4.1 因式分解的意义-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

82 4.1　因式分解的意义 ▶ “答案与解析”见P32 1. (2024·宁波海曙期末)下列式子变形中,为 因式分解的是 ( ) A. x2-5x+6=x(x-5)+6 B. x2-5x+5=x2-5(x-1) C. (x-2)(x-3)=x2-5x+6 D. x2-6x+9=(x-3)2 2. 若一个多项式分解因式的结果是b(b2+2), 则这个多项式为 ( ) A. b2-4 B. 4-b3 C. b3+2 D. b3+2b 3. 下列多项式中,分解因式的结果为(3a- y)(3a+y)的是 ( ) A. 9a2+y2 B. -9a2+y2 C. 9a2-y2 D. -9a2-y2 4. (1) 对于a(a+b)=a2+ab,从左到右的变 形是 ,从右到左的变形是 .它们具有 关系. (2) 简便计算:99+992= = . 5. 把左右两边相等的代数式连起来: 5mn-10m2 (m+6n)2 m2-4n2 5m(n-2m) m2+mn-2n2 (m+2n)(m-n) m2+12mn+36n2 (m+2n)(m-2n) 6. 检验下列因式分解是否正确. (1) 3x3y-3xy3=3xy(x+y)(x-y). (2) 2a2-1=(2a+1)(2a-1). (3) x2-3x+2=(x-1)(x-2). 7. 给出下列从左到右的变形:① 2x2y=4x· 6xy;② x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1; ③ x4m+xm=xm(x3m+1);④ x2+1= xx+1x ;⑤ x2-9y2=(x+3y)(x-3y). 其中,是因式分解的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 利用因式分解简便计算57×99+44×99- 99,正确的是 ( ) A. 99×(57+44)=99×101=9 999 B. 99×(57+44-1)=99×100=9 900 C. 99×(57+44+1)=99×102=10 098 D. 99×(57+44-99)=99×2=198 9. 已知多项式2x2+bx+c进行因式 分解的结果为2(x-3)(x+1),则 b,c的值分别为 ( ) A. 3,-1 B. -6,2 C. -6,-4 D. -4,-6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 第4章　因式分解 83 10. 多项式x2+5x+a分解因式后的一个因式 为x+2,则a= . 11. 若4a2+kab+9b2 可以因式分解为(2a- 3b)2,则k的值为 . 12. 根据如图所示的拼图过程,写出一个多项式 的因式分解: . (第12题) 13. 2 0232+2 023×3能被2 023整除吗? 能被 2 026整除吗? 为什么? 14. 下面是一个正确的因式分解,但是其中部分 一次式被墨水污染看不清了. 2x2+3x-6+ =(x-2)(2x+5). (1) 求被墨水污染的一次式. (2) 若被墨水污染的一次式的值为2,求x 的值. 15. 阅读材料. 例题:已知二次三项式x2-4x+m 有一个因式为x+3,求另一个因式 以及m的值. 解:设另一个因式为x+n, 则 x2-4x+m=(x+3)(x+n). 所以x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n. 所以 n+3=-4, m=3n, 解得n=-7 , m=-21. 所以另一个因式为x-7,m的值为-21. 仿照以上方法解答问题: 已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式 为2x-5,求另一个因式以及k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第4章　因式分解 S三角形ABE= 1 2AE ·AB=12a (b- a)=ab2 - a2 2. 所 以 S阴影部分 = S梯形ACDE -S三角形BCD -S三角形ABE = ab+ b 2 2 - a2 2+ ab 2 - ab2 - a2 2 =b 2 2. (第7题) ［综合素能提升］ 1. D 2. B [解析] 因为25a×52b=56, 4b÷4c=4,所以52a×52b=56,4b-c= 4.所以2a+2b=6,b-c=1,即a+ b=3,b-1=c.所以a2+ab+3c= a(a+b)+3(b-1)=3a+3b-3= 3(a+b)-3=3×3-3=9-3=6. 3. A 4. 179 2 [解析] 原式=[8(a+b)7- 4(a+b)5-(a+b)3]÷[2(a+ b)3]=4(a+b)4-2(a+b)2-12. 因 为(a-b)2=17,ab=-3,所以(a+ b)2=(a-b)2+4ab=17+4× (-3)=5.所以原式=4[(a+b)2]2- 2(a+b)2- 12 =4×5 2-2×5- 1 2= 179 2 . 5. 5.24×10-5 [解析] 2×7.86× 103÷(3×108)=5.24×10-5 (秒),所 以整个过程共用了5.24×10-5秒. 6. (1) 因为 M = (-2x4y5)÷ -13x 2y3 2 =(6x2y2)2=36x4y4, N = (-3x3y2)2 ÷ -12x 3y = 9x6y4÷ -12x 3y =-18x3y3, 所以M+N=36x4y4-18x3y3. (2) 由 (1),得 N2 ÷ M = (-18x3y3)2÷36x4y4=324x6y6÷ 36x4y4=9x2y2. 7. (1) (ax-3)(2x+4)-x2-b= 2ax2+4ax-6x-12-x2-b= (2a-1)x2+(4a-6)x+(-12-b). 因为该代数式不含x2项和常数项, 所以 2a-1=0, -12-b=0, 解得 a= 1 2 , b=-12. (2) 原式=4a2+4ab+b2-a2+ 4b2-3a2+3ab=7ab+5b2. 当a=12 ,b=-12时,原式=7× 1 2× (-12)+5×(-12)2=678. 8. 铺设草坪的面积为(3a-b)(a+ 2b)-(a-b)2-[3a-b-(a-b)]× 2-[a+2b-(a-b)]×2=3a2+ 5ab-2b2-a2-b2+2ab-2a×2- 3b×2=(2a2+7ab-3b2-4a- 6b)平方米. 第4章　因式分解 4.1　因式分解的意义 1. D 2. D 3. C 4. (1) 整式的乘 法 因式分解 互逆 (2) 99× (99+1) 9900 5. 6. (1) 因为3xy(x+y)(x-y)= 3xy(x2-y2)=3x3y-3xy3, 所以3x3y-3xy3=3xy(x+y)(x- y)正确. (2) 因为(2a+1)(2a-1)=4a2-1≠ 2a2-1, 所以2a2-1=(2a+1)(2a-1)不 正确. (3) 因为(x-1)(x-2)=x2-2x- x+2=x2-3x+2, 所以x2-3x+2=(x-1)(x-2) 正确. 7. B 8. B 9. D [解析] 因为多项式2x2+ bx+c因式分解的结果为2(x-3)· (x+1),所以2x2+bx+c=2(x- 3)(x+1)=2(x2+x-3x-3)= 2(x2-2x-3)=2x2-4x-6.所以 b=-4,c=-6. 10. 6 11. -12 12. x2+6x+8=(x+4)(x+2) [解析] 由题图可知,左边四个长方形 的面积和为x2+2x+4x+8=x2+ 6x+8,所拼成的大长方形的长为x+ 4,宽为x+2,故其面积为(x+4)· (x+2).由此可知,x2+6x+8= (x+4)(x+2). 13. 20232+2023×3既能被2023整 除,又能被2026整除. 因为20232+2023×3=2023× (2023+3)=2023×2026, 所以 20232 +2023×3 既能被 2023整除,又能被 2026整除. 14. (1) 被墨水污染的一次式为 (x- 2)(2x+5)-(2x2+3x-6)=2x2+ 5x-4x-10-2x2 -3x+6= -2x-4. (2) 根据题意,得-2x-4=2,解得 x=-3. 15. 设另一个因式为x+a,则2x2+ 3x-k=(2x-5)(x+a). 所以2x2+3x-k=2x2+(2a- 5)x-5a. 所以 2a-5=3, -5a=-k, 解得 a=4 , k=20. 所以另一个因式为x+4,k 的值 为20. 4.2　提取公因式法 1. C 2. C 3. D 4. 2a(a-2) 5. (1) - (2) + (3) - 6. (1) 原式=5x2y2(y-5x). (2) 原式=5a3b2(2ab-3a+4b2). (3) 原式=(2m+3n-n)(2m-n)= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23