猜押06 二次函数性质综合题（解答压轴题必考题）（5类题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（安徽专用）

猜押06 二次函数性质综合题（解答题） 考点 5年考题 考情分析 与线段有关问题 2021年第22题 网格作图是安徽中考的热点问题，每年必考，通常从平移、对称（包括轴对称和中心对称）、旋转（通常考查顺、逆时针旋转90°或180°）、位似中选择两种进行考查，也常与几何变换、计算求值结合在一起.除此之外，也提醒大家关注无刻度直尺作图与网格作图结合的题型（2023年安徽中考第17题和2024年安徽中考第16题连续两年考查）. 与面积有关问题 2022年23题2023年第23题 与函数图象变换有关问题 2020年22题 题型一 线段的等量关系问题 1．（2024·安徽·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，一次函数的图象经过，两点. (1)求二次函数和一次函数的函数表达式； (2)若点是二次函数图象的对称轴上的点，且，如图2，求点的坐标； (3)点是二次函数的图像位于第一象限部分上的一动点，过点作轴的垂线交直线于点，若点的横坐标为.试探免：是否存在常数，使得的长为4？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 2．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)已知横坐标为t的点P为对称轴左侧的抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M， ①若与的面积之和为8，求t的值； ②过点P作x轴的垂线，垂足为N，直线交线段于点D，是否存在这样的点P，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b和c是常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且，． (1)求b，c的值； (2)如图2，点P是直线下方抛物线上的一点（不与点B，C重合），过点P作轴于点D，与交于点Q．若，求点P的坐标； (3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为3，求此时m的值． 4．（2025·安徽芜湖·一模）如图，已知抛物线L：经过点，． (1)求的值； (2)连接，交抛物线：的对称轴于点． ①求点的坐标； ②将抛物线向左平移个单位得到抛物线．抛物线的对称轴交抛物线于点，抛物线的对称轴交抛物线于点．当时，求的值． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若点为线段上任意一点（不与端点重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线与点，以为邻边构造矩形． 设点的横坐标为，矩形的周长为，求关于的函数表达式； 当直线与中函数的图象交点有个时（从左到右依次为），直线与中函数的图象交点有个时（从左到右依次为），且满足，直接写出的值． 6．（2024·安徽·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求此二次函数的解析式； (2)已知直线与交于点D，在第二象限与抛物线交于点P，求的值； (3)平移抛物线，如图2，使新抛物线的顶点E是直线在第一象限部分上的一动点，过E作轴于点F，过原抛物线的顶点M作轴交新抛物线于点N，若，求点E的坐标． 7．（2025·安徽宣城·一模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标． 题型二 线段的最值问题 1．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 2．（2024·安徽宿州·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为顶点的抛物线与直线相交于，两点． (1)求该抛物线和直线的函数表达式； (2)点位于直线下方的抛物线上，轴，交直线于点，求线段的最大值； (3)若点，分别是该抛物线和线段上的动点，设线段与轴交于点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标． 3．（2024·安徽滁州·二模）已知，在平面直角坐标系内，抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点 P在抛物线的对称轴上，且使得的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点 M，N，若的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点 D是线段上(不含端点A，C)的一个动点，过点 D 作直线，交直线l于点E，过点E作，垂足为点 F，求线段的最小值． 4．（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线与坐标轴分别交于点，连接，已知抛物线的对称轴为直线，． (1)求的值． (2)若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值． (3)若点在轴上，点在抛物线上，当为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标． 5．（2025·安徽蚌埠·一模）点 、、 的坐标为分别，抛物线经过这三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点，是抛物线上的两个动点，且点 在直线 下方． ①如图1，过 点作轴的垂线，垂足为，交直线 于点，连接，，，猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图2，点 在直线 上，且横坐标为，过点 作轴于点 ，求线段 长度的最大值． 6．（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值； (3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标． 7．（2024·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点．点在轴正半轴上，且，分别是线段，上的动点（点不与点重合，点不与点重合）． (1)求此抛物线的表达式； (2)连接． ①将沿轴翻折得到，点的对应点分别是点和点，当点在拋物线上时，求点的坐标； ②连接，当时，求的最小值． 8．（2024·安徽·二模）如图1，抛物线的顶点D的坐标为，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式及点A，点B的坐标； (2)如图2，连接交y轴于点E，过点E作交x轴于点F，连接交抛物线于点G，试求点G的坐标； (3)如图3，连接，，点P是抛物线在第一象限内的点，过点P作，交于点Q，当的长最大时，求点P的坐标． 9．（2024·安徽阜阳·二模）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)连接，点D是线段上一动点（不与A、C两点重合），过点D作轴交抛物线于点E． ①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标； ②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024·安徽淮北·三模）抛物线与直线交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D． (1)求点B和点D的坐标； (2)如图①，连接，P为x轴上的动点，当时，求点P的坐标； (3)如图②，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接交直线于点E，求的最大值． 11．（2024·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)点P是第三象限抛物线上的点，过点P作，求的最大值及此时点P的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 13．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线，交于点D．    (1)求二次函数的表达式； (2)当D点为线段的中点时，求点P的坐标； (3)求线段的最大值． 14．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示，在m，n，p这三个实数中，有两个是正数，且没有负数： x … 0 1 … y … 4 m n 4 p … (1)求抛物线的表达式； (2)该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上一点． ①若点D在第二象限，过点D作x轴的垂线，垂足为E，设交于点F，当取得最大值时，求点D的坐标； ②是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 15．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 16．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为； ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 17．（2025·安徽淮北·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)点M 是抛物线上位于直线下方的一个动点，过点M作轴交于点N，计算线段的最大值； (3)若点P是抛物线上一动点，则是否存在点P，使．若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标． 18．（2025·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（为常数，）的顶点为P． (1)当抛物线经过点A，B时，求点P的坐标； (2)若，抛物线上的点M的横坐标为m（），且． ①求的长； ②当取得最小值时，求点M的坐标． 19．（2025·安徽滁州·一模）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求平移后的抛物线的解析式． 20．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接，，，． (1)直接写出结果：　　；　　；点的坐标为 　　；　　； (2)如图1，当时，求点的坐标； (3)如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值． 题型三 面积的值与面积的和差倍 1．（2024·安徽滁州·三模）已知：关于的函数．    (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是______； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点，动直线交线段于点． ①探究直线在运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②当点为抛物线顶点时，求的面积． 2．（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O(O 为原点)，两点，已知二次函数图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知y 轴上一点，点P是二次函数图象上位于x 轴下方的一点，连接，，．设点P的横坐标为t，的面积为S． ①求直线表达式； ②当S取最大值时，求点P的坐标． 3．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知抛物线关于直线对称，且经过点． (1)求，的值； (2)若两点，都在抛物线上，分别过点，作轴的垂线，分别与直线交于点，． ①如图1，当时，连接，求与的面积之和； ②如图2，当时，试说明四边形的面积不可能等于． 4．（2025·安徽六安·模拟预测）二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左边），，与轴交于点，且函数的最大值为4． (1)求抛物线解析式； (2)设，为线段上两点，过，作轴的垂线，分别与二次函数的图象交于，两点． ①求直线与轴交点纵坐标的最小值； ②连接，交于点，记四边形的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点． ①若点是的中点，求的面积； ②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 6．（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为． (1)求点的坐标（用表示）； (2)若该抛物线与轴的交点为，如图． ①当的面积为时，求的值； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 7．（2024·安徽池州·三模）如图1，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)若点P是第一象限抛物线上一点． （ⅰ）如图2，连接，，，若的面积为3，求点P的坐标； （ⅱ）如图3，是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线与直线交于点G，的面积为，的面积为，判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 8．（2024·安徽淮北·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数且）的对称轴为直线且抛物线经过点． (1)求的值； (2)已知抛物线与轴的一个交点（不是原点），且抛物线经过点和点，点的横坐标比点的横坐标大2，分别过点和点作轴于点，作轴于点．设点则点． ①当时，连接，求和的面积之和； ②当时，若点围成的面积为14，求的值． 9．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，抛物线与直线的两个交点都在坐标轴上，与轴另一交点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方拋物线上的一个动点． （ⅰ）若为抛物线的顶点，连接，求的面积； （ⅱ）如图，过点作y轴的垂线，交抛物线另一点于点，已知点是抛物线上一动点，其横坐标为，连接，求的值． 10．（2024·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，直线交y轴于点C，点E为直线上方抛物线上的一动点，过点E作轴，垂足为G，分别交直线于点F，H． (1)求点A，B的坐标； (2)当时，连接，求的面积； (3)若点Q是y轴上的一点，当四边形是矩形时，求出点Q的坐标． 题型四 面积的最值 1．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接．求面积的最大值及此时点P的坐标． 2．（2024·安徽池州·三模）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，且点的坐标是，与轴交于点，且点的坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)与抛物线的对称轴交于点，点在抛物线上，且坐标为，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，点是的中点，直接写出的值． 3．（2024·安徽六安·三模）如图，抛物线经过点A，B，对称轴是直线，与y轴交于点，B点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值； (3)在y轴的右侧是否存在点M，使得以M，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·安徽·三模）抛物线交x轴于，，交y轴于点C，点E为对称轴l与x轴的交点，点P为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，横坐标为m． (1)求抛物线的解析式： (2)求面积的最大值； (3)点Q为l上一点，连接，若，，求m的值． 5．（2025·安徽宣城·一模）如图，抛物线与直线交于点，B，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点E，N是线段上一动点（不与点A，B重合），过点N的直线交抛物线于点M，且轴，连接，，，． (1)求拋物线和直线的函数表达式． (2)四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由． (3)求证：． 6．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 7．（2024·安徽淮北·模拟预测）已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点． (1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若，试确定a的值； (3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标． 8．（2024·安徽·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，点在该抛物线上，横坐标为，将该抛物线两点之间（包括两点）的部分记为图象． (1)求抛物线的解析式； (2)图象的最大值与最小值的差为4时，求的值； (3)如图2，若点位于下方，过点作交拋物线于点，点为直线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 9．（2024·安徽宿州·二模）如图1，抛物线（a，b是常数且）与x轴交于点和点B（点B在点A的右侧），点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点. (1)求a，b的值； (2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间． （i）如图2，连接，，，求四边形面积的最大值； （ii）如图3，连接并延长交延长线于点Q，连接交于点E，求的值. 10．（2024·安徽马鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点，点D为线段上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若，求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 11．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知抛物线过点，与轴交于，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在上方的抛物线上是否存在一动点，使面积取得最大值，若存在，求出点坐标，并求的最大面积． 12．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，点（点位于点左侧），与轴交于点，且． (1)求的值； (2)连接，点是直线下方抛物线上的一点，连接． （ⅰ）如图2，与交于点，若，求此时点的坐标； （ⅱ）如图3，过点作交于点，连接，求的最大值． 13．（2025·安徽马鞍山·一模）已知点A和点B在第一象限，点A坐标，点B坐标，点P为线段上一点，分别垂直x，y轴，垂足为C，D；设，四边形面积为S； (1)求直线的解析式（含有字母n）； (2)若，求S的最大值； (3)若点P在线段上移动时，S总随m的增大而增大，求n的取值范围． 14．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过坐标原点且与x轴交于点A，若抛物线顶点坐标． (1)求该抛物线的表达式； (2)若过点A的直线与抛物线交于A，B两点，连接． ①求证：； ②若M为x轴上方的抛物线上任意一点，判断的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 15．（2025·安徽滁州·一模）已知抛物线过点和点，且，直线过点，交线段于点． (1)求抛物线的对称轴． (2)已知的周长为，的周长为，且． ①求点的坐标； ②过点作直线，交抛物线于，两点，求面积的最小值及此时抛物线的解析式． 题型五 与函数图象变换有关问题 1．（2024·安徽合肥·二模）已知：抛物线的图象与轴交于交轴于点点为抛物线上一动点，其横坐标为 (1)求抛物线的解析式； (2)将点向右平移2个单位得到点若点也在抛物线上，求的值； (3)当点到轴的距离不大于时，求的取值范围． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． 3．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．      (1)求b，c的值； (2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值． 4．（23-24九年级上·安徽·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点和点A，与y轴交于点C，作直线．    (1)求a的值． (2)若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值； (3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为G．把直线向下平移n个单位与图像G有且只有三个交点，请直接写出此时n的值． 5．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求直线的解析式及抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求当点的横坐标为多少时，最大； (3)如图，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式． 6．（2024·安徽宣城·一模）如图，已知抛物线与x轴的交点为，与y轴交点为C． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，在抛物线的A~B段上存在点P，求五边形面积的最大值； (3)问该抛物线上是否还存在与点P不重合的点Q，使以A、B、C、D、Q五点为顶点的凸五边形面积等于题（2）中五边形面积的最大值，若存在，直接写出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024·安徽合肥·一模）如图1，点A的坐标为（4，0），抛物线过点A，点B为第四象限内抛物线上一点，其纵坐标为，． (1)求抛物线的表达式； (2)点C为直线下方的抛物线上一动点，过点C作交直线于点D，设点C的横坐标为h，当取最大值时，求h的值； (3)如图2，点，连接，将抛物线的图象向上平移m个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，直接写出m的取值范围． 8．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． (1)求m的值； (2)求证：； (3)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值． 9．（2024·安徽安庆·二模）已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 10．（2024·安徽宿州·三模）如图1，抛物线与轴交于点与点，点位于点的左侧，与轴交于点，． (1)求，的值； (2)点是第一象限内且位于该抛物线上一点． （i）如图2，连接与交于点，连接．若点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标； （ii）如图3，点是第四象限且位于该抛物线上一点，与分别与轴交于点和点．若，则直线恒经过一点，求该点的坐标． 11．（2024·安徽宣城·三模）如图，抛物线c：与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点为动点，且，过点M作于点M，交抛物线于点E，交直线于点． (1)求抛物线c的表达式及顶点坐标； (2)若，求m的值； (3)平移抛物线c：使其顶点为F点，设平移后的抛物线c在x轴上方的部分记为图象Q，若图象Q始终在抛物线c的下方，求m的取值范围． 12．（2025·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)过点作轴的平行线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请求出此时点的坐标． 13．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C，顶点为M． (1)求点M的坐标； (2)把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，抛物线经过点B，并与x轴交于另一点D，且顶点为E． ①若直线BC向下平移个单位得到的直线经过点E，求m的最大值，并写出此时h的值； ②若直线恰好经过抛物线与x轴的交点，请直接写出h的值． 14．（2025·安徽安庆·一模）已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）． (1)求的值和的顶点坐标． (2)已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________； (3)当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押06 二次函数性质综合题（解答题） 考点 5年考题 考情分析 与线段有关问题 2021年第22题 网格作图是安徽中考的热点问题，每年必考，通常从平移、对称（包括轴对称和中心对称）、旋转（通常考查顺、逆时针旋转90°或180°）、位似中选择两种进行考查，也常与几何变换、计算求值结合在一起.除此之外，也提醒大家关注无刻度直尺作图与网格作图结合的题型（2023年安徽中考第17题和2024年安徽中考第16题连续两年考查）. 与面积有关问题 2022年23题2023年第23题 与函数图象变换有关问题 2020年22题 题型一 线段的等量关系问题 1．（2024·安徽·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，一次函数的图象经过，两点. (1)求二次函数和一次函数的函数表达式； (2)若点是二次函数图象的对称轴上的点，且，如图2，求点的坐标； (3)点是二次函数的图像位于第一象限部分上的一动点，过点作轴的垂线交直线于点，若点的横坐标为.试探免：是否存在常数，使得的长为4？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点、的坐标代入抛物线和直线表达式，即可求解； （2）先求出二次函数的对称轴，设，再用两点间距离公式列方程即可求解； （3）先得点坐标为，，再根据的长为4列出方程求解即可． 【详解】（1）把点，代入抛物线得： ，解得：， 故二次函数的表达式为：， 把，代入一次函数表达式得： ，解得：， 故一次函数的表达式为：； （2）二次函数的的对称轴为直线， 由点是二次函数图象的对称轴上的点，可设， ， ， ， 解得：， ； （3）第一象限点的模坐标为. 点坐标为， 点坐标为， 的长为4， 或 ，（舍去）， 的值为， 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，两点间距离公式是解题的关键． 2．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)已知横坐标为t的点P为对称轴左侧的抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M， ①若与的面积之和为8，求t的值； ②过点P作x轴的垂线，垂足为N，直线交线段于点D，是否存在这样的点P，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，且t的值为． 【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组即可得到结论； （2）①由（1）知，抛物线的函数表达式为，求得点的坐标为，由题意知　　，，，当时，当时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； ②根据待定系数法求得直线的函数表达式为，由，得到点为线段的中点，求得点的横坐标为，得到，根据题意列方程即可得到结论． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，线段中点的定义，三角形的面积公式，正确地求得二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得把代入 且结合对称轴 得， 解得； ∴； （2）解：①由（1）知，抛物线的函数表达式为， 点的坐标为， 由题意知，， 当时，的面积，的面积， 此时与的面积之和为6，不符合题意； 当时，的面积，的面积； 与的面积之和为，此时， 解得； 综上，的值为； ②存在，点的横坐标为．理由如下： ，， 直线的函数表达式为， ， 点为线段的中点， 点的横坐标为， 点在直线上， ， 点的纵坐标为5，则， 解得或（不合题意，舍去）， 存在，的值为． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b和c是常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且，． (1)求b，c的值； (2)如图2，点P是直线下方抛物线上的一点（不与点B，C重合），过点P作轴于点D，与交于点Q．若，求点P的坐标； (3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为3，求此时m的值． 【答案】(1)，c的值分别为， (2) (3)m的值为或2 【分析】此题是二次函数和一次函数综合题，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）求出，，进一步即可求出b，c的值； （2）由（1）知抛物线的解析式为．设，则．求出直线的解析式为，则，得到，．根据得到方程，解方程即可求出答案； （3）求出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．当时，，当时，．根据m的取值范围分段进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ． 把代入， 得， 解得， ，c的值分别为， （2）由（1）知抛物线的解析式为． 设，则． 由，， 设直线直线BC的解析式为， 则 解得 ∴直线的解析式为， ， ，． ， ， 整理，得， 解得，（舍去）． 当时，， ， 即当时，点P的坐标为． （3）由（1）知抛物线的解析式为， 则该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 当时，， 当时，． 当，即 时，函数的最小值是，函数的最大值是， ，解得； 当时，函数的最小值是，函数的最大值是， ，解得； 当时，函数的最小值是，函数的最大值是， ，解得（舍去）或（舍去）； 当时，函数的最小值是，函数的最大值是， ，解得（舍去）或（舍去）； 综上所述，此时m的值为或2． 4．（2025·安徽芜湖·一模）如图，已知抛物线L：经过点，． (1)求的值； (2)连接，交抛物线：的对称轴于点． ①求点的坐标； ②将抛物线向左平移个单位得到抛物线．抛物线的对称轴交抛物线于点，抛物线的对称轴交抛物线于点．当时，求的值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由（）可得二次函数解析式，即得抛物线的对称轴为直线，，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （）根据平移可得的解析式为，进而可求出点的坐标，最后根据列出方程解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线L：经过点，， ∴， 解得， 即，； （2）解：①∵，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； ②∵， ∴将抛物线向左平移个单位得到抛物线，的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴的值为． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若点为线段上任意一点（不与端点重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线与点，以为邻边构造矩形． 设点的横坐标为，矩形的周长为，求关于的函数表达式； 当直线与中函数的图象交点有个时（从左到右依次为），直线与中函数的图象交点有个时（从左到右依次为），且满足，直接写出的值． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为； (2)关于的函数表达式为；或． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线解析式，则，所以，故有，然后分当点在点左侧时，即和当点在点右侧时，即两种情况分析即可； 结合题意，结合图形分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点点，， ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由抛物线对应的函数表达式为得，抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当点在点左侧时，即， ∵关于直线对称，，且轴， ∴点横坐标为， ∴， ∴矩形的周长为； 如图，当点在点右侧时，即， ∵关于直线对称，，且轴， ∴点横坐标为， ∴， ∴矩形的周长为； 综上可得：关于的函数表达式为； 函数的图象如图， 由于两段图象相同，可以通过平移得到： ，顶点坐标， ，顶点坐标， 当时，到直线的距离等于到直线的距离， ∴； 如图， 直线过顶点（与重合），此时，，， ∴的横坐标，的纵坐标， ∴， 综上可知：或． 6．（2024·安徽·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求此二次函数的解析式； (2)已知直线与交于点D，在第二象限与抛物线交于点P，求的值； (3)平移抛物线，如图2，使新抛物线的顶点E是直线在第一象限部分上的一动点，过E作轴于点F，过原抛物线的顶点M作轴交新抛物线于点N，若，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）过点作轴于点，交于点，则轴，可得，根据相似三角形的性质得，由直线与在第二象限与抛物线交于点得，，可得，即可求解； （3）设点的坐标为，则，平移后的函数解析式为，求出点，可得点的坐标为，，由得，解方程求出的值即可得答案． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式得， ， 解得， 此二次函数的解析式为； （2）解：二次函数与轴交于点， ， ， 直线的解析式为， 过点作轴于点，交于点， ∴轴， ， ， 直线与在第二象限与抛物线交于点， ， 解得，（由于点在第二象限，舍去）， ， ， ， ； （3）解：设点的坐标为，则， 平移后的函数解析式为， ， 点， 把代入 得，， 点的坐标为， ， ， ， 解得（舍去），， 点的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，抛物线的平移，解题的关键是掌握待定系数法以及二次函数的性质． 7．（2025·安徽宣城·一模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）先由一次函数求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴交直线于点F，求出，得到，设点P的坐标为，则，得到，求出抛物线的对称轴为直线，得到，则，解方程求出答案； （3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接，分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况分别画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，， ∴点，， 经过点，，      解得 抛物线的函数解析式为： （2）过点P作轴交直线于点F， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设点P的坐标为，则， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴ （3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接， 如图，当点P在直线上方时， ∵轴， ∴， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 把代入得到， 则， ∴点P的纵坐标为1， 把代入得到， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 同理，如图，当点P在直线下方时， ∵， ∴点P的纵坐标为1， 把代入得到， 解得（不合题意，舍去），， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、轴对称的性质、待定系数法求函数解析式、一次函数和二次函数的交点问题、解直角三角形等知识，综合性强，分情况讨论是解题的关键． 题型二 线段的最值问题 1．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 【答案】(1)； (2)的周长的最小值为，点P的坐标为； (3)的最大值为，此时． 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点，此时的周长最小，利用勾股定理以及待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）连接，设，根据列得二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长， 令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴的周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得, ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：连接，设， 依题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，此时． 2．（2024·安徽宿州·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为顶点的抛物线与直线相交于，两点． (1)求该抛物线和直线的函数表达式； (2)点位于直线下方的抛物线上，轴，交直线于点，求线段的最大值； (3)若点，分别是该抛物线和线段上的动点，设线段与轴交于点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标． 【答案】(1)， (2)1 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数中线段问题、平行四边形问题等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用． （1）根据题意，设抛物线的解析式为，直线的解析式为，结合，的坐标利用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，，则，用表示出，利用二次函数的性质即可求解； （3）由一次函数解析式求得，设，，，且，分三种情况：①当，是平行四边形的对角线时，②当，是平行四边形的对角线时，③当，是平行四边形的对角线时，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为坐标原点， 设抛物线的解析式为，将代入，可得：， ∴抛物线的解析式为：， 设直线的解析式为，将，代入，可得： ，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）∵点位于直线下方的抛物线上，轴，交直线于点， 设，，则， ∴， 则，当时，取最大值，最大值为1； （3）对于，当时，，则， 由点，分别是该抛物线和线段上的动点，设，，，且， ①当，是平行四边形的对角线时，由中点坐标可得，即：，解得， ②当，是平行四边形的对角线时，由中点坐标可得，即：，解得（不符合题意，舍去）， ③当，是平行四边形的对角线时，由中点坐标可得，即：，解得（不符合题意，舍去）， 综上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的横坐标为． 3．（2024·安徽滁州·二模）已知，在平面直角坐标系内，抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点 P在抛物线的对称轴上，且使得的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点 M，N，若的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点 D是线段上(不含端点A，C)的一个动点，过点 D 作直线，交直线l于点E，过点E作，垂足为点 F，求线段的最小值． 【答案】(1)抛物线的解析式为： ，直线的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，即可作答． （2）先作图，根据内心定义，得出直线或直线与对称轴的交点即为Q点，求出直线的解析式为，代入，即可作答． （3）运用分类讨论，①当直线l经过点A，时，则根据勾股定理得在中，则有②当直线l经过点时，则根据勾股定理得在中，则有结合二次函数的图象性质，即可作答． 【详解】（1）解:∵抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且． ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为： 当时， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把点A，C的坐标代入， 得 解得 ∴直线的解析式为， （2）解：由可知：对称轴为直线， 连接并延长交于对称轴，交点即为点P， 此时的值最大， 把代入，解得 ∴点P的坐标为， 设点C关于直线对称的点为， 要使得的内心始终在对称轴上， 根据对称性，直线l必经过或经过， 即直线或直线与对称轴的交点即为Q点， 设点直线的解析式为 把点和点C的坐标分别代入 得 解得 根据点和点C的坐标 可求出直线的解析式为， 当时，， 根据对称性，直线与对称轴的交点也为Q，坐标均为， （3）解：由于直线l有两条，分两种情况分析： ①当直线l经过点A，时， 设直线的解析式 把和代入 得 解得 ∴直线的解析式为， 设点D的纵坐标为a，把代入直线和直线 可得 又∵， 在中，则有 由题可知，， ∴此时不存在最小值， ②当直线l经过点时， 设点D的纵坐标为a，把代入直线和直线 可得 ∴ 在中，则有 令 ∴当时，t有最小值，最小值为 即当点D的纵坐标为时， 则 有最小值为 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，涉及待定系数法求一次函数、二次函数解析式，轴对称性质，勾股定理，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线与坐标轴分别交于点，连接，已知抛物线的对称轴为直线，． (1)求的值． (2)若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值． (3)若点在轴上，点在抛物线上，当为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）过点作轴，将的长度用二次函数表示，即可求出最大值，从而求得线段的最大值； （3）分两种情况进行讨论，求出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得点的坐标为， ∴， 解得； （2）解：过点作轴于点， 当时，， ∴点的坐标为，， 当时，，， ∴点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵点在抛物线上， ∴设， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴的最大值为； （3）解：设， 情况一：当时，过点作轴于点，， ∵，， ∴， 解得（舍去），， ∴，， ∴，； 情况二：当时，过点作轴于点，， ∵，， ∴， 解得（舍去），， ∴，， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数最值问题，二次函数与四边形结合，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 5．（2025·安徽蚌埠·一模）点 、、 的坐标为分别，抛物线经过这三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点，是抛物线上的两个动点，且点 在直线 下方． ①如图1，过 点作轴的垂线，垂足为，交直线 于点，连接，，，猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图2，点 在直线 上，且横坐标为，过点 作轴于点 ，求线段 长度的最大值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，面积问题以及线段最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①先求得直线的解析式为，进而表示出，根据点的坐标求得到的距离，进而根据三角形的面积公式，即可求解； ②先求得直线的解析式，进而求得的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为代入得， 解得： ∴抛物线的解析式为 （2）①，理由如下： 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 ∵，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴点到的距离为， ∵，，， ∴到的距离为， ∴，， ∴； ②∵，，则， 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴ ∵的横坐标为 ∴ ∵ ∴当时的最大值为 6．（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值； (3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为； (3)点Q的坐标为． 【分析】（1）将点代入，求得，即可得解； （2）求得点和的坐标，推出，作轴于点，交于点，得到是等腰直角三角形，，设，求得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）作交于点，作轴于点，求得，证明，利用正切函数的定义求得，证明是等腰直角三角形，求得，再求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，； 当时，， 解得或； ∴，， ∴， ∴， 作轴于点，交于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴有最大值，最大值为； （3）解：作交于点，作轴于点， ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理直线的解析式为， 联立得， 解得或； 当时，， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键． 7．（2024·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点．点在轴正半轴上，且，分别是线段，上的动点（点不与点重合，点不与点重合）． (1)求此抛物线的表达式； (2)连接． ①将沿轴翻折得到，点的对应点分别是点和点，当点在拋物线上时，求点的坐标； ②连接，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）抛物线与轴交于两点，点，用待定系数法即可求解； （2）①如图，连接交于点，根据折叠的性质，设，用含的式子表示点， 根据点在抛物线上即可求解；②如下图，过点作轴，可证，、、三点共线时，取到最小值，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，， ，解得， ， ∴抛物线的表达式为． （2）解：已知抛物线与轴交于两点，点， ∴令，则，解得，，， ∴， ①如图，连接交于点， 与关于轴对称， ，， 设，则，且， 在中，， ∴， ∴在中，， ， 点在抛物线上， ，解得或（舍去）， ； ②如下图，过点作轴，使得，作延长线于点， ， 又，， ， ， 、、三点共线时，取到最小值， ，，， ，， 在中，，， ． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，几何图形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径的计算方法是解题的关键． 8．（2024·安徽·二模）如图1，抛物线的顶点D的坐标为，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式及点A，点B的坐标； (2)如图2，连接交y轴于点E，过点E作交x轴于点F，连接交抛物线于点G，试求点G的坐标； (3)如图3，连接，，点P是抛物线在第一象限内的点，过点P作，交于点Q，当的长最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设出顶点式，将代入求出解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，利用同角的余角相等和正切值，得到，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线与抛物线，求出交点坐标即可； （3）过点作轴的平行线，与过点平行于轴的直线交于点，设点坐标为，求出直线，的解析式，根据平移求出直线的解析式，进而求出点坐标，得到的长，三角函数，表示出的长，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点D的坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， 把，代入，得：， ∴， ∴； 令， 解得：， ∴， （2）设直线的解析式为：， 把代入得：，解得：， ∴，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同法可得：直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴； （3）设直线的解析式为，把代入得：， ∴， ∴， 同法可得：直线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， 设点， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得： ， ∴， ∴， 联立，解得：， ∴， 如图，过点作轴的平行线，与过点平行于轴的直线交于点， 则：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， 此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，解直角三角形等知识点，属于中考压轴题，解题的关键的掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解． 9．（2024·安徽阜阳·二模）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)连接，点D是线段上一动点（不与A、C两点重合），过点D作轴交抛物线于点E． ①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标； ②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点F的坐标为或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求得线段的解析式，设、，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②求得抛物线的对称轴，，以及的长，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：将、代入得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：①令，则，∴， 设直线的解析式为，将代入得， 解得， ∴线段的解析式为， 设、，则， ∵， ∴当时，最大，此时； ②存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴， 设点； 当时，，此时点F的坐标为； 当，即时， ，整理得， 解得，此时点F的坐标为或； 当，即时， ，整理得， 解得，此时点F的坐标为或； 综上，点F的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、用待定系数法求函数解析式，解最后一小题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标． 10．（2024·安徽淮北·三模）抛物线与直线交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D． (1)求点B和点D的坐标； (2)如图①，连接，P为x轴上的动点，当时，求点P的坐标； (3)如图②，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接交直线于点E，求的最大值． 【答案】(1)；顶点 (2)P点坐标为或 (3) 【分析】（1）令，可求出点的坐标，将函数化为顶点式，可求出点的坐标； （2）当轴时，易得此时，则点P的坐标为；过点作轴于点，可得，推出，由点为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，可得，设，则，，根据勾股定理求出值，进而得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，求出，证明得到，利用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：令， 解得或， ； ， 顶点； （2）解：∵， ∴当轴时，此时有， ∴，符合题意， ∴点P的坐标为； 如图，当点P在x轴负半轴时，过点作轴于点， ，， ， ， ， 为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形， ， 设，则，， 在中，， 解得：， ， 设直线的解析式为：，将点、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：点与点关于对称轴对称， ， 如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，， ，， 点横坐标为， ，， ， ∵， ∴， ， ， 当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质，一次函数，解直角三角形，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 11．（2024·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)点P是第三象限抛物线上的点，过点P作，求的最大值及此时点P的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)有最大值，最大值为．点P的坐标为 (3)存在， 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的函数表达式，再求出，根据待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）过点P作轴，交x轴于点E，交于点F．设点，得出，，表示出，在中，求出，在中，表示出，从而表示出，，根据二次函数最值求法即可求出有最大值时，点P的坐标． （3）过点A作交的延长线于点G，取的中点H，连接．求出，根据，，得出点O，A，G，C在上，再根据，得出点G在直线上，设，证出是等腰直角三角形，根据直角三角形性质得出，再根据勾股定理列方程解出，求出直线的函数表达式，即可求解； 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线中， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，代入点和点， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）过点P作轴，交x轴于点E，交于点F． 设点， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 此时点P的坐标为． （3）存在．过点A作交的延长线于点G，取的中点H，连接． ∵H是的中点， ∴， ∵，， ∴点O，G在以为直径的圆上， ∴点O，A，G，C在上， ∵， ∴， ∴点G在直线上， ∴设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 代入点和， 得， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与线段综合，二次函数与特殊的角度综合，解直角三角形，圆相关知识点，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键． 12．（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得直线为，由，则，，，，即可求得； ②表示出，，，，即可求得，，即可得到，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）把，，代入中得： 解得， 所以解析式为：； （2）①点的横坐标是， 的纵坐标是 由，求得直线解析式为 的纵坐标是， 所以当时， ②存在，理由如下： 点在直线上， 点的横坐标是 ，当时，最大 点坐标为． 13．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线，交于点D．    (1)求二次函数的表达式； (2)当D点为线段的中点时，求点P的坐标； (3)求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3)线段的最大值为 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似等，理解当最大时，最大，是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）当D点为线段的中点时，求出点坐标，再利用求得直线的解析式，即可解答； （3）过点作轴的平行线，交于点，证明为直角三角形，则可得，则最大时，最大，求得最大值，再利用相似比求得最大值即可。 【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于点点，， 设二次函数的表达式为， 将点代入，得， 解得：． 二次函数的表达式为； （2）解：当D点为线段的中点时，可得 直线的一次函数解析式的值为， ， 直线的一次函数解析式的值为， 设直线的一次函数解析式为， 把代入，可得，解得， 直线的一次函数解析式为， 列方程， 解得， 点P是第一象限内抛物线上的一动点， （3）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， ， ， 为直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 当最大时，最大， 设， 设直线的解析式为， 把代入，可得， 直线的解析式为， ， ， 当时，取最大值为2， 此时， 故线段的最大值为．    14．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示，在m，n，p这三个实数中，有两个是正数，且没有负数： x … 0 1 … y … 4 m n 4 p … (1)求抛物线的表达式； (2)该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上一点． ①若点D在第二象限，过点D作x轴的垂线，垂足为E，设交于点F，当取得最大值时，求点D的坐标； ②是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)①点的坐标为；②点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）①求出直线的表达式，设点的横坐标为，表示出，，则，，即可求解； ②如图，过点作轴，垂足为，设，则，当时，，由可得．分为（I）当点在轴上方时，（II）当点在轴下方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∵这三个实数中，有两个是正数，且没有负数， ∴， ∴抛物线经过，代入可得， ∵， ， 将代入到中， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①根据解析式可得， 将代入，得或， ， 设直线的表达式为， 将代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 设点的横坐标为， ∵抛物线的表达式为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时点的坐标为； ②存在点，使得． 如图，过点作轴，垂足为，设， 根据题意可得是锐角，故点D在点A右侧， ， ∵， ∴， ， ∴当时，， 由可得． （I）当点在轴上方时，， 整理得， 解得(舍去)； （II）当点在轴下方时，，整理得， 解得(舍去)， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，解一元二次方程，解直角三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．本题难度较大，属中考压轴题． 15．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)，. (2)存在， (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】解：（1）， 点坐标为， 将，代入， 得，， 解得， （2）设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则，， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 16．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为； ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2)①；②，当时，的周长最大，最大值是． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线和直线解析式； （2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标用建立方程组求解即可； ②先表示出，然后建立三角形的周长和m的函数关系式，确定出最大值． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， 直线解析式为， 点在此直线上，点的横坐标为，则， 点的纵坐标为， ， 抛物线交于、两点， ， ， 抛物线解析式为． （2）解：∵点的横坐标为，则设， ∴， 过点作轴的平行线，与直线交于点，则点的纵坐标为， ∴，则， 点， ， ①当点在轴上方时， ，是钝角， ，， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 或舍， 当时，是等腰三角形； ②当点P在x轴下方时，， ， ，则，点， ，， ，， ∴的周长 ， ∵， 当时，， 当时，的周长最大，最大值是． 【点睛】此题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，三角形的周长，两点坐标距离公式等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．（2025·安徽淮北·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)点M 是抛物线上位于直线下方的一个动点，过点M作轴交于点N，计算线段的最大值； (3)若点P是抛物线上一动点，则是否存在点P，使．若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为； (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）先求得，，设抛物线的解析式为，利用用待定系数法求解即可； （2）设，，用表示出，再利用二次函数的性质求解即可； （3）连接，作于点，求得是等腰直角三角形，利用三角函数再求得，设，作轴于点，由题意得到，再分别求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则，令，则， ∴，， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设，，其中， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：连接，作于点， ∵，， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或， ∴点P的坐标为； 当时， 整理得， 解得（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 18．（2025·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（为常数，）的顶点为P． (1)当抛物线经过点A，B时，求点P的坐标； (2)若，抛物线上的点M的横坐标为m（），且． ①求的长； ②当取得最小值时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出点的坐标即可； （2）①求出的解析式，求出点坐标，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，进而求出的长即可； ②将A向右向上各平移一个单位长度，可得四边形为平行四边形，进而得到，作点O关于直线的对称点，连接交直线于，得到当点与重合时，取得最小值，进行求解即可． 【详解】（1）解：把点，点，代入，得： ，解得：， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ①∵点，点， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴， ∴； ②∵， ∴将A向右向上各平移一个单位长度，可得四边形为平行四边形， ∴， 作点O关于直线的对称点，连接交直线于， 则， ∴当点与重合时，取得最小值， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时 ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，求顶点坐标，两点间的距离以及利用轴对称解决线段最值问题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 19．（2025·安徽滁州·一模）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)当时，矩形周长有最大值且最大值为 (3)或 【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得； （3）①根据，结合四边形是矩形，可得A、C坐标，连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据直线平分矩形的面积，得到直线过点P，由平移的性质可知，四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到点P是的中点，求出P、Q坐标，进而证明四边形是平行四边形，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点B的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴点C的坐标为， ∴将点C坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，点C的纵坐标为， ∴矩形的周长 ， ∵ ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）解：∵当时，， ∴点B的坐标为， ∴点C的坐标为，点A的坐标为， 连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，如图：    ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点P， 由平移的性质可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点P是的中点，Q是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位， ∵原抛物线 ∴平移后的抛物线的解析式． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，矩形的性质，勾股定理，平移的性质等等，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点． 20．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接，，，． (1)直接写出结果：　　；　　；点的坐标为 　　；　　； (2)如图1，当时，求点的坐标； (3)如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)，2，，； (2)点P坐标为 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线解析式为，由可得，根据正切定义可求出； （2）过点作轴，交于点，过点作轴，由可得，证明，得到，设点坐标为，可得，解之即可求解； （3）作，且使，连接，证明得到，，，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，， ， 解得， 抛物线解析式为， 抛物线与轴交于、两点， 时，， 解得，， ， ，， 在中，， 故答案为：，2，，； （2）如图1，过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点， ，，， ， 由（1）可得，，即， ， ， ， 轴，轴， ，， ， 又， ， ， 设点坐标为，则，， ， 解得（舍去）或， 点坐标为 （3）如图2，作，且使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 作于点， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 解得或（舍去）， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型三 面积的值与面积的和差倍 1．（2024·安徽滁州·三模）已知：关于的函数．    (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是______； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点，动直线交线段于点． ①探究直线在运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②当点为抛物线顶点时，求的面积． 【答案】(1)0或2或 (2)①当时，最大值为4；②6． 【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图象的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值； （2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，求得直线的解析式，设，由，根据，再利用二次函数的性质求解即可； ②先求出顶点坐标，从而求出长度，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积． 【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点， ， ， ， 当函数为一次函数时，， ． 当函数为二次函数时， ， 若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时， ， ． 当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点，即其中一点经过原点， ， ， ． 综上所述，或0． 故答案为：0或2或； （2）解：①如图，设直线与交于点．依题意得：   ，解得：， 抛物线的解析式为：， 令，则， ∴， 设，直线的解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ， 当时，最大值为4； ②，直线的解析式为， 可知顶点，． ，则， ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题． 2．（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O(O 为原点)，两点，已知二次函数图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知y 轴上一点，点P是二次函数图象上位于x 轴下方的一点，连接，，．设点P的横坐标为t，的面积为S． ①求直线表达式； ②当S取最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，函数的最值，求出三角形的面积表达式是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）①由，即可求解； ②过点P作轴交于点H，点，则点，由，即可求解． 【详解】（1）∵二次函数的图象与x轴交于O(O 为原点)，两点，已知二次函数图象经过点， ∴，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）①设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 即直线的表达式为：， ②过点P作轴交于点H，    ∵点P的横坐标为t，则点，则点， 则， 即； ∵， 即S有最大值，此时，， 则点P的坐标为：． 3．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知抛物线关于直线对称，且经过点． (1)求，的值； (2)若两点，都在抛物线上，分别过点，作轴的垂线，分别与直线交于点，． ①如图1，当时，连接，求与的面积之和； ②如图2，当时，试说明四边形的面积不可能等于． 【答案】(1)的值为，的值为4 (2)①2；②见解析 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数的综合应用，四边形面积等，其中数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得直线的解析式，得到和，过点作于点，则，，利用三角形面积公式列式计算即可求解； ②过点作于点，则，，利用四边形面积公式列式计算即可判断． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，且经过点， ∴解得， ∴的值为，的值为4； （2）解：①由（1）得， 当时，； 当时，，即， ，． 设直线的解析式为，将代入，得， ，直线的解析式为， ，． 如图1，设与轴交于点， 过点作于点，则，， ∴ ． ②当时，如图2，过点作于点， 则，， ，即， 解得，， 当时，四边形的面积不可能等于． 4．（2025·安徽六安·模拟预测）二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左边），，与轴交于点，且函数的最大值为4． (1)求抛物线解析式； (2)设，为线段上两点，过，作轴的垂线，分别与二次函数的图象交于，两点． ①求直线与轴交点纵坐标的最小值； ②连接，交于点，记四边形的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)①；②点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，一元二次方程的解法，分类思想的应用，熟练掌握二次函数的性质，解方程是解题的关键． （1）根据，先求得，再根据函数的最大值为4，得到，进而求出二次函数解析式； （2）①根据题意先求得点的坐标为，点的坐标为， ，再根据线段，得到，当与轴平行时，求得，代入，得，当时，设的解析式为，代入，的坐标，得到，当时，，即可求解； ②先确定直线的解析式为，可得，根据，得到，解得，，再根据的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， ． 又函数最大值为， ， 解得， ， 抛物线对称轴在轴正半轴， ， 故， 抛物线解析式为； （2）解：①由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， 由题意可知，，， 解得， 当与轴平行时，， 解得， 代入，得， ． 当时，设的解析式为， 代入，的坐标， 得， 解得， ， 当时，， 综上所述：当时，有最小值． ②设直线的解析式为， 代入，的坐标可得的解析式为， 令，代入可得， ， ， ， ， ， 解得，， ， 故取， 此时点的坐标为． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点． ①若点是的中点，求的面积； ②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线； (2)①；②的值为或． 【分析】（1）根据题意求得，，再根据抛物线的对称性质求解即可； （2）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，求得点，再求得直线的解析式，求得，再利用三角形的面积公式求解即可； ②分当点在原点上方和下方两种情况讨论，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：①将，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点是的中点， ∴点， 当时，， 则点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴； ②∵点是抛物线上一个动点， ∴，则， 当点在原点上方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 当点在原点下方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离公式和平行四边形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 6．（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为． (1)求点的坐标（用表示）； (2)若该抛物线与轴的交点为，如图． ①当的面积为时，求的值； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，特殊三角形问题； （1）将点代入解析式得出，进而化为顶点式，即可求解； （2）①根据解析式，得出抛物线与轴的交点的坐标为，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点，根据建立方程，即可求解． ②由①得点的坐标为，点的坐标为．勾股定理分别求得，根据为直角三角形，分类讨论，利用勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， ， ， 顶点的坐标为． （2）①当时，， 抛物线与轴的交点的坐标为． 如图所示，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点， 设直线的表达式为， 把，代入 得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为， ， ， 解得； ②由①得点的坐标为，点的坐标为． ， ，， 为直角三角形， 分以下几种情况： 当时，， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为； 当时，， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为； 当时，， ， 整理得，此方程无实数解； 综上，点的坐标为或． 7．（2024·安徽池州·三模）如图1，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)若点P是第一象限抛物线上一点． （ⅰ）如图2，连接，，，若的面积为3，求点P的坐标； （ⅱ）如图3，是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线与直线交于点G，的面积为，的面积为，判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）或；（ⅱ）是，8 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴点，点， ∴可设抛物线对应的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， ∴，； （2）解：设． （ⅰ）如图，过点P作轴交于点Q．    设直线解析式为 反，，代入得 ，解得： ∴直线的解析式为， 则点， ∴， ∴， 整理，得，解得，， 当时，；当时，， ∴点P的坐标为或； （ⅱ）为定值． 设直线AP的解析式为，代入，， 得解得 ∴直线的解析式为． ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入，得， ∴点F的坐标为， ∴． 设直线的解析式为， 代入，， 得解得 ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴点G的坐标为， ∴， ∴， 即为定值，该定值为8． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解板式、一次函数解析式，二次函数图象性质，三角形的面积等知识．此题属二次函数综合题目—面积问题，在坐标系中，银题关键是掌握求三边均不与坐标轴平行的三角形面积的方法．方法一：“宽高法”．．方法二：“割补法”．． 8．（2024·安徽淮北·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数且）的对称轴为直线且抛物线经过点． (1)求的值； (2)已知抛物线与轴的一个交点（不是原点），且抛物线经过点和点，点的横坐标比点的横坐标大2，分别过点和点作轴于点，作轴于点．设点则点． ①当时，连接，求和的面积之和； ②当时，若点围成的面积为14，求的值． 【答案】(1) (2)①16；②或 【分析】（1）根据抛物线（是常数且）的对称轴为直线且抛物线经过点，建立关于的方程组，求解即可； （2）①先求出点，根据题意得：，则，进而得到，由，代入计算即可；②当时，由点围成的图形为梯形，面积为，当时，由点围成的图形为三角形，面积为，当时，由点围成的图形为四边形，面积为，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：由（1）知， 抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：， 根据题意得到， ①如图， 设点则点，且， 抛物线经过点和点，点的横坐标比点的横坐标大2， ， ，则， ， ， ， 和的面积之和为； ②如图，当时， 由点围成的图形为梯形， 面积为， 此时，， ，即， 解得：（舍去）或； 如图，当时，点重合， 由点围成的图形为三角形，面积为， 此时，， ， （舍去）； 如图，当时， 由点围成的图形为四边形，面积为， 此时，， ，即， 解得：； 综上，的值为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，二次函数的性质，面积问题，解题的关键是用灵活运用数形结合的思想及分类讨论的思想． 9．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，抛物线与直线的两个交点都在坐标轴上，与轴另一交点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方拋物线上的一个动点． （ⅰ）若为抛物线的顶点，连接，求的面积； （ⅱ）如图，过点作y轴的垂线，交抛物线另一点于点，已知点是抛物线上一动点，其横坐标为，连接，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）15；（ⅱ） 【分析】（1）先求出点的坐标为，再根据点，求出直线的解析式，即可求得点的坐标为，再运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）（ⅰ）如图①，过点作轴于点，先确定顶点的坐标为，再根据，即可求解； （ⅱ）如图②，过点作轴于点的延长线与的延长线交于点，则，根据点是抛物线上的一点，点的横坐标为，确定，根据抛物线的对称轴为直线，得出点在直线的右侧，点关于直线对称，，即可确定，，从而解出． 【详解】（1）解：将代入，得， 点的坐标为， 直线经过点， ，即直线的解析式为， 将代入，得， 点的坐标为， 将代入抛物线中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）（ⅰ）如图①，过点作轴于点， ， 顶点的坐标为， ， ， （ⅱ）如图②，过点作轴于点的延长线与的延长线交于点，则， 点是抛物线上的一点，点的横坐标为， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， 点在直线的右侧， 轴， 点关于直线对称， ， ， 点在抛物线上， ， ， ． 【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式求解，二次函数图象和性质，一次函数的图象和性质．二次函数与三角形面积综合，解直角三角形等知识点，解题的关键是数形结合思想的运用． 10．（2024·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，直线交y轴于点C，点E为直线上方抛物线上的一动点，过点E作轴，垂足为G，分别交直线于点F，H． (1)求点A，B的坐标； (2)当时，连接，求的面积； (3)若点Q是y轴上的一点，当四边形是矩形时，求出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式、二次函数的性质、矩形的判定和性质，锐角三角函等知识点，学会利用三角函数的关系设参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）把代入抛物线中可得，然后令，再求解方程即可； （2）先求出直线的解析式为，然后由，则，从而得出，得出，，最后根据三角形面积公式即可解答； （3）根据矩形的性质，再结合可得，由正切的定义可得，设则，，由列方程可得n的值，从而得点Q的坐标． 【详解】（1）解：把代入抛物线中得：，解得， ∴该抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ∴，． （2）解：设直线的解析式为． 把，代入，得解得 ∴直线AD的解析式为． 设，则， ∴． 由，得，解得， ∴，， ∴， ∴的面积为． （3）如图．∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵直线AC的解析式为， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 设则，， ∴． ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为． 题型四 面积的最值 1．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接．求面积的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）令直线解析式，即可求得点B的坐标，令，即可求得点C的坐标，利用待定系数法直接代入求解即可； （2）根据函数图象即可解答； （3）过点P作轴于点H，交直线于点G，过点E作于点F，设点，则点，，证明是等腰直角三角形，得到，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：时，，， ， 时，， ，         将，代入得： 解得， ； （2）解：，， 时， 由函数图象可得：； （3）解：如图，过点P作轴于点H，交直线BC于点G，过点E作于点F， 设点， 则点，， ， ， ，轴， 是等腰直角三角形，， ， ， ∵P在直线下方， ， ，对称轴为直线， 当时，， 此时点P坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，图像法解不等式，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 2．（2024·安徽池州·三模）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，且点的坐标是，与轴交于点，且点的坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)与抛物线的对称轴交于点，点在抛物线上，且坐标为，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，点是的中点，直接写出的值． 【答案】(1) (2)最大值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合应用，面积问题，线段长度问题； （1）把点，点．代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）作轴交于点，得出直线的解析式为：，进而得出，，点，表示出，进而根据三角形的面积公式，列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求得，进而根据中点坐标公式得出，然后勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：把点，点．代入 得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）如图所示，作轴交于点， 设直线的解析式为：，代入，． ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵ 对称轴为直线， 当时， ∴， ∵在抛物线上， ∴，点 ∴ ∴ ∴时，的面积最大，最大值为； （3）由（2）可得，则 ∴ ∵是的中点，． ∴，即 ∵ ∴． 3．（2024·安徽六安·三模）如图，抛物线经过点A，B，对称轴是直线，与y轴交于点，B点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值； (3)在y轴的右侧是否存在点M，使得以M，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质和判定等知识，用到了分类讨论思想、图形割补思想等数学思想． （1）利用待定系数法直接求抛物线的解析式，即可解题； （2）作轴交于点N，设P点坐标为，设所在直线解析式为，利用待定系数法求出所在直线解析式，得到，利用三角形面积公式表示出三角形面积，再利用二次函数最值即可得到面积的最大值． （3）根据点M在y轴的右侧，使得以M，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质和判定分以下两种情况①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，进行分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：如图，作轴交于点N，设P点坐标为， 则． 设所在直线解析式为，则，得， 直线的解析式为， N点坐标为， ， ， 当时，的面积最大，且最大值为． （3）解：A点坐标为． ①当为平行四边形的边时，，，， M点坐标为； ②当为平行四边形的对角线时，其中点坐标为． 设M点坐标为，则，， 解得，， M点坐标为． 综上所述，M点坐标为或． 4．（2024·安徽·三模）抛物线交x轴于，，交y轴于点C，点E为对称轴l与x轴的交点，点P为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，横坐标为m． (1)求抛物线的解析式： (2)求面积的最大值； (3)点Q为l上一点，连接，若，，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，全等三角形的性质与判定： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求先求出，，过P作轴于F，则点F坐标为，再根据表示出，最后利用二次函数的性质求解即可； （3）分两种情况：当点Q在的下方时，和当点Q在的上方时，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点，证明，得到．进而得到方程或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把点、代入解析式得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∴点E的坐标为， 在中，当时，，则， 由题意得，点P的坐标为， 过P作轴于F，则点F坐标为． ∴ ， ∵， 当时，面积的最大值为． （3）解：由题意可知，点Q的横坐标为1， 当点Q在的下方时，如图，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，解得 ∵点P为第一象限对称轴右侧图象上一点，故舍去， ∴； 当点Q在的上方时，如图，过C、Q分别作直线的垂线，交于M、N两点， 同理可得：， ∴． ∵，， ∴，解得， ∵点P为第一象限对称轴右侧图象上一点，故舍去， ∴； 综上所述：或 5．（2025·安徽宣城·一模）如图，抛物线与直线交于点，B，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点E，N是线段上一动点（不与点A，B重合），过点N的直线交抛物线于点M，且轴，连接，，，． (1)求拋物线和直线的函数表达式． (2)四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由． (3)求证：． 【答案】(1)， (2)存在， (3)见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点、，得到．设点N的横坐标为，则点，．再由结合二次函数的性质即可得解； （3）证明是等腰三角形，过点A作，交于点D，过点B作，交于点F．则是的平分线，得出，从而得出，再由平行线的性质得出，即可得证． 【详解】（1）解：将点代入抛物线与直线中，得，， 解得，， 抛物线和直线的函数表达式分别为，； （2）解：存在． 对于，令，得， 点． ，解得或， 点， ∴． 设点N的横坐标为，则点，． ，， ， 当时，的值最大，最大值为． 的最大值为． （3）证明：由点，， ， ， 是等腰三角形． 如图，过点A作，交于点D，过点B作，交于点F． 是等腰三角形， 是的平分线， ． ， ． ，， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、等腰三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 6．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∵的面积， ∴，即点， 将点的坐标代入二次函数表达式得：， 解得． （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， 令，即， 解的，或， ∴点，， 如图所示，过点作轴于点， 设点M的坐标为， ∴，，，， ∵ ∴ ， ∵， ∴当时，S最大值， 答：四边形的面积S的最大值为． （3）解：设点P的坐标为，则，，， 当时，即， 解得（舍去）或3，即点P的坐标为； 当时，则， 解得或，即点P的坐标为或； 当时，则， 解得，即点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 7．（2024·安徽淮北·模拟预测）已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点． (1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若，试确定a的值； (3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，求出，，将代入一次函数求出，从而得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解； （2）由（1）得：，，设点的坐标为，由得出点的横坐标为2，代入一次函数解析式得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解； （3）由（1）知：，，，得出，求出点的坐标得出，根据，得出关系式，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ，， 将代入得：， 解得：， ， 点的横坐标为3， 当时，， ， 将代入抛物线解析式得：， 解得：， ； （2）解：由（1）得：，， 设点的坐标为， ， 为的中点， 在轴上， ， ， 在中，当时，， ， 将代入抛物线解析式得：， 解得：； （3）解：由（1）知：，，， ， 在中，当时，， ， ， 设， ， ， 当时，的值最大，此时． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合—面积问题，待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 8．（2024·安徽·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，点在该抛物线上，横坐标为，将该抛物线两点之间（包括两点）的部分记为图象． (1)求抛物线的解析式； (2)图象的最大值与最小值的差为4时，求的值； (3)如图2，若点位于下方，过点作交拋物线于点，点为直线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)面积的最大值为18， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出点C的坐标，分为当时，时，时，三种情况讨论即可； （3）根据，得到，求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，根据，利用二次函数的性质求出的最大值即可． 【详解】（1）解：代入 得，解得 （2）解：， 当时，， ， 点关于直线的对称点为 ①当时，， ， ， 的值不存在 ②当时，， ， ， ，解得或（舍） ③当时，， ， ， 此时点与点重合， 综上所述，的值为或； （3）解：， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得， 过点作轴交于点， 设，则 ， ，开口向下，对称轴为直线， 又， 当时，的最大值为8， 四边形面积的最大值为18，此时 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及运用铅垂法求与二次函数相关的面积最值，熟练掌握待定系数法与铅锤法是解题的关键． 9．（2024·安徽宿州·二模）如图1，抛物线（a，b是常数且）与x轴交于点和点B（点B在点A的右侧），点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点. (1)求a，b的值； (2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间． （i）如图2，连接，，，求四边形面积的最大值； （ii）如图3，连接并延长交延长线于点Q，连接交于点E，求的值. 【答案】(1) (2)（i）9；（ii）8 【分析】此题考查了二次函数综合题，还考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）根据题意得到，解方程组即可得到答案； （2）（i）求出点B的坐标是，则，过点P作轴，交线段于点Q，求出点的    D的坐标是，得到，可得，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，得到，得到四边形面积，由，即可得答案； （ii）设点P的坐标为，求出直线的解析式为，求出，则，求出直线的解析式为，则点E的坐标是，求出，即可求出定值． 【详解】（1）解：把点代入得到，① ∵是抛物线的对称轴且交x轴于点. ∴，② 联立①②得， 解得 （2）（i）由（1）可得，， 当时，， 当时，，解得，， ∴点B的坐标是， ∴， 过点P作轴，交线段于点Q， ∵ ∴点的    D的坐标是， ∴ ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， ∴四边形面积， ∵点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间． ∴， ∴当时，有最大值，最大值为9； （ii）设点P的坐标为， 设设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴ ∴， 设的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点E的坐标是， ∴， ∴ 10．（2024·安徽马鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点，点D为线段上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若，求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或 (3)点P的坐标为，S的最大值为． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式，即可解题； （2）作，交于点，证明，利用相似三角形性质得到，利用待定系数法求出直线，根据建立等式求解，即可得到点E的坐标； （3）由（2）知直线的解析式，且同理可得直线的解析式，根据设直线的解析式为，点P的坐标为，得到直线的解析式，联立直线和直线的解析式表示出点，再利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的最值即可求出点P的坐标和S的最大值． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：作，交于点， 则， ， ， ， ， ， 由题知点，点，点， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式中， 有，解得， 直线的解析式为， ， 解得或， 当时，，当时，， 点E的坐标为或； （3）解：由（2）知直线的解析式为， 且同理可得直线的解析式为， ， 设直线的解析式为，点P的坐标为， ，解得， 直线的解析式为， ， 解得， 将代入中，有， ， 点D，点P都在第一象限， ， ， ， ， ， ， 当，即点P的坐标为时，S有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，二次函数的图象与性质，解题的关键在于熟练运用二次函数的图象与性质解决问题． 11．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知抛物线过点，与轴交于，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在上方的抛物线上是否存在一动点，使面积取得最大值，若存在，求出点坐标，并求的最大面积． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为，最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，又两点之间线段最短，得此时取最小值，最小值为线段的长度．令，求解即可； （3）过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点．如图所示．先求出直线的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，进而利用面积公式构造二次函数即可得解． 【详解】（1）解：将点，代入，得 解得 ∴该抛物线的解析式为． （2）解：如图，作关于轴对称点，连接交轴于点， 中，令，则， ∴． 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵两点之间线段最短， ∴此时取最小值，最小值为线段的长度． 令， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点．如图所示． 设直线的解析式为（）， ∵点，． ∴解得 ∴直线的解析式为． ∵该抛物线的解析式为， ∴设点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴ ， ∵， ∴当时，点的坐标为，取最大值，为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求二次函数，求一次函数解析式，两点之间，线段最短，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 12．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，点（点位于点左侧），与轴交于点，且． (1)求的值； (2)连接，点是直线下方抛物线上的一点，连接． （ⅰ）如图2，与交于点，若，求此时点的坐标； （ⅱ）如图3，过点作交于点，连接，求的最大值． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合应用，主要涉及了求二次函数解析式、利用面积的转化求三角形面积、在坐标系中求线段的长度，解题的关键是正确设出点的坐标，表示出线段长度． （1）由点坐标和可以求出的值，再将点代入抛物线中即可求出的值； （2）（ⅰ）设点的坐标为，再将转化为即可求出结果；（ⅱ）连接，过点作轴于点，交于点，由，可得，设点的坐标为，则，即可得出的长，再根据面积计算公式乘水平宽乘铅直高即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ， 点位于原点下方， ， ， 把点代入抛物线中， 得， 解得， 故的值分别为． （2）（ⅰ）由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ， 设点的坐标为，其中， 则， 整理，得， 解得（舍去），， 当时，， 此时点的坐标为； （ⅱ）如图，连接，过点作轴于点，交于点， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点和点代入得， ， 直线的解析式为， 设点的坐标为，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 13．（2025·安徽马鞍山·一模）已知点A和点B在第一象限，点A坐标，点B坐标，点P为线段上一点，分别垂直x，y轴，垂足为C，D；设，四边形面积为S； (1)求直线的解析式（含有字母n）； (2)若，求S的最大值； (3)若点P在线段上移动时，S总随m的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2)S的最大值为； (3)n的取值范围为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求得点P坐标为，再利用矩形的面积公式列得S关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）同（2）求得S关于的二次函数解析式为，对称轴为直线，再分当点在点的下方和点在点的上方时，两种情况讨论，根据对称轴的位置列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 由题意得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，直线的解析式为， 当时，， ∴点P坐标为， ∴， ∵，∴当时，S有最大值，最大值为； （3）解：同理，， ∴S是关于的二次函数，对称轴为直线， ∵点P在线段上移动， ∴， 分两种情况讨论， 当点在点的下方时，， ∴，即， ∴该函数图象的开口向下， ∵时，S总随m的增大而增大， ∴， 解得， ∵， ∴n的取值范围为； 当点在点的上方时，， ∴，即， ∴该函数图象的开口向上， ∵时，S总随m的增大而增大， ∴， 解得， ∵， ∴n的取值范围为； 当时，S总随m的增大而增大， 综上，n的取值范围为或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴交点的求法，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的增减性，（3）注意要根据点的位置分情况讨论． 14．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过坐标原点且与x轴交于点A，若抛物线顶点坐标． (1)求该抛物线的表达式； (2)若过点A的直线与抛物线交于A，B两点，连接． ①求证：； ②若M为x轴上方的抛物线上任意一点，判断的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)①见解析；②当时，的面积有最大值，最大值为 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数表示线段的长解决问题，属于中考压轴题． （1）根据顶点式可得该抛物线的表达式； （2）①如图1，过点作轴于，设直线交轴于，根据三角函数值相等可证明，再由直角三角形的两锐角互余可得结论； ②如图2，过点作轴交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，表示的长，根据三角形的面积铅垂高水平宽，并配方即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标， ∴设该抛物线的表达式为， ∵二次函数图象经过坐标原点， ∴把代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）证明：①∵抛物线表达式为， ∴令， 解得，， ∴点A坐标为， ∵直线过点A， ∴， ∴， ∴直线表达式为， 联立， 化简得， 解得或， 把代入，可得， ∴B点坐标为， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴； 解：②∵M为x轴上方的抛物线上任意一点， 如图，连接，，作轴，与直线交于点N， ∴设M点坐标为，则N点坐标为， ∴， 点B到的距离为，点A到的距离为， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值，最大值为. 15．（2025·安徽滁州·一模）已知抛物线过点和点，且，直线过点，交线段于点． (1)求抛物线的对称轴． (2)已知的周长为，的周长为，且． ①求点的坐标； ②过点作直线，交抛物线于，两点，求面积的最小值及此时抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)①，②的面积最小值为，此时抛物线的解析式为． 【分析】本题考查了二次函数与周长、面积问题、二次函数与一元二次方程、待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用抛物线的对称轴公式即可求解； （2）①由抛物线的对称轴为直线得到，点在抛物线的对称轴上，从而得出，进而可得，设点的坐标为，其中，解方程即可得出点B坐标； （3）令，求出直线与抛物线交点坐标，进而用含的代数式表示长，再利用三角形的面积公式得出，再结合二次函数的性质求出的面积最小值和此时的值，即可得出抛物线的解析式． 【详解】（1）解：抛物线， 抛物线的对称轴为， 抛物线的对称轴为直线． （2）解：①抛物线过点，， 点和点关于抛物线的对称轴对称，且直线为， ，即， 点在线段上， 设点的坐标为，其中， ∴， ， 点在抛物线的对称轴上， ∴， ∵，， ∴， 即：， ∴，解得， ∴， ②令，则， 解得：，， ， ， ∵，点到直线的距离为， ， 当时，有最小值15，此时有最小值， 此时抛物线的解析式为， 综上所述，的面积最小值为，此时抛物线的解析式为． 题型五 与函数图象变换有关问题 1．（2024·安徽合肥·二模）已知：抛物线的图象与轴交于交轴于点点为抛物线上一动点，其横坐标为 (1)求抛物线的解析式； (2)将点向右平移2个单位得到点若点也在抛物线上，求的值； (3)当点到轴的距离不大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入中，计算即可； （2）根据题意得出，的横坐标为，纵坐标与的纵坐标相同，代入求解即可； （3）根据题意得出，，得到，分别求解即可； 本题主要考查二次函数的综合运用，采用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：将代入中， ， 解得：， ； （2）解：的横生标为， 点向右平移2个单位得到点 的横坐标为，纵坐标与的纵坐标相同， ， 整理： ， ； （3）解：点到轴的距离不大于， ， ， 令， ， ， ， 令， ， ， ， ， 综上所述：． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，； (2)4，； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设，则进而得到，再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在轴的下方，过D作轴，当为矩形一边时，且点D在轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则，解得： ∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为：． 把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则 ， ， ∴当时，有最大值4，此时， 点的坐标为． （3）解：由题意，得， 抛物线的对称轴为直线， ， 当为矩形的一边，且点在轴的下方时，过点作轴，如图所示： 点在抛物线的对称轴直线上， ， ， ，即， 点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点， 则点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点； 当为矩形的一边，且点在轴的上方时，如图所示： 设抛物线的对称轴直线与轴交于点， 点在抛物线的对称轴直线上， ， ，即， 点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点， 则点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点， 综上所述，点的坐标为或． 3．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．      (1)求b，c的值； (2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)的最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得直线的解析式为，设，则，解方程，即可求解； （3）由顶点始终在直线上，推出，由三角形面积公式得，当取最小值时，取最小值，求得关于b的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，， ∴，解得； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 令，则， ∴，设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵点P关于x轴对称的点恰好在直线上， ∴设，则，即点在抛物线上， ∴，整理得， 解得， ∵点P不与点B重合， ∴，； （3）解：抛物线的顶点坐标为， ∵顶点始终在直线上， ∴，即， 由（2）知直线的方程为， ∵抛物线与相交于点Q，      ∵， ∴当取最小值时，取最小值， ∵ ， ∵， ∴当即时，的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 4．（23-24九年级上·安徽·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点和点A，与y轴交于点C，作直线．    (1)求a的值． (2)若P为直线上方抛物线上的动点，作轴交直线于点H，求的最大值； (3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为G．把直线向下平移n个单位与图像G有且只有三个交点，请直接写出此时n的值． 【答案】(1) (2)取得最大值为 (3)n的值为或 【分析】（1）把代入求出a的值即可； （2）设，得出点的纵坐标为，求出直线的解析式为，得出，求出，根据二次函数的最值求出结果即可； （3）分两种情况进行讨论，分别画出图象，求出n的值即可． 【详解】（1）解：∵拋物线与轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：二次函数解析式为：， 设， ∵轴， 点的纵坐标为， 把代入得， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ，开口向下， 当时，取得最大值为； （3）解：直线向下平移n个单位后的关系式为， 如图，当平移后的直线过点B时，直线与图像G有且只有三个交点， 把代入得：， 解得：； 原抛物线上方折叠到下方的抛物线解析式为：， 当平移后的直线与抛物线相切时，直线与图象G有且只有三个交点， ∴此时方程有两个相等的实数根， 即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 综上分析可知，n的值为或．    【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，一次函数解析，二次函数的最值，一次函数图象的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 5．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求直线的解析式及抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求当点的横坐标为多少时，最大； (3)如图，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式． 【答案】(1)，； (2)点的横坐标为时，有最大值； (3)． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）设点的横坐标为，则，，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而得到，根据二次函数的性质即可求解； （）设平移后抛物线的解析式，联立函数解析式得，整理得，，设，，则，是方程的两根，由为的中点可得，求出即可求解； 本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：设点的横坐标为，则，，， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 轴， 为等腰直角三角形， ， ∴， 当时，有最大值， 即点的横坐标为时，有最大值； （3）解：由（）可知，直线的解析式为， 抛物线为：， 设平移后抛物线的解析式， 联立函数解析式得，， ， 整理得，， 设，，则，是方程的两根， ， ∵为的中点， ∴， ∴， 解得， 抛物线的解析式． 6．（2024·安徽宣城·一模）如图，已知抛物线与x轴的交点为，与y轴交点为C． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，在抛物线的A~B段上存在点P，求五边形面积的最大值； (3)问该抛物线上是否还存在与点P不重合的点Q，使以A、B、C、D、Q五点为顶点的凸五边形面积等于题（2）中五边形面积的最大值，若存在，直接写出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合， （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而根据对称性求出点B的坐标，再求出直线解析式，过点P作轴交于E，设，则，则，根据进行求解即可； （3）由对称性可知，点P与对称轴对称的点一定符合题意，即此时点Q的横坐标为；求出抛物线顶点坐标为，可得顶点与B、C组成的三角形面积为，再由四边形，则顶点与A、B、C、D组成的五边形面积为，即当点Q与顶点重合时，符合题意，即此时点Q的横坐标为1；当点Q在x轴上方时，只需要满足即可，求出此时点Q的横坐标即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵与x轴的交点为， ∴对称轴为直线， ∵点C关于抛物线对称轴的对称点为点B， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 过点P作轴交于E，设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值； （3）解：由（2）可知，的面积最大时，点P的横坐标为3， 由对称性可知，点P与对称轴对称的点一定符合题意，即此时点Q的横坐标为； ∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， ∴顶点与B、C组成的三角形面积为， 又∵四边形， ∴顶点与A、B、C、D组成的五边形面积为， ∴当点Q与顶点重合时，符合题意，即此时点Q的横坐标为1； 当点Q在x轴上方时，只需要满足即可， ∴， ∴， ∴， 当时，解得， ∴此时点Q的横坐标为； 综上所述，符合题意的点Q的横坐标为或． 7．（2024·安徽合肥·一模）如图1，点A的坐标为（4，0），抛物线过点A，点B为第四象限内抛物线上一点，其纵坐标为，． (1)求抛物线的表达式； (2)点C为直线下方的抛物线上一动点，过点C作交直线于点D，设点C的横坐标为h，当取最大值时，求h的值； (3)如图2，点，连接，将抛物线的图象向上平移m个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设交轴于点，由，先求出点的坐标，再求的解析式，把点的解析式代入求出点的坐标，最后把点、的坐标代入抛物线解析式求解； （2）由点，轴，得点的纵坐标为，把点纵坐标代入直线解析式求出点的横坐标，用参数表示出的长，再配方求最大值． （3）设平移后的抛物线解析式为，求出直线上横坐标为和的两点和点的坐标，当平移后的抛物线过点时有两个公共点，求出的最小值，当平移后的抛物线与直线有唯一公共点时，求出的值，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：设交轴于点， ∵点坐标为， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴点的坐标为 设的解析式为， ∴ 解得 ∴的解析式为， ∵点的纵坐标为， ∴把代入得 ∴点的坐标为 ∵过点、 ∴ 解之得 ∴抛物线的表达式为． （2）∵点C在抛物线上，点C的横坐标为h ∴ ∵轴， ∴点的纵坐标为 把代入 得 ∴点 ∴ ∵点C为直线下方的抛物线上一动点 ∴ ∴当时，的最大值为． （3）设的解析式为 ∵直线过点、 ∴ 解之得 ∴直线的解析式为 当时，，直线对应点为， 当时，，直线对应点为． 设抛物线的图象向上平移m（m>1）个单位得到抛物线为 当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个公共点， 当抛物线经过点时，有抛物线与线段两个公共点．如图 当抛物线与直线有唯一的公共点时 解之得 ∴当时，若抛物线与直线AE有两个交点， m的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，关键是掌握二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，数形结合，通过构建方程组，利用根的判别式解决问题． 8．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． (1)求m的值； (2)求证：； (3)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)当时，值最大，为 【分析】（1）把代入与中，得，，两式相加可得． （2）由得，由，，得，故． （3）由得抛物线L为，得，表示出，，得，再利用利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）把代入与中，得 ，， 得． （2）∵， ∴， ∴， ∴． ∵， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图：      ∵， ∴， ∴将抛物线L为，直线为， ∵抛物线L向左平移， ∴抛物线P为， ∵抛物线L的对称轴为直线， ∵抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M， ∴， ∵直线与抛物线L的对称轴交于点B， ∴， ∵点M在点B的下方， ∴． ∵抛物线L的对称轴为直线，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，不等式的性质，二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的平移，以及二次函数与几何综合，掌握二次函数最值的求法是解题关键． 9．（2024·安徽安庆·二模）已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)或 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合，函数图象翻折变换等知识； （1）先求出顶点坐标和点A、B坐标（用m表示），再根据等腰直角三角形性质列方程即可； （2）由（1）可得抛物线解析式为，求出，，三点坐标，再由两点距离公式和勾股定理判定为直角三角形即可求解； （3）由题意作出函数图象，分当直线与新图形抛物线相切时和直线经过点B时两种情况分别求出的b值即可； 【详解】（1）解:∵抛物线对称轴为直线，顶点为点C， ∴顶点 ∵为等腰直角三角形．过点C作， ∴， ∴ 当时， 解得：；， ∴； ∴，解得：； （2）由（1）得：抛物线 ∴当时，，解得：， ∵已知抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧） ∴， ∵时，， ∴ ∵，， ∴ ∴为直角三角形；， ∴ （3）∵抛物线在x轴下方部分图象向上翻折， ∴得到新函数关系式为 ∵直线与新的函数图象恰有3个交点 分类讨论： ①当直线与抛物线相切时，故联立得 整理得： ∵直线与抛物线相切 ∴方程有两个相等实数根 即： 解得：，（舍）， ②当当直线经过点时，，解得，故联立得 整理得：，解得，．满足题意． 综上所述：或． 10．（2024·安徽宿州·三模）如图1，抛物线与轴交于点与点，点位于点的左侧，与轴交于点，． (1)求，的值； (2)点是第一象限内且位于该抛物线上一点． （i）如图2，连接与交于点，连接．若点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标； （ii）如图3，点是第四象限且位于该抛物线上一点，与分别与轴交于点和点．若，则直线恒经过一点，求该点的坐标． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）待定系数法求出，的值即可； （2）（i）对称求出点坐标，求出直线的解析式，联立后，求出点的解析式即可； （ii）设，求出的解析式，进而求出的坐标，利用，推出，求出的解析式，根据定点的坐标与的值无关，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把代入，得： ，解得：； （2）（i）由（1）知， ∴， ∴对称轴为直线， 当时，，解得：， ∴， ∵关于直线的对称点为， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得：， ∴； （ii）设， ∵， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， 同法可得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴ ， ， ∴当时，， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，对称性求对称点的坐标，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键，注意计算的准确性． 11．（2024·安徽宣城·三模）如图，抛物线c：与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点为动点，且，过点M作于点M，交抛物线于点E，交直线于点． (1)求抛物线c的表达式及顶点坐标； (2)若，求m的值； (3)平移抛物线c：使其顶点为F点，设平移后的抛物线c在x轴上方的部分记为图象Q，若图象Q始终在抛物线c的下方，求m的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)m的值为1； (3) 【分析】（1）把，代入得，解出，的值可得抛物线的表达式为，即可得顶点坐标为； （2）求出，直线解析式，即可得，，根据，得，即可解得的值为1； （3）由，知平移后的抛物线解析式为，把代入可得或（舍去）；把代入可得或（舍去），画出图形可得，当时，图象始终在抛物线的下方． 【详解】（1）解：把，代入， 得：，解得， ∴抛物线c的表达式为； ， ∴顶点坐标为； （2）解：在中，令得， ， 由，得直线BC解析式为， ∵点， ，， ， ， 解得或（舍去）， 的值为1； （3）解：如图： 由（2）知， ∴平移后的抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得或（舍去）； 把代入得： ， 解得或（舍去）， 由图可知，当时，图象Q始终在抛物线c的下方． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，平移变换，二次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是用含的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 12．（2025·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)过点作轴的平行线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最大值为 (3)点的坐标为 【分析】本题考查二次函数综合，涉及求抛物线解析式，线段最值问题，图形翻折等知识点； （1）把，，代入解析式列方程计算即可； （2）设先求出直线的表达式为，过点作轴交直线于点，交轴于点．由已知得到，当取最大值时，的值也最大，设点，则点，表示出求最大值即可． （3）设交轴于点．先得到为等腰直角三角形，设点的坐标为，则，得到点的坐标为，再根据点在抛物线上列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ． 把点代入， 得， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：设直线的表达式为， 把．代入得， 解得， 直线的表达式为． 如答图1．过点作轴交直线于点，交轴于点． 点， ． ． ， 即． ． 当取最大值时，的值也最大． 设点，则点． ． ， 当时，有最大值． ，． 即当取最大值时，点的坐标为，此时，的最大值为． （3）解：如图2，设交轴于点． 由题意知， 为等腰直角三角形． 设点的坐标为， ． ． 点的坐标为． 又点在抛物线上， ， 解得或（舍去）． ． 点的坐标为． 13．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C，顶点为M． (1)求点M的坐标； (2)把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，抛物线经过点B，并与x轴交于另一点D，且顶点为E． ①若直线BC向下平移个单位得到的直线经过点E，求m的最大值，并写出此时h的值； ②若直线恰好经过抛物线与x轴的交点，请直接写出h的值． 【答案】(1) (2)①的最大值为，此时h的值为；②1或 【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法解得该抛物线解析式并将其整理为顶点式，即可获得答案； （2）①首先确定点，利用待定系数法解得直线解析式，由平移的性质可得直线BC向下平移个单位后的解析为；再确定抛物线平移后得到抛物线的顶点坐标，结合抛物线经过点，可确定；结合直线经过点，可得，结合二次函数的性质即可获得答案；②首先确定抛物线平移后与轴的另一交点坐标为，结合，利用待定系数法解得直线的解析式，然后分直线经过点和直线经过点两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）①对于抛物线：， 令，可得，即， 设直线解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 将直线BC向下平移个单位， 得到的直线的解析为， 把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线， 则抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∵抛物线经过点， ∴可有， 整理可得， ∵直线经过点， ∴可有， 将代入并整理，可得， ∴的最大值为，此时h的值为； ②根据题意，把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线， 则抛物线的解析式为， 其顶点坐标为，对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴该抛物线与轴的另一交点坐标为， 由①可知，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 当直线经过点时， 可有，解得，， 当时，可有，抛物线的顶点在轴上方，符合题意， 当时，可有，抛物线的顶点在轴上， 即该抛物线与轴仅有一个交点，不符合题意，舍去； 当直线经过点时， 可有， 整理可得， 将等号左侧因式分解，可得， ∴或， 当时，解得（舍去）， 当时，解得或（此时，故舍去）． 综上所述，h的值为1或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数图像的平移问题、二次函数图像与坐标轴交点等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 14．（2025·安徽安庆·一模）已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）． (1)求的值和的顶点坐标． (2)已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________； (3)当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式及顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的平移，以及利用二次函数解决几何面积最值问题，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）解析式联立利用根的判别式确定交点的个数，整理解析式即可求解； （3）根据题意画出图形，利用函数解析式表示出顶点纵坐标，利用三角形面积公式列出关于的二次函数，根据顶点坐标求最值即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， ， 顶点坐标为； （2）解：联立得， 整理得 ∴两个图形一定有交点， 整理得 ∴当时，无论取何值， 由（1）得，的顶点坐标为， ∴与总交于一个定点的坐标为， 故答案为：； （3）解： 如图所示， 当时，抛物线， 平移之后顶点坐标为，即 ∴平移之后 ，此二次函数抛物线开口向下， 可求顶点横坐标为，， ∴顶点纵坐标为最大值 当时，代入二次函数得， ∴面积的最大值 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$