专题07 全等三角形的重难点模型汇编（七大题型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版2024新教材）

专题07 全等三角形的重难点模型汇编（七大题型） 重难点题型归纳 【题型1：平移型】 【题型2：翻折型】 【题型3：旋转型】 【题型4：一线三等角型（三类型）】 【题型5：手拉手模型（四大类型）】 【题型6：半角模型】 【题型7：平行+线段中点构造全等模型】 【题型1：平移型】 【方法技巧】 1．如图所示，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 2．如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先得到，再由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 3．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，请添加以下其中一个条件：①；②，试证明． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 选②，首先由得到，然后证明出． 【详解】证明：选②： ∵， ∴， 在和中 ，，， ∴． 4．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 5．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）首先利用平行线的性质得，再利用得出，然后根据全等三角形的性质及线段的和差即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再根据平行线的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， 在和中 ， ， ， ，， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ． 【题型2：翻折型】 【方法技巧】 1．已知：如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，先证明，再根据证明，进而得出，即可得证． 【详解】证明：∵ ∴， 即 在与中 ， ， ． 2．如图，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明即可证明结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 3．已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理． 利用判定全等即可． 【详解】证明：在和中 ， ∴． 4．如下图，在和中，和为直角，与相交于点，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，即可求解． 【详解】解：∵为直角， ， 在和中， ， ∴， ∴． 5．如图，在和中，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 6．已知：如图，在与中，，点在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用即可证明全等，再根据全等三角形的性质求证； （2）利用即可证明全等，再根据全等三角形的性质求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．如图，点E，F在线段上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，先根据得，进而可依据“”判定，然后再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型3：旋转型】 【方法技巧】 1．如图，已知在和中，，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由可得，进而可证，即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ， 即， 又， ， ． 2．如图所示，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只需要利用证明即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． 3．如图，四边形中，对角线、交于点O，，E是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，可得出结论； （2）根据全等三角形的性质得到的长，即可求出答案． 【详解】（1）证明：， ，即：， 在和中， ， ∴， ； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ． 4．已知：如图，，，，点D在边上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 由，得到，由即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 5．如图，D是上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 由即可证明即可． 【详解】证明：在和中， ∴． 6．如图，，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，得到，进而求出，利用证明，即可得证． 【详解】证明：，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 7．如图所示，，，． (1)求证：； (2)若，， 则 　　． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由得，进而由即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4：一线三等角型（三类型）】 【方法技巧】 模型一 一线三垂直 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 模型二 一线三等角全等模型 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 图一 图二 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。 1．如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点． (1)求证：；； (2)若直线绕点A旋转到图（2）位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明． (3)若直线绕点旋转到图（3）位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，见解析 (3)结论： 【分析】本题考查直角三角形的性质、余角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题属于几何变换综合题． （1）根据已知条件证明，且根据全等三角形的判定可证明，根据各线段的关系即可得结论． （2）．根据全等三角形的判定可证明，根据各线段的关系即可得结论． （3）结论是：当、在两侧时，；当、在同侧时，． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ； 又，， ， 在和中， ， ； ②， ，； ， ． （2）解：结论：． 理由：， ， ， ， ； 又， ， 在和中， ， ， ，； ， ； （3）解：结论是：当、在两侧时，； 理由：如图（1），由（1）②知：； 当、在同侧时，； 理由：如图（3），由（2）知：， ，； ， ． 2．如图，C在线段BD上，，且，    (1)判断的形状，请说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的定义； （1）由全等三角形的性质证明，，证明，从而可得结论； （2）由全等三角形的性质可得：，，结合勾股定理可得，再利用割补法求解面积即可． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 3．如图（1）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，、、有怎样的关系？并加以证明． 【答案】(1)①见解析  ②见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了余角的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）①根据证明即可得证． ②根据，利用全等的性质证明即可； （2）根据证明即可得证． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵ ∴． 4．综合与实践 如图1所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，直接写出EF与AE、BF之间的数量关系； （2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（BF＜AE），其余条件不变，猜想EF与AE，BF有什么数量关系？并证明你的猜想； （3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（BF＞AE）其余条件不变，问EF与AE，BF的数量关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 【答案】（1）EF＝AE+BF；（2）EF＝AE﹣BF，证明见解析；（3）EF＝BF﹣AE 【分析】（1）通过“”证明，即可求解； （2）通过“”证明，得到、，即可求解； （3）通过“”证明，得到、，即可求解 【详解】解：（1）EF＝AE+BF； 证明如下：∵ ∴ 由题意得：， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴、 又∵ ∴ （2）EF＝AE﹣BF ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠FCB＝90°， 又∵AE⊥m，BF⊥m， ∴∠AEC＝90°，∠BFC＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝∠FCB， 又∵AC＝BC， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， ∴EF＝CF﹣CE＝AE﹣BF； （3）EF＝BF﹣AE ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠FCB＝90°， 又∵AE⊥m，BF⊥m， ∴∠AEC＝90°，∠BFC＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝∠FCB， 又∵AC＝BC， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， ∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，等量代换等知识点，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 【题型5：手拉手模型】 【方法技巧】 应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题； ②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。 1．已知与均为等腰直角三角形，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接，． (1)试说明； (2)延长，交于点F，试说明； (3)若如图2放置，与还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，成立，理由见解析 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理确定的值即可； （3）证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵与均为等腰直角三角形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，成立． 理由如下：∵与均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴，． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2．如图，四边形、均为正方形，连接与分别交于点M、N． (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的证法；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由正方形的性质得出，，，得出，由证明，得出对应边相等即可； （2）由，得出对应角相等，由，对顶角，得出，证出即可． 【详解】（1）证明：四边形、均为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． 3.阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置． 操作与证明： （1）操作：固定等边△ABC，将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系． （2）操作：若将图1中的△BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论． 猜想与发现： （3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论． 【解答】解：（1）EC＝AD； ∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△EBC和△DBA中， ， ∴△EBC≌△DBA（SAS）， ∴EC＝AD； （2）EC＝AD，∠EMD＝60°，理由如下： 设AD与BE交于点O， ∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转α度， ∴∠EBC＝∠DBA＝α， ∵△ABC与△BDE是等边三角形， ∴BC＝AB，BD＝BE， ∴△EBC≌△DBA（SAS）， ∴EC＝AD，∠CEB＝∠ADB， ∵∠EOM＝∠DOB， ∴∠EMD＝∠EBD＝60°， （3）不变，理由如下： 过点B作BH⊥AD于点H，BF⊥EC于点F， ∵△EBC≌△DBA， ∴S△EBC＝S△DBA，AD＝EC， ∴BH＝BF， ∴MB平分∠DMC， ∴∠DMB＝， ∴∠DMB的度数大小不变 【题型6：半角模型】 等角=要三角形中得半角模型 1.等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N， ①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系． ②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明． ③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系． 【解答】解①BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN． ②猜想：结论仍然成立． 证明：在CN的反向延长线上截取CM1＝BM，连接DM1． ∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC， ③证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1． 可证△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1， 可证∠CDN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN＝M1N， ∴NC﹣BM＝MN． 2.“截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　 　． 探索问题： （2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 故答案为：EF＝BE+DF． （2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立； 理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF． 【题型8：平行+线段中点构造全等模型】 【结论】如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，则△POE≌△QOF 口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 1.已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明． 【解答】（1）证明：如图①，延长AD、EF交于点G， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠G＝∠BAD， ∴∠G＝∠CAD， ∴FG＝AF， 在△ABD和△GED中， ， ∴△ABD≌△GED（AAS）， ∴AB＝GE， ∵GE＝FG+EF＝AF+EF， ∴AF+EF＝AB； （2）结论：AF﹣EF＝AB． 证明：如图②，延长AD、EF交于点G， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠G＝∠BAD， ∴∠G＝∠CAD， ∴FG＝AF， 在△ABD和△GED中， ， ∴△ABD≌△GED（AAS）， ∴AB＝GE， ∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF， ∴AF﹣EF＝AB； （3）结论：EF﹣AF＝AB． 证明：如图③，延长AD交EF于点G， ∵AD平分∠PAC， ∴∠PAD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠AGF＝∠PAD， ∴∠AGF＝∠CAD，∠ABD＝∠GED， ∴FG＝AF， 在△ABD和△GED中， ， ∴△ABD≌△GED（ASA）， ∴AB＝GE， ∵EF﹣FG＝GE， ∴EF﹣AF＝AB； 2.如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC． （1）求证：CO平分∠ACD； （2）求证：AB+CD＝AC． 【解答】解： （1）如图，延长AO交CD的延长线于点E， ∵O为BD的中点， ∴BO＝DO， 在△AOB与△EOD中， ∴△AOB≌△EOD，（ASA） ∴AO＝AE， 又∵OA⊥OC， ∴AC＝CE ∴CO平分∠ACD；（三线合一） （2）由△AOB≌△EOD 可得AB＝DE ∴AB+CD＝CD+DE＝CE ∵AC＝CE ∴AB+CD＝AC 3.如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求证AD和BC的关系。 【解答】解：如图，延长AE交BC于F． ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC ∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE， 又∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE． ∵在△AED与△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（AAS）， ∴AE＝FE，AD＝FC． ∵AD＝5，BC＝10． ∴BF＝5 ∴AD＝ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 全等三角形的重难点模型汇编（七大题型） 重难点题型归纳 【题型1：平移型】 【题型2：翻折型】 【题型3：旋转型】 【题型4：一线三等角型（三类型）】 【题型5：手拉手模型（四大类型）】 【题型6：半角模型】 【题型7：平行+线段中点构造全等模型】 【题型1：平移型】 【方法技巧】 1．如图所示，，，求证：． 2．如图，，，．求证：． 3．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，请添加以下其中一个条件：①；②，试证明． 4．如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 5．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的大小． 【题型2：翻折型】 【方法技巧】 1．已知：如图，，，．求证：． 2．如图，，，求证：． 3．已知：如图，．求证：． 4．如下图，在和中，和为直角，与相交于点，．试说明：． 5．如图，在和中，，，求证：． 6．已知：如图，在与中，，点在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)求证：． 7．如图，点E，F在线段上，，求证：． 【题型3：旋转型】 【方法技巧】 1．如图，已知在和中，，，．求证：． 2．如图所示，，，．求证：． 3．如图，四边形中，对角线、交于点O，，E是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．已知：如图，，，，点D在边上．求证：． 5．如图，D是上一点，，，．求证：． 6．如图，，，，，，求证：． 7．如图所示，，，． (1)求证：； (2)若，， 则 　　． 【题型4：一线三等角型（三类型）】 【方法技巧】 模型一 一线三垂直 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 模型二 一线三等角全等模型 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 图一 图二 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。 1．如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点． (1)求证：；； (2)若直线绕点A旋转到图（2）位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明． (3)若直线绕点旋转到图（3）位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 2．如图，C在线段BD上，，且，    (1)判断的形状，请说明理由； (2)求四边形的面积． 3．如图（1）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，、、有怎样的关系？并加以证明． 4．综合与实践 如图1所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，直接写出EF与AE、BF之间的数量关系； （2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（BF＜AE），其余条件不变，猜想EF与AE，BF有什么数量关系？并证明你的猜想； （3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（BF＞AE）其余条件不变，问EF与AE，BF的数量关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 【题型5：手拉手模型】 【方法技巧】 应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题； ②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。 1．已知与均为等腰直角三角形，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接，． (1)试说明； (2)延长，交于点F，试说明； (3)若如图2放置，与还成立吗？请说明理由． 2．如图，四边形、均为正方形，连接与分别交于点M、N． (1)求证： (2)求证： 3.阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置． 操作与证明： （1）操作：固定等边△ABC，将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系． （2）操作：若将图1中的△BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论． 猜想与发现： （3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论． 【题型6：半角模型】 等角=要三角形中得半角模型 1.等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N， ①当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系． ②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明． ③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系． 2.“截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　 　． 探索问题： （2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【题型8：平行+线段中点构造全等模型】 【结论】如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O为EF中点，则△POE≌△QOF 口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 1.已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明． 2.如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC． （1）求证：CO平分∠ACD； （2）求证：AB+CD＝AC． 3.如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求证AD和BC的关系。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$