考向二 有关代数式的规律探究题-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（沪科版2024）

118 考向二　有关代数式的规律探究题 ▶ “答案与解析”见P50 1. (2024·阜阳临泉期末)已知一组均不为1的 数a1,a2,a3,…,an,满足如下关系:a2= 1+a1 1-a1 ,a3 = 1+a2 1-a2 ,a4 = 1+a3 1-a3 ,an+1 = 1+an 1-an .若a1=2,则a2024的值是 ( ) A. -12 B. 1 3 C. -3 D. 2 2. (2024·桐城期末)观察以下等式: 第1个等式: 1×2×3×4+1=(12+3×1+1)2; 第2个等式: 2×3×4×5+1=(22+3×2+1)2; 第3个等式: 3×4×5×6+1=(32+3×3+1)2; 第4个等式: 4×5×6×7+1=(42+3×4+1)2; … 按照以上规律,解决下列问题. (1) 写出第5个等式: . (2) 写出你猜想的第n个等式(用含n的式 子表示). 3. (2024·淮北期末)(1) 填空: (a-b)(a+b)= ; (a-b)(a2+ab+b2)= ; (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)= . (2) 猜想: (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+ … + abn-2+bn-1)= (其中n为正整 数,且n≥2). (3) 利用(2)猜想的结论计算:399+398+ 397+…+32+3+1. 4. (2024·阜阳颍州期末) 1-122 =1-12 1+12 ; 1-132 =1-13 1+13 ; 1-142 =1-14 1+14 ; … (1) 观察上面的等式,可以归纳得出: 1-1 n2 = (n为正整数). (2) 计算:1-122 × 1-132 × 1-142 = . (3) 利用(1)归纳的结论计算:1-122 × 1-132 ×1-142 ×…×1- 120152 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 119 5. (2024·宿州埇桥三模)观察下列图形与等式 之间的关系: 第1个图: →22-12=2+1=3; 第2个图: →32-22=3+2=5; 第3个图: →42-32=4+3=7; 第4个图: →52-42=5+4=9; … 根据图形及等式之间的关系,解决下列问题: (1) 第5个图中空白部分小正方形的个数是 ,第6个图中空白部分小正方形的 个数满足等式: . (2) 用含n的等式表示第n个图中空白部分 小正方形的个数反映的规律: . (3) 运用上述规律计算:(20242-20232+ 20222-20212+20202-20192+…+22- 12)× 11012. 6. (2024·蚌埠固镇三模)观察下列等式: 第1个等式:12×3- 1 4=-2× 1 2×3×4 ; 第2个等式:23×4- 1 5=-2× 1 3×4×5 ; 第3个等式:34×5- 1 6=-2× 1 4×5×6 ; … 根据以上等式的规律,解答下列 问题: (1) 直接写出第5个等式: . (2) 写出你猜想的第n个等式(用含n的式 子表示),并验证其正确性. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训 4. C [解析] 方程两边同乘以(x+ 1),得a=x+1,则x=a-1.当方程 的解为负数时,a-1<0,所以a<1. 因为当分式方程有增根x=-1时, a=0,此时分式方程无解,所以若方 程的解是负数,则a<1且a≠0.所以 甲的说法错误.当方程的解为正数时, a-1>0,所以a>1.因为当a=0时, 原分式方程有增根,所以当a>1时, 分式方程的解为正数.所以乙的说法 正确. 5. A 6. 0或-1 7. 4≤b<5 [解析] 解方程2-a a + 2= 3a ,得a=1.所以不等式组 x≥a, x≤b 的解集为1≤x≤b.又因为不 等式组 x≥a, x≤b 只有4个整数解,则整 数解是1,2,3,4,所以4≤b<5. 8. (1) x=4 (2) t>5且t≠12 [解析] 方程两边 同乘以2(x-4),得2(t-3x)=x- 4.整理,得x=2t+47 . 因为该方程的 解大于2,所以2t+47 >2 且2t+4 7 ≠4 , 即2t+4>14且2t+4≠28,解得t>5 且t≠12. 9. 分式方程去分母,得x+2-a= 3(x-1),解得x=5-a2 . 因为原分式方程的解为非负数, 所以5-a 2 ≥0 且5-a 2 ≠1 ,解得a≤5 且a≠3. 10. 分式方程的两边同乘以(x-1), 得2-a=3(x-1),解得x=5-a3 . 因为x-1≠0, 所以5-a 3 ≠1. 所以a≠2. 因为方程的解为正数, 所以5-a 3 >0. 所以a<5且a≠2. 解不等式组 y+2 3 - y 2>1① , 2(y-a)≤0②, 由①, 得y<-2.由②,得y≤a. 因为不等式组的解集为y<-2, 所以a≥-2. 所以-2≤a<5且a≠2. 所以符合条件的所有整数a的和为 (-2)+(-1)+0+1+3+4=5. 11. (1) ① 当a=5时,分式方程为 5 x-1+ 3 1-x=1 ,解得x=3. 检验:当x=3时,x-1≠0, 所以x=3是原方程的根. ② 方程 a x-1+ 3 1-x=1 去分母,得 a-3=x-1,解得x=a-2. 因为分式方程 a x-1+ 3 1-x=1 的增 根为x=1, 所以a-2=1,解得a=3. (2) 方程mx-1 x-2+ 1 2-x=2 去分母, 得mx-1-1=2(x-2),解得x= 2 2-m. 因为方程有整数解,且m为整数, 所以2-m=±1或2-m=±2且 2 2-m≠2 ,解得m=1或3或0或4且 m≠1. 所以m的值为3或0或4. 12. (1) x=2. (2) 去分母,得x(x-m)-5(x- 2)=x(x-2). 由分式方程有增根,得x-2=0或 x=0,即x=2或x=0. 把x=2代入整式方程,得2(2- m)-5×(2-2)=2×(2-2),解得 m=2. 把x=0代入整式方程,得0×(0- m)-5×(0-2)=0×(0-2),此时m 无解. 综上所述,m的值为2. (3) 分式方程 mx 1-x- 1 x-1=3 去分 母,得mx+1=3(1-x),解得x= 2 m+3. 因为1-x≠0, 所以x≠1,即 2m+3≠1 ,解得m≠-1. 因为原分式方程有整数解,且m 为 整数, 所以m+3=-2或-1或1,解得 m=-5或-4或-2. 考向二　有关代数式的 规律探究题 1. B [解析] 因为a1=2,所以a2= 1+2 1-2=-3 ,a3= 1-3 1+3=- 1 2 ,a4= 1-12 1+12 =13 ,a5= 1+13 1-13 =2,….由此 可见,这一列数按2,-3,-12 ,1 3 循 环出现.因为2024÷4=506,所以 a2024= 1 3. 2. (1) 5×6×7×8+1=(52+3× 5+1)2. (2) n(n+1)(n+2)(n+3)+1= (n2+3n+1)2. 3. (1) a2-b2;a3-b3;a4-b4. (2) an-bn. (3) 399+398+397+…+32+3+1= 1 2× (3-1)×(399+398×1+397× 12+…+32×197+3×198+199)= 1 2× (3100-1)=3 100-1 2 . 4. (1) 1-1n 1+1n . (2) 5 8. [解析] 1-122 × 1-132 × 1-142 = 1-12 × 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 05 1+12 1-13 1+13 1-14 × 1+14 =12×32×23×43×34× 5 4= 1 2× 5 4= 5 8. (3) 原 式 = 1-12 1+12 × 1-13 1+13 1-14 1+14 … 1- 12015 1+ 12015 = 12 × 32 × 2 3× 4 3× 3 4× 5 4 × …×20142015× 2016 2015= 1 2× 2016 2015= 1008 2015. 5. (1) 11;72-62=7+6=13. (2) (n+1)2-n2=n+1+n= 2n+1. (3) 原式=(2024+2023+2022+ 2021+2020+2019+…+2+1)× 1 1012 =2024× (2024+1) 2 × 1 1012= 2025. 6. (1) 5 6×7- 1 8=-2× 1 6×7×8. (2) 第n个等式为 n (n+1)(n+2)- 1 n+3=-2× 1 (n+1)(n+2)(n+3). 因为左边= n(n+3)-(n+1)(n+2) (n+1)(n+2)(n+3) = n2+3n-n2-3n-2 (n+1)(n+2)(n+3)= -2 (n+1)(n+2)(n+3)=-2× 1 (n+1)(n+2)(n+3)= 右边, 所以猜想正确. 考向三　一元一次不等式（组） 与分式方程的实际应用 1. A 2. C 3. C [解析] 设原来的平均速度是 x km/h,则 现 在 的 平 均 速 度 为 1+59 xkm/h.由题意,得126x - 28 1+59 x =9060 ,解得x=72.经检 验,x=72是原分式方程的解,且符合 题意.所 以 原 来 的 平 均 速 度 是 72km/h. 4. 15 [解析] 设购进x个A款魔 方,则购进(40-x)个B款魔方.根据 题意,得 40-x≥x, 15x+22(40-x)≤776, 解 得104 7 ≤x≤20. 又因为x为正整数, 所以x 的最小值为15,即最少购进 15个A款魔方. 5. 32 [解析] 设乙工程队每天能完 成的绿化面积是xm2,则甲工程队每 天能完成的绿化面积是2xm2.根据 题意,得600 x - 600 2x=6 ,解得x=50.经 检验,x=50是原分式方程的解,且符 合题意,则甲工程队每天能完成的绿 化面积是50×2=100(m2).设甲工程 队施工a天,乙工程队施工b天刚好 完成绿化任务.由题意,得100a+ 50b=3600,则a=-12b+36. 根据 题意,得1.2a+0.5b≤40.所以1.2× -12b+36 +0.5b≤40,解得b≥ 32,即至少应安排乙工程队绿化 32天. 6. (1) 甲、乙两个工程队合作3天. (2) C方案更省钱. 理由:解分式方程3 1x+ 1 1.5x + x-3 1.5x=1 ,得x=9.经检验,x=9是原 分式方程的解,且符合题意. 所以规定的工期为9天. 如期完成的两种施工方案为B方案 和C方案,B方案需要的费用为1.3× 9=11.7(万元);C方案需要的费用为 3×1.3+9×0.8=11.1(万元). 因为11.7>11.1, 所以C方案更省钱. 7. (1) 设该商店购进x件A种纪念 品,则购进(100-x)件B种纪念品. 根据题意,得 80x+50(100-x)≥7000, 80x+50(100-x)≤7100, 解 得 200 3 ≤x≤70. 又因为x为正整数, 所以x可以为67,68,69,70. 所以该商店共有4种进货方案. (2) 当x=67时,所获利润为30× 67+20×(100-67)=2670(元); 当x=68时,所获利润为30×68+ 20×(100-68)=2680(元); 当x=69时,所获利润为30×69+ 20×(100-69)=2690(元); 当x=70时,所获利润为30×70+ 20×(100-70)=2700(元). 因为2670<2680<2690<2700, 所以当该商店购进70件 A种纪念 品,30件B种纪念品时可获利最大, 最大利润是2700元. 8. (1) 设A型号无人机每架的进价 是x元,则B型号无人机每架的进价 是(x-500)元. 依题意,得28000 x = 24000 x-500 ,解得x= 3500. 经检验,x=3500是原分式方程的 解,且符合题意. 所以x-500=3000. 所以 A型号无人机每架的进价是 3500元,B型号无人机每架的进价是 3000元. (2) 预算经费够用. 理由:设购进A型号无人机m 架,则 购进B型号无人机(2m-3)架. 由题意,得m+2m-3≤10,解得m≤ 413. 因为m为正整数, 所以m的最大值是4. 所以2m-3=2×4-3=5. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15