专题06 三角形重难点汇编（八大题型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版2024新教材）

专题06 三角形重难点汇编（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1：三角形的三边关系】 【题型2：三角形中线与面积问题】 【题型4：三角形内角和的证明】 【题型5：与平行线有关的三角形内角和问题】 【题型6：等腰三角形的定义】 【题型7：三角形的高】 【题型8：与三角形的高有关的计算问题】 【题型1：三角形的三边关系】 1．为估计池塘两岸A、B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，能构成三角形的是（   ） A．6，8，10 B．4，3，7 C．3，5，9 D．4，5，9 3．四根长度分别为、、、的木条，以其中三根的长为边长，制作成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（  ） A． B． C． D． 【题型2：三角形中线与面积问题】 1．如图，在中，D为边上的中点， 的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．如图，在中，点，分别为，的中点，且，则为（   ） A．2 B．8 C．4 D．1 3．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（   ） A． B． C． D． 【题型4：三角形内角和的证明】 1．阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 2．下面是证明三角形内角和定理两种添加辅助线的方法．请选择一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图，，求证：． 方法一  证明：如图，过点A做． 方法二  证明：如图，过点C做，并延长到D． 3．李老师在讲授“认识三角形”一课时，为验证“三角形内角和等于”这一定理，剪了一个三角形纸片，如图1，将∠1撕下，按图2方式进行摆放，然后学生经过分析得到了该定理． 学习过尺规作图之后，小华同学想要借助无刻度的直尺和圆规作图代替撕纸，来证明“三角形内角和等于”这一定理，过程如下： 已知： 如图，． 求证：． 证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点 E． ∵（ 已作） ∴ （ ） ∴ （ ） 又∵______（平角的定义） ∴（等量代换） 请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善证明过程． 4．如图，直线经过点A， ，，．    (1)分别求、及的度数； (2)通过这道题，你能说明为什么三角形的内角和是吗？ 【题型5：与平行线有关的三角形内角和问题】 1．如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 2．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．已知如图，，，，则的度数为 ． 5．已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 6．如图，已知，点在直线上，与交于点，. (1)求证：； (2)若，，求的度数. 【题型6：等腰三角形的定义】 1．等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 2．已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C． D．或 3．一个等腰三角形的周长为16，其中一边长是4，则此三角形另两边的长可能是（   ） A．6，6 B．4，8 C．6，6或4，8 D．无法确定 4．等腰三角形的周长为11，其中一边长为5，则另外两边长为（　　） A．5和1 B．5和3 C．5和1或3和3 D．5和1或5和3 5．等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．4 6．若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 7．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 8．若等腰三角形的两边长分别是，则它的周长是 ． 9．若、分别是等腰三角形的两条边长，且满足，则此三角形的周长为 ． 【题型7：三角形的高】 1．在中，画出边上的高，下面4幅图中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 6．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型8：与三角形的高有关的计算问题】 1．体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 2．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 3．如图，，分别是的高和角平分线，且，，求和的度数．    4．如图，在中，，为角平分线的交点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 5．如图，在中，是边上的高，平分，若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形重难点汇编（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1：三角形的三边关系】 【题型2：三角形中线与面积问题】 【题型4：三角形内角和的证明】 【题型5：与平行线有关的三角形内角和问题】 【题型6：等腰三角形的定义】 【题型7：三角形的高】 【题型8：与三角形的高有关的计算问题】 【题型1：三角形的三边关系】 1．为估计池塘两岸A、B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系确定的范围，即可得到答案． 【详解】解：，， ，即， 间的距离不可能是， 故选：D． 2．下列各组线段中，能构成三角形的是（   ） A．6，8，10 B．4，3，7 C．3，5，9 D．4，5，9 【答案】A 【分析】本题考查构成三角形的条件．根据两短边之和大于第三边时，三条线段能构成三角形，进行判断即可． 【详解】解：A，，能构成三角形； B，，不能构成三角形； C，，不能构成三角形； D，，不能构成三角形； 故选：A． 3．四根长度分别为、、、的木条，以其中三根的长为边长，制作成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，进行分析． 【详解】解：其中的任意三条组合有、、；、、；、、；、、共四种情况， 根据三角形的三边关系，则只有、、符合，故周长是． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，实际上只需验证两短边之和大于最长边即可．熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【题型2：三角形中线与面积问题】 1．如图，在中，D为边上的中点， 的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，D为边上的中点， ∴， ∵的面积为4， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，点，分别为，的中点，且，则为（   ） A．2 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线，熟练掌握三角形的面积公式，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解题的关键． 利用三角形中线平分三角形的面积，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，点，分别为，的中点，且， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记． 根据，，求得，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，从而求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 即为， 故选：C． 【题型4：三角形内角和的证明】 1．阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，正确地作出辅助线，把三角形的三个内角转化一个平角是解决问题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得，，再根据平角定义得，然后根据等量代换可得出三角形内角和等于； （2）过点作，延长到，根据平行线的性质得，，再根据平角的定义得，进而可得出三角形内角和等于． 【详解】（1）证明：已知：如图3，． 求证：． 证明：如图3，过点A作， ， （两直线平行，内错角相等）， 同理， ， （等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换． （2）证明：如图，过点作，延长到， ∴，， ∵， ∴． 2．下面是证明三角形内角和定理两种添加辅助线的方法．请选择一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图，，求证：． 方法一  证明：如图，过点A做． 方法二  证明：如图，过点C做，并延长到D． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，以及平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 方法一 ：根据平行线性质得到，，再结合平角定义，即可证明三角形的三个内角的和等于； 方法二：根据平行线性质得到，，再结合平角定义，即可证明三角形的三个内角的和等于． 【详解】证明：方法一：如图，过点A做． 因为， 所以，． 又因为D，A，E在同一条直线上， 所以， 即， 所以三角形的三个内角的和等于． 方法二：如图，过点C做，并延长到D． 因为， 所以，． 又因为B，C，D在同一条直线上， 所以， 即， 所以三角形的三个内角的和等于． 3．李老师在讲授“认识三角形”一课时，为验证“三角形内角和等于”这一定理，剪了一个三角形纸片，如图1，将∠1撕下，按图2方式进行摆放，然后学生经过分析得到了该定理． 学习过尺规作图之后，小华同学想要借助无刻度的直尺和圆规作图代替撕纸，来证明“三角形内角和等于”这一定理，过程如下： 已知： 如图，． 求证：． 证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点 E． ∵（ 已作） ∴ （ ） ∴ （ ） 又∵______（平角的定义） ∴（等量代换） 请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善证明过程． 【答案】作图见解析，；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角的证明，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质． 根据尺规作图—做一个角等于已知角的方法和步骤进行作图即可；根据内错角相等，两直线平行得出，进而得出，最后根据平角的定义得出，即可得出结论． 【详解】证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点 E． ∵（ 已作）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（平角的定义）， ∴（等量代换）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 4．如图，直线经过点A， ，，．    (1)分别求、及的度数； (2)通过这道题，你能说明为什么三角形的内角和是吗？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】由平行线的性质可得到，，由平角的定义可求得， 结合可得出结论． 【详解】（1）解：， ； ， ； 直线过点， ， ， ； （2）， ，， ， ， 即三角形内角和为． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和的证明，掌握平行线的性质是解题的关键． 【题型5：与平行线有关的三角形内角和问题】 1．如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ， 故选： B． 2．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 3．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 4．已知如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 5．已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：平分， ． ， ， ： （2）解：平分，， ， ， ； （3）证明：由得， ， 平分平分， ， ， ． 6．如图，已知，点在直线上，与交于点，. (1)求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理. （1）根据两直线平行，内错角相等，推出，利用已知条件，通过等量代换求证，最后根据同位角相等，两直线平行求证. （2）利用垂直性质和平行线的性质推出，根据三角形内角和即可求出度数. 【详解】（1）证明：， ， ， ， . （2）解：， ， ， . ， ， . 【题型6：等腰三角形的定义】 1．等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设， ∴． 由题意得： 或， 解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立； 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立． 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 2．已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形，根据等腰三角形的两腰相等，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则：周长为：； 当腰长为时，则：周长为：； 故选D． 3．一个等腰三角形的周长为16，其中一边长是4，则此三角形另两边的长可能是（   ） A．6，6 B．4，8 C．6，6或4，8 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分4为等腰三角形的底边长与腰长两种情况进行讨论．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【详解】解：当4为等腰三角形的底边长时，腰长， ，可得构成三角形， 这个等腰三角形的其余两边长分别为6，6； 当4为等腰三角形的腰长时，底边长， ，不能构成三角形． 综上，此三角形另两边的长是6，6， 故选：A． 4．等腰三角形的周长为11，其中一边长为5，则另外两边长为（　　） A．5和1 B．5和3 C．5和1或3和3 D．5和1或5和3 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，掌握等腰三角形的定义是关键． 根据等腰三角形的定义得到三角形的两腰相等，再根据三角形三边数量关系判定即可求解． 【详解】解：等腰三角形的周长为11，其中一边长为5， ∴当另一边长为5时，第三边长为， ∵， ∴另外两边长分别为5，1，符合题意； 当一边长为5是底边时，两腰长为， ∵， ∴另外两边长分别为3，3，符合题意； 综上所述，另外两边长为5和1或3和3， 故选：C ． 5．等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长为2时；当等腰三角形的一腰长为2时；然后分别进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长为2时， 等腰三角形的周长为12， 它的一条腰长， ， 能组成三角形； 当等腰三角形的一腰长为2时， 等腰三角形的周长为12， 它的底边长， ， 不能组成三角形； 综上所述：它的一条腰长是5， 故选：B 6．若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据腰为或，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：当是腰时，，不符合三角形三边关系，故舍去； 当是腰时，周长； 故该等腰三角形的周长为， 故选：C． 7．已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．分为腰长和底边长分别求解即可． 【详解】解：当为等腰三角形的腰长时，则三边长为，，，满足， ∴该等腰三角形的周长是； 当为等腰三角形的底边长时，则三边长为，，，满足， ∴该等腰三角形的周长是； 综上，该等腰三角形的周长是或． 故选：C． 8．若等腰三角形的两边长分别是，则它的周长是 ． 【答案】22 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分为腰长和为底边长，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当为腰长时，，不能构成三角形，不符合题意； 当为底边长时，等腰三角形的周长为：； 故答案为：22． 9．若、分别是等腰三角形的两条边长，且满足，则此三角形的周长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边关系以及周长的求法．注意非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．先根据非负数的性质列出方程组，再根据等腰三角形的定义解答．由于没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解： ， ，． 分两种情况： （1）当1为底边长时，腰长为2， ， ，，能组成三角形，此时三角形的周长为； （2）当2为底边长时，腰长为1， ， ，，不能组成三角形． 综上可知，此三角形的周长为5． 故答案为：5． 【题型7：三角形的高】 1．在中，画出边上的高，下面4幅图中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，边上的高是过点B向作垂线，垂足为E，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，只有C选项中的图形是画出边上的高， 故选：C． 2．如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了画高线， 过点C作，交的延长线于点H，点C和点H之间的线段即为所求作． 【详解】解：如图所示，过点C作，交的延长线于点H，则即为所求作的高线． 故选：B． 3．下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形高的定义，根据三角形的高是从三角形的一个顶点向对边作垂线，一一判断即可； 【详解】解：A，B，C都不是作对边的垂线，故只有D符合题意； 故选：D 4．在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 5．如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，在中，边上的高是线段， 故选：D． 6．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．作出的是的边上的高线，故该选项符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； 故选：B． 【题型8：与三角形的高有关的计算问题】 1．体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 【答案】(1)见解析 (2)若P在的延长线上，；若P在的延长线上，则有． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键． （1）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，然后根据三角形的面积解题即可； （2）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，根据解答即可． 【详解】（1）连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ①， 而， ①式化为：， 可得． 因为三角形在边上的高为定值，即为定值，所以等于定值． （2）若P在的延长线上，连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ， 而，所以， 可得． 同理，若P在的延长线上，则有． 2．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 3．如图，，分别是的高和角平分线，且，，求和的度数．    【答案】， 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的平分线和高，熟练掌握“三角形内角和是”是解题的关键．先利用三角形内角和定理，求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由是的高，结合三角形内角和定理，求出，再结合即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，，为角平分线的交点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，角平分线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质定理，三角形的内角和定理的运用是解题的关键． （1）根据为和的平分线，可得，，在中，，在中，根据三角形内角和定理即可求解； （2）连接，由角平分线的性质定理可证到三边的距离相等，由，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：为和的平分线， ∴，， 在中，， ∴ ； （2）解：连接， ∵为角平分线的交点， ∴由角平分线的性质定理可证到三边的距离相等， ∴， ∴，即， 解得，． 5．如图，在中，是边上的高，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高线与角平分线，根据已知条件得到，求得，根据角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$