专题07 一元一次不等式（组）的应用重难点汇编（五大题型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

专题07 一元一次不等式（组）的应用重难点汇编（五大题型） 重难点题型归纳 【题型一：分配问题】 【题型二：销售利润问题】 【题型三：方案问题】 【题型四：其他问题】 【题型五：定义问题】 【题型一：分配问题】 1．某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，求每组预定的学生人数． 【答案】每组预定的学生人数为22人 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，先设每组预定的学生数为人，结合“把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人”这个条件，列出不等式组，即可作答． 【详解】解：设每组预定的学生数为人， 由题意，得 解得． 是正整数， ． 答：每组预定的学生人数为22人． 2．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 3．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解． 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 4．把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有 本． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分7本，那么最后一人就分不到3本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， ， 当时， 故答案为：36． 5．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 【题型二：销售利润问题】 6．为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进单价分别为80元/件和50元/件的A，B两种纪念品． (1)若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7100元，那么该商店共有几种进货方案？ (2)若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（1）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该商店共有4种进货方案 (2)该商店购进A种纪念品70件，B种纪念品30件可获利最大，最大利润是2700元 【分析】（1）设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品件，根据题意列一元一次不等式组求解即可； （2）分别求出每个方案的利润，然后比较即可得出结论． 本题考查一元一次不等式组的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：设该商店购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品件， 由题意得， 解得． ∵为整数，∴，68，69，70． 答：该商店共有4种进货方案． （2）解：当时，利润为（元）， 当时，利润为（元）， 当时，利润为（元）， 当时，利润为（元）， 答：该商店购进A种纪念品70件，B种纪念品30件可获利最大，最大利润是2700元． 7．某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 【答案】(1)生产甲机器4台，生产乙机器5台 (2)生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设生产甲机器x台，则生产乙机器台，根据“总利润为50万元”列方程求解即可； （2）设生产甲机器m台，则生产乙机器台，根据“库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克”列不等式组，求出整数m的值，然后求出每一种方案的利润，最后比较即可． 【详解】（1）解：设生产甲机器x台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：生产甲机器4台，生产乙机器5台； （2）解：设生产甲机器m台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴整数m有77，，7，79，80， ∴生产方案如下： ①生产甲机器77台，乙机器123台，利润为（万元）； ②生产甲机器78台，乙机器122台，利润为（万元）； ③生产甲机器79台，乙机器121台，利润为（万元）； ④生产甲机器80台，乙机器120台，利润为（万元）； ∵， ∴生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元． 8．新华书店准备购进甲、乙两种图书，已知乙种图书数量比甲种图书数量的倍还多本，购书款不高于元，且乙种图书数量不低于本．两种图书的进价、售价如下表所示： 甲种图书 乙种图书 进价（元本） 售价（元本） 请解答下列问题： (1)有哪几种进书方案？ (2)在这批图书全部售出的条件下，（）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？ (3)新华书店计划用（）中的最大利润购买单价分别为元、元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，要求满足下列条件：排球、篮球每类球至少买个；钱恰好用尽．此时最多可以购买排球和篮球共多少个？ 【答案】(1)共有种进货方案，方案一：购进甲种图书本，乙种图书本；方案二：购进甲种图书本，乙种图书本；方案一：购进甲种图书本，乙种图书本； (2)方案三利润最大，最大利润为元； (3)个． 【分析】（）购进甲种图书本，则购进乙种图书本，根据题意列出不等式组解答即可求解； （）分别求出（）中每一种方案的利润即可求解， （）设购买了个排球，个篮球，根据题意列出二元一次方程，求出二元一次方程满足要求的解即可求解； 本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，根据题意，正确列出一元一次不等式组及二元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：购进甲种图书本，则购进乙种图书本， 由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴或或， ∴共有种进货方案，方案一：购进甲种图书本，乙种图书本；方案二：购进甲种图书本，乙种图书本；方案一：购进甲种图书本，乙种图书本； （2）解：方案一：元； 方案二：元； 方案三：； ∵， ∴方案三利润最大，最大利润为元； （3）解：设购买了个排球，个篮球， 由题意可得， ∴， ∵为正整数， ∴解得，或，或，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∴最多可以购买排球和篮球共个． 9．某厨具店购入10台A型电饭煲和20台B型电饭煲进行销售，共花费5600元．已知每台B型电饭煲的进价比A型电饭煲少20元． (1)A，B两种型号的电饭煲每台进价分别为多少元？ (2)为了满足市场需求，厨具店决定用不超过9560元的资金再次购入这两种型号的电饭锅共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，问厨具店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若50台电饭煲全部售完，已知A型电饭煲售价为每台300元，B型电饭煲售价为每台260元．则用哪种进货方案厨具店获利最大？并请求出最大利润． 【答案】(1)每台A型电饭煲进价为200元，每台B型电饭煲进价为180元． (2)见解析 (3)购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设每台A型电饭煲进价为x元，则求得每台B型电饭煲进价，根据题意列等式求解即可； （2）设购买A型电饭煲a台，则购买B型电饭煲台，根据列出出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a为整数即可得出各进货方案； （3）根据总利润等于单个利润乘以购进数量分别求出各进货方案的利润，比较后即可得出结论．或比较两者之间的利润大小，竟可能选择利润大的型号即可获取更多的利润． 【详解】（1）解：（1）设每台A型电饭煲进价为x元，则每台B型电饭煲进价为元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：每台A型电饭煲进价为200元，每台B型电饭煲进价为180元． （2）设再次购入A型电饭煲a台，B型电饭煲台， ， 解得， ∵a为整数， ∴a＝25、26、27、28，共4种方案， 方案1：A型号25台，B型号25台， 方案2：A型号26台，B型号24台， 方案3：A型号27台，B型号23台， 方案4：A型号28台，B型号22台； （3）方法一：每台A型电饭煲利润：（元）， 每台B型电饭煲利润：（元）， 方案1利润：（元）， 方案2利润：（元）， 方案3利润：（元）， 方案4利润：（元）， ∴方案4：购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元， 方法二：每台A型电饭煲利润：（元）， 每台B型电饭煲利润：（元）， ∵每台A型电饭煲利润大于每台B型电饭煲利润， ∴A型电饭煲的数量越多，获利越多， 则方案4：购入A型号28台，B型号22台时获利最大，利润为4560元． 10．用方程和不等式的知识解决下列问题： 某自行车专卖店销售A，B两种型号的自行车，其进价与售价如表 进价（元/辆） 售价（元/辆） A 200 260 B 150 200 (1)一季度，自行车专卖店购进这两种型号的自行车共40辆，用去了7250元，购进A，B两种型号的自行车各多少辆? (2)为了满足市场需求，二季度自行车专卖店决定用不超过8600元的资金采购A，B两种型号的自行车共50辆，且自行车A的数量不少于自行车B的数量的，问自行车专卖店有哪几种进货方案? (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案自行车专卖店赚钱最多? 【答案】(1)购进A型号的自行车25辆，则B型号的自行车辆； (2)有3种进货方案：①购进A型号的自行车20辆，则B型号的自行车辆；②购进A型号的自行车21辆，则B型号的自行车辆；③购进A型号的自行车22辆，则B型号的自行车辆； (3)购进A型号的自行车22辆，则B型号的自行车辆时赚钱最多． 【分析】（1）设购进A型号的自行车x辆，则B型号的自行车辆，根据等量关系列方程求解即可； （2）设购进A型号的自行车m辆，则B型号的自行车辆，根据自行车A的数量不少于自行车B的数量的，购买资金不超过8600元的，列出不等式组求解即可； （3）A自行车一辆可以赚60元，B自行车一辆可以赚50元，求出（2）中每一个方案赚的钱数，比较大小即可． 【详解】（1）解：设购进A型号的自行车x辆，则B型号的自行车辆， ∵用去了7250元， ∴，解得：， ∴购进A型号的自行车25辆，则B型号的自行车辆； （2）解：设购进A型号的自行车m辆，则B型号的自行车辆，m取整数， ∵自行车A的数量不少于自行车B的数量的，购买资金不超过8600元的， ∴ 解不等式组可得： ∴m可以取值：20、21、22，即有3种进货方案： ①购进A型号的自行车20辆，则B型号的自行车辆； ②购进A型号的自行车21辆，则B型号的自行车辆； ③购进A型号的自行车22辆，则B型号的自行车辆； （3）解：由表格可知：A自行车一辆可以赚60元，B自行车一辆可以赚50元， 当采用方案①时，可以赚：元； 当采用方案②时，可以赚：元； 当采用方案③时，可以赚：元； ∴购进A型号的自行车22辆，则B型号的自行车辆时赚钱最多． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用和不等式组的应用，解题的关键是理解题意找出等量关系列出方程，以及利用条件列出不等式组求解． 【题型三：方案问题】 11．某玩具店销售甲、乙两种型号的玩具汽车，已知卖出甲、乙两种型号的玩具汽车各2辆，收款共88元；卖出3辆甲型号玩具汽车和1辆乙型号玩具汽车，共收款84元． (1)求每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价； (2)某人想在该店购买甲、乙两种型号的玩具汽车共6辆，花费不少于130元，且不超过140元，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别是20元和24元 (2)共有三种购买方案，分别为甲型号1辆，乙型号5辆；甲型号2辆，乙型号4辆；甲型号3辆，乙型号3辆 【分析】（1）设每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别为元，元．由题意，得，解方程组即可； （2）设购买甲型号玩具汽车辆，则购买乙型号玩具汽车辆，依题意，得，求整数解即可. 本题主要考查列二元一次方程组解应用题，以及列一元一次不等式组解应用题，并设计方案. 读懂题意，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键. 【详解】（1）解：设每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别为元，元． 根据题意得, 解得， 答：每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别是20元和24元； （2）解：设购买甲型号玩具汽车辆，则购买乙型号玩具汽车辆， 根据题意得， 解得． 为正整数， 取1、2、3． 答：共有三种购买方案，分别为甲型号1辆，乙型号5辆；甲型号2辆，乙型号4辆；甲型号3辆，乙型号3辆． 12．某果园收获枇杷吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷吨和桃子吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各吨． (1)应如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？ (2)若甲种货车每辆的运费为元，乙种货车每辆的运费为元，则选择哪种方案时运费最少？最少运费是多少元？ 【答案】(1)该果农共有种租车方案， 方案：安排甲种货车辆，乙种货车辆； 方案：安排甲种货车辆，乙种货车辆； 方案：安排甲种货车辆，乙种货车辆； (2)选择方案运费最少，最少运费是元． 【分析】（）设安排甲种货车辆，则安排乙种货车辆，然后根据题意列出不等式组，求出的取值范围，看其中有几个整数即可得知有几种方案； （）本题可根据第一题列出的几种方案分别计算所需的运费，比较即可得出答案； 本题主要考查了一元一次不等式组的实际运用，读懂题意，列出不等式组是解题的关键． 【详解】（1）设安排甲种货车辆，则安排乙种货车辆， 依题意得，， 解得， 又∵为整数， ∴可以为，，， ∴该果农共有种租车方案， 方案：安排甲种货车辆，乙种货车辆； 方案：安排甲种货车辆，乙种货车辆； 方案：安排甲种货车辆，乙种货车辆； （2）甲种货车每辆的运费为元，乙种货车每辆的运费为元． ∴方案所需运费为（元）， 方案所需运费为（元）， 方案所需运费为（元）， ， ∴选择方案运费最少，最少运费是元． 13．某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．根据以上信息解答： (1)购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ (2)学校计划采购篮球，足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有几种购买方案？哪一种方案所需费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)120元，90元 (2)一共有4种方案，方案一所需费用最少，最少的费用为5400元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， 对于（1），先设购买1个篮球为x元，1个足球需要y元，再根据等量关系列出方程组，求出解即可； 对于（2），根据不等关系列出不等式组，求出解集得出方案． 【详解】（1）解：购买1个篮球需要x元，1个足球需要y元，根据题意，得 ， 解得， 所以购买1个篮球需要120元，1个足球需要90元； （2）解：设采购篮球m个，则足球个，根据题意，得 ， 解得， 所以， 一共有4种方案， 方案一：当采购篮球30个，足球20个时，所需费用为（元）； 方案二：当采购篮球31个，足球19个时，所需费用为（元）； 方案三：当采购篮球32个，足球18个时，所需费用为（元）； 方案四：当采购篮球33个，足球17个时，所需费用为（元）． ∵， ∴方案一所需费用最少，最少的费用为5400元． 14．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．已知购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元． (1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． (2)学校共有以下3种购买方案：方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元，根据购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个甲种品牌毽子，根据甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元． 根据题意，得 解得 答：购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． （2）设购买个甲种品牌毽子，则购买个乙种品牌毽子． 根据题意，得 解得． 又因为均为正整数， 所以可以为60，62，64， 所以学校共有以下3种购买方案： 方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子； 方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子； 方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 15．自来水公司有种长度为的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为和的A型管道和B型管道． 截法一： 截法二： 某小区铺设自来水管道，需要A型160根，B型管道178根．现有标准管道100根．设按截法一的标准管道为x根． (1)根据题意，完成以下表格： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） _________（根） A型管道（根） x B型管道（根） _________ (2)若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有哪几种截取方案？ 【答案】(1)， (2)共有两种截取方案：方案一：按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道；方案二：按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道 【分析】（1）设按截法一的标准管道为x根，则标准管道截法二为根，结合图形可得B型管道（根）； （2）根据需要A型160根，B型管道178根，列出不等式，解不等式组即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） （根） A型管道（根） x B型管道（根） （2）解：由题意，得， 由①得： 由②得：． ∴ ∵x取整数， ∴，40 答：共有两种截取方案： 方案一：按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道； 方案二：按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道； 【点睛】此题主要考查了不等式组的实际应用，解题的关键是根据题意列出不等式组求解即可． 16．为了进一步深化基础教育综合改革，推进素质教育，郑州市教育局、市发改委、市公安局等11部门联合制定并发布《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》．为了有效落实该方案，某中学进行研学旅行活动，原计划租用可坐乘客45 人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． (1)求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ (2)若该校计划租用A，B两种客车共26辆，要求B种客车不超过4辆，且每人都有座位，求有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆240元，B种客车租金为每辆320元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】(1)26辆，1200人 (2)有3种租车方案：方案1：租用2辆B种客车，24辆A 种客车；方案2：租用3辆B种客车，23辆A种客车；方案3：租用4辆B种客车，22辆A种客车 (3)租用2辆B种客车，24辆A种客车最合算 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用——方案选择问题．熟练掌握总人数与每种每辆车载人数和每种车辆数的关系列出一元一次方程与一元一次不等式组，总租金与每种每辆车租金和每种车辆数的关系计算、比较、选择方案，是解题的关键． （1）设原计划租用A 种客车x辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设租用B种客车y辆，则租用 A 种客车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）分别求得三种方案的费用，比较，即可求解． 【详解】（1）设原计划租用 A 种客车x辆， 则这次研学去了人． 根据题意，得， 解得， ∴（人）． 答：原计划租用 A 种客车26辆，这次研学去了1200人． （2）设租用B种客车y辆，则租用 A 种客车辆． 根据题意，得， 解得， ∴， 又∵y为正整数， ∴y可以为2，3，4， ∴该学校共有3种租车方案． 方案1：租用2辆B种客车，24辆A 种客车； 方案2：租用3辆B种客车，23辆A种客车； 方案3：租用4辆B种客车，22辆A种客车． （3）选择方案 1 的总租金为：（元）； 选择方案 2 的总租金为：（元）； 选择方案 3 的总租金为：（元）． ∵， ∴租用2辆B种客车，24辆A种客车最合算． 【题型四：其他问题】 17．秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． (1)求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； (2)若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱． 【答案】(1)每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人； (2)共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的应用，理解题意正确列方程和不等式组是解题关键． （1）每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据题意列一元一次不等式组，求整数解即可得出的值，进而得出租车方案和费用即可． 【详解】（1）解：设每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人， 则，解得：， 答：每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人； （2）解：设租用型客车辆，则租用型客车辆， 则， 解得：， 的可能取值为5、6、7、8， 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱． 18．牡丹江某县作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元．全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱．该商店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元 (2)有三种进货方案：①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱；②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱；③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式组． （1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”分别列出不等式求解即可； 【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元． 由题意，得 解得 故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱． 由题意，得 解得． 因为m为正整数，所以m可取40，41，42． 故该商店有三种进货方案： ①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱； ②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱； ③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱． 19．根据以下素材，探索完成任务． 背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室． 素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元． 素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解） 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？ 【答案】任务一：共有2种租车方案，详见解析；任务二：200元钱 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于360人且总租金不超过3300元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用3300元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得： 解得： 又∵a为整数， ∴或3 ∴共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． ∵，则（元）， ∴花费最少的方案比预算3300元省200元钱． 20．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 (2)共有5种购买方案，最低费用是8440元 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； （2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 21．如图，小明想利用“排水法估计一个玻璃球的体积”，现将大小规格相同的玻璃球逐个放入盛有水的长方体容器中，已知该容器的最大容积为，当放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出，求一个玻璃球体积的取值范围． 【答案】大于小于等于 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找到不等关系是解题的关键．根据“放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出”列不等式组求解． 【详解】解：设一个玻璃球的体积为， 则：， 解得：， 答：一个玻璃球体积的取值范围为大于小于等于． 22．“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式．某家电商场计划用万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台．三种家电的进价及售价如表． 品名 单价（台元） 电视机 5000 洗衣机 2000 空调 2400 在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，请问商场有哪几种进货方案？ 【答案】共有3 种方案：方案一：购进电视机8台，洗衣机8台，空调24台；方案二：购进电视机9台，洗衣机9台，空调22台；方案三：购进电视机10台，洗衣机10台，空调20台 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式即可求解．设购进电视机台，则购进洗衣机台、购进空调台，根据若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，且以及都是非负整数，即可确定的范围，从而确定进货方案． 【详解】解：设购进电视机台，则购进洗衣机台、购进空调台， 根据题意，得， 解得：． ∴共有3 种方案： 方案一：购进电视机8台，洗衣机8台，空调24台； 方案二：购进电视机9台，洗衣机9台，空调22台； 方案三：购进电视机10台，洗衣机10台，空调20台． 23．为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 2档 … … … (1)小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量； (2)小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值． 【答案】(1) (2)a的最大值为300． 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用； （1）先得出，进而根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）当时，，符合题意．当时，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：当时，（元）， ∵， ∴． ∵， ∴． 答：该月小李家的用电量为120度． （2）当时，，符合题意． 当时， ∴， ∴ ∴， ∴a的最大值为300． 24．为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B两个工程队共同建设某区域的绿化带；已知A工程队每人每天能完成80米绿化带的建设，A工程队的5人与B工程队的6人合作每天能完成700米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同） (1)求B工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设； (2)该公司决定派A，B两个工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人，则该公司有哪几种安排方案？ 【答案】(1)50米 (2)3种方案，方案1：A工程队17人，B工程队3人；方案2：A工程队18人，B工程队2人；方案3：A工程队19人，B工程队1人 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是熟练正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出算式和不等式组． （1）用两工程队合作工作总量减去A工程队工作总量，再除以B工程队人数即可解答； （2）设A工程队派出x人，则B工程队派出人，根据“每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人”列出不等式组，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得： （米）， 答：B工程队每人每天能完成50米绿化带的建设． （2）解：设A工程队派出x人，则B工程队派出人， ， 解得：， ∵x为整数， ∴， ∴该公司有3种方案： 方案1：A工程队17人，B工程队3人； 方案2：A工程队18人，B工程队2人； 方案3：A工程队19人，B工程队1人． 25．学校准备安装校园人脸识别系统，计划购买人脸识别通道闸机和门禁机．已知通道闸机的单价是门禁机单价的3倍，购买2台通道闸机和4台门禁机共需7500元． (1)求通道闸机和门禁机的单价． (2)已知该校园内至少需要安装10台通道闸机，若购买通道闸机和门禁机共40台，且费用不超过48000元，请列出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金多少元？ 【答案】(1)通道闸机的单价为2250元，门禁机的单价为750元 (2)方案1：购买道闸机10台，购买门禁机30台；方案2：购买道闸机11台，购买门禁机29台；方案3：购买道闸机12台，购买门禁机28台．其中方案1所需资金最少，为45000元 【分析】（1）设门禁机的单价为元，则通道闸机的单价为元，根据题意列方程并求解，即可获得答案； （2）设购买道闸机台，则购买门禁机台，根据题意列出关于的一元一次不等式组并求解，结合实际确定的值，即可列出可能方案，并分别计算每一种方案的费用，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：设门禁机的单价为元，则通道闸机的单价为元， 根据题意，可得， 解得元， 则元． 答：通道闸机的单价为2250元，门禁机的单价为750元； （2）解：设购买道闸机台，则购买门禁机台， 根据题意，可得 ， 解得， ∵为正整数， ∴可以为10，11，12， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买道闸机10台，购买门禁机30台，费用为元； 方案2：购买道闸机11台，购买门禁机29台，费用为元； 方案3：购买道闸机12台，购买门禁机28台，费用为元， ∵， ∴方案1所需资金最少，为45000元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数混合运算以及有理数比较大小等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 26．甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动，已知甲、乙两所幼儿园一共96人（其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人）．现准备给每位小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表： 购买服装的套数 48套以下 48套至90套 91套及以上 每套服装的价格 65元 55元 45元 如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元． (1)如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？ (3)如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？ 【答案】(1)1360元 (2)甲幼儿园有56名小朋友准备参加演出，乙幼儿园有40名小朋友准备参加演出 (3)方案1：各自购买服装需5590元；方案2：联合购买服装需4730元；方案3：联合购买91套服装需4095元；甲、乙两所幼儿园联合起来选择按45元一套购买91套服装最省钱 【分析】本题考查方案问题、一元一次方程的实际应用；找到等量关系列方程、列出所有方案是解决本题的关键； （1）计算出联合购买的价格，再减去单独购买的价格即可； （2）根据题目等量关系“甲、乙两所幼儿园一共96人”列方程求解，再判定结果是否满足“甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人”即可； （3）分别计算出3种方案的价格，最后比较结果即可． 【详解】（1）解：若甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装需（元）， 比各自购买服装共可以节省：（元）， 因此共可以节省1360钱，； （2）设甲幼儿园有小朋友名，则乙幼儿园有小朋友名， 依题意得，， 解得，， 故符合题意，所以（名）， 故甲幼儿园有56名小朋友准备参加演出，乙幼儿园有40名小朋友准备参加演出； （3）甲幼儿园人数：（人），乙幼儿园人数：40人， 方案1：各自购买服装需（元）， 方案2：联合购买服装需（元）， 方案3：联合购买91套服装需（元）， 因为， 所以应该甲、乙两所幼儿园联合起来选择按45元一套购买91套服装最省钱． 27．某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和不超过162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨． (1)符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； (2)若一辆大型车的运费是800元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设安排x辆大型车，则安排辆中型车，根据30辆车调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可得出各运输方案； （2）根据总运费＝单辆车所需费用×租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设安排辆大型车，则安排辆中型车， 依题意，得：， 解得：． 为整数， ，，． 符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车． （2）解：方案所需费用为：（元）， 方案所需费用为：（元）， 方案所需费用为：（元）， ， 方案安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元． 28．科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“”两种产品共件，需购买价格为元/千克的A种材料和价格为元/千克的B种材料．通过调研，获得以下信息： 信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克； 信息2：生产一件“”需A种材料3千克，B种材料4千克． 根据以上信息，解决下列问题：        (1)现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过元，且生产“”不少于件，请问有哪几种符合条件的生产方案？ (2)在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费元，生产一件“”需加工费元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？ 【答案】(1)方案1：生产“笨笨”件，“” 件， 方案2：生产“笨笨”件，“” 件， 方案3：生产“笨笨”件，“” 件， 方案4：生产“笨笨”件，“” 件； (2)选择方案4：生产“笨笨”件，“” 件最划算； 【分析】（1）设生产“笨笨”x件，则生产“” 件，根据资金及“”不少于件列不等式组列式求解即可得到答案； （2）根据（1）的方案，求出费用比较即可得到答案； 【详解】（1）解：设生产“笨笨”x件，则生产“” 件，由题意可得， ， 解得：（取整数）， 故x可取：，，，， ∴有4种方案如下： ①方案1：生产“笨笨”件，“” 件， ②方案2：生产“笨笨”件，“” 件， ③方案3：生产“笨笨”件，“” 件， ④方案4：生产“笨笨”件，“” 件； （2）解：由（1）得， 方案1费用：（元）， 方案2费用：（元）， 方案3费用：（元）， 方案4费用：（元）， ∵， ∴选择方案4：生产“笨笨”件，“” 件最划算； 【点睛】本题考查不等式的实际应用及择优方案问题，解题的关键是正确找到不等关系列不等式组． 【题型五：定义问题】 29．阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“关联方程”的研究报告 智慧小组 研究对象：关联方程 研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为， 所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）． 任务： (1)补全报告中横线处内容______． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了一元一次方程，解一元一次不等式组，能理解关联方程定义是本题的关键． （1）分别求出三个方程的解，再求出一元一次不等式组的解集，根据关联方程的定义即可判断； （2）先求出一元一次不等式组的解集，找到整数解代入关联方程求解即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ； ③， ， ， ； 解不等式组，得， ∵， ∴不等式组的关联方程是③； （2）解：解不等式组，得． 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程， 得． 30．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键. （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； 【详解】（1）①， 解得：， ②， 解得：， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“子方程”是：①②， 故答案为：①②： （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 解方程得，， 方程是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， ∴； （3）方程， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的方程关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得：. 31．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键． （1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案； （2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：方程①， 解得：， 方程②：， 解得：， 不等式组， 解得：， 在范围内， 方程②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：②； （2）方程， 解得：， 不等式组， 解得：， 由题意可得：， 解得：； （3）方程， 解得：， 方程， 解得：， ， 解得：， 和都在范围内， ， 解得：． 32．定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故答案为：；； （2）把，代入得， ∴不等式组可转化为， 解得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （3）不等式转化为， 整理，得：， ∵的解集为， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 不等式转化为， 整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的解集为． 33．小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫做绝对值不等式．试求绝对值不等式的解集． 小明的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值为，并在数轴上表示为点、，如图所示：    观察数轴发现，以点、为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于；点、之间的点（不包括点、）表示的数的绝对值小于；点右边的点表示的数的绝对值大于．因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式、不等式组含参数问题，熟练掌握一元一次不等式的基本步骤和绝对值的性质是解题的关键． （1）根据题意即可得； （2）将的数字因数化为后，根据以上结论即可得； （3）先解不等式组求出的取值范围为，根据第（2）得到的不等式得出只能取和两个整数，所以，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：的解集是或， 故答案为：或； （2）解： 当时， ， 当时，， 解得： ∴的解集是； （3）由(2)得， 整数解为：、， 解不等式①：， ， ， 解不等式②：， ， 不等式组的解集为：， ∵、是不等式组的解， ∴， 解得：． 34．定义：表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，例如：，，；，，解决下列问题： (1)______，______． (2)若，则的取值范围是______；若，则的取值范围是______； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)、的取值范围分别为， 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用和解二元一次方程组， （1）根据题目所给信息求解； （2）根据题意，容易得出、的取值范围； （3）先求出和的值，然后求出和的取值范围； 解题的关键是读懂题意，按照题目所给的信息求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴的取值范围是； ∵， ∴的取值范围是； 故答案为：；； （3）解：解方程组， 解得：， ∴、的取值范围分别为，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元一次不等式（组）的应用重难点汇编（五大题型） 重难点题型归纳 【题型一：分配问题】 【题型二：销售利润问题】 【题型三：方案问题】 【题型四：其他问题】 【题型五：定义问题】 【题型一：分配问题】 1．某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，求每组预定的学生人数． 2．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 3．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 4．把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有 本． 5．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 【题型二：销售利润问题】 6．为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进单价分别为80元/件和50元/件的A，B两种纪念品． (1)若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7100元，那么该商店共有几种进货方案？ (2)若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（1）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？ 7．某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 8．新华书店准备购进甲、乙两种图书，已知乙种图书数量比甲种图书数量的倍还多本，购书款不高于元，且乙种图书数量不低于本．两种图书的进价、售价如下表所示： 甲种图书 乙种图书 进价（元本） 售价（元本） 请解答下列问题： (1)有哪几种进书方案？ (2)在这批图书全部售出的条件下，（）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？ (3)新华书店计划用（）中的最大利润购买单价分别为元、元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，要求满足下列条件：排球、篮球每类球至少买个；钱恰好用尽．此时最多可以购买排球和篮球共多少个？ 9．某厨具店购入10台A型电饭煲和20台B型电饭煲进行销售，共花费5600元．已知每台B型电饭煲的进价比A型电饭煲少20元． (1)A，B两种型号的电饭煲每台进价分别为多少元？ (2)为了满足市场需求，厨具店决定用不超过9560元的资金再次购入这两种型号的电饭锅共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，问厨具店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若50台电饭煲全部售完，已知A型电饭煲售价为每台300元，B型电饭煲售价为每台260元．则用哪种进货方案厨具店获利最大？并请求出最大利润． 10．用方程和不等式的知识解决下列问题： 某自行车专卖店销售A，B两种型号的自行车，其进价与售价如表 进价（元/辆） 售价（元/辆） A 200 260 B 150 200 (1)一季度，自行车专卖店购进这两种型号的自行车共40辆，用去了7250元，购进A，B两种型号的自行车各多少辆? (2)为了满足市场需求，二季度自行车专卖店决定用不超过8600元的资金采购A，B两种型号的自行车共50辆，且自行车A的数量不少于自行车B的数量的，问自行车专卖店有哪几种进货方案? (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案自行车专卖店赚钱最多? 【题型三：方案问题】 11．某玩具店销售甲、乙两种型号的玩具汽车，已知卖出甲、乙两种型号的玩具汽车各2辆，收款共88元；卖出3辆甲型号玩具汽车和1辆乙型号玩具汽车，共收款84元． (1)求每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价； (2)某人想在该店购买甲、乙两种型号的玩具汽车共6辆，花费不少于130元，且不超过140元，则有哪几种购买方案？ 12．某果园收获枇杷吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷吨和桃子吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各吨． (1)应如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？ (2)若甲种货车每辆的运费为元，乙种货车每辆的运费为元，则选择哪种方案时运费最少？最少运费是多少元？ 13．某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．根据以上信息解答： (1)购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ (2)学校计划采购篮球，足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有几种购买方案？哪一种方案所需费用最少？最少费用是多少元？ 14．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．已知购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元． (1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则共有几种购买方案？ 15．自来水公司有种长度为的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为和的A型管道和B型管道． 截法一： 截法二： 某小区铺设自来水管道，需要A型160根，B型管道178根．现有标准管道100根．设按截法一的标准管道为x根． (1)根据题意，完成以下表格： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） _________（根） A型管道（根） x B型管道（根） _________ (2)若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有哪几种截取方案？ 16．为了进一步深化基础教育综合改革，推进素质教育，郑州市教育局、市发改委、市公安局等11部门联合制定并发布《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》．为了有效落实该方案，某中学进行研学旅行活动，原计划租用可坐乘客45 人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． (1)求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ (2)若该校计划租用A，B两种客车共26辆，要求B种客车不超过4辆，且每人都有座位，求有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆240元，B种客车租金为每辆320元，应该怎样租车才最合算？ 【题型四：其他问题】 17．秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． (1)求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； (2)若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱． 18．牡丹江某县作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元．全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱．该商店有哪几种进货方案？ 19．根据以下素材，探索完成任务． 背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室． 素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元． 素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解） 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？ 20．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 21．如图，小明想利用“排水法估计一个玻璃球的体积”，现将大小规格相同的玻璃球逐个放入盛有水的长方体容器中，已知该容器的最大容积为，当放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出，求一个玻璃球体积的取值范围． 22．“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式．某家电商场计划用万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台．三种家电的进价及售价如表． 品名 单价（台元） 电视机 5000 洗衣机 2000 空调 2400 在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，请问商场有哪几种进货方案？ 23．为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 2档 … … … (1)小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量； (2)小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值． 24．为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B两个工程队共同建设某区域的绿化带；已知A工程队每人每天能完成80米绿化带的建设，A工程队的5人与B工程队的6人合作每天能完成700米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同） (1)求B工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设； (2)该公司决定派A，B两个工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人，则该公司有哪几种安排方案？ 25．学校准备安装校园人脸识别系统，计划购买人脸识别通道闸机和门禁机．已知通道闸机的单价是门禁机单价的3倍，购买2台通道闸机和4台门禁机共需7500元． (1)求通道闸机和门禁机的单价． (2)已知该校园内至少需要安装10台通道闸机，若购买通道闸机和门禁机共40台，且费用不超过48000元，请列出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金多少元？ 26．甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动，已知甲、乙两所幼儿园一共96人（其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人）．现准备给每位小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表： 购买服装的套数 48套以下 48套至90套 91套及以上 每套服装的价格 65元 55元 45元 如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元． (1)如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？ (3)如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？ 27．某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和不超过162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨． (1)符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； (2)若一辆大型车的运费是800元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？ 28．科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“”两种产品共件，需购买价格为元/千克的A种材料和价格为元/千克的B种材料．通过调研，获得以下信息： 信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克； 信息2：生产一件“”需A种材料3千克，B种材料4千克． 根据以上信息，解决下列问题：        (1)现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过元，且生产“”不少于件，请问有哪几种符合条件的生产方案？ (2)在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费元，生产一件“”需加工费元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？ 【题型五：定义问题】 29．阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“关联方程”的研究报告 智慧小组 研究对象：关联方程 研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为， 所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）． 任务： (1)补全报告中横线处内容______． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 30．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围． 31．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 32．定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 33．小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫做绝对值不等式．试求绝对值不等式的解集． 小明的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值为，并在数轴上表示为点、，如图所示：    观察数轴发现，以点、为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于；点、之间的点（不包括点、）表示的数的绝对值小于；点右边的点表示的数的绝对值大于．因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 34．定义：表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，例如：，，；，，解决下列问题： (1)______，______． (2)若，则的取值范围是______；若，则的取值范围是______； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$