O的直径，F是延长线上一点，连接、，其中是的切线． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)9 【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1） 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 在中， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， 设，则，， 又， 即， 解得（取正值）， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． 38．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，四边形内接于，为的直径，的切线与的延长线交于点P． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 （1）连接，根据为的切线，得出，根据，得出，利用圆周角定理得出，从而可证； （2）结合（1）中条件得出，从而求出，过B作于F，在中，求出的长，再证明，得到，从而求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴； （2）由（1）知，且， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 过B作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 39．（2024·辽宁·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）连接，利用圆周角定理及半径相等求得，根据切线的性质求得，推出，再证明，据此即可证明结论成立； （2）先求得，，设，证明，利用相似三角形的性质得到，解之即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， 由（1）得， 又， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 圆中线段长度问题 40．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径对的圆周角是直角，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到．求得．连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵， ． ． ． 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ． ． ∴． ． ． 如图，连接， 平分， ． ． ． 是的直径， ． ． ． 41．（2025·辽宁大连·一模）如图，是的直径，点C在上，过点C作，点D是的中点，的延长线与相交于点 E， (1)如图1，连接，，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，与 相切于点C，与相交于点 F，连接并延长交于点G，若的半径是4，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形．综合运用圆的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识点是解题的关键． （1）利用“”证明后得到，再根据即可证明． （2）根据勾股定理在中求出，进而求出，利用求出，进而求出，最后根据求出后即可求解． 【详解】（1） 证明：∵     ∴，，     ∵点D是的中点，     ∴，     ∴，     ∴，     ∵，     ∴四边形是平行四边形． （2） 解：∵与相切     ∴， ∴， 又的半径是4， ∴，．    由（1）可知     ∴，，， 在中， ， ∴，． 在中，，     ∵是直径，     ∴．     在中，，     ∴，     ∴，     在中，，     ∴， ∴． 42．（2025·辽宁大连·一模）如图，中，以为直径的交于点，交于点，，是的切线，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求半径的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是构造辅助线，熟练掌握各性质． （1）构造辅助线，利用圆的切线的性质定理和直角三角形的性质，结合给出来的条件判定四边形是菱形，利用菱形的性质即可得出； （2）构造辅助线，利用勾股定理结合公共边相等，列出方程，即可求出线段的长度，进而求出半径即可． 【详解】（1）证明：如图，取边中点，连接． ∵是的切线， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． （2）解： 如图，连接， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 中，由勾股定理得，， 中，由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得，， ∴半径的长为． 43．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的半径与线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6， 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用直角三角形的边角关系定理列出比例式即可求得圆的半径，利用平行分线段成比例定理列出比例式即可求得的长． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ． ， ． ． ∴ ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：在中， ，， ， ． 即的半径为6． ， ， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，平行线分线段成比例定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 44．（2024·辽宁·模拟预测）如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由直径对直角得，由等腰三角形的性质推出，即可求得，由此得到结论； （2）过O作于F，由垂径定理可得，由中位线的性质可得，在，由勾股定理求解即可； 【详解】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）过O作于F， 在中，， ， ，， ， ， ， ， ， 在中， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的判定，三角形的中位线，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 45．（2024·辽宁·一模）如图1，已知：为的直径，点C为上一点，连接，点E为上一点，连接交于D，过点E作交的延长线于F，． (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解； (2). 【分析】本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相等的角，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． （1）连接,证明即可得结论； （2）作于G，用勾股定理求出，进而求出，用平行线分线段成比例求出，再用勾股定理求出，最后用三角函数求出即可． 【详解】（1）证明：连接, ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ，即， 是切线； （2）解：， ， ， ， ， 作于G， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 46．（2024·辽宁鞍山·一模）如图①，，弦平分，与交于点F，过点D作于点E． (1)求证：； (2)如图②，连接，若，半径为1时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）延长交于G，连接，先证明是直径，再由垂径定理得到，进而证明，得到，则． （2）如图所示，连接，先证明，得到，再证明，得到，设，由勾股定理得，解得（负值舍去），则，进一步求出，则，同理可得，据此可得答案． 【详解】（1） 证明：如图所示，延长交于G，连接． ∵， ∴是直径， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 解：如图所示，连接， ∵平分， ∴可设， ∴， ∵， ∴ ，∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴； 同理可得， ∴． 【点睛】 本题主要考查了弧与弦之间的关系，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，90度的圆周角所对的弦是直径，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等等等，正确作出辅助线是解题的关键． 47．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，内接于，D为上一点，连接、，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点H，连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为． 【分析】本题考查了圆的综合，解题的关键是熟练掌握圆周的定理，弧、弦、圆周的关系，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，进而得出，根据圆周角定理得出，得出，即可推出，即可求证； （2）连接并延长，交于点E，连接，得出，推出，则，进而得出，根据勾股定理可得求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接并延长，交于点E，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 即的半径为． 48．（2024·辽宁丹东·三模）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，根据圆周角定理得到为的直径，求得．根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，   则， ， ， ． ； （2）如图，， 为的直径， ． ， ， ， ， 又， ． ， ，， 连接，则，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 圆的创新探究问题 49．（2025·辽宁·一模）在九年级上册数学课本的实验与探究提及到了圆与圆位置关系，其中内切是指一个圆在另一个圆的内部，且两圆有且只有一个公共点，且过该公共点关于两圆的切线为两个圆的公切线．如图，与内切于点，的半径为，的半径为，，为与的公切线，连接交与于、两点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】根据切线的性质和圆周角定理可证，，根据可证，从而可证； 由可知，又有，可证，根据相似三角形的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，，设，则，利用勾股定理可得，，，再利用相似三角形的性质可得 ，从而可求． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接，连接， 为与的公切线，为的半径， ， ， ，与内切， 、、三点共线， 又为的直径， ， ，， ， ，， ， 又， ， ； （2）解：，， ， ，， ，， ， 设，则， 在中， ， 解得：， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质、勾股定理，本题的综合性较强，解决本题的关键需要熟练地掌握图形的性质，并综合运用这些性质． 50．（2024·辽宁·模拟预测）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，表示灯塔，灯塔B在灯塔A的正东方向，且与A相距海里，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （1）如图2，请你用已学知识判断与“危险角”的大小关系； 【问题探究】 （2）如图3，在优弧上还有一个灯塔E，经测量，灯塔之间的距离为海里，，求“危险角”的大小； 【问题拓展】 （3）如图4，已知港口K位于灯塔A正北方向且与灯塔A相距海里远，有一货轮Q沿直线l方向航行，若货轮Q恰能安全避开暗礁区，当货轮Q与灯塔的夹角最大时，求此时货轮Q与港口K的距离 【答案】（1）；（2）；（3）海里 【分析】（1）与相交于点，连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等结合三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，进行作答即可； （2）过点B作，连接，解直角三角形，求出，利用勾股定理求出，进而得到，根据等腰直角三角形的性质即可得出结果； （3）当直线与过两点的圆相切时，最大，此时，设该圆的圆心为O，过点O作于点N，连接，根据题意得，解直角三角形求出，，进而得到，利用勾股定理求出，解可解答． 【详解】（1）解：如图2，与相交于点，连接，      由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知， 是的外角， ， ，即； （2）解：如图3，过点B作，连接，    ∵在中，， ， ， ， ， ， ； （3）解：当直线与过两点的圆相切时，最大， 此时，设该圆的圆心为O，过点O作于点N，连接，    由（2）知，危险角， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 此时货轮Q与港口K的距离是海里． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外角，切线的性质，最大张角问题，解直角三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 圆中尺规作图 51．（2024·辽宁·一模）如图，为的直径，为上的一点．    (1)过点作的切线，交的延长线于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，垂足为，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以为圆心，小于的长为半径画弧，与直线有两个交点，再以这两个交点为圆心，大于这两点的长的一半为半径画弧，两弧的交点和点的连线所在的直线交的延长线与点； （2）由垂径定理得，则为的中位线，得，由圆周角定理得，由切线的性质得，推出，从而利用相似三角形的性质可得，即，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，为所作；   ； （2）解：， ， ， 为的中位线， ， 为的直径， ， ∴， 为的切线， ， ， ， ， ， 即， 解得， 即的长为． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，切线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 52．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，点在边上，且，． (1)尺规作图：作的外接圆；（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，若的直径为，所在直线是的切线，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作线段、的垂直平分线交于点，再以点为圆心，长为半径作圆即可； （2）连接和，过点C作交于点E，则，根据圆周角定理得，即可证明，有，根据题意求得，利用勾股定理求得，则有，再次利用勾股定理解得即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：连接和，过点C作交于点E，如图， 则， ∵所在直线是的切线， ∴，即， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，即， 在中，，即，解得（负值舍去）， 则． 【点睛】本题考查了作图和圆的综合，涉及线段垂直平分线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数以及勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关知识和相似三角形的性质． 53．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，已知在中，． (1)已知点在边上，请用尺规作图作出：使经过点，且与相切于点，与的另一个交点为点（保留作图痕迹，不写做法）； (2)若，若，求劣弧与线段，所围成的图形的面积；（结果保留根号） (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) (3)⊙O的半径为3 【分析】（1）作的角平分线交于点，以为圆心，为半径作圆交于点即可； （2）连接，由切线性质得，，在中，．从而求得，进而即可求解； （3）设的半径为，根据三角形函数得．证．得．从而．再根据勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，连接， 是的切线， ， ，， 在中，．， ． ∴劣弧与线段，所围成的图形的面积为； （3）解：设的半径为， ∵． ∴， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，， ∴， ， ． ，，． ，， ． ． ． ， ． 解得或（不合题意，舍去）． 的半径为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的判定，尺规作角平分线，相似三角形的判定及性质，切线长定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定及性质，切线长定理以及解直角三角形是解题的关键． 54．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，已知圆内接四边形中是的直径，且满足． (1)尺规作图：过点作的切线，交的延长线于点； (2)在（1）的条件下，求证：； 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）作射线，过点C作的垂线，交的延长线于点E即可； （2）由是的直径可证，由是的切线可证，从而，进而可证，证明得，然后结合三角形外角的性质可证． 【详解】（1）解：如图，切线即为所求， （2）解：是的直径， ，， 是的切线， ， ， ， ， ； ， ， ， ，， 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，圆周角定理，等边对等角，以及三角形外角的性质，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 55．（2024·辽宁营口·一模）如图，内接开，，是的直径，交于点．连接BD． (1)尺规作图：过点作，交的延长线于点（用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，保留作图痕迹，不必写作图过程） (2)求证：是的切线； (3)已知，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）以点为圆心，以任意长度为半径作弧，交于点，再以点为圆心，以为半径作弧，交于点，以点为圆心，以的长度为半径作弧，交前弧于点，连接并延长，交延长线于点；由作图可知，，根据“内错角相等，两直线平行”，易知； （2）连接，证明，易得，进而可知垂直平分，易得，再根据“两直线平行，同位角相等”可得，即可证明结论； （3）过点作于点，设的半径为，由垂径定理可得，证明，结合相似三角形的性质可解得的值，然后在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意作图，如下图所示； （2）证明：如下图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的直径， ∴是的切线； （3）解：如下图，过点作于点， 设的半径为，则，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、平行线的判定与性质、切线的判定、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 56．（2024·辽宁·一模） 如图1， 为的直径，且，与为内的一组平行线，弦交于点G．点A在上，点B在上，． (1)求证：； (2)如图 2，用尺规作关于弦所在直线的对称图形交于点K(不要求写作法，保留作图痕迹)，点为点K关于弦所在直线的对称点，连接，若求 的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1） 连接交于点．根据和， 推出 ， 再根据， ，得出 ，根据垂径定理即可证明． （2）分别以点为圆心， 大于的长为半径画弧， 两弧分别相交于点， 作直线交于点， 即为的垂直平分线； 再以点为圆心，长为半径画弧， 交直线于点， 即为所在圆的圆心； 最后以点为圆心，长为半径画弧即可得到． 连接．根据点为点关于弦所在直线的对称点，得到．证明，得出．再根据四边形为的内接四边形，得出．从而证明，．根据圆周角定理得出，在中， 根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明： 连接交于点． ∵， ∴， ∵， ∴ ． ∴ ． ∵， ， ∴． ∴  ， 即 ． 又是的半径， ∴． （2）分别以点为圆心， 大于的长为半径画弧， 两弧分别相交于点， 作直线交于点， 即为的垂直平分线； 再以点为圆心，长为半径画弧， 交直线于点， 即为所在圆的圆心； 最后以点为圆心，长为半径画弧即可得到． 连接． ∵点为点关于弦所在直线的对称点， ∴． ∵， ． ∴． ∵四边形为的内接四边形， ∴． ∵， ∴， ． ∵为的直径， ∴． 在中， 根据勾股定理， 得． 【点睛】该题主要考查了复杂作图-作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，轴对称的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线和对应图形． 57．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图1，为的直径，C为外一点． (1)尺规作图：作直线与相切，切点D在弧上（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，为的直径，直线与相切于点D，连接、、，若，，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理等，综合应用上述知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据，利用直角三角形斜边中线的性质设计作图思路； （2）过点A作于点E，则，连接，根据切线的性质、圆周角定理可得，，通过导角推出，再利用三角函数解，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； 说明：连接，分别以点C，点O为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线交于点E，以E为圆心，长为半径作弧，交弧与点D，作直线． （2）解：如图，过点A作于点E，则，连接， 为的切线，是的半径， ， ， 为的直径， ， ，即， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，     在中，根据勾股定理得： ． 58．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，内接于，是的直径，过点的切线交的延长线于点，是上一点，点分别位于直径异侧，连接，且． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）按照做垂线的方法过点C作的垂线交与点F即可． （2）连接，由同弧所对的圆周角相等得出，由直径所对的圆周角等于以及切线的定义即可得出，，结合已知条件可得出，再进一步证明，由相似三角形的性质可得出，结合已知条件设，则，，，，由勾股定理得出x的值，进一步即可得出，，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）如图：即为所求： （2）连接， ∵ ∴， ∵是的直径，为的切线， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∴， 设，则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴，， 在中， ∴． 【点睛】本题考查作图一复杂作图，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 59．（2024·辽宁·模拟预测）《义务教育数学课程标准(2022年版)》实施以来，切线长定理的探索与证明由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外一点作圆的切线”.在学习完《切线的性质与判定》后，九年级的李老师布置了一道题：“如图，已知：如图所示，及外一点M．求作：直线，使与相切于点N．” 小星同学经过探索，给出了如下的一种作图方法： ①连接，分别以点O，M为圆心，以 的长为半径作弧，两弧分别相交于A，B 两点(点A，B 分别位于直线的上下两侧)； ②作直线 ，交于点C； ③以点C为圆心， 长为半径作， 交于点N(点 N位于直线的上侧)； ④连接，交于点D，则直线即为所求； (1)请按照步骤完成填空、作图(尺规作图，保留作图痕迹，准确标注字母)，并结合图形，说明直线是切线的理由； (2)李老师夸奖了小星的作图方法，同时在(1)的图形中延长交于点E，过点E作交的延长线于点F，连接，并增加条件：，，，让小星求的长，请你帮助小星解答． 【答案】(1)大于；；；；尺规作图及理由见解析 (2)． 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；先根据圆周角定理的推论得到，然后根据切线的判定定理得到直线为切线； （2）连接，由勾股定理求出的长，在和中，利用正切函数的定义先后求得，，由作图可知直线是线段的垂直平分线，设，则，在中，由勾股定理列式计算可得出答案． 【详解】（1）解：①连接，分别以点O，M为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于A，B两点(点A，B分别位于直线的上下两侧)； ②作直线，交于点C； ③以点C为圆心，长为半径作，交于点N(点 N位于直线的上侧)； ④连接，交于点D，则直线即为所求； 按照步骤完成作图如下． 由题意得：为的直径， ∴(直径所对的圆周角为)， ∴， ∵为的半径， ∴直线为的切线； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由作图知直线是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角定理和切线的判定与性质，正切函数．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 60．（2024·辽宁·模拟预测）学习了《圆》之后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以解决一些求角度的问题． 【用数学的眼光观察】 （1）将下列解题过程补充完整． 例：如图①，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：如图①，以点A为圆心，的长为半径作． 因为，， 所以C，D两点都在上． 因为， 所以__________°． 【用数学的思维思考】 （2）如图②，在四边形中，，，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图③，已知线段和直线l，在直线l上求作一点P，使，用直尺和圆规在直线l上作出所有符合条件的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）45；（2）；（3）见解析 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和圆周角定理解答即可； （2）利用对角互补的四边形内接于圆的性质，再根据圆周角定理进行求解即可； （3）根据尺规作图画图即可． 【详解】解：（1）解：如图①，以点A为圆心，的长为半径作． 因为，， 所以C，D两点都在上． 因为， 所以． （2） 四点在以为直径的圆上，以为直径作出， ， ； （3）①作出线段的垂直平分线， ②以为圆心，以为半径画弧交于点，连接，得等边三角形 ③以为圆心，为半径画，于直线交于两点， 则这两点为所有符合条件的点． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，尺规作图，熟练掌握圆周角定理和基本作图的方法是解题的关键． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题07 圆综合解答题压轴60题 圆中切线的判定与性质综合 2 圆中弧长问题 5 圆中面积问题 7 圆与三角函数综合 10 圆与相似综合 13 圆中线段长度问题 17 圆的创新探究问题 21 圆中尺规作图 22 圆中切线的判定与性质综合 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，，是的直径，切线与延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，是的外接圆，且．连接交延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 3．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，交于点H，过点E作的切线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图1，是直径，点C在上，连接，过点A作的切线交延长线于点D，点E在上，连接，且，连接交线段于点F (1)求证：； (2)如图2，若，，求的半径． 5．（2024·辽宁朝阳·一模）如图，在中，是的直径，是上一点，D在直径的延长线上，且，过点作交的延长线于点，交于点G，连接、，点F在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，内接于，延长直径到D，使，过圆心O作的平行线交的延长线于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 7．（2024·辽宁沈阳·零模）如图，四边形是的内接四边形，连接，且经过点O，，过点D的直线与的延长线交于点P，且．    (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 8．（2024·辽宁·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点H，过点C作直线分别与，的延长线交于点E，F，且． (1)求证：是的切线． (2)如果， ①求的长． ②求的面积． 圆中弧长问题 9．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 10．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：与相切； (2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 11．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是的直径，垂直与过点C的切线，交与于D，连接． (1)求证：平分； (2)若的半径为2，，求劣弧的长度． 12．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 13．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形内接于，为直径，点E在的延长线上，的延长线交于点F，，．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 14．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，连接，，经过点，交的延长线于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 圆中面积问题 15．（2025·辽宁·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D，过圆心O作交于点E，连接． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求图中阴影部分的面积． 16．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点 (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 17．（2025·辽宁阜新·一模）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 18．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 19．（2024·辽宁·模拟预测）如图，正方形内接于，，点E为弧上一点，连接与边相交于点F，与相交于点G． (1)若，求的长； (2)若，求阴影部分面积． 20．（2024·辽宁丹东·二模）如图，在中，，以为直径的⊙O分别与、交于点D、E，过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积． 圆与三角函数综合 21．（2025·辽宁大连·一模）如图1，是的直径，交于点，直线分别交的延长线于点，交于点， (1)求证：是的切线； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点，若求的半径长． 22．（2025·辽宁·一模）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，过C作的切线，分别交的延长线于点E，F． (1)求证：； (2)若点G为上一点且位于下方，，，求的长． 23．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，经过，两点，交于点，的延长线交于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，的半径． 24．（2024·辽宁盘锦·一模）如图，在中，，以为直径作交于点．过点作，垂足为，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求线段的长． 25．（2024·辽宁大连·模拟预测）中，，O为上一点，以O为圆心，为半径的圆与相切于点D．    (1)求证：平分； (2)连接，若，求的值． 26．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 27．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，为的直径，于O，D在上，连接，延长与的延长线交于E，F在上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 28．（2024·辽宁·模拟预测）如图，以的边为直径作，分别交，于点，，点在上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径． 29．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 圆与相似综合 30．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，已知是的直径，弦与交于点F，延长至点D，连接，，，，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的半径长． 31．（2025·辽宁沈阳·零模）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 32．（2024·辽宁·模拟预测）如图，，，，分别为上一点，连，，，，，垂直于于，，连并延长交于． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 33．（2024·辽宁铁岭·一模）如图，，，是的内接三角形，是的直径，点 F 在上， 连接并延长，交于点 D， 连接， 作 垂足为 E． (1)求证：； (2)若，求的长． 34．（2024·辽宁锦州·模拟预测）如图，已知点P为外一点，点A为上一点，直线与的另一个交点为点B，是的直径，的平分线交于点D，连接并延长交直线于点M，连接． (1)求证：； (2)若，的直径为4，求的长度． 35．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，内接于，是直径，的平分线交于点，过作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)如图2，连接，若，，求的长． 36．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，以为直径的交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若， ①求的半径的长； ②求的长． 37．（2024·辽宁本溪·模拟预测）如图，是外接圆O的直径，F是延长线上一点，连接、，其中是的切线． (1)求证：． (2)若，，求的长． 38．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，四边形内接于，为的直径，的切线与的延长线交于点P． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 39．（2024·辽宁·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 圆中线段长度问题 40．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的长． 41．（2025·辽宁大连·一模）如图，是的直径，点C在上，过点C作，点D是的中点，的延长线与相交于点 E， (1)如图1，连接，，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，与 相切于点C，与相交于点 F，连接并延长交于点G，若的半径是4，求的长． 42．（2025·辽宁大连·一模）如图，中，以为直径的交于点，交于点，，是的切线，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求半径的长． 43．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的半径与线段的长． 44．（2024·辽宁·模拟预测）如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长度． 45．（2024·辽宁·一模）如图1，已知：为的直径，点C为上一点，连接，点E为上一点，连接交于D，过点E作交的延长线于F，． (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 46．（2024·辽宁鞍山·一模）如图①，，弦平分，与交于点F，过点D作于点E． (1)求证：； (2)如图②，连接，若，半径为1时，求的长． 47．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，内接于，D为上一点，连接、，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点H，连接，若，，求的半径． 48．（2024·辽宁丹东·三模）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 圆的创新探究问题 49．（2025·辽宁·一模）在九年级上册数学课本的实验与探究提及到了圆与圆位置关系，其中内切是指一个圆在另一个圆的内部，且两圆有且只有一个公共点，且过该公共点关于两圆的切线为两个圆的公切线．如图，与内切于点，的半径为，的半径为，，为与的公切线，连接交与于、两点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 50．（2024·辽宁·模拟预测）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，表示灯塔，灯塔B在灯塔A的正东方向，且与A相距海里，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （1）如图2，请你用已学知识判断与“危险角”的大小关系； 【问题探究】 （2）如图3，在优弧上还有一个灯塔E，经测量，灯塔之间的距离为海里，，求“危险角”的大小； 【问题拓展】 （3）如图4，已知港口K位于灯塔A正北方向且与灯塔A相距海里远，有一货轮Q沿直线l方向航行，若货轮Q恰能安全避开暗礁区，当货轮Q与灯塔的夹角最大时，求此时货轮Q与港口K的距离 圆中尺规作图 51．（2024·辽宁·一模）如图，为的直径，为上的一点．    (1)过点作的切线，交的延长线于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，垂足为，，，求的长． 52．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，点在边上，且，． (1)尺规作图：作的外接圆；（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，若的直径为，所在直线是的切线，求的长． 53．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，已知在中，． (1)已知点在边上，请用尺规作图作出：使经过点，且与相切于点，与的另一个交点为点（保留作图痕迹，不写做法）； (2)若，若，求劣弧与线段，所围成的图形的面积；（结果保留根号） (3)若，，求的半径． 54．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，已知圆内接四边形中是的直径，且满足． (1)尺规作图：过点作的切线，交的延长线于点； (2)在（1）的条件下，求证：； 55．（2024·辽宁营口·一模）如图，内接开，，是的直径，交于点．连接BD． (1)尺规作图：过点作，交的延长线于点（用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，保留作图痕迹，不必写作图过程） (2)求证：是的切线； (3)已知，，求的长． 56．（2024·辽宁·一模） 如图1， 为的直径，且，与为内的一组平行线，弦交于点G．点A在上，点B在上，． (1)求证：； (2)如图 2，用尺规作关于弦所在直线的对称图形交于点K(不要求写作法，保留作图痕迹)，点为点K关于弦所在直线的对称点，连接，若求 的长． 57．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图1，为的直径，C为外一点． (1)尺规作图：作直线与相切，切点D在弧上（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，为的直径，直线与相切于点D，连接、、，若，，，求的长． 58．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，内接于，是的直径，过点的切线交的延长线于点，是上一点，点分别位于直径异侧，连接，且． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长． 59．（2024·辽宁·模拟预测）《义务教育数学课程标准(2022年版)》实施以来，切线长定理的探索与证明由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外一点作圆的切线”.在学习完《切线的性质与判定》后，九年级的李老师布置了一道题：“如图，已知：如图所示，及外一点M．求作：直线，使与相切于点N．” 小星同学经过探索，给出了如下的一种作图方法： ①连接，分别以点O，M为圆心，以 的长为半径作弧，两弧分别相交于A，B 两点(点A，B 分别位于直线的上下两侧)； ②作直线 ，交于点C； ③以点C为圆心， 长为半径作， 交于点N(点 N位于直线的上侧)； ④连接，交于点D，则直线即为所求； (1)请按照步骤完成填空、作图(尺规作图，保留作图痕迹，准确标注字母)，并结合图形，说明直线是切线的理由； (2)李老师夸奖了小星的作图方法，同时在(1)的图形中延长交于点E，过点E作交的延长线于点F，连接，并增加条件：，，，让小星求的长，请你帮助小星解答． 60．（2024·辽宁·模拟预测）学习了《圆》之后，我们发现作辅助圆，利用圆的基本性质可以解决一些求角度的问题． 【用数学的眼光观察】 （1）将下列解题过程补充完整． 例：如图①，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：如图①，以点A为圆心，的长为半径作． 因为，， 所以C，D两点都在上． 因为， 所以__________°． 【用数学的思维思考】 （2）如图②，在四边形中，，，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图③，已知线段和直线l，在直线l上求作一点P，使，用直尺和圆规在直线l上作出所有符合条件的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$