10.2 二元一次方程组的概念-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（苏科版2024）

58 10.2　二元一次方程组的概念 ▶ “答案与解析”见P21 1. 下列方程组是二元一次方程组的是 ( ) A. x2+3y=1, 2x-y=4 B.xy=2 , x+2y=5 C. m+3n=10, 5m-2n=1 D.a-b=6 , b+c=3 2. 如果方程组 x+y=★, 2x+y=16 的解为x=6 , y=■, 那么 被“★”“■”遮住的两个数分别是 ( ) A. 10,4 B. 4,10 C. 3,10 D. 10,3 3. 若关于x,y的二元一次方程组 mx+y=n, x-ny=2m 的解是 x=0, y=2, 则m+n的值为 . 4. 已知x,y是二元一次方程组 x-2y=3, x+2y=1 的 解,则代数式x2-4y2的值为 . 5. 根据题意列二元一次方程组(不要求计算). (1) 《九章算术》是我国古代重要的数学著 作,书中有这样一道题:今有五雀、六燕,集称 之衡,雀俱重,燕俱轻.一雀一燕交而处,衡适 平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何? 其大意如下:现在有五只雀、六只燕,共重 1斤(古时1斤=16两).雀重燕轻,互换其中 一只,恰好一样重.问:每只雀、每只燕平均各 重多少两? (2) 甲、乙两人在一个环形场地上从点A 同 时同向匀速跑步,甲的速度是乙的速度的 2.5倍,4min后两人首次相遇,此时乙还需 要跑300m才能跑完第一圈.求甲、乙两人的 速度及环形场地的周长. 6. 《九章算术》中记载了这样的问题:六鸡、七鸭 共重24千克,鸡重鸭轻,互换其中一只,恰好 一样重.问:每只鸡、鸭平均各重多少千克? 设平均每只鸡重x千克,平均每只鸭重y千 克,根据题意可列出方程组为 ( ) A. 6x+7y=24, 5x+y=6y+x B.7x+6y=24 , 5x-y=6y-x C. 6x+y=24, 6x-y=7y-x D.6x+7y=24 , 6x+y=7y+x 7. 已知方程组 2x+y=m, 2x-y=10 的解为x=4 , y=n, 小亮 求解时不小心滴上了两滴墨水,刚好遮住了 m和n两个数,则下列结论正确的是 ( ) A. m=6,n=-2 B. m=10,n=2 C. m=-6,n=4 D. m=4,n=6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 59 8. 若 x=2, y=1 是关于x,y的方程组mx+ny=2 , mx-ny=-1 的解,则4m2-n2的值为 ( ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 9. (易错题)若方程组 2x+y=■, x-3y=7 的解为 x=1, y=▲, 则 ■ 表示的数为 . 10. 如果 x=1, y=2 是方程组ax+by=-1 , bx+ay=4 的解, 那么代数式a-b的值为 . 11. 观 察 下 列 方 程 组:① x-y=2, 2x+y=1; ② x-2y=6, 3x+2y=2; ③ x-3y=12, 4x+3y=3; ….若第 ④个方程组满足上述方程组的规律,则第 ④个方程组为 . 12. 已知方程组 2x-3y=13, 3x+5y=-9 的解是x=2 , y=-3, 则 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 2(x-1)-3(y+2)=13, 3(x-1)+5(y+2)=-9 的解是 . 13. 已 知 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 y=1, ax+2y=7 的解满足x+3y=5,求a 的值. 14. 已知关于x,y的二元一次方程组 ax+y=b, x-by=a 的解是x=1 , y=1, 求(a+ b)2-(a-b)(a+b)的值. 15. 若关于x,y的方程组 kx-2y=3, 4x+my=6 有无数个解,则k-m的值为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 16. ★已知关于x,y的二元一次方程组 a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2 的解是x=1 , y=2, 求方 程组 a1x+b1y=3c1, a2x+b2y=3c2 的解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第10章　二元一次方程组 2n)+12n+2015=-3m+6n+ 2015=-3(m-2n)+2015=-3× (-3)+2015=2024. 11. 把 x=1, y=m, x=n, y=2 代入方程y= x+b,得m=1+b,2=n+b,即m= b+1,n=2-b. 又因为m-n=b2+2b-5, 所以b+1-2+b=b2+2b-5. 整理,得b2=4. 所以b=±2. 12. (1) 依题意,得(3+6)x+6y= 558,即9x+6y=558. (2) 因为9x+6y=558, 所以y=93- 3 2x. 当x=32时,y=93- 3 2×32=45. (3)当y=48时,93- 3 2x=48 ,解得 x=30. 所以甲每天做30个. 13. (1) 由题意,得x=5x-6,解得 x=32. 所以二元一次方程y=5x-6的“完 美值”为x=32. (2) 因为x=-3是二元一次方程 y= 1 3x+m 的“完美值”, 所以-3= 13 × (-3)+m,解得 m=-2. (3) 存在. 理由:当x=-32x+n 时,x=25n. 当x=3x-n+1时,x=n-12 . 所以2 5n= n-1 2 ,解得n=5. 所以x=25n=2. 所以其“完美值”为x=2. 14. 13 [解析] 由表格,可得2m- 3n=8①,2(m+1)-3(n-1)=p②. 由②,得2m-3n+5=p③.把①代入 ③,得p=8+5=13. 15. (1) 当a=-2,b=1时,二元一 次方程ax+y=3b可化为-2x+ y=3. 所以y=2x+3. (2) ① a=b. 理由:把x=a-2b,y=b2+3b代入 二元一次方程ax+y=3b,得a(a- 2b)+b2+3b=3b. 整理,得a2-2ab+b2=0,即(a- b)2=0. 所以a=b. ② x=3, y=0. 10.2　二元一次方程组的概念 1. C 2. A 3. 0 4. 3 5. (1) 设每只雀、每只燕平均各重 x两、y两. 由题意,得 5x+6y=16, 4x+y=5y+x. (2) 设乙的速度为x m/min,环形 场地的周长为ym,则甲的速度为 2.5xm/min. 由 题 意,得 2.5x×4-4x=y, 4x+300=y, 即 6x-y=0, 4x-y=-300. 6. A 7. A [解析] 把x=4代入2x-y= 10,得8-y=10,解得y=-2.所 以n=-2.所以m=2x+y=8- 2=6. 8. A [解析] 因为 x=2, y=1 是关于x, y 的 方 程 组 mx+ny=2, mx-ny=-1 的 解, 所以 2m+n=2, 2m-n=-1. 所以4m2-n2= (2m+n)(2m-n)=2×(-1)=-2. 9. 0 [解析] 把x=1代入x-3y= 7,得1-3y=7,解得y=-2.把x= 1,y=-2代入2x+y=■,得 ■= 2x+y=2-2=0. 10. 5 [解析] 因为 x=1, y=2 是方程组 ax+by=-1, bx+ay=4 的 解, 所 以 a+2b=-1①, 2a+b=4②. ②-①,得a-b=5. 11. x-4y=20, 5x+4y=4 12. x=3, y=-5 [解析] 由题意,得 x-1=2, y+2=-3, 解得 x=3, y=-5. 13. 当y=1时,x+3=5,解得x=2. 把 x=2, y=1 代入ax+2y=7,得2a+ 2=7,解得a=52. 14. 把 x=1, y=1 代入 ax+y=b, x-by=a, 得 a+1=b, 1-b=a. 整理,得 a-b=-1, a+b=1. 所以(a+b)2-(a-b)(a+b)=12- (-1)×1=2. 15. C [解析] 原方程组可转化为 2kx-4y=6, 4x+my=6. 因为原方程组有无数 个解,所以2k=4,-4=m,解得k= 2,m = -4.所 以 k-m =2- (-4)=6. 16. 把 x=1, y=2 代入 a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2, 得 a1+2b1=c1, a2+2b2=c2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 把 a1x+b1y=3c1, a2x+b2y=3c2 变 形, 得 a1· x 3+b1 ·y 3=c1 , a2· x 3+b2 ·y 3=c2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 x 3=1 , y 3=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 x=3, y=6. 灵活运用整体思想解题 解决本题时,要仔细观察所给 的两个方程组,可以发现这两个方 程组对应未知数的系数相同,而常 数项分别是原来的3倍.因此,可 以在保证两个方程组对应未知数 的系数和常数项分别相同的情况 下,构造未知数的变化关系,从整 体上确定所求未知数与原方程组 未知数之间的等量关系,从而求得 方程组的解. 10.3　解二元一次方程组 第1课时 代入消元法 1. D 2. A 3. y=3x-10 4. x=2, y=1 5. (1) x=-0.5, y=2.5. (2) x=2, y=0. (3) x=3, y=5. (4) x=1, y= 3 2. 6. B 7. D [解 析] 把 x=-2, y=1 与 x=1, y=-2 代入方程y=ax+b,得 1=-2a+b, -2=a+b, 解得 a=-1 , b=-1. 8. C [解析] 记 2x-y=k①, x-2y=-1②. 将 x=y代入方程②,得x-2x=-1. 所以x=1,y=1.所以k=2x-y= 2-1=1. 9. 2 [解析] 记 2x+3y=7①, y=2x-3②. 把 ②代入①,得2x+3(2x-3)=7,解得 x=2.把x=2代入②,得y=2×2- 3=1.所 以 原 方 程 组 的 解 为 x=2, y=1. 因为方程组 2x+3y=7, y=2x-3 的 解也是方程3x+my-8=0的一个 解,所以3×2+m-8=0,解得m=2. 所以m的值为2. 10. 20 [解 析] 根 据 题 意,得 a+2b=8, 2a+b=7, 解得 a=2 , b=3. 所以4△4= 4×2+4×3=20. 11.1 [解析] 根据题意,可得 a+b=-4, a-b=10, 解得 a=3 , b=-7. 所以m= (2a+b)4=(2×3-7)4=1. 12. 由题意,得 4x+y=3, 2x=5+3y, 解得 x=1, y=-1. 将 x=1, y=-1 代入 ax-3y=-1, 2x+1=-by, 得 a+3=-1, 2+1=b, 解得 a=-4, b=3. 13. 把 x=72 , y=-2 代入2x-ny=13,得 7+2n=13,解得n=3. 把 x=3, y=-7 代入mx+y=5,得3m- 7=5,解得m=4. 所以原方程组为 4x+y=5, 2x-3y=13, 解得 x=2, y=-3. 14. D [解析] 整理原方程,得 m(x+y+2)-(2x+3y+3)=0.由 题意,可知这个公共解与m 的取值无 关, 得 x+y+2=0, 2x+3y+3=0, 解 得 x=-3, y=1. 15. (1) 由②,得3(3x-2y)+2y= 19③. 把①代入③,得3×5+2y=19,解得 y=2. 把y=2代入①,得3x-4=5,解得 x=3. 所以原方程组的解为 x=3, y=2. (2) 由②,得xy=36-2x2-8y2③. 把③代入①,得3x2-2(36-2x2- 8y2)+12y2=47. 整理,得7x2+28y2=119. 所以x2+4y2=17④. 由①,得3(x2+4y2)-2xy=47⑤. 把④代入⑤,得3×17-2xy=47. 所以xy=2. 所以x2+4y2 的值为17,xy 的值 为2. 第2课时 加减消元法 1. A 2. A 3. x=1, y=2 4. m+n=0 5. (1) x=-2, y=-3. (2) x=2, y=3. (3) x=73 , y=1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22