专题05 平行四边形的重难点题型汇编（十大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题05 平行四边形的重难点题型汇编（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1：利用平行四边形的性质求角度】 【题型2：利用平行四边形的性质求线段长度】 【题型3：利用平行四边形求面积】 【题型4：平行四边形的性质与坐标】 【题型5：平行四边形中的最值问题】 【题型6：平行四边形中的折叠问题】 【题型7：平行四边形的判定条件】 【题型8：平行四边形的判定与坐标】 【题型9：平行四边形的判定与动点】 【题型10：平行四边形的判定与性质综合】 【题型1：利用平行四边形的性质求角度】 1．如图，在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等这一性质．利用平行四边形对角相等的性质，直接得出与的关系，从而求出的度数． 【详解】解：因为四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等． 在平行四边形中，与是对角，已知，所以， 故选：A． 2．如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则 度． 【答案】90 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质进行求解． 根据平行四边形的性质得出，，再由勾股定理逆定理即可得出结果． 【详解】解：∵中，，， ∴，， ∵，即， ∴， 故答案为：90． 3．如图，在平行四边形中，点是中点，连接并延长交的延长线于点． 若，，的度数= ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，三角形的外角性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得，又点是中点，则，即，所以，再通过，得到，由等边对等角得，最后由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在中，E是边上一点，，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，结合等腰三角形“等边对等角”的性质以及“两直线平行，内错角相等”可得，进而由三角形内角和定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，在中，，，垂足为，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）由平行四边形的性质可得，求出，，计算即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 【题型2：利用平行四边形的性质求线段长度】 6．如图，在中，平分，交于点，，．则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，以及周长的计算，解题的关键是正确的求出． 根据题意，先求出，再求出，即可求出周长． 【详解】解：在中，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴周长为：； 故选：C． 7．如图，在中，、相交于点，若，，与的周长差为（　　）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对角线互相平分是解题关键．由平行四边形可得，进而得到与的周长差为，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 的周长，的周长， 与的周长差为， ，， 与的周长差为， 故选：C． 8．如图，在中，对角线相交于点．若，，，则的长为（   ）    A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形对角线互相平分，再根据勾股定理即可求出，进而可得的长．解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， ， ， 故选：A． 9．如图，在中，点在边上，连接、，若是的平分线，是的平分线，，，则平行四边形的周长为（  ） A．24 B．30 C．40 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等角对等边、勾股定理，由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质结合角平分线的定义可得，，，推出，，，再由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴平行四边形的周长为， 故选：B． 10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及逆定理等知识，得到是解题的关键． 由平行四边形的性质得到，，再由垂直平分线的性质得到，然后再由勾股定理逆定理得到，则，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， 垂直平分， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， 故答案为：． 11．如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于两点；分别以点为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由作图可知平分，得到，根据平行四边形的性质得到，得出，继而得到，得到，得出． 【详解】解：由作图可知平分， ， ， ， ， ， ， ． 12．如图，在中，，．若，，，则的长为 ． 【答案】//11.2 【分析】本题考查平行四边形的性质以及等面积法的应用，解题的关键是利用平行四边形面积的两种不同表示方法建立等式求解． 先根据平行四边形面积公式，以为底、为高求出平行四边形的面积，再以为底、为高表示出面积，然后通过面积相等建立方程求解． 【详解】根据平行四边形面积公式，已知，则 ， 根据平行四边形面积公式，此时底为，高为， ， 解得， 故答案为：． 13．如图，在中，对角线、相交于点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用平行四边形性质得到相关线段长度，再通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出的长度． 先根据平行四边形性质求出和的长度，再利用勾股定理逆定理判断的形状，最后根据直角三角形性质求出． 【详解】四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，已知， ， 在平行四边形中，， ， ，则，即是直角三角形． 四边形是平行四边形， ． ， 故答案为：． 14．如图，在平行四边形中，，，与分别为和的平分线，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边．由平行四边形的性质得到，角平分线的定义可得，则．同理可得．根据，求解作答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 故答案为：． 【题型3：利用平行四边形求面积】 15．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， 则图中阴影部分的面积是， 故选：B． 16．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则的面积为是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． 由平行四边形的性质证明是等边三角形，可得，可得，由勾股定理可求的长，根据平行四边形的性质和三角形的中位线定理得，再根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】平分， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 在中， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：B． 17．如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的面积公式和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可得到答案． 【详解】解：设两个阴影部分三角形的高为， 则为平行四边形的高， ． 故选D． 18．如图，中，点E、F分别是上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形的面积为（　　） A．17 B．19 C．18.5 D．23 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形性质，利用平行四边形的性质可得，进而求得答案． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ∴ 设，，，则，，， ∴， ， 即阴影部分四边形的面积为23； 故选：D． 19．如图，在中，于点E，于点F，若，，且的周长为30，则的面积为（   ） A．36 B．32 C．24 D．18 【答案】A 【分析】根据平行四边形的周长得到，联立方程组，解得，，代入即可解答． 本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的周长和面积． 【详解】解：∵的周长为30， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ①×2得：③， ③－②， ， ， 代入①，， ∴， ∴． 故选：A． 20．如图，在中，于点，，交的延长线于点．若，，且的周长为40，则的面积为（   ） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 【题型4：平行四边形的性质与坐标】 21．如图，平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，则顶点C的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质”是解本题的关键．根据平行四边形对边平行且相等可得到，轴，据此可得答案． 【详解】解： 的顶点A，B，D的坐标分别是， ， ∵轴，， 轴， ． 故选：D． 22．如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是，则D点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点关于x轴对称的性质，等边三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，通过计算的长度，利用等边三角形的性质得到的长度，再利用勾股定理求出的长度，从而确定点的坐标，最后根据平行四边形的性质求出点的坐标，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵点与点关于轴对称，点的坐标是， ∴的坐标为 ，， 是以的对角线为边的等边三角形， ， ， ， ， ， ∴点的坐标是， 故选：C． 23．如图，中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是，边的中点E的坐标是，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，根据中点坐标公式可求出A、B的坐标，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上， ∴设，， ∵边的中点E的坐标是， ∴，， 解得，， ∴，， ∵点C的坐标是， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，即轴， ∴点D的坐标为， 故选：B． 【题型5：平行四边形中的最值问题】 24．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，含直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键． 根据平行四边形的性质分析出当最短时也最短，过作的垂线，即的最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴当最短时也最短， ∴过作的垂线，如图所示： ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 25．如图，在平行四边形纸片中，，，．E是线段的中点，点F在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，折叠的性质， 先作，交的延长线于点G，连接，根据平行四边形的性质,，再根据三角形三边之间的关系可知当点共线时最小，然后根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，进而得出答案. 【详解】解：如图所示，过点A作，交的延长线于点G，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴. ∵，点E是线段的中点， ∴,. 根据折叠的性质得. 根据三角形三边之间的关系，可得， 当点共线时，最小， ∵， ∴， ∴. 根据勾股定理，得， 解得， ∴. 根据勾股定理，得， ∴最小值是. 故答案为：. 【题型6：平行四边形中的折叠问题】 26．如图，E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点G，则的高是（   ） A．4 B．4 C．8 D．8 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得，再利用平行四边形的性质得到，则可判断为等边三角形，作于，利用含度的直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形沿翻折，得到， ， 四边形为平行四边形， ， ， 为等边三角形， 如图，作于， 在中，， ， ， 即的高是． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 27．如图，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将折叠，使点A恰好落在上的点F，若的周长为14，的长为3，则的周长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握翻折变换和平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由折叠的性质得出，，由的周长得出，即可求出的周长． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵的周长为14， ∴， ∴， ∴的周长； 故选：A． 28．如图，在平行四边形中，点O为对角线的交点，，过点O的直线分别交和于点F、E，折叠平行四边形后，点A落在点处，点D落在点处，若，则的长为（   ） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 【答案】C 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，则，再根据平行线四边形的性质，可知，即可求得结果． 本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，理解中心对称图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，根据题意， 则点E和点F关于O中心对称 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， 故选：C． 29．如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，一元一次方程解几何问题，掌握平行四边形、折叠的性质是关键． 令，则，进而可得，由折叠可知，，，，再根据三角形的内角和列出关于的方程式即可得出答案． 【详解】解：令，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由折叠可知，，， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故选：C． 30．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ． 【答案】63 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据三角形的外角性质可得，根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：63． 31．如图，在平行四边形中，点分别为边的中点，将平行四边形沿着折叠，点分别落在处，若，则的度数为 ． 【答案】/57度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，由折叠的性质，，得出，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ∵点分别是的中点， ， 由折叠可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 32．如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时， ．    【答案】 【分析】先由折叠的性质得，，，，，据此可求出，再根据得，进而得，在中可求出，然后中再根据点为斜边的中点可得出的长．此题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的折叠变换和性质，理解在直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 即为直角三角形， 在中，，， 解得， ，，， ， 即点为的中点， 在中，点为斜边的中点， ． 故答案为：． 33．如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点，，，A为顶点的四边形为平行四边形，则的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查求线段长，涉及勾股定理、平行四边形性质、折叠性质等知识，读懂题意，分两种情况：①当点在下方时；②当点在上方时；在各自情况下，先由勾股定理求出长，再由平行四边形及折叠性质，数形结合表示出要求的线段即可得到答案，根据题意分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：当点在下方时，如图所示： ，，， ， 为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 将沿折叠得到， ， ； 当点在上方时，如图所示： 同上理，可得， ， 综上所述，可得为1或， 故答案为：1或 ． 【题型7：平行四边形的判定条件】 34．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识，掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意； B．根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意； C．根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，符合题意； D．根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故不符合题意． 故选：C． 35．如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形不一定是平行四边形，故该选项符合题意； 故选：D． 36．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B．由，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．由，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； D．由，，能判定四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 37．观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（   ） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边的判定，根据判定四边形为平行四边形的条件逐一判定即可，熟知判定平行四边形的条件是解题的关键． 【详解】解：图，根据四边形的内角和，可知第四个角为， 图不是平行四边形； 图，只能判断一组对边平行，其他条件不具备，不能判定其为平行四边形； 图，根据一组对边平行且相等，证明其为平行四边形， 故选：A． 38．下面关于平行四边形的说法正确的是（　　） A．平行四边形两条对角线的交点到其中任意一条边的距离相等 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．一组对边相等而另一组对边平行的四边形是平行四边形 D．两组边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，本选项不符合题意； B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、一组对边相等而另一组对边平行的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，本选项不符合题意； D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：B． 39．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形判定．根据题意根据平行四边形判定定理逐一对选项进行判定即可． 【详解】解：能判定四边形是平行四边形的是，，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 故选：A． 40．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、错误．四边形是等腰梯形时，也满足条件． B、错误．∵， ∴， ∴条件重复无法判断四边形是平行四边形． C、错误．四边形是等腰梯形时，也满足条件． D、正确．∵， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故选：D． 【题型8：平行四边形的判定与坐标】 41．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 42．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 43．如图平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点Q是平面内一点，若点使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，由于点Q的位置不确定（即对角线或边不确定），所以要分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，然后根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设， ①当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； ②当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； ③当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； 综上，Q的坐标为或或， 故答案为：或或． 44．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点的坐标．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．由平行四边形的性质可知，，则、有相同的纵坐标进而可得点坐标． 【详解】解：∵、、的坐标分别是，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，则、有相同的纵坐标， ∴点的坐标为， 故答案为：． 45．一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为 【答案】或或 【分析】此题考查了平行四边形的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分情况讨论． 设第四个顶点的坐标为，根据平行四边形的性质分三种情况，然后分别列出方程组求解即可． 【详解】解：∵一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，， 设第四个顶点的坐标为 当点和是对角顶点坐标时， ∴ ∴第四个顶点的坐标为； 当点和是对角顶点坐标时， ∴ ∴第四个顶点的坐标为； 当点和是对角顶点坐标时， ∴ ∴第四个顶点的坐标为； 综上所述，第四个顶点的坐标为或或． 故答案为：或或． 46．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，先建立平面直角坐标第，再分和两种情况求解即可． 【详解】解：①当，时，如图： ∵点C的坐标是，点A的坐标是， ∴， ∵点B不在第一象限， ∴点B坐标为，即 ①当，时，如图： 由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点O， ∴由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点B， 故点B坐标为：即， 综上所述：点B的坐标是或， 47．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 【题型9：平行四边形的判定与动点】 48．在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2 B．3 C．2或6 D．3或6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点在的左侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； ②当点在的右侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； 综上可得：当或时，以为顶点四边形是平行四边形． 故选：C． 49．如图，在四边形中是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t为（    ）秒时，以点为顶点的四边形是平行四边形 A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 分别从当运动到和之间、当运动到和之间去分析求解即可求得答案． 【详解】解：∵是的中点， 由题意可知：，则， ①当运动到和之间，设运动时间为， ∴， 解得：； ②当运动到和之间，设运动时间为， 解得：， ∴当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，为顶点的四边形是平行四边形， 故选：C． 50．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 51．如图，在四边形中，，，，， ，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)；；或 (2)当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； （2）解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 52．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，． 53．如图，在四边形中，，，连接，，，动点P从点A出发，沿线段匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段匀速运动．当P，Q其中一点到达顶点，另一点也停止运动．设运动的时间为．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当四边形为平行四边形时，求t的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的判定证明，再利用平行四边形的判定即可得证； （2）由题意可知，，，由勾股定理得，再由平行四边形的性质得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， 四边形是平行四边形， ，， 由题意可知，，， 当四边形是平行四边形时，点在线段上时，此时，， ， ， 解得：． 【题型10：平行四边形的判定与性质综合】 54．如图，在中，两点分别在边 上，连接， 且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若平分，，且，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】（1）根据全等三角形的判定可得，，再根据平行四边形的性质，可得，由此即可求证； （2）根据题意可得，根据垂直可得平行四边形是矩形，设，在和中，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵，且四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，，则， ∴， ∴， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等角对等边，勾股定理的运用，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 55．如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再根据勾股定理求出的长，再求出，求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 【点睛】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，角平分线的定义，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 56．如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积是． 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，因为延长至点E，使，所以，，则四边形是平行四边形； （2）连接，由的对角线与相交于点O，得，由平分，得，由，得，则，所以，则，所以，求得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵延长至点E，使， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵的对角线与相交于点O，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是． 57．如图，在的对角线上依次取点、，且，作，分别交边、于点G、H． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）证明，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，则，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后由平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 58．如图，在中，，是上的点，连接，，，，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，，然后根据．得到，即可证明结论； （2）根据，得出，，，结合，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连结，交于点． 是平行四边形， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解： ， ，，， ， 在中，， 在中，， 是平行四边形， ． 59．已知，如图，在平行四边形中，点，分别在和上，． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若、分别平分、，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； （2）过作于，根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明，得到，进而得到，由勾股定理可得，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过作于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 60．如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，将对角线 向两个方向延长，分别至点 和点 ，且 ． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)当 时，，，求 的长； (3)在（）的条件下，，求四边形 的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，又，得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形对角线互相平分得到，，由勾股定理求出的长，进而得到的长，再由勾股定理求出的长，即可求出的长； （3）先求出的长，再求出的面积，进而可由平行四边形的性质求出四边形 的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，即：． ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行四边形的重难点题型汇编（十大题型） 重难点题型归纳 【题型1：利用平行四边形的性质求角度】 【题型2：利用平行四边形的性质求线段长度】 【题型3：利用平行四边形求面积】 【题型4：平行四边形的性质与坐标】 【题型5：平行四边形中的最值问题】 【题型6：平行四边形中的折叠问题】 【题型7：平行四边形的判定条件】 【题型8：平行四边形的判定与坐标】 【题型9：平行四边形的判定与动点】 【题型10：平行四边形的判定与性质综合】 【题型1：利用平行四边形的性质求角度】 1．如图，在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则 度． 3．如图，在平行四边形中，点是中点，连接并延长交的延长线于点． 若，，的度数= ． 4．如图，在中，E是边上一点，，，若，则的度数为 ． 5．如图，在中，，，垂足为，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【题型2：利用平行四边形的性质求线段长度】 6．如图，在中，平分，交于点，，．则的周长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，、相交于点，若，，与的周长差为（　　）． A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，在中，对角线相交于点．若，，，则的长为（   ）    A．10 B．8 C．6 D．4 9．如图，在中，点在边上，连接、，若是的平分线，是的平分线，，，则平行四边形的周长为（  ） A．24 B．30 C．40 D．48 10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为 ． 11．如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于两点；分别以点为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为 ． 12．如图，在中，，．若，，，则的长为 ． 13．如图，在中，对角线、相交于点，，，，则的长为 ． 14．如图，在平行四边形中，，，与分别为和的平分线，则的长为 ． 【题型3：利用平行四边形求面积】 15．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．6 D．4 16．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则的面积为是（   ） A． B． C． D． 17．如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．3 B． C．4 D． 18．如图，中，点E、F分别是上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形的面积为（　　） A．17 B．19 C．18.5 D．23 19．如图，在中，于点E，于点F，若，，且的周长为30，则的面积为（   ） A．36 B．32 C．24 D．18 20．如图，在中，于点，，交的延长线于点．若，，且的周长为40，则的面积为（   ） A．24 B．36 C．40 D．48 【题型4：平行四边形的性质与坐标】 21．如图，平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，则顶点C的坐标是（ ） A． B． C． D． 22．如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是，则D点的坐标是（） A． B． C． D． 23．如图，中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是，边的中点E的坐标是，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型5：平行四边形中的最值问题】 24．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ． 25．如图，在平行四边形纸片中，，，．E是线段的中点，点F在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ． 【题型6：平行四边形中的折叠问题】 26．如图，E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点G，则的高是（   ） A．4 B．4 C．8 D．8 27．如图，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将折叠，使点A恰好落在上的点F，若的周长为14，的长为3，则的周长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 28．如图，在平行四边形中，点O为对角线的交点，，过点O的直线分别交和于点F、E，折叠平行四边形后，点A落在点处，点D落在点处，若，则的长为（   ） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 29．如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 30．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ． 31．如图，在平行四边形中，点分别为边的中点，将平行四边形沿着折叠，点分别落在处，若，则的度数为 ． 32．如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时， ．    33．如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点，，，A为顶点的四边形为平行四边形，则的长为 ． 【题型7：平行四边形的判定条件】 34．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 36．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 37．观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（   ） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 38．下面关于平行四边形的说法正确的是（　　） A．平行四边形两条对角线的交点到其中任意一条边的距离相等 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．一组对边相等而另一组对边平行的四边形是平行四边形 D．两组边分别相等的四边形是平行四边形 39．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 40．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型8：平行四边形的判定与坐标】 41．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 42．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 43．如图平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点Q是平面内一点，若点使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标为 ． 44．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则点的坐标为 ． 45．一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为 46．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 47．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【题型9：平行四边形的判定与动点】 48．在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2 B．3 C．2或6 D．3或6 49．如图，在四边形中是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t为（    ）秒时，以点为顶点的四边形是平行四边形 A．1 B． C．1或 D．或2 50．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 51．如图，在四边形中，，，，， ，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 52．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 53．如图，在四边形中，，，连接，，，动点P从点A出发，沿线段匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段匀速运动．当P，Q其中一点到达顶点，另一点也停止运动．设运动的时间为．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当四边形为平行四边形时，求t的值． 【题型10：平行四边形的判定与性质综合】 54．如图，在中，两点分别在边 上，连接， 且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若平分，，且，，求的长． 55．如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 56．如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 57．如图，在的对角线上依次取点、，且，作，分别交边、于点G、H． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的度数． 58．如图，在中，，是上的点，连接，，，，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 59．已知，如图，在平行四边形中，点，分别在和上，． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若、分别平分、，，，，求四边形的面积． 60．如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，将对角线 向两个方向延长，分别至点 和点 ，且 ． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)当 时，，，求 的长； (3)在（）的条件下，，求四边形 的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$