专题4.10 平行四边形压轴题综合测试卷-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（浙教版）

第4章 平行四边形压轴题综合测试卷 【浙教版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，E，F分别是，的中点，连接，，G，H分别是，的中点，连接，若，则的长度是（     ） A． B． C． D．2 3．（3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为，则这个多边形的边数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（3分）（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，已知 的顶点A，C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 7．（3分）（24-25八年级下·北京大兴·期末）如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 8．（3分）（2021·山东临沂·一模）如图，在中，、的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若，，BC＝10，，则BE的长为（        ） A． B．8 C． D．10 9．（3分）如图，已知▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（3分）（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为 ． 12．（3分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形中，点在上，连接，交于点，平分，，若，，则线段的长为 ．    13．（3分）（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，……，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为 ．    14．（3分）（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形中，，于点，在右侧的平面内有一点的面积是，当的最小值是时，那么 ． 15．（3分）（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n． （1）若点P是平行四边形的对称中心，则 ； （2）平行四边形的面积为 （用含m、n的代数式表示）． 16．（3分）（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图1，在四边形 中，依次取四边中点E，F， H， G， 连结，．P是线段上的一点，连结， 作 交于点 Q．分别沿，，，将四边形 剪裁成五块，再将它们拼成四边形 ． （1） ． （2）如图2， 连结， 交于点O， 若， 则四边形的周长最小值是 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    (1)在点，运动过程中，___________，___________； (2)连接，，若与互相平分，求此时的值； (3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 18．（6分）（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点B的坐标为___________； (2)连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上； (3)当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________. 19．（8分）（24-25八年级·四川巴中·期末）（1）如图（1），在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． （2）如图（2），延长图（1）中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：． （3）如图（3），在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，试判断的形状．并进行证明． 20．（8分）（24-25八年级上·云南·阶段练习）（概念学习） 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则_____°； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，______；（用含α的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：． 21．（10分）（24-25八年级·湖北·期末）【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中， ，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中， ，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 22．（10分）（24-25八年级·辽宁铁岭·期末）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 23．（12分）（24-25八年级下·贵州毕节·期末）在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． (1)如图1，若是等边三角形，，求的面积； (2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 24．（12分）（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图1，在中，，将绕着的中点旋转得到，点为的中点．点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒． (1)______，______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当将四边形的周长分成两部分时，求的值． (4)如图2，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 平行四边形压轴题综合测试卷 【浙教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，过点作的延长线于，由可得，由勾股定理得，由平行四边形性质得，，进而得到，，，即可得到，，即得，由勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，E，F分别是，的中点，连接，，G，H分别是，的中点，连接，若，则的长度是（     ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】如图，连接并延长交于，连接，过作交延长线于，根据平行四边形的性质得到；再说明，根据直角三角形的性质和勾股定理可得、，根据全等三角形的性质得到，进而求得，再由勾股定理可得，最后运用三角形的中位线定理即可解答． 【详解】解：连接并延长交于，过作交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ， ∵点分别是边的中点，， ， ， ， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ∵点是的中点，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理，直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 3．（3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为，则这个多边形的边数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解． 【详解】解法1：设边数为n，这个外角为x度，则根据题意，得 解得：． ∵n为正整数， ∴必为180的倍数， 又∵， ∴． 解法2：∵． ∴，即． 又∵， ∴， 解之得． ∵边数n为正整数， ∴． 故选A． 4．（3分）（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 5．（3分）（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B，C，分别作的垂线，垂足为，利用多边形内角和定理及等边三角形的性质证明，，设，，则，利用在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点B，C，分别作的垂线，垂足为， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理得：， ， ， ， ， ， ， 设，，则，， 在中，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角的特征，多边形内角和，作出辅助线构造三角形全等时解得的关键． 6．（3分）（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，已知 的顶点A，C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】作辅助线如解析图，由于四边形是平行四边形，所以，又由平行四边形的性质可推得，则可证明，进而可得的长固定不变，当最小时，取得最小值，从而可求． 【详解】过点B作直线，交直线于点D，过点B作轴，交x轴于点E，直线与交于点M，与x轴交于点F，直线与交于点N，如图：    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵直线与直线均垂直于x轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 由于的长不变，所以当最小时（即B点在x轴上），取得最小值，最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 7．（3分）（24-25八年级下·北京大兴·期末）如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，构造顶点四边形即可； 【详解】解：如下图：由勾股定理和网格特征可得下列顶点四边形的两组对边分别相等， ∴都是平行四边形， 故选： D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理；掌握平行四边形的性质是解题关键． 8．（3分）（2021·山东临沂·一模）如图，在中，、的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若，，BC＝10，，则BE的长为（        ） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝90°，可得BE⊥CF；过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F， ∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+ ∠DCB＝90°， ∴EB⊥FC， ∴∠FGB＝90°． 过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示： ∵AM∥FC， ∴∠AOB＝∠FGB＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝6， ∵AO⊥BE， ∴BO＝EO， 在△AOE和△MOB中， ， ∴△AOE≌△MOB（ASA）， ∴AO＝MO， ∵AF∥CM，AM∥FC， ∴四边形AMCF是平行四边形， ∴AM＝FC＝4， ∴AO＝2， ∴EO＝， ∴BE＝8． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理；证明AO＝MO，BO＝EO是解决问题的关键． 9．（3分）如图，已知▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB＝．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求． 【详解】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图： ∵四边形OABC是平行四边形， ∴∠OAB＝∠BCO，OCAB，OA＝BC， ∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴， ∴AMCN， ∴四边形ANCM是平行四边形， ∴∠MAN＝∠NCM， ∴∠OAF＝∠BCD， ∵∠OFA＝∠BDC＝90°， ∴∠FOA＝∠DBC， 在△OAF和△BCD中，， ∴△OAF≌△BCD． ∴BD＝OF＝1， ∴OE＝4+1＝5， ∴OB＝． 由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 10．（3分）（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质和，可以确定等腰三角形，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据三角形的中位线和平行四边形的性质可以确定，且，进而得到平行四边形，再应用其对角线互相平分的性质确定②正确；根据三角形底和高之间的关系和平行四边形的性质确定和，进而得到，可判断③不正确． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵为中点， ∴．故①正确． ②如下图所示，连接，， ∵是中点， ∴． ∵、分别是、中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴故②正确． ③如上图所示：∵是中点， ∴． ∵是中点， ∴． ∵平行四边形的对角线、交于点， ∴是中点，． ∴． ∵是中点，是中点， ∴． ∴．故③不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线，平行四边形的性质与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点，由平行四边形性质可得，，可证明 ，再由全等三角形性质得，，则，求得，，，推得，由，求得，则中位线的长度即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点， 则， 四边形是平行四边形， ，， ，， 点、分别是、的中点， ，，， 在和中， ， ， ，， ，点、分别是边、的中点， ，， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、等角对等边，解题关键是正确地作出辅助线帮助求解． 12．（3分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形中，点在上，连接，交于点，平分，，若，，则线段的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，长方形的性质，勾股定理，解二元一次方程组等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键． 首先利用证明，从而得；然后根据平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，证明；作于点，于点，则有四边形是长方形；最后根据勾股定理列出关于、的二元一次方程组求解即可． 【详解】如图，连结， 四边形是平行四边形， ，，，． ， ， ， ， ， 又 ， ． ． 平分， ， ， ． 作于点，于点， 则有四边形是长方形， ． 设，，则，． 在中， ①； 在中， ②； 联立①②，解得． 则． 故线段的长为4．    13．（3分）（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，……，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查的是图形变化规律以及结合全等三角形，等边三角形的知识内容，关键在于通过证明全等三角形的基础上去研究边的变化规律． 先连接，找到全等三角形，进而得到，理清边与边的大小变化规律，然后总结出变化规律式子即可得解． 【详解】解：如图1，连接．    ∵六边形是正六边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵、分别为、中点， ∴， ， ∵六边形是正六边形，是等边三角形， ， ， 同理， 即， ∵等边三角形的边长是， ∴第一个正六边形的边长是，即等边三角形的边长的， 如图2，过作于，过作于，      则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵(已证)， ， ， 同理， ∴，即第二个等边三角形的边长是； 同理第三个等边三角形的边长是； 同理第四个等边三角形的边长是； 第五个等边三角形的边长是； 第个等边三角形的边长是， ∴第2024个等边三角形的边长为：． 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形中，，于点，在右侧的平面内有一点的面积是，当的最小值是时，那么 ． 【答案】9 【分析】设的上的高为，先证明点在平行于，且到边的距离等于的直线上，延长交于点，并在射线上取，连接交直线于点，连接，过点作于，求得点、关于直线对称时， ，再证四边形是平行四边形，得，，最后利用勾股定理即可得解． 【详解】解：设的上的高为， ∵的面积是，， ∴， 解得， ∴点在平行于，且到边的距离等于的直线上， 延长交于点，并在射线上取，连接交直线于点，连接，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点、关于直线对称， ∵当的最小值是， ∴点、关于直线对称时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查平行四边的判定及性质，勾股定理，轴对称的判定及性质，线段最短以及平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解． 15．（3分）（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n． （1）若点P是平行四边形的对称中心，则 ； （2）平行四边形的面积为 （用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、三角形中位线的判定及性质，中心对称的性质． （1）连接、，根据平行四边形的判定及性质得出四边形，，，，，为平行四边形，再根据中心对称的性质得出点E，F，G，H分别为，，，的中点，设四边形面积为，即可得到则，，再作比即可得出答案； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，分别表示出，，，再根据图形的面积和整理即可得出答案． 【详解】（1）连接、 四边形为平行四边形 ，    ，，，， ，， 四边形，，，，，为平行四边形， 点P是平行四边形的对称中心， 点E，F，G，H分别为，，，的中点， ∴平行四边形，，，的面积都相等，且等于四边形面积的， 设四边形面积为，则， ，，， ∴， ， 故答案为：； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， 故答案为：． 16．（3分）（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图1，在四边形 中，依次取四边中点E，F， H， G， 连结，．P是线段上的一点，连结， 作 交于点 Q．分别沿，，，将四边形 剪裁成五块，再将它们拼成四边形 ． （1） ． （2）如图2， 连结， 交于点O， 若， 则四边形的周长最小值是 ． 【答案】 【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据三角形中位线定理得出，即可得出最小时四边形的周长最小值，最小值是的值，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求解即可； 【详解】解：（1）根据题意可得：， ∴， ∴， ∴； （2）∵是的中点， ∴， 作， ∴， ∴， ∴的最小值为， 根据（1）可得出， 故四边形的周长最小值； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    (1)在点，运动过程中，___________，___________； (2)连接，，若与互相平分，求此时的值； (3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，有两种情况； 点在线段上， 点在线段的延长线上， 【分析】（1）根据，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，列出代数式即可解决； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解答； （3）有两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程解答即可． 【详解】（1）解：，点从点出发，以的速度向点运动， ， ， ，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动， ， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分，则是平行四边形， ， 即， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 点在线段上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 点在线段的延长线上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或．    【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质、列代数式、解一元一次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 18．（6分）（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点B的坐标为___________； (2)连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上； (3)当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________. 【答案】(1) (2)4 (3)或或 【分析】（1）过点C作于点H，然后根据题意可得点，进而问题可求解； （2）由题意得，则有，当点D、E、P三点共线时，可知，然后问题可求解； （3）由题意可知当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当为对角线时，②当以为对角线时，③当以为对角线时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：过点C作于点H，如图所示：    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 由题意得：，是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 当点D、E、P三点共线时，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，D、E、P三点在一条直线上； （3）解：由（2）及题意可知：， 当点P运动到的中点时，则有， 解得：， ∴， 当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分： ①当为对角线时，则根据平行四边形的性质可得，， ∴， ②当以为对角线时，即， ∴， ∴； ③当以为对角线时，即，，如图所示，过点M作于点N， ∴， ∴， ∴ ∴综上所述：当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则点或或． 【点睛】本题主要考查图形与坐标、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 19．（8分）（24-25八年级·四川巴中·期末）（1）如图（1），在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． （2）如图（2），延长图（1）中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：． （3）如图（3），在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，试判断的形状．并进行证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，证明见解析． 【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明； （3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状. 【详解】证明：（1）是的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2）的中点，是的中点， ， . 同理，. 由（1）可知， . （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 20．（8分）（24-25八年级上·云南·阶段练习）（概念学习） 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则_____°； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，______；（用含α的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：． 【答案】（1）225；（2）；（3）；（4）见解析． 【分析】本题考查多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质，熟练掌握多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质是解题关键． （1）根据组角的定义直接得答案； （2）根据组角的定义和四边形的内角和可得结论； （3）根据（2）的结论可直接得出答案； （4）由（2）中的结论可知在镖形中，有，在镖形中，有，再根据等式的性质可得结论． 【详解】解：（1）、互为组角，且， ， 故答案为：； （2）钝角； 理由：优角与钝角互为组角， 优角钝角， 四边形的内角和是， 优角， 钝角； （3）由（2）得，在镖型中，， 在镖型中， ， ， 故答案为：； （4）的平分线交于点M， ， 令． 由（2）中的结论可知在镖形中，有 在镖形中，有， 于是根据等式的性质得出， 而， ，即． 21．（10分）（24-25八年级·湖北·期末）【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中， ，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中， ，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 【答案】提出问题：证明见解析；问题探究：证明见解析；拓展延伸： 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理； 提出问题：由垂直可得，由，可得，，得到，即可证明； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，先证明，得，，再证明，得到，推出，即可证明，得到，； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，证明，得到，再由勾股定理得到，最后根据计算即可． 【详解】解：提出问题：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，则， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，则， ∵ ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（10分）（24-25八年级·辽宁铁岭·期末）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)等边三角形 (2)等边三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，，利用平行线的性质，得到，，，从而推出，最后判定三角形为等边三角形； （2）连接，交分别、于点、，同理可证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，，得到是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到，从而判定三角形为等边三角形； （3）连接、，同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形有，设，则，，先判定是直角三角形，，取的中点，连接，通过，推出，即此时在边上，那么；连接、，同①，可证是直角三角形，，，此时在边上，可得到． 【详解】（1）解：由题意可得，， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 、、三点共线 ，， 是等边三角形 故答案为：等边三角形． （2）解：是等边三角形，理由如下， 如下图，连接，交分别、于点、， ， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 ，， 点在线段的延长线上 ，即 ， 是等腰三角形 又， 是等边三角形 （3）解：①如下图，连接、 同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形 有 设，则， 是直角三角形， 取的中点，连接 此时在边上 ②如下图，连接、 同①，可证是直角三角形，， 此时在边上 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点，构建合适的辅助线是解题的关键． 23．（12分）（24-25八年级下·贵州毕节·期末）在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． (1)如图1，若是等边三角形，，求的面积； (2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和角平分线的性质可推出，，从而得到．再根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可求出和的长，从而可求出答案； （2）延长到，使得，连接．根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质可推出，，从而得到，，再利用四边形是平行四边形可推出，从而得到四边形是平行四边形，得到，最后根据即可证明． 【详解】（1）解：是等边三角形 ， 又，分别是，的平分线 ，，， 在中，， ， ∴ ∴ 的面积为． （2）证明：如图，延长到点，使，连接 是等腰直角三角形，且，，分别是，的平分线 ， ， ， 四边形是平行四边形 ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并正确的作出辅助线是解题关键． 24．（12分）（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图1，在中，，将绕着的中点旋转得到，点为的中点．点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒． (1)______，______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当将四边形的周长分成两部分时，求的值． (4)如图2，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数． 【答案】(1)10， (2)当点在上时，； 当点在上时， (3)的值为7或13 (4)或 【分析】本题考查图形的旋转，平行四边形的性质． （1）将绕着的中点旋转得到得，得四边形是平行四边形即可求解； （2）先表示出，再表示即可； （3）先表示出，再根据题意可得或，求解即可； （4）分两种情况，当时和当时，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：将绕着的中点旋转得到 四边形是平行四边形 故答案为：10，； （2） ； （3） 当将四边形的周长分成两部分时 或 解得或 经检验，或是原方程的解 当将四边形的周长分成两部分时，或； （4）如图， 当时， 点与点关于对称 ； 如图， 当时， 点与点关于对称 ． 综上，的度数为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$